Nguyễn Văn Hưng, Ngô Thị Thanh Trang MÔ PHỎNG LƯU LƯỢNG DÒNG CHẢY HÀNG THÁNG VỚI MÔ HÌNH FGAR(1) VÀ MÔ HÌNH MGAR(1) COMPUTER SIMULATION OF MONTHLY STREAMFLOW WITH FGAR(1) AND MGAR(1) MODELS Nguyễn Văn[.]
Nguyễn Văn Hưng, Ngơ Thị Thanh Trang MƠ PHỎNG LƯU LƯỢNG DỊNG CHẢY HÀNG THÁNG VỚI MƠ HÌNH FGAR(1) VÀ MƠ HÌNH MGAR(1) COMPUTER SIMULATION OF MONTHLY STREAMFLOW WITH FGAR(1) AND MGAR(1) MODELS Nguyễn Văn Hưng, Ngô Thị Thanh Trang Trường Cao đẳng Nghề Đà Nẵng; Email: hungnguyenvan@walla.com, trangngothanh@gmail.com Tóm tắt – Mô phương pháp sử dụng phổ biến để nghiên cứu trình ngẫu nhiên Hầu hết trình ngẫu nhiên thực tế có độ lệch phụ thuộc [5] Để mơ chuỗi này, mơ hình Gar(1) áp dụng hiệu quả; đặc biệt việc nghiên cứu dòng chảy Thuỷ văn ngẫu nhiên Bài báo trình bày việc nghiên cứu mơ hình Gar(1) để mô lưu lượng hàng tháng Để đạt mục đích này, chúng tơi nghiên cứu mơ hình Gar(1) đề xuất mơ hình Gar(1)-Fragments gọi FGar(1) mơ hình Gar(1) áp dụng để phát sinh chuỗi số liệu hàng tháng gọi mơ hình MGar(1) Từ số liệu quan trắc dòng chảy hàng tháng 02 trạm thuỷ văn từ chuỗi số liệu hàng tháng có chiều dài 1000 năm phát sinh kỹ thuật mô theo mơ hình FGar(1) mơ hình MGar(1), ta thấy tham số quan trọng chuỗi lịch sử bảo tồn tốt mơ hình này, đặc biệt giá trị trung bình độ lệch tiêu chuẩn Abstract – Computer simulation is used to study many stochastic processes Most of these stochastic processes in reality are generally skewed and dependent [5] In the simulation of these processes, the first-order gamma autoregressive (GAR) (1) model has been found to be very effective; especially in the simulation of streamflow in Stochastic Hydrology This paper mainly presents a study on the application of the Gar(1) model in the simulation of monthly streamflows To achieve this aim we study the Gar(1) model and propose the FGar(1) and MGar(1) models Based on the observed data of the monthly streamflows at the two stations and the series of monthly data for 1,000 years generated by means of computer simulation according to the FGar(1) and MGar(1) models, it was found that these models can reproduce the characteristic parameters of the historical data very well, particularly the mean and the standard deviation Từ khóa – Gar(1); FGar(1); MGar(1); giá trị trung bình; độ lệch tiêu chuẩn; hệ số lệch; hệ số tương quan; lưu lượng dòng chảy hàng tháng Key words – Gar(1); FGar(1); MGar(1); mean; standard deviation; skewness; correlation coefficient; monthly streamflows Giới thiệu phân phối gamma tham số, c = b = ta có phân phối gamma tham số Các đặc trưng số phân phối gamma tham số tính sau: - Kỳ vọng: E(X) = b + c - Phương sai: Var(X)√= b2 - Hệ số lệch: g = 2/ a Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu mơ lưu lượng dịng chảy hàng tháng, hàng năm [6][12][14][15] Trên sở số liệu lưu lượng lịch sử trạm đo thuỷ văn, mơ hình mơ lưu lượng dịng chảy tháng áp dụng để phát sinh nhiều chuỗi số liệu có tham số đặc trưng chuỗi lịch sử để dùng việc quy hoạch, thiết kế, vận hành Dự án Thủy lợi Trong năm gần việc giả thiết chuỗi lưu lượng lịch sử có phân phối gamma phụ thuộc nghiên cứu ứng dụng hiệu thực tế Để mô lưu lượng dịng chảy hàng năm, mơ hình Gar(1) áp dụng kết cho thấy mơ hình bảo toàn tốt tham số thống kê: giá trị trung bình, phương sai, hệ số lệch hệ số tương quan chuỗi lịch sử [3][14]; nhiên việc áp dụng mơ hình Gar(1) để mơ lưu lượng hàng tháng chưa nghiên cứu nội dung báo Cho đến nay, mơ hình phát sinh dịng chảy tháng có khả bảo tồn hệ số lệch thông qua thành phần ngẫu nhiên mơ hình dùng [12], khơng bảo tồn phân bố gamma dòng chảy 2.2 Mơ hình hồi quy gamma bậc (GAR(1)) Để giải tốn thực tế mà q trình ngẫu nhiên phụ thuộc có phân phối khơng chuẩn, chuỗi biến ngẫu nhiên gamma nghiên cứu áp dụng hiệu [5] Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu đề xuất mơ hình sinh chuỗi biến ngẫu nhiên có phân phối gamma phụ thuộc Matalas [10] mơ hình đề xuất Lawrance Lewis [9] tỏ hiệu ứng dụng phổ biến Mơ hình hồi quy gamma bậc (Gar(1)) đề xuất Lawrance Lewis sau: Xi = ΦXi−1 + ei (2) đó: - Xi biến ngẫu nhiên biểu diễn trình phụ thuộc Các nghiên cứu liên quan thời điểm i; Φ hệ số hồi quy; 2.1 Phân phối Gamma - ei biến ngẫu nhiên độc lập cần xác định Một biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối Xi có phân phối gamma tham số có hàm mật độ gamma tham số hàm mật độ xác suất có dạng: xác suất phương trình Quá trình xác định phương trình gọi mơ hình Gar(1) Để mơ (x − c)a−1 e−(x−c)/b (1) q trình tham số mơ hình phải xác f(x) = a b Γ(a) định ei sinh theo lược đồ Trong a > 0, b > 0, c > 0, x ≥ c a, b, c tương Khi tham số độ nhọn a số nguyên, lược đồ sau ứng tham số độ nhọn, tỉ lệ vị trí Khi c = ta có sử dụng để sinh ei phương trình : 25 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(74).2014.QUYỂN II Chuỗi lưu lượng hàng năm sinh theo mơ hình lưu lượng hàng năm phân phối để tính lưu lượng hàng tháng cách chọn lựa mảnh cách ngẫu j=1 nhiên Phương pháp khơng bảo tồn tốt hệ số tương - Zj = 0, với xác suất Φ quan chuỗi lưu lượng lịch sử tháng năm - Zj = E, với xác suất − Φ tháng 12 năm trước E biến ngẫu nhiên có phân phối mũ có kỳ vọng Srikanthan McMahon [15] đề xuất phương pháp b Khi a số giá trị nguyên, theo trình Fragments cải tiến để khắc phục hạn chế cách shot-noise sử dụng Weiss [17], lược đồ sau xếp chuỗi lưu lượng hàng tháng năm thành lớp sử dụng: tăng dần theo lưu lượng hàng năm (có N lớp) Giá trị giới ei = c(1 − Φ) + Z (3) hạn lớp liên tiếp giá trị trung bình lưu lượng năm tương ứng Khi mảnh tương ứng gán cho với Z = if Q = (4) lớp Mảnh lưu lượng dòng chảy hàng tháng sinh phù hợp với giá trị giới hạn Với giả thiết chuỗi lưu lượng dòng chảy đại lượng ngẫu nhiên độc lập, từ Q X mẫu thống kê