Thông tin tài liệu
Trang 1/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích MỘT SỐ ỨNG DỤNG HAY VỀ TỶ SỐ THỂ TÍCH TRONG VIỆC GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM Từ Bộ Giáo Dục Đào Tạo chuyển hướng sang thi trắc nghiệm, việc dạy học mơn tốn có thay đổi để đáp ứng kì thi Giáo viên phải dạy học sinh hiểu rõ chất cách làm nhanh để đến kết Còn học sinh mong muốn giải tốn với đường đơn giản đáp số xác Sau xin biên soạn lại vấn đề hay gặp kì thi thử thi THPTQG, giúp em học sinh giải nhanh tốn liên quan đến thể tích khối đa diện I KIẾN THỨC CƠ SỞ +) Hai hình chóp có diện tích đáy tỷ số thể tích chúng tỷ số đường cao ngược lại +) Với khối chóp tam giác ta có tính chất quen thuộc sau Cho khối chóp tam giác S ABC Mặt phẳng ( P ) cắt đường thẳng SA, SB, SC V SA ' SB ' SC ' A', B ', C ' Khi ta có S A ' B ' C ' = ( *) VS ABC SA SB SC Chứng minh S Gọi H , H ' hình chiếu A, A ' mp ( SBC ) H’ C’ VS ABC = VA.SBC = AH SB.SC.sin BSC A’ VA '.SB ' C ' = A ' H '.SB '.SC '.sin B ' SC ' H B’ VS A ' B ' C ' AH ' SB ' SC ' C = A VS ABC AH SB SC A ' H ' SA ' Rõ ràng = AH SA B VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC Đây kết quen thuộc tốn mở đầu cho nhiều ứng dụng hay sau \ II MỘT SỐ TÍNH CHẤT Tính chất Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng ( P ) SA, SB, SC, SD A ', B ', C ', D ' Khi ta có SA SC SB SD + = + SA ' SC ' SB ' SD ' Chứng minh V Đặt VS ABCD = V VS ABC = VS ADC = VS BAD = VS BCD = Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 2/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' VS A ' B ' C ' V SA ' SD ' SC ' = = S A ' D ' C ' = V V VSABC SA SB SC SA SD SC 2 SA ' SB ' SC ' SA ' SC ' SD ' VS A ' B ' C ' + VS A ' C ' D ' VS A ' B ' C ' D ' + = = (1) V V SA SB SC SA SC SD 2 Tượng tự ta có SB ' SA ' SD ' SB ' SC ' SD ' VS B ' A ' D ' + VS B ' C ' D ' VS A ' B ' C ' D ' + = = ( 2) V V SB SA SD SB SC SD 2 Từ (1), (2) S SA ' SB ' SC ' SA ' SC ' SD ' + SA SB SC SA SC SD SB ' SA ' SD ' SB ' SC ' SD ' = + ( 3) D’ SB SA SD SB SC SD Nhân vào hai vế (3) với SA SB SC SD A’ I ta SA ' SB ' SC ' SD ' SA SC SB SD + = + SA ' SC ' SB ' SD ' D Suy điều phải chứng minh Ta có C’ B’ C O A B Tính chất ta áp dụng cho chóp có đáy hình bình hành Việc chứng minh Tính chất ta áp dụng tính chất (*) Tuy nhiên ta chứng minh Tính chất nhanh gọn sau : Gọi O tâm hình bình hành, I giao điểm SO ( A ' B ' C ' D ') Ta có cho SSA ' I SSC ' I 2SSA ' C ' SA '.SI SC '.SI SA '.SC ' Nhân hai vế đẳng thức sau + = + = SSAO SSCO S SAC SA.SO SC.SO SA.SC SA.SC.SO SA SC SO SB SD SO ta Chứng minh tương tự ta có + = + = SA '.SC '.SI SA ' SC ' SI SB ' SD ' SI Vậy ta có điều phải chứng minh *) Cách chứng minh cho ta kết mạnh Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 3/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Kết : Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng ( P ) SA, SB, SC, SD A ', B ', C ', D ' Khi ta có SA SC SB SD SO + = + = SA ' SC ' SB ' SD ' SI Kết cịn chứng minh nhiều cách khác Nó kết hay ứng dụng nhiều hình học khơng gian Tính chất ứng dụng nhiều tốn tìm thiết diện thể tích khối đa diện SA SB SC SD Đặt x = ; y= ; z= ; t= ( x, y, z, t )(**) SA ' SB ' SC ' SD ' Vận dụng Tính chất (*) Tính chất ta có VS A ' B ' C ' D ' VS A ' B ' C ' VS A ' D ' C ' SA ' SB ' SC ' SA ' SD ' SC ' = + = + VS ABCD 2VS ABC 2VS ADC SA SB SC SA SD SC 1 1 y+t x+ y+ z +t = + = x + z = y + t Ta có = xyz xtz xyz xyz Kết : VS A ' B ' C ' D ' x + y + z + t với x, y , z , t xác định (**) = VS ABCD xyzt Chú ý : Nếu A ', B ', C ', D ' thuộc cạnh SA, SB, SC, SD x, y, z, t Kết áp dụng vào giải toán thể tích khối chóp có đáy hình bình hành cách nhanh gọn đơn giản thay cho việc phải chia khối chóp tứ giác loại thành khối chóp tam giác để sử dụng Tính chất (*) Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SB , V điểm P thuộc cạnh SD cho SP = 2PD Mặt phẳng ( AMP ) cắt SC N Tỷ số S AMNP VS ABCD Giải S Ta có SA SC SB SD SC + = + 1+ = 2+ SA SN SM SP SN N P SC = M SN D A + + + V 2= Vậy S AMNP = VS ABCD 30 4.1.2 2 C B Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 4/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Ví dụ Cho hình chóp S ABCD tích V , đáy ABCD hình vng Cạnh SA ⊥ ( ABCD ) SC hợp với đáy góc 30 Mặt phẳng ( P ) qua A vng góc với SC , cắt cạnh SB, SC, SD E, F , K Thể tích khối chóp S AEFK Giải SA2 SE SB SB Ta có SA = SE.SB = = SB SB SE SA2 SB SD SD SD Tương tự = = nên SE SK SK SA SC SC Mà = =4 SF SA2 ( SCA vuông A, SCA = 300 ) SC SB SD SB SD nên +1 = + =5 = = SF SE SK SE SK 2 VS AEFK 10 V V = = VS AEFK = S ABCD = VS ABCD 4.1.4 10 10 10 2 Ví dụ Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng ( P ) chứa cạnh AB qua điểm M SC chia khối chóp S ABCD thành hai phần tích SM Tính tỷ số k = SC Giải AB ( P ) Gọi N = ( P ) SC ta có nên MN CD AB CD SM SC SD Ta có k = = = SC SM SN k 1 1+1+ + V k k =1 Khi SABMN = VSABCD k 1 1+ 5 −1 − −1 = = k= k k k 2 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành I nằm SC cho IS = IC Mặt phẳng ( P ) chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD M , N Gọi V ',V thể tích V' khối chóp S AMIN S ABCD Tính giá trị nhỏ tỉ số thể tích V Giải Giáo viên: Nguyễn Hồng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 5/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích SB SD = x, = y x, y SM SN 5 Ta có x + y = + = x + y = 2 Đặt Ta có V' 2= = = V xy x + y 15 x y.1 x + y +1+ Dấu xảy x = y = Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Mặt phẳng ( ) thay đổi qua B , trung điểm I SO cắt cạnh SA, SC SD V M , N P Tính GTNN GTLN cùa tỷ số S BMPN VS ABCD Giải SA SC = x, = y x, y SM SN SA SC SB SD SO Ta có + = + = =4 SM SN SB SP SI Đặt SD = 3; x + y = Từ SP VS BMPN 2 = = = VS ABCD 4.x y.3.1 3xy 3x ( − x ) Từ x + y = x = − y y Xét 2( − 2x) =0 x=2 f ( x) = , x f '( x ) = 3x ( − x ) 3x ( − x ) Ta có f (1) = f ( 3) = ; f ( ) = V Vậy S BMPN đạt GTNN, GTLN , VS ABCD Nhận