Điều khiển phân nhánh và hỗn độn trong mô hình động cơ đồng bộ nam châm vĩnh cữu

ISSN 1859 1531 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(84) 2014, QUYỂN 1 15 ĐIỀU KHIỂN PHÂN NHÁNH VÀ HỖN ĐỘN TRONG MÔ HÌNH ĐỘNG CƠ ĐỒNG BỘ NAM CHÂM VĨNH CỮU CONTROL OF BIFURCATION AND CHA[.]

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(84).2014, QUYỂN 15 ĐIỀU KHIỂN PHÂN NHÁNH VÀ HỖN ĐỘN TRONG MƠ HÌNH ĐỘNG CƠ ĐỒNG BỘ NAM CHÂM VĨNH CỮU CONTROL OF BIFURCATION AND CHAOS IN THE MODEL OF THE PERMANENTMAGNET SYNCHRONOUS MOTOR Nguyễn Lê Hịa1, Lê Tiến Dũng1, Nguyễn Hồng Mai1, Đồn Quang Vinh2 Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng; Email: nglehoa @dut.udn.vn Đại học Đà Nẵng; Email: dqvinh@ac.dun.vn Tóm tắt - Bài báo đề cập đến vấn đề điều khiển phân nhánh chuyển động hỗn độn mơ hình động đồng nam châm vĩnh cữu làm việc chế độ quay tự Bằng việc xây dựng giản đồ phân nhánh tính tốn số mũ Lyapunov lớn nhất, kết thu động đồng nam châm vĩnh cữu thể phân nhánh Pitchfork phân nhánh Hopf xuất chuyển động hỗn độn tham số nằm phạm vi định Trên sở đó, báo đề xuất phương pháp điều khiển phản hồi động nhằm dịch chuyển điểm phân nhánh Hopf đến vị trí mở rộng phạm vi ổn định điểm cân loại bỏ xuất chuyển động hỗn độn miền biến thiên theo yêu cầu tham số động Abstract - This paper addresses the problem of control bifurcation and chaos in the model of permanent-magnet synchronous motors in the unforced mode By constructing the bifurcation diagram and calculating the largest Lyapunov exponent, we found that the permanent-magnet synchronous motor can undergo Pitchfork and Hopf bifurcations as well as exhibit chaotic behavior when its parameter lies in a certain area Also, the paper proposes a dynamic feedback control to relocate a Hopf bifurcation point to a new desired position As a result of the control action, the stable range of equilibria can be extended as well as the chaotic behavior can be avoided in the desired range of the motor’s parameter Từ khóa - động ĐB-NCVC; phân nhánh; chuyển động hỗn độn; giản đồ phân nhánh; số mũ Lyapunov; điều khiển phản hồi động; lọc washout Key words - permanent-magnet synchronous motor; bifurcation; chaotic behavior; bifurcation diagram; Lyapunov exponent; dynamic feedback control; washout filter Giới thiệu chung Động đồng nam châm vĩnh cữu (ĐB-NCVC) sử dụng nhiều ứng dụng cơng nghiệp có tính ưu việt kích thước nhỏ gọn, cấu tạo đơn giản, hiệu suất cao mật độ cơng suất lớn Vì đa dạng ứng dụng loại động nên thu hút nhiều nghiên cứu việc nâng cao tính ổn định độ an tồn cho hệ thống điện sử dụng động ĐB-NCVC Tuy nhiên, nhiều kết nghiên cứu rằng, tham số động vượt qua giá trị ngưỡng xuất dao động hỗn độn phân nhánh đặc tính động học động ĐB-NCVC [1-3] Khi động làm việc trạng thái chuyển động hỗn độn mơ-men thay đổi cách ngẫu nhiên, tốc độ động biến thiên phạm vi rộng, ảnh hưởng nghiêm trọng đến chất lượng làm việc chí phá hỏng hệ thống truyền động Vì vậy, làm để khơng xuất chuyển động hỗn độn suốt trình làm việc động vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Về mặt chế tạo, Gao Y Chau K.T để loại bỏ xuất chuyển động hỗn độn kích thước nam châm vĩnh cửu phải không vượt qua giá