Lập và sử dụng mô hình với hàm số phù hợp để giải các bài toán thực tế

VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 LẬP VÀ SỬ DỤNG MÔ HÌNH VỚI HÀM SỐ PHÙ HỢP ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Trần Vui Article History Received: 20/10/2020 Accepted: 02/12/2020 Published: 20/12/2020 Keywords model, appropriate functions, solve, real-life problems Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Email: tranvui@hueuni.edu.vn ABSTRACT Secondary Vietnamese students well performed mathematical skills and concept understanding in PISA tests, but they unsuccessfully translated word problems in the real life context to mathematical language for solving problem Teaching and learning mathematics in classrooms should focus on setting up and using models to help students translating word problems to models with functions by using mathematical tools Focusing on setting up and using models in mathematics classrooms helps students have good chance to set up and use models with appropriate functions Students are able to use computer-based mathematical tools such as Excel to solve real-life problems effectively Vietnamese students are able to combine skills and concept understanding with setting up and using models of specific functions in the learning environment with computer-based mathematical tools to solve problems given by real data Mở đầu Trong chương trình toán cấp trung học, kiến thức khái niệm kiến thức kĩ đồng hành để giúp học sinh (HS) giải vấn đề ứng dụng mơ hình Giải vấn đề với lập sử dụng mơ hình hai q trình cốt lõi để phát triển tư toán với huy động phù hợp kĩ khái niệm Bốn thành phần thường tập trung chương trình tốn bao gồm: khái niệm, kĩ năng, giải vấn đề, lập sử dụng mơ hình Bốn thành phần đan quyện hỗ trợ cho theo hai mảng: nội dung trình Trong đó, nội dung tốn thường đề cập đến khái niệm kĩ tốn, cịn q trình khả vận dụng nội dung toán giải vấn đề, lập sử dụng mơ hình Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment) toán trọng vào lập sử dụng mơ hình để giải tốn sống đời thường Trong phân tích làm HS Việt Nam việc hiểu khái niệm thành thạo kĩ thể mạnh, em gặp nhiều hạn chế việc tự lập mơ hình tốn, tức chuyển thể tình thực tế thành mơ hình Do khơng tìm mơ hình cho tình cho, em hội để trả lời câu hỏi đòi hỏi sử dụng mơ hình tìm thấy mức tư cao (Vui, 2018) Việc sử dụng mơ hình với hàm số phù hợp cho phép phân tích định lượng để dự đoán phát triển hay bùng phát tượng thực tế cách có tốn học Ví dụ: mơ hình tốn mơ tả bùng phát dịch COVID-19 dự đoán số quốc gia dựa số liệu thu thập được; việc so sánh với số liệu công bố cho thấy kết mô hình tốn xác (Cherniha & Davydovych, 2020) Khung PISA 2021 đề cập đến hiểu biết toán cách tường minh bao gồm việc sử dụng cơng cụ tốn Các cơng cụ bao gồm nhiều loại dụng cụ học, kĩ thuật số, phần mềm thiết bị tính tốn Các cơng cụ tốn máy tính (computer-based mathematical tools) sử dụng rộng rãi nơi làm việc kỉ XXI phổ biến nơi