xét Qua năm ví dụ ta thấy lợi hại Kết đem lại Vừa nhanh, dễ sử dụng mà hiệu cực tốt Rất hợp cho học sinh việc làm trắc nghiệm Nên Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 6/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Tính chất Cho lăng trụ ABC A1B1C1 có điểm M , N , P thuộc cạnh V x+ y+z AM BN CP AA1 , BB1 , CC1 cho = x, = y, = z Khi ta có tỷ số ABCMNP = AA1 BB1 CC1 VABC A1B1C1 Chứng minh Ta có VABCMNP = VM ABC + VM BCPN , đặt V = VABC A1B1C1 dễ thấy VA.BCC1B1 = 2V + Ta có d ( M ;( ABC )).S ABC VM ABC d ( M ;( ABC )) AM = = = = x V d ( A1;( ABC ).S ABC d ( A1;( ABC ) AA1 x Suy VM ABC = V (1) Do AM / / ( BCC1 A1 ) VM BCPN = VA.BCPN Nên VM BCPN VA.BCPN S BCPN ( CP + BN ) d ( P; BB1 ) yBB1 + zCC1 y + z = = = = = ( BB1 = CC1 ) VA.BCC1B1 VA.BCC1B1 S BCC1B1 BB1.d ( P, BB1 ) BB1 VM BCPN y + z y + z 2V y + z = VM BCPN = = V ( ) VA.BCC1B1 2 3 Vậy từ (1) , ( ) ta có VABCMNP = VM ABC + VM BCPN = x+ y+z V x+ y+z V ABCMNP = VABC A1B1C1 VA.MNP x V y+z = , M BCPN = VABC A1B1C1 VABC A1B1C1 Ví dụ Cho khối lăng trụ ABC ABC , có M , N , P thuộc cạnh AA, BB, CC cho AM = MA, BN = 3NB, CP = 3PC Đặt V1 thể tích khối đa diện ABCMNP , V2 thể V tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số V2 Đặc biệt: Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 7/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Giải Ta có MA BN = ; BN = 3NB = ; AA BB CP CP = 3PC = CC Đặt V = VABC ABC Suy 3 V1 + + 2 = = V1 = V V2 = V − V1 = V V 3 3 V =2 V2 Ví dụ Cho khối lăng trụ ABC ABC tích V , điểm M , N , P thuộc cạnh AA, BB, CC cho AM = 2MA, BN = 3NB, CP = x.PC Đặt V1 thể tích khối V đa diện ABC.MNP , tính giá trị x để = V Giải Ta có MA = MA AM BN = ; BN = NB = ; AA BB CP x CP = xPC = CC x + Suy x + + V1 x + 17 x = = + = V 12 x + x 23 23 = x= x + 60 37 MA = MA Ví dụ Cho khối lăng trụ ABC ABC tích 60cm3 , điểm M , N , P thuộc cạnh AA, BB, CC cho AM = 2MA, BN = 3NB, CP = 4PC Thể tích khối đa diện BC.MNP Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 8/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Giải Ta có AM BN = ; BN = NB = ; AA BB CP CP = PC = CC Nên + + VABCMNP = 133 = VABCA ' B ' C ' 180 MA = MA 133 133 60 = 180 1 2 40 Mà VM ABC = d ( M ; ( ABC ) ).S ABC = d ( A '; ( ABC ) ).S ABC = VABC A ' B ' C ' = 3 133 40 Vậy VBCMNP = − = 31( cm3 ) 3 Nhận xét Các toán dạng xuất nhiều khối khối có cơng thức tính thể tích chóp hay lăng trụ Thay việc phải phân chia khối thành khối có cơng thức tính, ta có kết nhanh xác Ví dụ Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có G, G ' lần B lượt trọng tâm ABC, A ' B ' C A G Mặt phẳng ( ) cắt AA', BB ', CC ', GG ' M , N , P, I Chứng minh M C AM BN CP GI N + + = AA ' BB ' CC ' GG ' I Chứng minh Đặt AM BN CP GI ; x= ,y= ,z = ,t = AA ' BB ' CC ' GG ' B’ P VABC A ' B ' C ' = V Dễ thấy A’ G’ V VAGB A ' G ' B ' = VCGB.C ' G ' B ' = VAGC A ' G ' C ' = C’ V x+ y +t V z + y + t VCGAPIN z + y +t Ta có AGBMIN = Tương tụ ta có CGBPIN = ; = VVAGB A 'G ' B ' VVCGB C 'G ' B ' VVCGA.C 'G ' A ' VABCMNP = Cộng vế với vế đẳng thức ta 3VABCMNBP x + y + t z + y + t z + y + t ( x + y + z ) = + + = +t V 3 3 Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 9/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích 3VABCMNBP x+ y+z x+ y+z Ta điều phải chứng minh = = x + y + z nên t = V 3 V GI Từ kết ta có ABCMNBP = VABC A ' B ' C ' GG ' Nhận xét Dựa vào kết ta thấy rẳng cần biết ( ) cắt GG ' vị trí điểm I xác định Mà ta biết ( ) chia lăng trụ thành hai phần với tỉ số Tính chất Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Mặt phẳng ( ) cắt cạnh AA', BB ', CC ', DD ' M , N , P, Q cho AM BN CP DQ = x, ' = y , = z, =t ' ' AA BB CC DD' Khi ta có : a x + z = y + t V x+ y+ z +t x+ z y+t b ABCDMNQP = = = VABCD A ' B ' C ' D ' 2 Chứng minh a Dễ thấy tứ giác MNPQ hình bình hành Gọi I , O tâm hình bình hành MNPQ hình vng ABCD Ta có OI đường trung bình hình thang AMPC nên AM + CP BN + DQ Tương tự OI = , OI = 2 AM + CP = BN + DQ xAA'+zCC'=yBB'+tDD' x + z = y + t b Áp dụng Tính chất ta có VABDMNQ 2VABDMNPQ VABDMNQ x+ y+t x+ y+t x+ y +t = = = VABD A ' B ' D ' VABCD A ' B ' C ' D ' VABCD A ' B ' C ' D ' VBCDNPQ y+ z +t tương tự = VABCD A ' B ' C ' D ' Do đó, VABCDMNPQ VABDMNQ VBCDNPQ x+ y+t y + z +t x+ y + z +t + y +t = + = + = VABCD A ' B ' C ' D ' VABCD A ' B ' C ' D ' VABCD A ' B ' C ' D ' 6 = x+ y+ z +t x+ y+ z +t = x+ y+ z +t + x + y + z + t OI = VABCD A ' B ' C ' D ' OO ' Nhận xét Một kết tương tự Tính chất Ở lăng trụ tổng ba tỉ số chia ba, cịn hình hộp chia bốn Chú ý : VABCDMNQP = Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 10/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Và cần biết ( ) cắt đoạn thẳng nối hai tâm đáy đâu ta tìm tỷ số hai khối tạo thành ( ) cắt hình hộp Tuy nhiên, Tính chất khẳng định cần biết hai tỉ số hai cạnh bên đối diện hình hộp mà ( ) cắt ta tìm tỉ số thể tích khối Ví dụ 10 Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABCD tích 2110 Biết AM = MA, DN = 3ND CP = 2C P Mặt phẳng ( MNP ) chia khối hộp cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ Giải ( MNP ) cắt BB’ Q AM CP Từ giải thiết ta có = ; = AA ' CC ' Do AM CP + + VABCDMNPQ AA ' CC ' 3= = = VABCD A ' B ' C ' D ' 2 12 7385 2110 = 12 7385 5275 Vậy VA ' B ' C ' D ' MNPQ = 2110 − = 6 Ví dụ 11 Cho hình lập phương ABCD ABCD có N trung điểm CC Mặt phẳng ( ) qua AN , cắt cạnh BB ', DD M , P ( ) chia khối lập phương thành hai phần có V thể tích tương ứng V1 V2 (V1 V2 ) Tính tỉ số V1 Từ giải thiết ta có AA CN + + VABCDPNM 2=1 = AA ' CC ' = VABCD A ' B ' C ' D ' 2 VABCDPNM V Nên = =3 VAMNPA ' B ' C ' D ' V1 VABCDMNPQ = Kết luận Việc áp dụng tính chất vào lớp tốn thể tích tương ứng hữu ích Nó làm cho việc giải tốn trắc nghiệm em học sinh nhanh gọn nhẹ nhàng nhiều so với việc giải truyền thống Hy vọng giúp em đạt kết cao kỳ thi tới III MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 