trị cho phép [4] Bên cạnh đó, số phương pháp điều khiển đề xuất nhằm khống chế chuyển động hỗn độn mơ hình động ĐB-NCVC phương pháp điều khiển trượt thích nghi [5], phương pháp điều khiển phi tuyến backstepping [6], phương pháp gán số mũ Lyapunov [7] Bài báo này, trước tiên khảo sát đặc tính động lực học động ĐB-NCVC: ổn định điểm cân hình thành tượng phân nhánh Pitchfork phân nhánh Hopf; đề xuất số phương pháp để nhận biết xuất chuyển động hỗn độn Sau đó, tác giả đề xuất phương pháp điều khiển phản hồi động dựa lọc washout để dịch chuyển điểm phân nhánh Hopf mơ hình động ĐB-NCVC đến vị trí nhằm mục đích mở rộng miền ổn định điểm cân loại bỏ xuất chuyển động hỗn độn miền biến thiên tham số động Đặc tính động lực học động ĐB-NCVC 2.1 Mơ hình động ĐB-NCVC Mơ hình động ĐB-NCVC hệ tọa độ d-q mô tả sau [1, 2]    did  dt  L ud  Rid  Lqiq , d   diq  uq  Riq  Ld id   r ,  dt L q   d   n  i  n p Ld  Lq id iq  TL    dt J p r q      (1)  Trong đó, ω (rad/s) tốc độ động cơ; id (A) iq (A) dòng điện stator theo phương d q; ud (V) uq (V) tương ứng điện áp stator theo phương d q; TL (Nm) mơ-men tải; J (Kgm2) mơ-men qn tính; Ld (mH) Lq (mH) điện cảm stator theo phương d q; R (Ω) điện trở cuộn dây stator; ψr (Wb) từ thông nam châm; β (Nrad-1s) hệ số giảm chấn nhớt np số đôi cực động Theo [1], ta thực phép biến đổi affine biến trạng thái phép lấy tỷ lệ trục thời gian sau: x, x  Γ~ (2)  ~ t   t Nguyễn Lê Hòa, Lê Tiến Dũng, Nguyễn Hoàng Mai, Đoàn Quang Vinh 16    ~ ~ x  id iq  T ; x  id Trong đó: ~ iq T b 0  L Lq    ; ; q Γ     ;b  R Ld n pr  0 1/   Khi đó, hệ phương trình (1) biến đổi dạng sau: Lq ~ ~ ~ ~  d~ id id  iq  ud ,  ~  Ld  dt  d~ ~ ~~  iq ~ ~ (3)  ~   iq  id     uq , d t   d~ ~ ~~ ~   iq  ~   id iq  TL  d~  t Trong đó, tham số hệ phương trình (3) xác định sau:   n p r2 R   ; Lq  RJ ;  n p r Lq u~q  uq , R n p r Lq u~d  ud ; R  Lq  Ld  Lq Ld Jn p r2 ; L2q ~ TL  TL JR Nếu khe hở khơng khí trơn ta viết Ld = Lq = L Ngoài ra, phạm vi báo ta xét động chế độ quay tự do, nghĩa khơng có ngoại ~ lực tác dụng lên động cơ, tức u~d  u~q  TL  Chế độ hoạt động động hiểu sau chu kỳ hoạt động, động ngắt khỏi nguồn cấp chạy không tải Với giả thiết trên, mơ hình động ĐB-NCVC rút gọn dạng  d~ id ~ ~~  ~   id  iq , d t  ~  ~ ~~  d iq ~  ~   iq  id    , d t   d~ ~   iq  ~  d~ t    (4)  2.2 Sự phân nhánh mơ hình động ĐB-NCVC Hiện tượng phân nhánh thay đổi điểm cân (hoặc quỹ đạo tuần hồn) tính chất ổn định chúng gây nên biến thiên hay nhiều tham số Các tham số gọi tham số phân nhánh Ở đây, tham số phân nhánh lựa chọn tham số μ Như   n p r2 R , nghĩa có thay đổi điện trở cuộn dây R, hệ số giảm chấn nhớt β từ thông nam châm ψr làm cho tham số μ thay đổi Để khảo sát phân nhánh mơ hình động ĐB-NCVC, ta tiến hành xác định điểm cân tính chất ổn định chúng   ~ ~e  ~ ide  iqe  0,   ~e ~e ~e ~e  iq  id     0, ~ e ~ e i     q ~ ;  ~ ~ Gọi ide , iqe , ~e điểm cân hệ (4) Khi đó, ta có: (5) Giải hệ (5) ta thu kết sau: (i)    : Hệ (5) có điểm cân E0(0, 0, 0) (ii)   : Ngồi điểm cân E0, hệ (5) cịn xuất thêm hai điểm cân khác đối xứng E1(  1,   1,   1) ; E2 (  1,    1,    1) Ma trận Jacobian hệ (4) là: ~    ~ iq  ~ ~ J       id        (6) Trước hết ta xét ổn định điểm