lưu lượng dòng chảy theo hàng tháng, Yj ΦUj Q > (5) Z= phương pháp mô phỏng, tác giả vận dụng phương pháp j=1 cải tiến áp dụng vào mô hình thuỷ văn để sinh Ở phương trình 5, Q biến ngẫu nhiên chuỗi lưu lượng dòng chảy hàng tháng cho n năm có giá trị nguyên có phân phối Poisson có kỳ vọng trạm đo bảo tồn tốt tham số thống kê: giá trị trung −aln(Φ) ; Uj biến ngẫu nhiên độc lập, đồng có phân bình, phương sai chuỗi lịch sử phối khoảng (0, 1) Yj biến ngẫu nhiên độc lập Đề xuất mơ hình mơ lưu lượng hàng tháng đồng có phân phối mũ với kỳ vọng b 3.1 Mơ hình FGar(1) 2.3 Ước lượng tham số mơ hình Nghiên cứu áp dụng mơ hình Gar(1) với lưu lượng dịng Q trình ngẫu nhiên tuyến tính dừng Gar(1) phương chảy hàng tháng, hàng năm: Kết hợp mơ hình Gar(1) với trình có tham số a, b, c Φ Dựa vào mẫu thống kê phương pháp Fragments gọi mơ hình Fgar(1) để mơ sử dụng phương pháp moments, tham số chuỗi số liệu hàng tháng Từ chuỗi số liệu lưu lượng moments biến ngẫu nhiên Xi có mối liên hệ sau: dòng chảy lịch sử tháng N năm, theo phương pháp M = c + ab (6) Fragments cải tiến, lớp mảnh thiết lập Lưu lượng dòng chảy hàng năm thu từ mơ hình Gar(1) S2 = ab2 (7) phân phối phù hợp để tính lưu lượng dịng chảy √ hàng tháng cách sử dụng mảnh tương ứng Trên (8) sở chuỗi lưu lượng lịch sử hàng tháng N năm; áp dụng G = 2/ a R=Φ (9) mơ hình FGar(1) để sinh giá trị lưu lượng hàng tháng theo thuật toán sau: Đã có cơng trình nghiên cứu để ước lượng tham 1: Phân chia chuỗi lịch sử thành N lớp, lớp 01 số mơ hình Gar(1) Bằng phương pháp mô năm lịch sử máy tính, Popovici Dumitrescu [13] sử dụng thuật tốn 2: Sắp xếp N lớp tăng dần theo lưu lượng lịch sử hàng EM - Expectation Maximization Algorithm để ước lượng năm Ai : tham số mơ hình Gar(1) đánh giá cho kết tốt 12 X Bằng phương pháp giải tích dựa sở điều chỉnh Ai = Ai,j độ lệch Bobee, B., Robitaille, R [2] Kirby, W [8], j=1 Fernandez Salas [5] đề xuất lược đồ điều chỉnh độ lệch Ai,j : lưu lượng tháng j năm i Sau xếp A1 để ước lượng tham số mơ hình Gar(1) Các tác giả ứng với lớp có lưu lượng hàng năm bé nhất, AN ứng xem xét cho trường hợp chuỗi biến ngẫu nhiên với lớp có lưu lượng hàng năm lớn độc lập Bằng cách điều chỉnh theo Fernandez Salas [5] 3: Tính cận Ui lớp i: Ui = (Ai + Ai + 1)/2, ta thu ước lượng không lệch M, R, S G Các i = 1, 2, N − UN có giá trị lớn tuỳ ý phương trình 6-9 sử dụng để ước lượng tập tham 4: Tính tham số độ nhọn, tỉ lê, vị trí hệ số hồi số mơ hình a, b, c Φ quy mơ hình Gar(1) dựa vào mẫu lưu lượng lịch 2.4 Phương phápFragments sử hàng năm Svanidze [16] đề xuất phương pháp mô lưu lượng 5: Sinh số ngẫu nhiên X1 có phân phối gamma tham dịng chảy hàng tháng theo mơ hình Thomas-Fiering số: độ nhọn, tỉ lệ vị trí (tính bước 4) cách phân mảnh thành 12 chuỗi lưu lượng dịng chảy 6: Chọn lớp có có cận bé lớn theo tháng từ chuỗi lưu lượng N năm Các lưu X1 (gọi lớp i) lượng