91/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích S M N G P D A O B C Ta có AG cắt SC trung điểm N SC SA SM SN SP 1 1 = 1, y = = ,z = = ,t = Với x = ta có: + = + t = SA SB SC SD x z y t xyzt 1 1 V Do đó: VS AMNP = + + + V = Chọn B x y z t Câu 49 Cho hình chóp S.ABCD tích V , đáy hình bình hành tâm O Mặt phẳng ( ) qua A , trung điểm I SO cắt cạnh SB , SC , SD M , N , P Tính thể tích nhỏ khối chóp S.AMNP V A 18 B V D 3V C V Lời giải Chọn C S N P I M D A O B Với x = ( C SA SM SN SP 1 1 = 1, y = ,z = ,t = ta có: + = + xét tam giác SAC ta có : SA SB SC SD x z y t ) SO 1 SC 1 SA + SC SI = SA + SN SI = SA + SN SI 2 SN 4 z 1 =1 z = Mặt khác ba điểm A , I , N thẳng hàng nên + 4z 1 1 t Do : + = + = y = y t 1 4t − SO = Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 92/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Vì VS AMNP = xyzt 1 1 2t 1 V + + + V = f ( t ) = V f ( t ) = f = 1 x y z t ( 4t − 1) 2 ;1 1 Dấu đạt t = , y = Tức mặt phẳng ( ) qua trung điểm cạnh SB , SD 2 Chọn C Câu 50 Cho khối tứ diện ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng A qua D Mặt phẳng qua CE vng góc với mặt phẳng ( ABD ) cắt cạnh AB điểm F Tính thể tích V khối tứ diện AECF A V = 2a 30 B V = 2a 60 C V = 2a 40 D V = 2a 15 Lời giải Chọn D A F M G B K D M C E Gọi G trọng tâm tam giác ABD CG ⊥ ( ABD ) Do : F = EG AB ( CEF ) mặt phẳng cần dựng MG MD KD KG GD KB = = GD // BE = = = = MB ME KB KE BE KD FA KB ED FA FA =1 = = Vì F , K , E thẳng hàng nên ta có : FB KD EA FB FB AF AF AE 2a 2a = V = VABCD = = Chọn D AB AB AD 12 15 Ta có : Câu 51 Cho khối lăng trụ ABC.A B C có chiều cao đáy làm tam giác cạnh Gọi M , N , P trung điểm cạnh B C , C A , A B Thể tích khối đa diện có đỉnh A, B, C , M , N , P A 21 B 12 C 24 D Lời giải Chọn D Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 93/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích N A' C' M P B' C A B Ta có SABC 42 4 VABC A B C 32 Các hình chóp A.A NP , B.B MP , C.C MN hình chóp có đáy tam giác có cạnh thể tích VA A NP VABCMNP 22 SA NP S A NP VABCA B C , chiều cao 3 3VA A MP 32 24 Chọn C Câu 52 Cho lăng trụ ABC.A B C có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M , N , P tâm mặt bên ABB A , ACC A , BCC B Thể tích khối đa diện có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A 27 B 21 C 30 D 36 Lời giải Chọn D A' C' B' N I L M P K C A B Ta có SABC 62 VABC A B C 72 Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 94/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Gọi I , K , L trung điểm AA , BB , CC Từ ta có: VABCMNP VABC A B C VB.KMP VA IMN VC LPN VA B C IKL V 36 ABC A B C BK BM BP 1 VB.KMP V BB BA BC 8 B B A C Trong VA B C IKL VB.KMP VB B A C Mà VB.KMP VA IMN VC LPN VABCMNP 72 3.3 36 1 V ABC A B C 72 24 3 27 Chọn A Câu 53 Cho khối lăng trụ ABC A B C tích V ,trên cạnh AA , BB , CC lấy điểm M,N , P cho AM AA , BN 2 BB , CP CC Thể tích khối đa diện ABCMNP A 2V B 4V C V D 5V Lời giải Chọn B xyz AM BN CP ,y ,z VABC MNP