NĂM HỌC: 2010-2011 Mơn thi : TỐN
THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT(không kể thời gian giao dé)
Câu I:(2 điểm) og _ =X+*ÏI Cho hàm sô : Ÿ 2x +1 (C) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox sin 2x 4, 008 2x 1 Giải phương trình: =fgex-cotx COSX sin x 4
2 Giai phuong trinh: (2 — log, x log 9x 3- ———— = 1 1-log,;x Câu III: (2 điểm)
sin 2xdx 1.Tính nguyên hàm: F(x) = J 3+4sinx-cos2x 2.Giai bat phuong trinh: Vx -1—Vx-2 >Vx-3 Cau IV: (1 diém)
Trong mặt phăng Oxy cho tam giác ABC có trọng tam G(—2, 0) biét phuong trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14=0; 2x + 5y —2=0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
Chú ý:Thí sinh chỉ được chọn bài làm ở một phần nếu làm cả hai sẽ không được chấm A Theo chương trình chuẩn
Câu Va :
1 Tìm hệ số của xŸ trong khai triển (x” + 2)", biết: A3 — 8C? + CÌ = 49
2 Cho đường tròn (C): xŸ + yˆ— 2x + 4y + 2= 0
Viết phương trình đường tròn (C') tam M(5, 1) biết (C) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = M3 B Theo chương trình Nâng cao
Cau Vb:
2
1 Giải phương trinh : log;(x ~ 1) + log „(2x ~ 1) =2
2 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tam O, SA vuông góc với đáy hình chóp Cho AB=a, SA =a/2 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN
nN Noi Dung Diem Khảo sát hàm số (1 điểm) « TXĐ:D=R\(-1/2)
e Sự Biến thiên: y' = ——Ở « 0VxeD (@z+1ŸƑ
Trang 3y 0,25 41 x -1/20 NK, < — à ) | -1/2
Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là a(- +)
Trang 4Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là a(x+4 -xtl_ (_ 2j 2x+l (2x+1Ÿ (x-D@x+))=3(x+ 1) và xz-l ex-1-2 2 2 2 0,25 5 , 1 ext Do do k =-— 2 12 "Vay phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = _- “y pion ps 0,25 —_— I 2
sas › sin2x cos2x
1 Giải phương trình: ——— + — =tgx—cotgx (1)
cosx sinx 0,25
cos2xcosx+sin2xsinx _ sinx cosx
Hess sin x cosx cosx sinx
cos(2x —x) — sin” x— cos” x
sin x cosx sin x cosx
<> cosx =—cos2x A sin2x +0 0,25
2cos’ x +cosx—-1=0A sin2x #0
Trang 5©t=-lhayt=4 Do do, (1) log, x =—I hay X=4© x= 2 hay x =8 0,25 Til 2 1
sin 2xdx 2sin x cos xdx
Ta có F(x)= 3+4sin x—(I—2sinˆ x) : 2 =| 2sinˆ x+4sinx+2 7) : 0,25
Trang 6Tọa độ A là nghiệm của hệ ety 1:0eb => AC-4, 2) 2x+5y-2=0 y 0.25
Vi G(—2, 0) là trọng tâm của AABC nên
freee eee [ae q4) 0,25
Trang 7—<x<l 1 x>1 242 hoac 2 a 2_ 2x?—3x+4=0(vn) 7x =3x-2=0 Phương trình đường tròn (C): x? + yŸ - 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, -2) | 0,25 R=43
Duong tron (C’) tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB L IM tại trung điêm H của đoạn AB
0,25
Ta có AH=BH= AB _ v3
2 2
Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I 0,25 Goi A'B' la vi tri thir 2 cua AB
Gọi H' là trung điểm của A'B'
Trang 8ex=2 0,25 2
+BC vuông góc với (SAB) 0,25
= BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB => AH vuông góc với (SBC) —> AH vuông goc SC (1)