làm việc lĩnh vực xã hội nói chung Bản chất toán liên quan đến sống cơng việc hàng ngày địi hỏi cá nhân phải vận dụng suy luận toán học (cả hai suy diễn quy nạp) tình cơng cụ tính tốn cần thiết mở rộng với hội tạo nên kì vọng cao hiểu biết tốn Đánh giá tốn máy tính (CBAM: Computer-Based Assessment of Mathematics) định dạng cho hiểu biết toán từ năm 2021 Mặc dù vậy, lựa chọn cho đánh giá giấy cịn trì cho quốc gia muốn tiếp tục theo cách (OECD, 2018) Trong báo này, tập trung vào việc trả lời câu hỏi nghiên cứu bản: HS thể chu trình lập sử dụng mơ hình để chuyển thể tình thực tế để lập mơ hình hàm số phù hợp loại cơng cụ tốn học máy tính sử dụng để trả lời câu hỏi toán nào? 16 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 Kết nghiên cứu 2.1 Việt Nam tham gia vào đánh giá PISA Với việc tham gia vào kiểm tra, đánh giá PISA, Việt Nam rút học vị trí giáo dục tốn so sánh với quốc gia khác giới khu vực Đông Nam Á Cùng với việc dựa vào phân tích kết PISA, Việt Nam hiểu yếu tố ảnh hưởng đến nỗ lực nâng cao chất lượng giáo dục nhằm phục vụ cho kinh tế nước nhà Chúng ta vận dụng thể “mức cao” kĩ nhận thức toán học HS PISA vào đổi mang tính thực tiễn giáo dục phổ thông đại học Theo nghiên cứu khảo sát OECD (2016), rút nhận định sau: - Thu nhập quốc dân quốc gia tỉ lệ thuận với trình độ tốn HS 15 tuổi đánh giá Việt Nam ngoại lệ Việt Nam vượt ngưỡng lực tốn trung bình nước OECD kinh tế lại vào loại nghèo nước tham gia Như vậy, nên hiểu nhận định điều kiện cần không đủ - Ở PISA 2012: Việt Nam đạt 511 điểm Toán /494 OECD-TB, xếp thứ 17 64 nước có kinh tế phát triển phát triển tham gia - Ở PISA 2015: Việt Nam đạt 495 điểm Toán /490 OECD-TB, xếp thứ 22 72 nước - Ở PISA 2018: Việt Nam đạt 496 điểm Toán /489 OECD-TB, xếp thứ 24 79 nước Việc phân tích lực tốn HS Việt Nam chưa cơng bố, nên khơng có số liệu thống kê bảng - Từ kết PISA thấy HS Việt Nam cịn thua HS nước phát triển việc giải vấn đề gần gũi sống đại, mang bối cảnh xã hội, tích hợp với khoa học khác lại giải tốt câu hỏi kĩ toán học với nội dung toán cụ thể - Những kĩ nhận thức toán học mức cao HS Việt Nam tảng cần thiết để phát triển giáo dục tốn theo hướng lập sử dụng mơ hình để giải vấn đề thực tế lạ cách sáng tạo hiệu Cụ thể, tỉ lệ HS Việt Nam đạt mức lực cao môn thi Toán năm 2015 13%, thấp mức trung bình OECD 15,3% Đặc biệt mơn Tốn năm 2012, 2015, tỉ lệ phần trăm HS đạt lực toán học thể bảng PISA phân loại lực toán học thành ba cụm: tái tạo, liên kết, phản ánh Mỗi cụm tương ứng với hai mức Tái tạo ứng với mức 1, xem lực thấp Liên kết ứng với mức 3, lực trung bình Phản ánh ứng với mức 5, đánh giá lực cao Tổng hợp lực từ thấp đến cao gồm tái tạo, liên kết phản ánh phân loại PISA hiểu “kĩ toán học bản” theo nghĩa hiểu biết kiến thức toán cụ thể vận dụng cho tình thực tế Bảng Tỉ lệ HS Việt Nam đạt lực toán PISA 2012, 2015 Năng lực Cụm Mức Mô tả 2012 (tỉ lệ %) 2015 (tỉ lệ %) Cao Phản ánh 5, Thành thạo vận dụng kiến thức tình 14,2 13 Trung bình Liên kết 3, Biết kiến thức toán vận dụng 72,5 73 Thấp Tái tạo 1, Khơng thành thạo kiến thức tốn 13,3 14 Từ bảng 1, thấy lực toán HS Việt Nam tương đối đồng đều, đa số em trang bị tốt kĩ toán Ngược lại, nhiều nước khác có chênh lệch, phân hóa cực lớn, chứng tỏ có bất bình đẳng giáo dục (OECD, 2016) Trong mơn Tốn, HS Việt Nam có lực tư suy luận toán học bậc cao hệ thống giáo dục chưa phát huy tiềm to lớn HS chủ yếu đạt lực mức 3, 4, mức cao 5, thấp, điều đòi hỏi HS phải biết vận dụng sáng tạo kiến thức biết để làm nên khơng quen thuộc với dạng biết 2.2 Tập trung vào lập sử dụng mơ hình Chủ đề lập mơ hình sử dụng xuyên suốt để thống phân loại nhiều ứng dụng toán học vào sống Chúng tơi cố gắng để làm rõ q trình để chuyển thể toán lời chữ thành ngơn ngữ tốn học HS u cầu xây dựng mơ hình tốn, tổ chức theo chủ đề kiến thức toán rõ ràng, cụ thể Các kiến thức toán hàm số đa thức, hàm mũ, logarit lượng giác, hệ phương trình bất phương 17 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 trình sử dụng để tạo mơ hình tốn cho tượng quen thuộc từ môn khoa học từ sống hàng ngày Một mơ hình biểu diễn đối tượng hay q trình Một mơ hình tốn biểu diễn tốn học (thường phương trình) đối tượng hay q trình Khi mơ hình tốn thành lập, ta sử dụng để thu thơng tin hữu ích hay đưa dự đốn đối tượng lập mơ hình Q trình mơ tả theo sơ đồ hai chiều từ giới - thực đến mơ hình Trong phần tập trung vào chu trình lập sử dụng mơ hình, chúng tơi khám phá cách khác mà tốn học sử dụng để mơ hình tượng giới - thực Hình Chu trình lập sử dụng mơ hình 2.3 Lập mơ hình với hàm số Việc tìm kiếm hàm số mô tả phụ thuộc đại lượng vào đại lượng khác gọi lập mơ hình với hàm số Với việc tập trung vào việc lập mơ hình, học cách làm để tìm mơ hình mà xây dựng cách dùng tính chất hình học hay đại số đối tượng nghiên cứu Khi tìm mơ hình, dùng để phân tích dự đốn tính chất đối tượng hay trình khảo sát Trong phần chúng tơi sử dụng chu trình lập sử dụng mơ hình gồm bước để chuyển thể tình thực tế ngơn ngữ hàng ngày thành hàm số ngôn ngữ đại số Chúng sử dụng chu trình bước để đánh giá khả lập mơ hình với hàm số HS giải toán thực tế (Stewart, 2016) Bước Diễn đạt mơ hình chữ: Xác định đại lượng bạn muốn để lập mô hình biểu thị lời văn, hàm số đại lượng khác toán Bước Chọn biến số: Xác định tất biến số sử dụng để biểu thị hàm số bước Gán kí hiệu, chẳng hạn x, cho biến số, biểu thị biến khác theo kí hiệu Bước Lập mơ hình: Biểu thị hàm số ngơn ngữ đại số cách viết hàm số biến số độc lập chọn bước Bước Sử dụng mơ hình: Sử dụng hàm số để trả lời câu hỏi đặt tốn Dưới đây, chúng tơi phân tích việc tổ chức cho HS lập mơ hình theo bước trên, thông qua giải vấn đề thực tế: Cực đại lợi nhuận từ bán vé: Ở xứ Zedland (dùng tiền Zed), trận đấu bóng đá sân vận động có sức chứa 15.000 chỗ ngồi Với vé đặt giá 14 Zed, trung bình trận đấu gần có 9.500 khán giả Một khảo sát thị trường giảm giá Zed cho vé, trung bình số khán giả tăng lên 1000 a) Tìm hàm số mà mơ hình lợi nhuận theo