V V Chọn đáp án B AA BB CC Câu 54 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích 1.Gọi M , N lần Có x lượt điểm cạnh SB, SD cho MS MB , ND 2NS Mặt phẳng CMN chia khối chóp cho thành hai phần,thể tích phần tích nhỏ A 25 B 12 C 25 D 48 Lời giải Chọn D Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 95/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Ta có x x z SC SM 1; y ;z SC SB 1 1 z y t z Khi VS CMPN xyzt x y z SP ;t SA SN SD V t S ABCD Chọn đáp án D 48 Câu 55 Cho khối lăng trụ ABC.A B C tích V Các điểm M , N , E điểm nằm cạnh A B , A C , AB cho MA 3MB , NC NA , EB 3EA Mặt phẳng MNE cắt AC F Thể tích khối đa diện lồi BEFCC MNB A 59 V 72 B V 24 C V D 41 V 72 Lời giải ChọnA Goị lượt diện tích đáy chiều cao lăng trụ S , h lần cho Có MNE dạng SA MN ABC EF / / MN với A' MN theo tỷ số k AM AN SACB S AB AC 2 3S ; S AEF S A MN 3S AE A' M AEF đồng Do S 24 Do áp dụng cơng thức thể tích khối chóp cụt ta có VAEF A MN h S AEF Vì VBEFCC MNB SAEF SA MN VABC A B C SA MN VAEF A MN h S 24 13 V 72 S 3S 24 3S 13 S.h 72 59 V Chọn đáp án 72 Câu 56 Cho khối chóp S.ABC tích V Mặt phằng 13 V 72 A P song song với đáy cắt cạnh SA , SB , SC lần luotj D , E , F Gọi D1 , E1 , F1 tương ứng hình chiếu vng góc D , E, F lên mp ABC (tham khảo hình vẽ).Khối đa diện DEF D1 E1 F1 tích lớn Giáo viên: Nguyễn Hồng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 96/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích A V V 12 B C 4V D 2V Lời giải Chọn C Đặt x Và SD SA SE SB SF SC d D , ABC AD AS d S , ABC Vì VDEF D1E1F1 3V x.x 2 2x x ; ta có AS SD AS x x 2x EF BC d D , ABC FD CA x SDEF x2SABC x d S , ABC x2SABC x d S , ABC SDEF d D , ABC 3V x DE AB x x 3V 4V Chọn đáp án C Câu 57 Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác vng C , cạnh bên SA vng góc với đáy Biết Dấu đạt x SA AB 2x x 2a Gọi H , K hình chiếu A lên SB, SC Khối chóp S.AHK tích lớn A 2a B 3a C 3a D 2a Lời giải Chọn A Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 97/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Đặt CA x Do VS ABC CB AB2 S SA ABC CA2 4a2 ax 4a2 x2 SABC CA.CB x 4a 2 x2 x2 Ta có SH SK V SB SC S ABC VS AHK 2 SA SA VS ABC SB SC Dùng bất đẳng thức AM-GM có: 4a2 Suy ra: VS AHK 2a3 2 x2 4a 4a ax 4a 2 2 8a 4a x 4a2 x2 2x2 4a 2a x 4a x2 4a2 x2 x2 x2 x2 2 x 4a x2 2a3 Câu 58 Cho khối lăng trụ ABC.A B C tích Gọi M , N trung điểm AA , BB Đường thẳng CM cắt đường thẳng A C P , đường thẳng CN cắt đường thẳng B C Q Thể tích khối đa diện lồi A B MNPQ A B C D Lời giải Chọn D Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 98/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích * Ta có: VA B MNPQ VC C PQ VCMNA B C (1) * Dễ thấy A , B trung điểm C P , C Q nên S VC C PQ * Vì S S ABNM V A B C ABC 4VC C A B Suy VCMNC A B A B NM S ABB A VA B C ABC * Từ (1), (2) (3), ta được: VA B MNPQ 4S ABC Do (2) nên VC ABNM VC ABNM C PQ V C A B BA V A B C ABC (3) 3 Câu 59 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tích