+ Tương tự AK vuông góc SC (2)
(1) và (2) >S§C vng góc với (AHK ) 0,25
SB? = AB’ + SA? =3a* > SB =ay3
AH.SB = SA.AB = AH= ve = SH= 2a => SK= 2a 0,25
(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tai A)
0,25
Ta có HK song song với BD nên HK 5H =HK= 2av2 :
BD SB 3
kẻ OE// SC => OE (AHK)(doSC L (AHK)) suy ra OE là đường cao của | 0,5
hình chóp OAHK va OE=1/2 IC=1/4SC = a/2
Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có 0,25
AM? = AH? HM? -= = AM=
Trang 10Câu II: 1 Giải phương trình: sin2x +9 2x 7 =tgx—cotgx (1) COSX sinx cos2xcosx+sin2xsinx sinx cosx or sin X cosx cosx sinx s2 2
cos(2x -x) sin” xX—€os“ x ©—————— =— sin x COS xX sin x cos x © cosx =—cos2x A sin2x #0 2cos’ x +cosx—1=0A sin2x 0
ecosx= 1 (cosx =—1 :loai vi sinx #0) eoxatt thon 2 Phuong trinh: (2-log; x)logy,3-——-— = 1 (1) I—logsx 1 4 1) & (2-log;x —————=l a) ( Bs Von 1—log;x Z-logx 4 — =1 đặtt=logax 2+log,;x 1—log;x () thanh 2=t- 4 =) Sy -3t-4=0 2+t I-t (vi t= -2, t= 1 không là nghiệm) <©t=-lhayt=4 Do do, (1) log; x =—l hay x=4‹©© x = hayx =81 Câu IV:
Tọa độ A là nghiệm của hệ 1 — 0 © f — » => AC-4, 2)
Trang 11CŒc, yc) EC ACS ye = -_^ 2 +; (3) Thế (2) và (3) vào (1) ta có Xg +Xe =~2 Xụ =-3— yy =2 2Xc 2 > 4y 14T T+ =2 feo =>yc=0 Vậy A(-4,2), B(-3,-2), C(I,0) Cau Vb:
2 (Ban doc tu vé hinh) +BC vuông góc với (SAB)
= BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB => AH vuông góc với (SBC) > AH vuông góc SC (1) + Tương tự AK vuông góc SC (2)
(2) và (2) >SC vuông góc với (AHK )
SB’ = AB? +SA? =3a’ > SB =ay3
AH.SB = SA.AB = AH= ~~ = SH= san =SK= 2a
(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A) Ta có HK song song với BD nên HK = SH => HK= 2a2 -
BD SB 3
Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có
AM? = AH?—HM? =“ = am=2# 9 3
I 1a/2 1 2a°
V, OAHK =-~OA.S.e=———.-HK.AM=—— 3 AHK 3 2 2 21
Cách khác:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
A= O (0:0:0), B(a;0:0), C( a:a:0), D(0:a:0), S (0:0; a/2 ) Caulk
1 Khao sat (Ban doc tu lam)
2 Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là a(-}.0)
Trang 12_—x1 -1{x+3) q) 2x+l 2 =) (2x +17 Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là 3(x+;] oxtl_ ( 2/ 2x+l (2x+1}Ÿ =k (2) 1 1 3 ©(x-I)(2x+l)=3(x+—) và x#—— @&x-l=— (x—=D( )=3 2) 2 2 ©x=Š Dođók=—L 2 12 s ca 1 1 'Vậy phương trình tiêp tuyên cân tìm là: y =— 12 [x + 3) Cau Va: 1 Điều kiện n > 4 Ta có: (x? +2) = Sick ark k=0 Hệ số của số hang chtra x* la C42"~* Ta có: AS —8C? +C) =49 © (n—2)(n—- l)n—- 4(n— l)n+n=49 © n`~ 7n” +7n— 49 =0 © (n- 7)(n+7)=0>n=7 Nên hệ số của xŸ là C2” =280
2 Phương trình đường tròn (C): x? + y— 2x + 4y + 2 = 0 có tam I(1, -2) R = V3
Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB L IM tại trung điểm H của đoạn AB Ta có AH=BH=ÂB_~ 3 2 2
Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tam I
Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB Gọi H' là trung điểm của A'B'