cân E0 Tuyến tính hóa ma trận Jacobian xung quanh điểm cân E0, ta JE 0       1        (7) Phương trình đặc trưng tương ứng là:  P  E  det I  J E       1 2  1      1     (8) Chú ý phương trình 2  1      1     có     12  4  với   Do có hai nghiệm thực λ2, λ3, 2  3  1     23   1    Từ ta thấy    phương trình (8) có nghiệm thực âm, nghĩa điểm cân E0 ổn định Khi   phương trình (8) tồn nghiệm thực dương, nghĩa điểm cân E0 không ổn định Từ kết phân tích trên, ta đến kết luận: Tại   , điểm cân E0 chuyển từ ổn định sang không ổn định, đồng thời hệ thống xuất thêm điểm cân đối xứng E1, E2 Do đó, theo lý thuyết phân nhánh [8] hệ thống (4) xuất điểm phân nhánh Pitchfork μ =1 Tiếp theo, ta xét ổn định điểm cân E1 E2 Do E1 E2 đối xứng tính chất ổn định chúng giống nhau, ta cần khảo sát ổn định E1 Tuyến tính hóa ma trận Jacobian (6) xung quanh E1, ta JE  1         1 1    1      Phương trình đặc trưng tương ứng có dạng: (9) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(84).2014, QUYỂN  P  E  det I  J E 1   3  2   2       2   1  (10) Sự phân nhánh E1 E2 có xảy nghiệm phương trình đặc trưng (10) có dạng     j Nhận thấy với     , tức ứng với điểm phân nhánh Pitchfork xét Do vậy, ta thay   j vào phương trình (10) cân phần thực phần ảo, ta thu giá trị tới hạn μ sau:   h     4  2 (11) Tại    h , phương trình đặc trưng (10) có cặp nghiệm phức ảo nghiệm thực âm, cụ thể sau: 1    2, 2,3   j 2   1  2 Do đó, theo lý thuyết phân nhánh [8],    h hệ thống (4) xuất điểm phân nhánh Hopf Ngoài ra, ta dễ kiểm chứng với    h hai điểm cân E1 E2 ổn định    h ba điểm cân không ổn định Để kiểm chứng phân nhánh mơ hình động ĐB-NCVC để minh họa cho kết Trong báo này, tham số động ĐB-NCVC chọn sau [2]: Ld  Lq  L  14.25mH ; R  0.9  ; n p  ; J  4.7 105 Kgm2 ;   0.0162 N/rad/s Với tập tham số này, ta tính   5.46 Theo (11), điểm phân nhánh Hopf xuất h  14.93 Giản đồ phân nhánh ~ mô tả thay đổi iqe cho μ biến thiên mô tả Hình Trong đó, đường đậm, nét liền biểu diễn điểm cân ổn định, đường đậm, nét đứt mô tả điểm cân không ổn định Đường mảnh, nét đứt mơ tả chu trình tới hạn không ổn định Các giản đồ phân nhánh báo xây dựng gói phần mềm có tên XPPAUT [9] 17 xuất mơ hình động ĐB-NCVC tham số μ có giá trị định [1-3] Các đặc trưng chuyển động hỗn độn là: (i) Khơng có tính chu kỳ: quỹ đạo khơng bị lặp lại khơng thể dự đốn chuyển động tương lai, (ii) Rất nhạy với thay đổi điều kiện đầu: thay đổi nhỏ điều kiện đầu tạo khác biệt lớn quỹ đạo chuyển động Đáp ứng thời gian đặc trưng cho chuyển động hỗn độn hình thành tập hút lạ mơ tả Hình Kết mô ứng μ = 20 điều kiện đầu ~0 ~0 ~0 id , iq ,   0.01, 0.01, 0.01   Trong báo này, để khảo sát xuất chuyển động hỗn độn mơ hình động ĐB-NCVC nhận biết miền giá trị tham số μ mà chuyển động hỗn độn xuất hiện, phương pháp giản đồ phân nhánh việc tính tốn số mũ Lyapunov lớn sử dụng Giản đồ phân nhánh mơ tả thay đổi định tính quỹ đạo chuyển động hệ thống tham số phân nhánh biến thiên Ở đây, giản đồ phân nhánh xây dựng để tính ~ tốn giá trị cực đại quỹ đạo chuyển động iq cho tham số μ biến thiên Kết tính tốn thể Hình Từ hình vẽ, ta thấy động ĐBNCVC thể tính chất hỗn độn   14,3 Số mũ Lyapunov đại lượng thể tốc độ phân ly theo hàm