giá vé b) Tìm giá vé mà cực đại lợi nhuận từ việc bán vé c) Với giá vé là cao để khơng có tham dự trận đấu khơng sinh lợi nhuận Phân tích lời giải dự kiến HS a) Diễn đạt mơ hình chữ: Mơ hình mà muốn hàm số cho lợi nhuận giá vé: lợi nhuận = giá vé × số khán giả Chọn biến số: Có hai đại lượng thay đổi: giá vé khán giả Do hàm số muốn phụ thuộc vào giá, nên đặt: x = giá vé Tiếp đến, diễn đạt khán giả theo x Bằng chữ Bằng đại số Giá vé x Số tiền (ngàn) giá vé giảm xuống 14 ─ x Khán giả tăng lên 1000(14 ─ x) Số khán giả 9500 + 1000(14 ─ x) 18 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 Thành lập mơ hình Mơ hình ta muốn lập hàm L cho lợi nhuận với giá vé x: lợi nhuận = giá vé × số khán giả Cụ thể ta có: L(x) = x × [9500 + 1000(14 − x)] = L(x) = 23.500x − 1000x2 b) Sử dụng mô hình: Do L hàm số bậc hai với a = − 1000 b = 23.500, giá trị cực đại xảy 𝑏 23.500 𝑠= − = − = 11,75 2𝑎 2(−1000) Như vé giá 11,75 Zed đem lại lợi nhuận cực đại c) Sử dụng mơ hình Chúng ta muốn tìm giá vé cho L(x) = L(x) = 23.500x − 1000x2 =  x =  x = 23,5 Như theo mơ hình này, giá vé 23,5 Zed q cao; với giá vé khơng có khán giả xem trận đấu (dĩ nhiên, lợi nhuận không giá vé không) Trao đổi: Vấn đề khảo sát N1 = 82 HS lớp 10 TP Huế, em học tính chất hàm số bậc hai Tình địi hỏi em phải tự chuyển thể tình thực tế mơ hình hàm số bậc hai Sau sử dụng mơ hình để trả lời câu hỏi cụ thể đặt toán Qua làm, HS thể khả lập sử dụng mô hình qua bước chu trình Bảng Tỉ lệ % (N1 = 82) thể khả lập mơ hình vấn đề cực đại lợi nhuận từ bán vé Diễn đạt chữ Chọn biến số Lập mô hình Sử dụng mơ hình b) Sử dụng mơ hình c) 78 74 71 65 61 Từ số liệu phần trăm thể HS qua bước lập mô hình bảng 2, ta thấy HS cần phải diễn đạt mơ hình tốn chữ, có khả chọn biến số lập mơ hình hàm số bậc hai lợi nhuận Với trung bình 71% HS lập mơ hình tốn, chứng tỏ em hiểu tình thực tế thu hàm số Khi lập mơ hình, HS sử dụng mơ hình thu để trả lời câu hỏi b) c) Với tỉ lệ trung bình 63/71 HS sử dụng mơ hình, khoảng 89% HS lập mơ hình sử dụng mơ hình thu 2.4 Lập mơ hình với hàm số mũ tự nhiên chương trình Excel Trong chu trình lập sử dụng mơ hình, với số trường hợp với biến số liên tục, với suy luận tốn học tính tốn xác định biến số x lập hàm số f(x) làm mơ hình cho tình huống, vấn đề cực đại lợi nhuận bán vé Nhưng với tình cho tập số liệu thể thay đổi theo biến số, cần phải xử lí biến số cách phù hợp với hệ trục tọa độ, sau vẽ điểm số liệu để có biểu đồ phân tán (scatter plot) Dựa vào hình dáng biểu đồ phân tán, HS dự đoán đồ thị hàm số khít với tập số liệu Nếu biểu đồ phân tán số liệu tăng nhanh chóng, muốn mơ hình số liệu cách dùng mơ hình mũ tự nhiên, hàm số dạng 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑒 𝑘𝑥 với C k số Dưới trình bày tóm lược việc hướng dẫn HS sử dụng biến thể bước lập sử dụng mơ hình với hàm số, với bước cụ thể sau, bước bước dùng với phần mềm vẽ đồ thị: Bước Chọn biến số Xác định biến số sử dụng để biểu thị hàm số Gán kí hiệu, chẳng hạn x, cho