V Gọi P điểm cạnh SC cho SC 5SP Một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB SD M N Gọi V1 thể tích khối chóp S.AMPN Giá trị lớn A 15 B 25 C 25 D V1 V 25 Lời giải Chọn C Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 99/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Đặt x SA SA Khi đó, y t x Chứng minh: V1 SP SC SM ; z SB 1; y z VS AMPN y ;t t 6t 1 xyzt x SN SD y t z y, t 1 V t S ABCD Ta có: VS AMP VS ABC SA SM SP SA SB SC xyz VS APN VS ACD SA SP SN SA SC SD xzt VS APN xzt.VS ACD VS APN xyz xzt V VS AMPN VS AMP VS AMP xyz.VS ABC xyz VS ABCD xzt VS ABCD 1 xyzt t xyzV xztV (*) y Mặt khác: VS AMN VS ABD SA SM SN SA SB SD xyt VS AMN xyt.VS ABD xyt VS ABCD VS MNP VS BDC SM SN SP SB SD SC ytz VS MNP yzt.VS BDC yzt VS ABCD VS AMPN VS AMN VS MNP xyt yzt V Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 1 xyzt z xytV yztV (**) x 0905193688 Trang 100/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Cộng hai vế (*) (**), ta có: 2VS AMPN Ta có: V1 1 xyzt x y V t S ABCD 1 xyzt x VS AMPN y z VS AMPN V t S ABCD 1 xyzt x ytV y V1 V z (đpcm) V t S ABCD yt 3t 6t 1 3t ;1 6t Xét hàm số f t f t z 6t 2t 6t t ;1 t ;1 Bảng biến thiên: Vậy max f t ;1 f 25 Câu 60 Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tích Gọi M, N trung điểm cạnh AD SC ; đường thẳng BM cắt AC P Thể tích khối tứ diện ABNP A 16 B 12 C D 24 Lời giải Chọn B Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 101/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Xét tam giác ABD có P trọng tâm S ABP S ABD S ABCD 1 1 1 d N, ABP S ABP d S, ABCD SABCD VS ABCD 3 12 12 Câu 61 Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C tích 72 Gọi M trung điểm cạnh A B ; VABNP B C , BP BC Đường thẳng NP cắt BB E ; đường 4 thẳng ME cắt AB Q Thể tích khối đa diện ACPQA C NM bằng: điểm N , P thỏa mãn B N A 55 B 59 C 52 D 56 Lời giải Chọn B Thể tích khối lăng trụ cho V0 Do SB MN BM BN S B A B C BAC Sh S EP 72 Ta có EN S ; SBQP EQ EM S B MN EB EB S BP BN BC BC ; S 24 Vì khối chóp cụt BQP.B MN tích là: Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 102/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích h S B MN VBQP B MN Do đó: VACPQA C NM SBQP h S SB MN SBQP VABC A B C VBQP.B MN S 24 72 13 S S 24 13 Sh 72 59 Chọn đáp án 13 B Cách 2: Dùng tỉ số thể tích có: VE.B MN S d E , B MN B MN VE.BQP EB EQ EP V EB EM EN E.B MN VBQP B MN VE.B MN Vì VACPQA C NM VE.BQP VABC A B C 3 S h V 16 Sh 27 16 V 144 V 144 13 V 72 16 VBQP.B MN 72 13 13 59 Chọn đáp án B Câu 62 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C Các mặt phẳng ABC A B C chia khối lăng trụ cho thành khối đa diện Kí hiệu H , H khối đa diện tích lớn nhất, nhỏ Giá trị A VH VH bằng: B C D Lời giải Chọn C Gọi E AC AC; F BC B C có khối đa diện cần tìm là: ABCEF ; ABB A EF ; A B C EF ; CEFC Đặt V VABC A B C ta có VC A B C V ; VABB A C 2V Theo công thức tỉ số thể tích có: Giáo viên: Nguyễn