mũ hai quỹ đạo chuyển động xuất phát từ điều kiện đầu gần Khi hệ thống có xuất chuyển động hỗn độn, giá trị số mũ Lyapunov lớn ( max ) sử dụng tham số để phát xuất chuyển động hỗn độn Theo đó, max  hệ thống xuất chuyển động hỗn độn [10] Trong báo này, thuật tốn để tính số mũ Lyapunov lớn viết Matlab dựa theo phương pháp trình bày [11] Kết tính tốn thu Hình thể rõ max đổi dấu từ âm sang dương tham số μ vượt qua giá trị ngưỡng ng  14,3 Khi μ tăng giá trị max lớn, tính chất hỗn độn hệ thống tăng Kết thể phù hợp với giản đồ phân nhánh Hình 10 w -5 -10 10 30 20 -10 Hình Giản đồ phân nhánh mô tả biến thiên ~ iq e theo tham số μ 2.3 Chuyển động hỗn độn mơ hình động ĐBNCVC Một số nghiên cứu chuyển động hỗn độn iq -20 10 id Hình Tập hút lạ đặc trưng cho tính chất hỗn độn động ĐB-NCVC μ = 20 Nguyễn Lê Hòa, Lê Tiến Dũng, Nguyễn Hoàng Mai, Đoàn Quang Vinh 18   ảo   e   j tất giá trị riêng cịn lại có phần thực âm (ii) Khi μ biến thiên từ lân cận  e  đến  e  giá trị   riêng   e qua trục ảo với tốc độ khác không, nghĩa      ngược dấu  e 0.4 Khi sử dụng điều kiện việc thiết kế điều khiển nhằm mục đích dịch chuyển điểm phân nhánh Hopf đến vị trí khác ứng với giá trị μ, nhiệm vụ đặt phải biểu diễn dạng giải tích cách tường minh tất giá trị riêng ma trận Jacobian theo tham số điều khiển Đối với hệ thống bậc cao nhiệm vụ khó khăn chí khơng thể thực Do đó, Liu W.M [13] đề xuất điều kiện tương đương thay cho điều kiện (i) (ii) Các điều kiện tương đương mô tả theo hệ số đa thức đặc tính thay cho việc mơ tả theo giá trị riêng ma trận Jacobian 0.3 Gọi P  ,  e đa thức đặc tính ma trận Jacobian Hình Giản đồ phân nhánh mơ tả biến thiên ~ max(iq ) theo tham số μ 0.6 Largest Lyapunov Exponent e 0.5   P;    det I  J x ,    p    p   e e 0.1 n e 14 16 18 20 Điều khiển phân nhánh Hopf Từ kết phân tích ta thấy mơ hình động ĐB-NCVC xuất phân nhánh Hopf    h Khi    h tất điểm cân ổn định, đồng thời đó, ta quan sát xuất chuyển động hỗn độn Phần Trong phần tác giả đề xuất phương pháp điều khiển nhằm mục đích dịch chuyển điểm phân nhánh Hopf sang vị trí ứng với    h , tức mở rộng phạm vi ổn định điểm cân bằng, hy vọng loại bỏ xuất chuyển động hỗn độn phạm vi biến thiên μ 3.1 Điều kiện xuất điểm phân nhánh Hopf Xét hệ thống phi tuyến dạng tổng quát sau: dx  f (x,  ), dt f : R n1  R n , x  R n ,   R (12) Trong đó, x vec-tơ trạng thái, μ tham số biến thiên gọi tham số phân nhánh Giả thiết hệ thống (12) e có điểm cân x  x ứng với    e , nghĩa   f xe ,  e  Gọi J xe ,  e ma trận Jacobian hệ (12) điểm cân Khi đó, hệ thống (12) xuất điểm phân nhánh Hopf    e điều kiện sau thỏa mãn [8, 12]   n 1      pn  e (13) Thành lập ma trận Hn sau: 22      p1  e  p e Hn       p2n 1  e Hình Sự biến thiên số mũ Lyapunov lớn theo tham số μ  e e mu   J x ,  , ta có: 0.2 -0.1 12  e (i) Ma trận Jacobian J xe ,  e có cặp giá trị riêng     p   p0  e e    p2 n   e       ,      pn  e   (14)   e Trong đó, pi   i < i > n Khi đó, điều kiện để xuất điểm phân nhánh Hopf (i) (ii) tương đương với điều kiện sau:              pn  e  0,   (i’) i  e  det Hi  e  0, i  1, , n  2,  e e  n 1   det H n 1    (ii’) d  n 1  0 d   e (15) (16) 3.2 Điều khiển phân nhánh Hopf thông qua lọc washout Trong phần