biến số, biểu thị biến khác theo kí hiệu Bước Lập lại bảng số liệu Bảng số liệu gồm hai cột Cột đầu biến số x, cột hai giá trị hàm f(x) tương ứng Bước Vẽ biểu đồ phân tán Chọn hai cột số, dùng phần mềm để vẽ biểu đồ sơ tán Bước Lập mơ hình Chọn loại hàm số khít với biểu đồ phân tán Trích xuất hàm số mơ hình phù hợp Bước Sử dụng mơ hình Sử dụng hàm số để trả lời câu hỏi đặt toán Các bước cụ thể giúp HS sử dụng cơng cụ tốn máy tính, sử dụng phần mềm Microsoft Office để vẽ biểu đồ phân tán tập số liệu trích xuất hàm số có đồ thị khít tốt với biểu đồ phân tán Vấn đề Phát triển dân số Việt Nam: Bảng sau ghi lại dân số Việt Nam kỉ XX đầu XXI a) Vẽ biểu đồ phân tán, ý mô hình tuyến tính khơng phù hợp b) Tìm hàm mũ tự nhiên mà mơ hình cho phát triển dân số Vẽ đồ thị hàm số mà bạn tìm với biểu đồ phân tán Mơ hình khít tốt với số liệu nào? c) Sử dụng mơ hình mà bạn tìm để dự đoán dân số Việt Nam vào năm 2025 (Sử dụng mô nguồn số liệu Banens, 1999 Tổng cục Thống kê, 2020) 19 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 Phân tích lời giải dự kiến HS a) Viết lại số liệu với năm 1990, 10 năm 2000, x biến số năm, ví dụ năm 1995 ứng với x = 9,5 Biểu đồ phân tán hình sau vẽ Excel Hình Biểu đồ phân tán dân số Việt Nam kỉ XX đầu XXI Biểu đồ phân tán điểm số liệu khơng nằm đường thẳng, mơ hình tuyến tính khơng phù hợp Biểu đồ phân tán cho thấy số liệu tăng nhanh chóng nên mơ hình hàm mũ tự nhiên phù hợp b) Ta có mơ hình hàm mũ tự nhiên với phương trình Biểu đồ phân tán điểm nằm gần với đồ thị hàm mũ tự nhiên tìm thấy, nên khít tốt số liệu (best fit the data) c) Hàm số mũ tự nhiên làm mơ hình cho phát triển dân số Việt Nam là: 𝑓(𝑥) = 14,31 × 𝑒 0,161𝑥 Năm 2025, tương ứng với x = 12,5 nên dự đoán dân số Việt Nam năm 2025 là: 14,31 × Hình Đồ thị hàm số mũ khít tốt với biểu đồ phân tán 𝑒 0,161×12,5 = 107,07 triệu Trao đổi: Vấn đề khảo sát N2 = 86 HS lớp 12 TP Huế Các em biết khảo sát đồ thị tính chất hàm số mũ Tình địi hỏi em phải tự chuyển thể tình thực tế mơ hình hàm số mũ với việc sử dụng tốt cơng cụ tốn máy tính HS dễ dàng tiếp cận chương trình Excel Microsoft Office để vẽ biểu đồ phân tán tập số liệu trích xuất hàm số có đồ thị khít tốt với biểu đồ phân tán Sau sử dụng mơ hình để trả lời câu 20 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 hỏi cụ thể đặt toán Qua làm, em thể khả lập mơ hình cơng cụ tốn máy tính sử dụng mơ hình qua bước chu trình Khi có mơ hình tốn, phần lớn HS tính tốn để dự đốn kết cách xác Bảng Tỉ lệ % (N1 = 86) thể khả lập mơ hình cơng cụ tốn máy tính Chọn biến số Lập lại bảng số liệu Vẽ biểu đồ phân tán Lập mơ hình Sử dụng mơ hình 85 81 78 73 72 Từ số liệu phần trăm thể HS qua bước bảng 3, ta thấy HS cần chọn biến số, lập lại bảng số liệu gồm hai cột chương trình Excel có khả chọn hai cột số liệu để vẽ biểu đồ phân tán Từ chọn đường xu hướng (trendline) đồ thị hàm số mũ tự nhiên Khi lập mơ hình, HS sử dụng mơ hình thu để trả lời câu hỏi c) dự đoán dân số Việt Nam vào năm 2025 