chuỗi chuẩn hoá cách chia 7: Tính Q1,j Mi,j ∗ X1 : Q1,j lưu lượng sinh giá trị lưu lượng năm i, tháng j cho lưu lượng năm i tháng j năm 1, Mi,j = Ai,j / Ai , Mi,j fragment a c(1 − φ) X ei = + Zj a 26 Nguyễn Văn Hưng, Ngô Thị Thanh Trang lưu lượng lịch sử tháng j năm i 8: Tính Qk,j (k = 2, n, n số năm cần sinh ra): Sử dụng mô hình Gar(1) để sinh ek tính Xk (k = 2, , n), chọn lớp có cận bé lớn Xk (gọi lớp i) Qk,j = Mi,j ∗ Xk 3.2 Mơ hình MGar(1) Mơ hình Gar(1) sử dụng mơ lưu lượng dòng chảy hàng năm: Xi = ΦXi−1 + ei Với chuỗi liệu hàng tháng N năm, liệu tháng qua N năm tạo thành chuỗi liệu áp dụng mơ hình Gar(1) Trường hợp mơ hình MGar(1) biểu diễn sau: Xi,j = Φj Xi−1 + ei (10) Trong đó: - Xi,j biến ngẫu nhiên biểu diễn trình phụ thuộc tháng j năm i; - Φj hệ số hồi quy tháng j qua N năm; - ei biến ngẫu nhiên độc lập cần xác định Mỗi chuỗi biến ngẫu nhiên gamma phụ thuộc biểu diễn tháng qua N năm có cấu trúc phân phối hệ số hồi quy riêng, hệ thống phương trình 10 mơ hình thích hợp áp dụng để mơ liệu hàng tháng Tuy nhiên mơ hình khơng bảo toàn hệ số quan hệ tháng liên tiếp năm Kết mô 4.1 Thí nghiệm mơ Để sinh biến ngẫu nhiên MGar(1), FGar(1) nhóm tác giả sử dụng thuật tốn thích hợp [11] đề xuất Sinh giá trị ngẫu nhiên có phân phối gamma: trường hợp a ≤ sử dụng thuật toán Ahrens Dieter [1], trường hợp a > sử dụng thuật toán Do [4] Để sinh giá trị ngẫu nhiên có phân phối Poisson, thuật toán Kemp and Kemp [7] sử dụng sinh giá trị ngẫu nhiên có phân phối mũ - sử dụng phương pháp đảo Lưu lượng lịch sử hàng tháng (m3 /giây) trạm đo Thạnh Mỹ sông Vu Gia trạm đo Nông Sơn sông Thu Bồn thuộc tỉnh Quảng Nam 30 năm (1980-2010) sử dụng (nguồn: Viện Khoa học Khí tượng Thuỷ văn Mơi trường) Các thuật tốn cài đặt ngôn ngữ Turbo C++ thử nghiệm máy tính với vi xử lý Intel(R) Atom CPU N570 - 32 bit Để có ước tính xác cao, chuỗi số liệu phát sinh thực với n = 1000 năm 4.2 Kết Kết viêc thí nghiệm trình bày tóm lược Bảng 1-6 Hình 1-4 Bảng 1: Thời gian (% giây) sinh chuỗi lưu lượng hàng tháng theo mơ hình FGar(1) mơ hình MGar(1) (1000 năm) Trạm đo Thạnh Mỹ Nông Sơn FGAR(1) 0.16 0.25 MGAR(1) 0.03 0.05 Bảng 2: Giá trị trung bình chuỗi lịch sử liệu sinh trạm đo Thạnh Mỹ (1000 năm) Tháng 10 11 12 Lịch sử 116.05 71.03 50.73 45.03 58.50 56.09 46.80 59.03 113.24 301.76 403.93 255.31 Giá trình trung bình FGar(1) MGar(1) 101.25 116.59 66.39 71.69 47.96 50.35 37.92 46.06 53.76 56.44 56.69 56.50 46.63 47.43 55.97 58.53 85.78 113.82 347.83 298.64 405.80 403.14 243.10 257.62 Bảng 3: Độ lệch tiêu chuẩn chuỗi lịch sử liệu sinh trạm đo Thạnh Mỹ (1000 năm) Tháng 10 11 12 Lịch sử 45.38 23.88 16.73 17.86 28.40 27.23 17.16 31.67 90.08 159.87 236.99 128.07 Độ lệch tiêu chuẩn FGar(1) MGar(1) 42.36 45.35 24.74 23.25 16.34 16.45 17.83 18.09 24.26 29.80 27.46 27.58 17.29 17.54 32.57 30.61 44.23 91.39 164.95 167.09 215.25 236.97 110.51 131.83 Bảng 4: Giá trị trung bình chuỗi lịch sử liệu sinh trạm đo Nông Sơn (1000 năm) Tháng 10 11 12 Lịch sử 248.96 138.21 94.05 76.45 107.30 94.54 70.33 85.02 195.59 697.19 1041.81 619.97 Giá trình trung bình FGar(1) MGar(1) 220.25 246.52 136.53 137.85 94.06 93.01 66.42 76.84 97.66 106.38 93.68 94.15 74.95 71.44 91.32 85.60 174.61 188.32 778.81 687.54 1074.54 1039.30 559.19 622.19 Bảng 5: Độ lệch tiêu chuẩn chuỗi lịch sử liệu sinh trạm đo Nông Sơn (1000 năm) Tháng Lịch sử 110.97 46.07 Độ lệch tiêu chuẩn FGar(1) MGar(1) 87.42 104.39 37.07 45.50 27 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(74).2014.QUYỂN II Tháng 10 11 12 Độ lệch tiêu chuẩn Lịch sử 33.30 39.32 60.89 39.63 25.65 48.82 174.70 354.16 549.65 329.72 FGar(1) 30.37 34.25 53.22 32.01 29.32 71.14 88.39 438.79 534.59 311.34 MGar(1) 32.67 40.82 63.72 38.2 26.07 49.52 177.01 378.76 544.42 334.52 Hình 3: Giá trị trung bình trạm đo Nông Sơn Bảng 6: Các tham số thống kê hàng năm chuỗi lưu lượng lịch sử chuỗi lưu lượng hàng năm tính từ chuỗi lưu lượng hàng tháng sinh theo mơ hình FGar(1) mơ hình MGar(1) (1000 năm) a) Thạnh Mỹ Tham số Lịch sử FGAR(1) MGAR(1) Giá trị trung bình 1577.48 1572.32 1558.64 Độ lệch tiêu chuẩn 507.77 508.08 341.22 Hệ số lệch 0.95 1.15 0.41 Hệ số hồi quy 0.27 0.29 0.23 b) Nông Sơn Tham số Lịch sử FGAR(1) MGAR(1) Giá trị trung bình 8796.28 8732.18 3497.11 Độ lệch tiêu chuẩn 1813.37 1803.24 804.33 Hệ số lệch 0.94 0.93 0.37 Hệ số hồi quy 0.15 0.17 0.14 Hình 1: Giá trị trung bình trạm đo Thạnh Mỹ Hình 4: Độ lệch tiêu chuẩn trạm đo Nông Sơn Kết luận Về mặt lý thuyết, mơ hình Gar(1) không áp dụng với trường hợp hệ số hồi quy φ âm mơ FGar(1) mơ hình MGar(1) không áp dụng với trường hợp hệ số hồi quy φ âm, nhiên thực tế hệ số khơng thể có trị số âm được; kiện khơng dẫn đến hạn chế việc sử dụng mơ hình FGar(1) mơ hình MGar(1) Mơ hình MGar(1) có tốc độ xử lý máy tính nhanh khoảng lần so với mơ hình Fgar(1) Mơ hình FGar(1) mơ hình MGar(1) bảo tồn tốt tham số thống kê hàng tháng: giá trị trung bình độ lệch tiêu chuẩn trạm đo thử nghiệm Trên sở liệu hàng tháng để tính liệu hàng năm mơ hình FGar(1) bảo tồn tham số thống kê: giá trị trung bình, độ lệch tiêu chuẩn, hệ số lệch hệ số tương quan tốt so với mơ hình MGar(1) Lời cám ơn Các tác giả chân thành cám ơn GS.TS Huỳnh Ngọc Phiên PGS.TSKH Trần Quốc Chiến gợi ý đề tài nghiên cứu đóng góp số ý kiến để cải tiến báo Tài liệu tham khảo Hình 2: Độ lệch tiêu chuẩn trạm đo Thạnh Mỹ 28 [1] Ahrens, J.H., Dieter, U., “Generating Gamma Variates by a Modified Rejection Technique”, ACM Transactions on Mathematical Software, Vol 25, No 1, 1982, pp 47—54 [2] Bobee, B., Robitaille, R., “Correction of Bias in the Estimation of the Coefficient of Skewness”, Water Resources Research, Vol 11, No 6, 1975, pp 851—854 [3] Cigizoglu, Bayazit, “Application of Gamma Autoregressive Model to Analysis of Dry Periods”, J Hydrologic Engrg 3, 1998, pp 218–221 [4] Do, L.M., “Generating Gamma Variates”, ACM Transactions on Mathematical Software, Vol 14, No 3, 1988, pp 261—266 Nguyễn Văn Hưng, Ngô Thị Thanh Trang [5] Ferandez, B., Salas, J.D., “Gamma – Autoregressive Models for Streamflow Simulation”, J of Hydraulic Engineering, Vol 116, No 11, 1990, pp 1403—1414 [6] K.P Singh, C.G Lonnquist., “Two-Distribution Method for Modeling and Sequential Generation of Monthly Streamflows”, Water Resources Research, Vol 10, No 4, 1967, pp 763—773 [7] Kemp, C.D., Kemp, A.W., “Poisson random Variate Generation”, Appl Statist., Vol 40 No 1, 1991, pp 143—158 [8] Kirby, W., “Algebraic boundness of sample statistics”, Water Resources Research, Vol 10, No 2, 1974, pp 220—222 [9] Lawrance, A.J and Lewis, P.A.W., “A New Autoregressive Time Series Model in Exponential Variables (NEAR(1))”, Adv Appl Prob, Vol 13, No 4, 1981, pp 826-845 [10] Matalas, N.C.: Mathematical assessment of synthetic hydrology, Water Resources Research, vol 3, No 4,1974, pp 937—945 [11] Nguyen Van Hung, Tran Quoc Chien, Vo Dinh Nam, “Evaluation of algorithms generating gamma random variables”, University of Danang, J of Science and Technology, Vol.59, No.10, 2012, pp 58-63 [12] Phien, H N., Ruksasilip,W., “A Review of Singe-Site Models for Streamflow Generation”, J Hydrology, Vol 52, 1981, pp 1-12 [13] Popovici, Dumitrescu„ “Estimation on a GAR(1) Process by the EM Algorithm”, Economic Quality Control, vol 22, Issue 2, 2010, pp 165–174, ISSN (Online) 1869-6147, ISSN (Print) 0940-5151, published online: 11/03/2010 [14] S¸arlak, S¸orman,: Gamma Autoregressive Models and Application on the Kızılırmak Basin, Teknik Dergi vol 18, No July 2007, pp 4219–4227, Digest 2007, December 2007, pp 1153—1161 [15] Srikanthan, R., McMahon, T.A., “Stochastic Generation of Monthly Flow for Ephemeral Streams”, J Hydrology, Vol 47, 1980, pp 19-40 [16] Svanidze,G.G., “The Foundation of Calculation of River Flow Regulation Using the Monte-Carlo Method”, 1964, Metsniereba, Tbilisi [17] Weiss,G., “Shot Noise Models for the Generation of Synthetic Streamflow Data”, Water Resources Research, Vol 13, No.1, 1977, pp 101–108 (BBT nhận bài: 24/12/2013, phản biện xong: 23/01/2014) 29 ... cho với Z = if Q = (4) lớp Mảnh lưu lượng dòng chảy hàng tháng sinh phù hợp với giá trị giới hạn Với giả thiết chuỗi lưu lượng dòng chảy đại lượng ngẫu nhiên độc lập, từ Q X mẫu thống kê lưu lượng. .. thống kê hàng năm chuỗi lưu lượng lịch sử chuỗi lưu lượng hàng năm tính từ chuỗi lưu lượng hàng tháng sinh theo mơ hình FGar(1) mơ hình MGar(1) (1000 năm) a) Thạnh Mỹ Tham số Lịch sử FGAR(1) MGAR(1). .. dụng mơ hình FGar(1) mơ hình MGar(1) Mơ hình MGar(1) có tốc độ xử lý máy tính nhanh khoảng lần so với mơ hình Fgar(1) Mơ hình FGar(1) mơ hình MGar(1) bảo tồn tốt tham số thống kê hàng tháng: giá