này, đề xuất phương pháp thiết kế luật điều khiển phản hồi động dựa lọc washout để dịch chuyển điểm phân nhánh Hopf mơ hình (4) từ vị trí ban đầu ứng với   14,93 sang vị trí ứng với   25 Việc lựa chọn giá trị   25 nhằm mục đích minh họa tinh thần phương pháp đề xuất Ở đây, tín hiệu ~ điều khiển ta chọn dịng điện id , luật điều khiển dựa lọc washout đề xuất sau [14]: dx ~  id   x  y , dt u  ky (17a) (17b) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(84).2014, QUYỂN Phương trình (17a) phương trình mơ tả lọc ~ washout với x biến trạng thái, y đầu lọc, id đóng vai trị đầu vào lọc α > nghịch đảo số thời gian lọc Phương trình (17b) gọi hàm điều khiển với k tham số điều khiển Chú ý với luật điều khiển mô tả phương trình (17) dx dt  dẫn đến u  , điều có nghĩa tín hiệu điều khiển khơng làm thay đổi điểm cân ban đầu hệ thống Kết hợp phương trình (17) với phương trình (4), ta thu hệ phương trình mơ tả hệ thống điều khiển vịng kín sau:  d~ id ~ ~~ ~  ~   id  iq  k id   x , d t  ~  d iq ~ ~  ~   iq  id ~  ~, d t (18)  ~ ~ ~  d   iq   ,  d~ t   dx  ~ i   x  dt d     Ở đây, ta chọn α = 0,5 Vấn đề lại tìm tham số điều khiển k cho hệ thống (18) xuất điểm phân nhánh Hopf giá trị   25 Tại   25 , điểm cân ~  ~e , xe  24,  4.9,  4.9, 50 hệ thống (18) ide , iqe , ~ Từ đó, ta tính ma trận Jacobian điểm cân bằng:  k   4,9  4,9  0,5k     4,9  1  Je   ,  5,46  5,46    0  0,5     đó, p0  , p1  7,96  k , theo tham số μ cho hệ thống điều khiển vịng kín mơ tả (18) Từ hình vẽ ta thấy tác dụng điều khiển, điểm phân nhánh Hopf dịch chuyển tới vị trí ứng với μ = 25, nghĩa phạm vi ổn định điểm cân mở rộng Để minh họa tác dụng điều khiển lên đặc tính hỗn ~ độn động cơ, giản đồ phân nhánh max iq theo tham  số μ tính tốn lại cho hệ thống (18) Ta thu kết Hình So sánh với kết chưa có điều khiển (Hình 3) ta thấy tác dụng điều khiển điểm xuất chuyển động hỗn độn dịch chuyển từ giá trị μ = 14,3 sang giá trị μ = 23,5 Kết chứng minh thông qua việc điều khiển để dịch chuyển điểm phân nhánh Hopf, ta loại bỏ xuất chuyển động hỗn độn miền biến thiên theo yêu cầu tham số μ Ở miền biến thiên tham số μ xung quanh giá trị ngưỡng μh xác định biểu thức (11), μ vượt qua giá trị ngưỡng μh làm xuất phân nhánh Hopf đặc tính động lực học động Phân nhánh Hopf (19) 10 (20) p2  34,2  6,46k , p3  277,425 , p4  131,094 Từ đó, ta thành lập ma trận H4 sau:  p1 p0 0    p p2 p1 p0  H4    p4 p3 p2     0 p4  (21) Giải hệ ta thu k  0,4354 Với giá trị k dễ dàng kiểm tra điều kiện (16) thỏa mãn ~ Hình giản đồ phân nhánh điểm cân iq e ~e iq  p0  p1  p2  p3  p4 ,  p4  131,094  0,  1  det( H1 )  7,96  k  0,    det( H )  6,46k  85,622k  5,193  0,   det( H )  1661,1k  21667k  9747,5   15 đa thức đặc tính tương ứng: P; k   det I  J e 19 -5 -10 -15 10 15 µ 20 25 30 ~ Hình Giản đồ phân nhánh mô tả biến thiên iq e theo μ có tín hiệu điều khiển 0  7,96  k    277 , 425 34 ,  , 46 k , 96  k    131,094 277,425 34,2  6,46k    0 131,094   Điều kiện (15) trở thành: ~ Hình Giản đồ phân nhánh mơ tả biến thiên max( iq ) theo μ có tín hiệu điều khiển Nguyễn Lê Hịa, Lê Tiến Dũng, Nguyễn Hoàng Mai, Đoàn Quang Vinh 20 Kết luận Trong báo này, tác giả tiến hành khảo sát đặc tính động lực học động ĐB-NCVC Kết khảo sát động ĐB-NCVC thể tính chất phân nhánh tính chất hỗn độn tham số nằm phạm vi định Sự xuất tính chất hỗn độn khơng mong muốn q trình làm việc động Từ đó, tác giả đề xuất phương pháp điều khiển phản hồi động cho phép dịch chuyển điểm phân nhánh đến vị trí nhằm mục đích mở rộng miền ổn định điểm cân loại bỏ xuất chuyển động hỗn độn miền biến thiên tham số động TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hemati N and Kwatny H., “Bifurcation of equilibria and chaos in permanent magnet machines”, Proceeding of the 32nd Conference on Decision and Control, Texas, 1993 [2] Li Z., Park J.B., Joo Y H., Zhang B., and Chen G., “Bifurcations and chaos in a permanent magnet synchronous motor”, IEEE Transaction on Circuits & Systems, vol 49, 2002, pp 383-387 [3] Jing Z., Yu C., and Chen G., “Complex dynamics in a permanent magnet synchronous motor model”, Chaos, Solitons and Fractals, vol 22, No 4, 2004, pp 831-848 [4] Gao Y and Chau K.T., “Design of permanent magnets to avoid chaos in PM synchronous machines”, IEEE Transaction on Magnetics, vol 39, No 5, 2003, pp 2995-2997 [5] Choi H H., “Adaptive control of a chaotic permagnet magnet synchronous motor”, Nonlinear Dynamics, vol 69, 2012, pp 13111322 [6] Harb A M., “Nonlinear chaos control in permagnet magnet reluctance machine”, Chaos, Solitions and Fractals, vol 19, 2004, pp 1217-1224 [7] Ataei M., Kiyoumarsi A., and Ghorbani B., “Control of chaos in permanent magnet synchronous motor by using optimal Lyapunov exponent placement”, Physics Letters A, vol 374, No 41, 2010, pp 4226-4230 [8] Khalil H.K., Nonlinear systems, 3rd Edition, Prentice Hall, 2001 [9] Ermentrout B., “Simulating, analyzing, and animating dyanamical systems: a guide to XPPAUT for researchers and students”, SIAM, Philadelphia, 2002 [10] Bask M and Gencay R., “Testing chaotic dynamics via Lyapunov exponents”, Physica D, vol 114, No 1-2, 1998, pp 1-2 [11] Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., and Vastano J.A., “Determining Lyapunov exponents from a time series”, Physica D, vol 16, No 3, 1985, pp 285-317 [12] Nguyen L.H., Hong K.-S., “Hopf bifurcation control via a dynamic state-feedback control”, Physics Letters A, vol 376, 2012, pp 442446 [13] Liu W.M., “Criterion of Hopf bifurcations without using eigenvalues”, J of Mathematical Analysis and Applications, vol 182, 1994, pp 250-256 [14] Hassouned M.A., Lee H.C., and Abed E H., “Washout filters in feedback control: Benefits, limitations, and extensions”, Techincal Research Report, ISR, 2004 (BBT nhận bài: 16/09/2014, phản biện xong: 09/10/2014) ... chuyển động hỗn độn mơ hình động ĐB-NCVC nhận biết miền giá trị tham số μ mà chuyển động hỗn độn xuất hiện, phương pháp giản đồ phân nhánh việc tính tốn số mũ Lyapunov lớn sử dụng Giản đồ phân nhánh. .. -10 10 30 20 -10 Hình Giản đồ phân nhánh mơ tả biến thiên ~ iq e theo tham số μ 2.3 Chuyển động hỗn độn mơ hình động ĐBNCVC Một số nghiên cứu chuyển động hỗn độn iq -20 10 id Hình Tập hút lạ đặc... khiển phân nhánh Hopf Từ kết phân tích ta thấy mơ hình động ĐB-NCVC xuất phân nhánh Hopf    h Khi    h tất điểm cân ổn định, đồng thời đó, ta quan sát xuất chuyển động hỗn độn Phần Trong