Kết luận Điểm mạnh HS tham gia vào khảo sát thể tốt kĩ hiểu khái niệm toán học bản; điểm yếu việc chuyển thể khơng thành cơng vấn đề có lời văn bối cảnh thực tế sang ngơn ngữ tốn học để giải quyết, em giải tốt vấn đề chuyển thể sẵn phần toàn theo gợi ý để giải tốn Chỉ số cải thiện đáng kể chương trình dạy học tốn lớp trọng vào lập mơ hình tốn để tạo hội cho HS tự tạo mơ hình tốn sử dụng chúng Việc sử dụng cơng cụ tính tốn máy tính thực đem lại hội lớn để HS xử lí tập số liệu để lập mơ hình hàm số: bậc nhất, bậc hai, bậc ba, hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm mũ tự nhiên để từ dự đốn kết xảy cách có quy luật tương lai HS Việt Nam có khả sử dụng cơng cụ tính tốn máy tính để mơ tốn thực tế hàm số cụ thể Việc tự lập hàm số phù hợp làm mơ hình cho tình thực tế mang tính sáng tạo, từ HS tìm cách trả lời cho câu hỏi có tính dự đốn tốn cách có sở tốn học Tài liệu tham khảo Banens, M (1999) Vietnam: A Reconstitution of its 20th Century Population History HAL https://hal.archivesouvertes.fr/hal-00369251/document Truy cập ngày 15/10/2020 Cherniha, R & Davydovych, V (2020) A Mathematical Model for the COVID-19 Outbreak and Its Applications Symmetry 2020, 12, 990; DOI:10.3390/sym12060990 OECD (2016) The Survey of Adult Skills: Reader’s Companion, Second Edition OECD Skills Studies, OECD Publishing, Paris OECD (2018) PISA 2021 mathematics framework (second draft) EDU/PISA/GB(2018)19 OECD https://pisa2021-maths.oecd.org/files/PISA%202021%20Mathematics%20Framework%20Draft.pdf Truy cập ngày 15/10/2020 Stewart, J., Redlin, L & Watson, S (2016) Precalculus: mathematics for mathematics (7th ed.), Cengage Learning Boston, USA Tổng cục Thống kê (2020) Dân số lao động Truy cập tại: https://www.gso.gov.vn/default.aspx? tabid=427&idmid=3 United Nations (2015) World Population Prospects: The 2015 Revision UN Population Division Archived from the original on 22 December 2015 Retrieved 19 January 2016 Viet Nam News (2019) VN gets high scores but not named in PISA 2018 ranking https://vietnamnews.vn/society/ 569454/vn-gets-high-scores-but-not-named-in-pisa-2018-ranking.html Truy cập ngày 16/10/2020 Vui, T (2018) Bringing mathematics education into the global orbit to develop thinking, logic and creativity in solving realistic problems with closed-open approach Vietnam Journal of Education, MOET, ISSN 2354-0753, 5, 28-33 21 ... trình lập sử dụng mơ hình, chúng tơi khám phá cách khác mà tốn học sử dụng để mơ hình tượng giới - thực Hình Chu trình lập sử dụng mơ hình 2.3 Lập mơ hình với hàm số Việc tìm kiếm hàm số mơ tả... HS sử dụng mơ hình, khoảng 89% HS lập mơ hình sử dụng mơ hình thu 2.4 Lập mơ hình với hàm số mũ tự nhiên chương trình Excel Trong chu trình lập sử dụng mơ hình, với số trường hợp với biến số. .. loại hàm số khít với biểu đồ phân tán Trích xuất hàm số mơ hình phù hợp Bước Sử dụng mơ hình Sử dụng hàm số để trả lời câu hỏi đặt toán Các bước cụ thể giúp HS sử dụng công cụ tốn máy tính, sử dụng