Trang 13Ta có: RỆ = MA? =AH?+MH? =Š+ 2= S2 =13 4.4 4 RỆ=MA2=A'H2+MH°=Š ° 4 + 169 _ 17? _43 4 4 Vậy có 2 đường tròn (C9 thỏa ycbt là: (x — 5)? + (y— 1)? = 13
hay (x~ 5)” + (y- I”=43 BÀI GIẢI GỢI Ý Cõu I I.y=2x'-4x TX:D=R (â) y` =8xèĐx; y`=0€Sx=0vx=+l; lim = +00 x —œ -l 0 1 +00 y - 0 + 0 - O + y +œ 0 +œ —2 CD 2 CT CT x y đồng biến trên (-1; 0); (1; +90) y nghich bién trén (-00; -1); (0; 1) y đạt cực đại băng 0 tại x = 0 y đạt cực tiêu bằng -2 tại x = +l
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); Œ+^/2 :0) (C’) 2 x?lx?—2Ì =m 2x?| xˆ — 2| = 2m (*)
(*) là phương trình hoành độ giao điêm của (C)) :
y= 2x”lx”—2| và (đ): y= 2m
Ta co (C’) =(C); néux <-V2 hay x >2
(C) đối xứng với (C) qua trục hoành nếu -/2 <x< 2 Theo đồ thị ta thầy ycbt © 0 <2m< 2 © 0< m< I 5 Cau II 1 PT:sinx+cosxsin2x+ ^/3 cos 3x = 2(cos 4x +sin*x) 1 ¬
° Ssinx +> sin 3x +3 cos3x =2cos4x 425m siSx âsin3x + Ơ3cos3x = 2cos4x
Trang 15Ta có: ` 2 3 v- ideas _ 1 94° aV3 _9a° 3\2 2 12 52 2 208 Câu V: +y}`+4xy >2 5 (x yy WE" (x sys a(xtyy-220>5x+y21 (x+y) —4xy20 ` : 1 =>x°+y y >——— 2 >— dau “=” xay rakhi: 2 y x =y =— y 2 Ta có : x'y°< ty} 2
A=3(xt+y!+x’y?)-2(x? +y?)+1=3[ (x? +7)? —x’y? ]-207 +97) +1
2a[ oc ey Capa ayy 9 2 22 2,.2 =1 ty) -2x ty +l Đặt tCxŸ+ yỶ, đk t> ý f@=2/~2t+I,t>} 4 2 f{40=2t-2>0vt>1 2 2 1 9 =f(Đ>f(C)==— (t) oO 16 9 1 Vay: A ay min ~ 76 =— khi x=y=— y 2 Cau VIa ` a X-y_,X-7y 1 Phương trình 2 phân giác (Ai, A) : E P g I J5 =+ s2 = 5(x —y) = +(x -Ty) y=-2x:d, 5(xX—y)=x—7y ° 1
5(x-y) =-x+7y y=5xid,
Trang 162 THI: (P)//CD.Tacé : AB=(-3;-1;2),CD =(-2;4;0) = (P)coPVT n = (-8;-4;-14) hay n =(4:2;7) (P) :4(x -1) + 2(y-2) + 7(z-1) =0 © 4x +2y+7z-15=0 TH2 : (P) qua I(1;1;1) 1 trung diém CD Tacé AB = (-3;-1;2), Al = (0;-1:0) => (P) c6 PVT n =(2;0;3) (P):2(x -1)+3(z-1) =0 2x +3z-5=0 Câu VIb 1 |[EI-4-4|_ 9 M2 42 S= JAH,BC =18 <> BC = - Ổ = 2 AH AH= Pt AH: I(x + 1)+ I(y—4) =0 -v=4 H: xay =H 71 x+y=3 2 2 B(m;m - 4) = Hp? = BC -8-(m-7) sms] 4 2 2 ˆ 113 3 5 Vậy B2) AC, (3-3) hay (3-3 ).0(F3) 2’? 2) 7272 2 AB = (4;-1;2); np = (1;-2;2)
Pt mat phẳng (Q) qua A va // (P) : 1(x + 3) —2(y—0) + 2(z— 1) =0 ©x—~2y+2z + I =0 Gọi A là đường thang bat ky qua A
Trang 17|z-(2+ i= V10 và zz=25 (x-2) +(y-1)’ =10 4x +2y =20 o {Op eg o x”+yˆ`=25 y=l0-2x x=3 x=5 oo Poe y=4 hay y=0 Vậy z = 3 + 4i hay z = 5 Cau VII.b Pt hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thăng là : —x +m =~ x
© 2x’—mx-—1=0 (*) (vì x=0 không là nghiệm của (*)) Vi a.c < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt # 0
Do đó đồ thị và đường thăng luôn có 2 giao điểm phân biệt A, B
Trang 18ĐÈ THỊ TUYẾN SINH ĐẠI HỌC KHÔI D NĂM 2009 Môn thi : TOÁN
PHAN CHUNG CHO TÁT CẢ THÍ SINH Câu I (2,0 điểm)
Cho ham sé y= x*— (3m + 2)x? + 3m có đồ thị là (C„), m là tham só
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0
2 Tìm m đề đường thắng y = -I cắt đồ thị (C„) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình A3 cos5x — 2sin 3x cos2x —sinx =0 x(x+y+l)-3=0 2 Giải hệ phương trình (x+y) S41 =0 (x,y © R) dx
CAu III (1,0 diém) Tính tích phân I= Is ; ee
Câu IV (7,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ co day ABC 1a tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Goi M là trung điểm của đoạn thắng A°C”, I là giao điểm của AM và A°C Tính theo a thể tích khối tứ diện [ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)
Câu V (1,0 diém).Cho cac số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x” + 3y)(4y” + 3x) + 25xy
PHAN RIENG (3,0 điển)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phan (phan A hodc B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VILa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x — 2y— 3 = 0 và 6x — y ~4=0 Viết phương trình đường thắng AC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z-— 20 =0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thắng AB sao cho đường thắng CD song song với mặt phẳng (P)
Câu VIH.a (7,0 điển) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tim tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z~— (3 — 4i)| = 2
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VILb (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toa dé Oxy, cho đường tròn (C) : (x — 1)” + yŸ = 1 Goi I là tâm của (C) Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho [MO= 300
Trang 19x2 = = = ' và mặt phẳng (P): x + 2y~ 3z + 4 =0 Viết phương trình đường thắng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thắng A
Cau VII.b (1,0 diém)
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thắng A:
cp k Ran z Sy ad ahs ha k “+x-1l., oan
Tìm các giá trị của tham sô m dé đường thăng y = -2x + m căt đô thị hàm sô y = x +x tai hai diém phan biét A, B sao cho trung điểm của đoạn thắng AB thuộc trục tung
]BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I I m=0,y=xÍ-2x ` TXD:D=R y` =4xÌ`—4x; y`=0€>x=0vx=+l; lim =+œ x-»ts X —œ -Ì 0 1 +00 v - 0 + O - 0 + y +00 0 -l CD -l CT CT y đồng biến trên (-1; 0); (1; +) y nghịch biến trên (-œ; -]); (0; 1) y đạt cực đại băng 0 tại x = 0 y đạt cực tiêu bằng -1 tại x = +l
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); đœ&⁄2 30)
2 Phương trình hoành độ giao điểm của (C„) và đường thang y = -1 1a xỶ— (3m +2)x” + 3m= -I
©x!-(3m+2)x? + 3m+ 1=0>x=+#I hay x’ =3m+1 (*)
Đường thẳng y = -I cắt (C„) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác +l v < 2
0<3m+1<4 â13 |-lômô<l
3m+lzl
m+0
Câu II 1) Phương trình tương đương :
Trang 20©x=.-kỄh x T 3 ay X == kế keZ) 6 (k € Z) 2) Hé phuong trinh tuong duong : X(x+y+l)=3 bự ° 2 5 DK:x#0 x (x+y) +x =5 (x+yy+1=> x Dat t=x(x + y) Hé tro thanh: t+x=3 t+x=3 t+x=3 t=l x=l ; „`“ 2 ° ° Vv ti+x° =5 (t+x) -2tx=5 tx =2 x=2 |t=2 Vậy y 2 pe 2v x=2 x= x=2 x= Cau IT: I= — mete sen Ji e — dx =-2+ Ine =I 1 e— =~2+ In(eÌ` =I)— In(e—1)=~2+ In(e? +e+ 1) Câu IV c
AC? =9a?—4a? =5a? = AC = a5 BC” =5a”— ad” =4a” > BC =2a H là hình chiếu của I xuống mặt ABC Ta có 7 L 4C 14 _“AM_1_ HỈ _2_ y_ 44 4 IC AC 2 AA 3 3 1 11 4a 4a° =—S,,-IH =—~—2axax—= Cc 3 Ne 32 3 Viyc Tam giác A"BC vuông tại B Nên Swnc= 5 avi52a=a°V5 H A tác A*BC và , 2, 2 22
Xét 2 tam gide A’BC va IBC, Day IC= 2 AC Sipe = FS ye = Fas
Vậy d(A,IBC) =Š/2øc „j4, 3 2a _ 2av5 Sine 9 2@V5 V5 5
CâuV S=(4x7+3y)(4y + 3x) + 25xy = 16x y + 12(xÌ + y`) + 34xy
Trang 21Min S= lÐÍ 16 thi |” 4 _2-v3 hạy|" 4 _2+N3 — 4 Ta PHẢN RIÊNG Câu VIa 1) Gọi đường cao AH : 6x — y—4 = 0 và đường trung tuyến AD : 7x—2y— 3 =0 A=AHêAD= A(I:2) M là trung điêm AB > B (3; -2) BC qua B và vuông góc với AH > BC: I(x- 3) + 6(y+2)=0 ©x+6y+9=0 D=BCNAD=DO:-3) D là trung điểm BC => C (-3; - 1) AC qua A (1;2) có VTCP AC =(-4;~3) nên AC: 3(x —l)- 4(y— 2)=0 ©3x—4y+5=0 x=2-t 2) AB qua A có VTCP AB=(-I:1;2) nên có phương trình : 4y =l+t (teL') z=2t DeAB<D(2-t;I+t;2t) CD =(I~t;t;2t) Vì C £ (P) nên : CD//(P) © CD L nø; ©1(—0+1t+12t=0©t=— Vậy : b(Š:2:=!) 2 22
Câu VI.b.1 (x— 1)°+yˆ= 1 Tâm1I(1;0);R =1 Ta cé IMO = 30°, AOIM cân tại I=> MOI = 300 ¬ ¿1 > OM có lệ sô góc k= +tg30 -25 +k=+-E SptOM:y=+-= thế vào pt(C) => x?~2x+Š =0 3 v3 3 3 3 © x=0 (loại) hay x -3 Vay M [34] 2 2 Cách khác: Ta có thể giải bằng hình học phẳng
Ol=1, 10M = IMO = 30°, do đối xứng ta sẽ có M,
2 điểm đáp án đối xứng với Ox
Trang 22d diqua A và có VTCP a, =|a,„n |=(—k2;)) nên pt đ là :
x+3_y-l_z-I
-l 2 1
Cau VILa Gọi z = x + yi Ta có z— (3~— 4i) =x—3 + (y + 4)i
Vậy lz—(3- 4i Ì=2 © (x3) +(y+ 4) =2 & (x- 37 + (y +4) =4
Do đó tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường tron tam I (3; -4) va ban kinh R = 2 Câu VII.b pt hoành độ giao điểm là : xtxel =-2x+m (1) x ©xÌ+x—I=x(- 2x+m) (vì x=0 không là nghiệm của (I)) <> 3x°+(1—m)x—1=0 phương trình này có a.c < 0 với mọi m nên có 2 nghiệm phân biệt với mi m Ycbteâ>Đ=x +4 = =0e>m~1=0>m =1, a Hát
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÈ THỊ TUYẾN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 —Tm=reererr=ee===e=========== Mơn thi: TỐN; Khơi: A
ĐÈ CHÍNH THÚC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phat dé PHAN CHUNG CHO TÁT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):
Câu I (2,0 điểm)
x+2 ( 1) 2x+3
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toa độ O Câu II (2,0 điểm) Cho hàm số y= ¬ (1-2sin x)cosx 1 Giải phương trình ————————————= V3 (I+2sinx)(I—sinx) 2 Giải phương trình 2ÄŸ3x—2+3/6—5x—=8=0 (xeR) Câu II (1,0 điểm) Tính tích phân I = (cosx ~1)cos”x.dx oman la Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60” Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phăng (ABCD), tính thẻ tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu V (1,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y +z) = 3yz, ta có: (x+y} +(x+z) +3(x+y)(x+z)(y+z)< 5(y+z) PHẢN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chí được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
I Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD Điểm M(I; 5) thuộc đường thắng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thắng A :x+y—5 =0 Viết phương trình đường thăng AB
Trang 232 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) :2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S) ix? +y? +z? —2x—4y—6z-11=0 Chimg minh rang mat phang (P) cat mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z¡ và Z¿ là hai nghiệm phức của phương trình z” + 2z + 10 = 0 tính giá trị của biểu thức 4 = |z„|” + |z¿|”
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hé toa độ Oxy, cho đường tròn (C): x?+y? +4x+4y+6 =0 và đường thắng
A:x+my~2m+3=0, với m là tham số thực Goi I ld tam của đường tròn (C) Tìm m đề A cắt (C)
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác [AB lớn nhất
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz„, cho mặt phẳng (P) :x—2y+2z-1=0 và hai đường thắng
1 -l_y- 1
Ñ)IẾPh l _Z 1 HÀ, CÀ _J=5,_Z-LÍ, mục dụnảiTosiđđiễn07M-Hmifg;ltững Hãng ,A: H88 1 1 67° 2 > 1 -2 cho khoảng cách từ M đến đường thắng A; và khoăng cách từ M đến mặt phăng (P) bằng nhau
Câu VII.b (1,0 điểm)
Trang 24=e} xã | ape z
_2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai
điêm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gôc toạ độ O =] vi š 3 Taco y'=——_ nén phuong trinh tiép tuyên tại x = xạ Y= ¿3ÿ phương p tuyi o Với (với xạ #——) là: xo#—2) y- Ñxạ)= (x,)& -Xạ) -x 2x, +8x, +6 y= (Qx,+3) (2x, +3)"
Do đó tiếp tuyến cắt Ox tai A( 2x? +8x, +630)
va cit Oy tai B(O; 2X2 (x, +3) + 8X0 +6)
Trang 251 ĐKXb: JŸ "X2
sinx #1 xe 5 +2ke
xe—Zokomx #7 +k2n
Trang 26© I5u` +4u” -32u+40=0 ©(u+2)(I5u? -26u +20) =0 u=-2 oS 2 2 15u?—26u+20=0_ vô nạ doA'=13?—15.20 <0 <©u=-2>x=-2(tm)
Vậy phương trình có tập nghiệm là S={-2}
Câu III.Tính tích phân I = (cos*x _ 1) cos’x.dx Ta cé: omnia la 2 cos`x.dx | cos”x.dx 0 [= =“—.-I¬ Ta có: lạ = | cos”x.dx = sja + cos2x).dx = as + lgịn 2x} 2 2 2 ohana =wla lA II Mặt khác xét Iị = | cos”x.dx =| cos°x.cosx.dx of nia =—-Ia : 2 3 1 T = d—sin? x)? d(sin x) = 1 gin’ x —28i8 Ễ + sin x 2= J 5 3 > 1 8 7 Vay1=l,-h=~-" ee 5 4
Cau IV.Cho hình chop S.ABCD cé day ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phăng (SBC) và (ABCD) băng 60° Gọi 1 la trung điêm của cạnh AD Biệt hai mặt phang (SBI) va (SC]) cùng vuông góc với mặt phăng (ABCD), tính thé tich khdi chop S.ABCD theo a
Giải:
Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên SI L (ABCD) Ta có IB= aV5:BC = aV5:IC = av2;
3aV5 Hạ IH L BC tính được IH= 5°
Trong tam giác vuông SIH có SI=IH tan 60° = _ 3ax15 Sascp = Sarep + Sege = 2a? +a’ = 3a? (E 1a trung diém ctia AB)
vets spat gg2 3avis _ 3a vi5
3 ABCD’ 3 5 5
Trang 27
Câu V.Chứng minh rằng với mọi số thực đương x, y, Z thoả mãn x(x + y + Z) = 3yZ, ta có: (x+y}`+(x+z)`+3(x+y)(x+z)(y+z)< 5(y+z)` Giái: Từ giả thiết ta có: X + xy+ xz=3yz = (x + y)(x + z) = 4yz Data=xt+y vàb=x+z Ta có: (a— b)” = (y— zŸ va ab = 4yz Mặt khác a’ +b’ = (a+b) (a’— ab +b) <2? +bŸ) | (a—b}' +ab | 2[ (a—b)* + 2ab | [(a-b} +ab | , J2[œ- zy +2yz | [w-z# + yz = 2[@+z +4yz] (y+z) <44w+z)(y+z)`=2(y+z} () Ta lai co: 3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z) <3(y+2”.(y+2)=3@y+ 2Ì (2) Cộng từng về (1) và (2) ta có điều phải chứng minh Câu VI.a
1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD Điêm M(I; 5) thuộc đường thăng AB và trung điêm E của cạnh CD thuộc đường thăng
A:x+y~—5 =0 Viết phương trình đường thăng AB
Giải: Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, F là điểm đối xứng vơi E qua I
Trang 28D TacóN eDC,F eAB,IE LNE Tính được N = (11; 01) Giả sử E = (x; y), ta có: TẾ =(&-=6;y=2); NE =(x—11;y + 1) IE NE =xŸ~ 17x +66 +y`—y—2=0 EeA=x+ty-5=0 Giải hệ (1), (2) tìm duge x; = 7; x2 = 6 () (2) Tuong tng co y; = 02; yo = OI SE; =(7; 02); En = (6; 01) Suy ra F; = (5; 6), F2=(6; 5)
Từ đó ta có phương trình đường thắng AB là x — 4y + 19 =0 hoặc y= 5
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S) ix’ +y? +z° —2x —4y—6z-11=0 Chimg minh rằng mặt phăng (P) cặt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó Giải: Mặt cầu có tâm 1(1;2;3) bán kính R=5 Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) là |2.1-2.2-3-4| ——==— =i
Vì đ(I;(P)) <R nên (P) cắt (S) theo đường tròn
Trang 29|zÍ=(1Ð + (3 =10 Suy ra 2 *=(C1Y +) = 10 Z2 Vay A = |z,|'+ |z,|’ =10+10=20 Chuong trinh nang cao Cau VI b
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) :x°+y°+4x+4y+6=0 và đường thắng A:x+my—2m +3 =0, với m là tham số thực Gọi I là tâm của đường tròn (C) Tìm m để A cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất
Giải:
(C):(x+2Ÿ +(y+2)” =(V2Ÿ
Đường tròn (C) có tâm I(-2;-2); bán kính R =x/2 A:x+my—2m+3=0
Gọi H là hình chiếu của I trên A
© Dé A cắt đường tròn (C) tai 2 diém A,B phan biét thi: TH<R TH? + HA? " © Khidé Sa, = SIHAB =IHHA< ae = (Satas pa, =! ki IH =HA =1 (hién nhién TH < R) |I-4m| 3 23 © =1«|I~4m|=xjm” +1 © 1~8m+16m” =mẺ +] m +1 m=0 <= 15m’ -8m=0 8 m=— 15 ^ ˆ xử + T ˆ ~ ^ x ` ` 8
Vậy, có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu câu là: m = 0 và m= —
Trang 30neq) = Us, =(2;];~2) =>.(Q):2(x—a)+l(y—b)—2(z— c)=0 Hay (Q): 2x+y—2z+9b-16=0 Gọi H là giao điểm của (Q) va A, => Tọa độ H là nghiệm của hpt: 2x+y—2z+9b-16=0 x-l_y-3_z+l 2 1 -2 —> H(-2b +3;—b+ 4;2b —3) —> MH” =(3b— 4)? +(2b—4)” +(4b—6)? = 29b? —8§b+ 68 Yêu cầu bài toán trở thành: MH =d? © 29b? —88b +68 = b= 20)" © 261b? —792b+ 612 =121b* — 440b + 400 â 140b* 352b+212=0 â35b -8Đb+53 =0 b=1 ° ba 35 Vậy có 2 điểm thoả mãn là: M(0;1;-3) và M 18 53 3 35 35 35 Cau VII b
log, (x> +y’)=1+log, (xy