Hồng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 103/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích CE CF V CA CB C A B C VCEFC VA B C EF VC A B C CA CA Và với x 1 V 2 VCEFC V CB CB 1; z 1; y V 12 V 12 V CF CB ;t CE CA theo công thức tính nhanh tỉ số thể tích có : 1 xyzt x VC ABEF Suy ra: VABB A EF y z V t ABB A C VABB A C VC ABEF 2V 1 1.1 1 2 V 5V 12 VH 2V V 5V ; VH 12 V 12 VH VH Chọn đáp án C Câu 63 Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành thể tích Gọi M điểm đối xứng C qua B ; N trung điểm cạnh SC Mặt phẳng MDN chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, thể tích khối đa diện đỉnh S bằng: A B C 12 19 D 12 Lời giải Chọn D • Gọi P MN SB P trọng tâm SCM giao hai đường trung tuyến SB , MD AB Q trung điểm MD MN • Gọi Q • Ta có: VBCDQNP • VM CDN VM BQP 1 V 2 M CDN VM CDN MB MQ MP V MC MD MN M CDN V M CDN Mặt khác : Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 104/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích VM CDN SMCD d N , ABCD VS ABCD SABCD d S , ABCD VN MCD CD.CM 1 VS ABCD VS ABCD CD.CB 2 5 • Vậy VBCDQNP Chọn đáp án D VSANPQD VS ABCD VBCDQNP 12 12 12 Câu 64 Cho hình lăng trụ ABC.A ' B' C ' có đường cao đáy tam giác cạnh Gọi M , N trung điểm cạnh AA ', BB ' Đường thẳng CM cắt đường thẳng A ' C ' P ; đường thẳng CN cắt đường thẳng B' C ' Q Thể tích khối đa diện có đỉnh điểm A, B, C , P, Q, C ' A 120 B 140 C 168 D 192 Lời giải Chọn C AC MA PA ' AC A ' C ' A ' trung điểm PC ' Tương tự B ' QC ' Khối PA ' MA ' chóp cụt ABC.PQC ' có chiều h , diện tích đáy Ta có S1 SABC Do VABC PQC ' 3, S2 h S SPQC ' S2 S1S2 4.S1 36 3 36 3.36 168 Vậy chọn C Câu 65 Cho hình hộp ABCD.A' B' C ' D' có đường cao đáy hình vng cạnh Gọi M , N , P , Q tâm mặt ABB ' A ', BCC ' B ', CDD ' C ', DAA ' D ' Thể tích khối đa diện có đỉnh điểm A, B, C , D, M, N , P, Q, A 108 B 168 C 96 D 120 Lời giải Chọn D Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Trang 105/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Thể tích khối hộp cho V 62.8 288 Gọi E, F , G, H trung điểm AA', BB ', CC ', DD ' Ta có VACBDMNPQ VABCDGH VA MNQ V , V A MNQ VB MFN DH DP DQ V DD ' DC ' DA ' D D 'C ' A ' 1 1 V V 2 48 VABCDGH Vậy VACBDMNPQ V V 48 VB MFN VC NGP V 48 VC NGP VD.PHQ VD PHQ V 48 V 48 V 12 120 Vậy chọn D Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 ... giác EBC EAB Khi đó: EQ EP = = EM EN ED EQ EP 2 VE BMN = VE BMN = VE BMN Ta có VE DQP = EB EM EN 3 VBMNDQP = VE BMN − VE DQP = VE BMN d ( E ; ( ABC ) ) EB = =2 Lại có S BMN = S... điểm SO ( A '' B '' C '' D '') Ta có cho SSA '' I SSC '' I 2SSA '' C '' SA ''.SI SC ''.SI SA ''.SC '' Nhân hai vế đẳng thức sau + = + = SSAO SSCO S SAC SA .SO SC .SO SA.SC SA.SC .SO SA SC SO SB SD SO ta... sử cắt viên đá khối chóp tứ giác S.ABCD theo mặt phẳng ( MNPQ ) song song với ( ABCD ) hình vẽ SM SN SP SQ = = = = x Theo Ta-let ta có: SA SB SC SD Theo giả thiết ta có: VS MNPQ VS MNP + VS
Ngày đăng: 26/02/2023, 15:15
Xem thêm:
