Mục lục Bảng kí hiệu ii 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1 1 Đại số Steenrod 1 1 1 1 Định nghĩa và tính chất 2 1 1 2 Cấu trúc của đại số Steenrod 4 1 2 Lý thuyết bất biến và đại số lambda 5 1 2 1 Lý thuyết bất[.]
Mục lục Bảng kí hiệu ii 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Đại số Steenrod 1.1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.2 Cấu trúc đại số Steenrod Lý thuyết bất biến đại số lambda 1.2.1 1.2.2 Lý thuyết bất biến Phức dây chuyền Γ∧ M 10 1.2.3 Một mở rộng đại số lambda 12 1.2.4 Các bất biến GLs đối ngẫu Θ 13 1.2.5 Các bất biến GLs đối ngẫu Λ 14 Dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu 2.1 Đồng cấu Lannes-Zarati dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu 2.1.1 2.2 17 17 Đồng cấu Lannes-Zarati 17 2.1.2 Dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu 22 Biểu diễn cấp độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu LannesZarati 23 Toán tử squaring đồng cấu Lannes-Zarati 3.1 3.2 33 Các toán tử squaring 33 3.1.1 3.1.2 Toán tử squaring cổ điển 33 Toán tử squaring Kameko 34 3.1.3 Toán tử squaring đối ngẫu đại số Dickson 37 Tính giao hoán toán tử squaring qua đồng cấu Lannes-Zarati 38 v 3.3 Chứng minh dạng đại số giả thuyết lớp cầu trường hợp k=3, 43 3.4 Chứng minh dạng đại số giả thuyết lớp cầu trường hợp k=5 48 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 vi Chương Kiến thức chuẩn bị Trong luận văn này, làm việc với vành hệ số trường F2 gồm hai phần tử 1.1 Đại số Steenrod Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược đại số Steenrod trường F2 Chúng viết mục dựa theo tài liệu [27] [29] Đại số Steenrod đại số sinh toán tử đối đồng điều Sq k : H n (X) → H n+k (X), phép biến đổi tự nhiên đối đồng điều không gian tôpô X, xác định với n, k ≥ Các toán tử giao hốn với phép treo chúng gọi toán tử đối đồng điều ổn định Năm 1950, Cartan chứng minh Sq k (xy) = k X Sq i (x)Sq k−i (y), i=0 với x, y ∈ H ∗ (X) Công thức gọi công thức Cartan Năm 1952, Adem chứng minh tất quan hệ đại số Steenrod sinh từ tập quan hệ sau, gọi quan hệ Adem, [a/2] X b − i − 1 Sq Sq = Sq a+b−i Sq i , a < 2b, a − 2i i=0 a b đó, hệ số nhị thức lấy theo modulo Năm 1953, Serre đại số Steenrod có sở cộng tính gọi cở sở chấp nhận Milnor [29] nghiên cứu cách sâu sắc cấu trúc đại số Steenrod Ông chứng minh đại số Steenrod đại số Hopf, phân bậc, có bổ sung, đối giao hốn, liên thơng, đối ngẫu đại số đa thức 1.1.1 Định nghĩa tính chất Đại số Steenrod, A, đại số phân bậc, liên kết, có đơn vị trường F2 sinh toán tử Sq i , i ≥ 0, bậc i, Sq = thỏa mãn quan hệ sau, gọi quan hệ Adem, [a/2] X b − i − 1 Sq Sq = Sq a+b−i Sq i , a < 2b, a − 2i i=0 a b (1.1) đó, hệ số nhị thức lấy theo modulo 2, kí hiệu [x] dùng để phần nguyên x, số nguyên lớn không vượt x Cho I = (i1 , , ik ) gồm k số nguyên dương Ta nói I dãy chấp nhận ij ≥ 2ij+1 với ≤ j ≤ k − Một tích tốn tử Sq i1 Sq ik gọi đơn thức có độ dài k có bậc i1 + · · · + ik Đơn thức Sq I gọi đơn thức chấp nhận I dãy chấp nhận Mệnh đề 1.1 (Mosher-Tangora [27]) Tập hợp tất đơn thức chấp nhận sở cộng tính đại số Steenrod A, xem không gian véctơ F2 Chứng minh Chứng minh {Sq I }, với I lấy dãy chấp nhận được, hệ độc lập tuyến tính xem [27] Ta chứng minh {Sq I }, với I dãy chấp nhận được, hệ sinh A Thật vậy, với dãy J = (j1 , , jk ) (không thiết dãy chấp P nhận được), ta định nghĩa moment m(J) = s js s Ta thấy rằng, J khơng phải dãy chấp nhận được, phải qua trái ta áp dụng quan hệ Adem cho cặp js , js+1 , với js < 2js+1 , lúc Sq J phân tích thành tổng đơn thức có moment nhỏ m(J) Vì hàm moment bị chặn nên trình dừng lại sau hữu hạn bước {Sq I }, với I chấp nhận được, hệ sinh A Định lý 1, chương 3, [27] nêu vài tính chất toán tử Steenrod sau: (1) Sq i (x) = i > deg(x) (2) Sq ánh xạ đồng (3) Sq i (x) = x2 i = deg(x) Ta biết đối đồng điều hệ số F2 không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều P (∞) vành đa thức biến F2 [x] Tác động toán tử Steenrod vành đối đồng điều mô tả qua mệnh đề sau Mệnh đề 1.2 (Mosher-Tangora [27]) Với u ∈ H (P (∞); F2 ), ta có Sq i (uj ) = j+i j u i Chứng minh Trước hết, ta thấy với j = 1, mệnh đề hiển nhiên Giả sử mệnh đề với k ≤ j i ≤ k Ta chứng minh mệnh đề với j + Thật vậy, theo cơng thức Cartan, ta có Sq i (uj+1 ) = Sq i (uj u) = i X Sq k (uj )Sq i−k (u) k=0 Do tính chất Sq i (x) = i > deg(x), nên ta thấy Sq i (uj+1 ) = Sq i−1 (uj )Sq (u) + Sq i (uj )Sq (u) j+i−1 j Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ta có Sq i−1 (uj ) = i−1 u Sq i (uj ) = j uj+i Do đó, ta có i j j j+i+1 i j+1 Sq (u ) = + u i−1 i j + j+i+1 = u i Vậy mệnh đề với j + Ta có điều cần chứng minh P Ta nói Sq i phân tích Sq i = 0 s Cho S(s) ⊂ Ps tập nhân tính sinh tất dạng tuyến tính khác Ps Cho Φs địa phương hóa: Φs = (Ps )S(s) Khi đó, GLs tác động Φs nhóm tự đẳng cấu đại số Từ (1.2), (1.4) (1.5) ta có ∆s = (Φs )Ts = F2 [V1±1 , , Vs±1 ], (1.8) Γs = (Φs )GLs = F2 [Q±1 s,0 , Qs,1 , , Qs,s−1 ] (1.9) (k ≥ 2) (1.10) Nếu ta đặt v1 = V1 , vk = Vk /V1 V2 Vk−1 cho k−2 Vk = v12 k−3 v22 (k ≥ 2), vk−1 vk (1.11) (1.8) viết lại sau ∆s = (Φs )Ts = F2 [v1±1 , , vs±1 ] (1.12) Với cặp số nguyên không âm p, q mà p + q = s ta định nghĩa đẳng cấu đại số ψp,q : ∆s → ∆p ⊗ ∆q sau vi ⊗ 1, ≤ i ≤ p, ψp,q (vi ) = 1 ⊗ vi−p , p + ≤ i ≤ s (1.13) Ta qui ước ∆0 = F2 ; ψs,0 (x) = x ⊗ 1; ψ0,s (x) = ⊗ x Ta đặt ∆ = ⊕s≥0 (∆s ); lúc này, kết hợp ánh xạ 1.13 ta thu đối tích ψ : ∆ → ∆ ⊗ ∆ mà với đối tích ∆ trở thành đối đại số Tương tự, ta đặt Γ = ⊕s≥0 (Γs ) Ta Γ đối đại số ∆ Mệnh đề 1.6 (Singer [31]) ψp,q (Γs ) ⊆ Γp ⊗ Γq ; đó, Γ đối đại số ∆ Chứng minh Mệnh đề 1.6 suy từ công thức sau ψp,q (Qs,i ) = X q j j Q2p,0−2 Q2p,i−j ⊗ Qq,j (1.14) j≥0 với i, ≤ i < s Ta chứng minh công thức (1.14) quy nạp theo s Ta thấy công thức với s = Giả sử công thức với s − 1, ta chứng minh công thức cho s Thật vậy, ψp,q (Qs,i ) = ψp,q (Vs Qs−1,i + Q2s−1,i−1 ) (do (1.7)) = ψp,q (Vs )ψp,q (Qs−1,i ) + ψp,q (Q2s−1,i−1 ) = ψp,q (Vs )ψp,q−1 (Qs−1,i ) + ψp,q−1 (Qs−1,i−1 )2 s−2 = (v12 s−p−1 vp2 ⊗ v12 s−p−2 vs−1−p vs−p ).( X q−1 −2j Q2p,0 j Q2p,i−j ⊗ Qq−1,j ) j≥0 + X q k+1 Q2p,0−2 k+1 Q2p,i−k−1 ⊗ Q2q−1,k (do giả thiết quy nạp) k≥0 = X s−p−1 Q2p,0 q−1 −2j Q2p,0 j Q2p,i−j ⊗ Vq Qq−1,j j≥0 + X q k+1 Q2p,0−2 q Q2p,0−2 k+1 k+1 Qp,i−k−1 ⊗ Q2q−1,k (do (1.6) (1.11)) k≥0 = X q j j Q2p,0−2 Q2p,i−j ⊗ Qq,j (đổi biến j=k+1) j≥0 Vậy công thức (1.14) cho s mệnh đề chứng minh Singer định nghĩa Γ∧s môđun Γs = Ds [Q−1 s,0 ] sinh tất đơn i s−1 thức γ = Qis,0 Qs,s−1 với i1 , , is−1 ≥ 0, i0 ∈ Z i0 + degγ ≥ Bổ đề 1.7 (Singer [31]) ψs−1,1 (Γ∧s ) ⊆ Γ∧s−1 ⊗ Γ1 s −1 Chứng minh Ta lấy γ = Qis,0 Qis,s−1 ∈ Γ∧s Mặt khác, Qs,i = Qs−1,0 Qs−1,i vs + Q2s−1,i−1 với ≤ i < s Do γ viết tổng phần tử có dạng 2i +k +k2 +···+ks−1 +2(i1 −k1 ) Qs−1,0 k +2(i2 −k2 ) Qs−1,1 k +2(i s−2 s−1 Qs−1,s−2 −ks−1 ) i0 +k1 +···+ks−1 vs Ta thấy (2i0 + k1 + k2 + · · · + ks−1 + 2(i1 − k1 )) + dimγ − (i0 + k1 + · · · + ks−1 ) ≥ Điều có nghĩa phần tử khai triển thành tổng γ nằm Γ∧s−1 Vì ta có kết luận bổ đề P j1 Bổ đề 1.8 (Singer [31]) Cho γ = v1 vsjs ∈ Γ∧s Khi ta có j1 ≥ đơn thức xuất khai triển γ theo biến v1 , , vs Chứng minh Đây hệ trực tiếp Bổ đề 1.7 Ta gọi Is = {(i0 , , is−1 ) | ≤ i1 , , is−1 ≤ i0 + s−1 X k=0 (2s − 2k )ik } ... đối đại số vi phân Ta có định lý sau Định lý 1.24 (Singer [31]) l : Γ∧ → Λ∗ đẳng cấu đối đại số vi phân 16 Chương Dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu 2.1 Đồng cấu Lannes-Zarati dạng đại số giả. ..3.3 Chứng minh dạng đại số giả thuyết lớp cầu trường hợp k=3, 43 3.4 Chứng minh dạng đại số giả thuyết lớp cầu trường hợp k=5 ... cấu đối đại số phân bậc Ta trang bị cho Γ∧ F2 cấu trúc đối đại số vi phân l đẳng cấu đối đại số vi phân Ta thấy Γ∧ F2 đối đại số Γ đối đại số thương Γ Ta nhận xét sau Xét đồng cấu đối đại số k :