TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI VÒNG II OLYMPIC NĂM HỌC 2022 2023 Môn Toán 8 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (6,0 điểm) 1) Cho biểu thức 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x P x x x x x x [.]
TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG ĐỀ THI VÒNG II OLYMPIC NĂM HỌC 2022-2023 Mơn : Tốn Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (6,0 điểm) 1) Cho biểu thức x2 x x 1 x2 P : x x 1 x x x2 x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P 2) Giải phương trình x x Bài (4,0 điểm) 2 1) Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun x y 2010 2) n Tìm số tự nhiên n để 2 36 số nguyên tố Bài (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức T x 12 x2 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AB AC , đường cao AH Gọi M , N hình chiếu H AB, AC Đường thẳng qua A vng góc với MN I, cắt BC K 1) Chứng minh AN AC AB AM 2) Chứng minh K trung điểm BC 2 3) Chứng minh AB BH HC AM BM AN NC AK 4) Tìm điều kiện tam giác ABC để diện tích hình chữ nhật AMHN lớn n 2 n n 1 Bài (1,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n ta có 26.5 59 ĐÁP ÁN Bài (6,0 điểm) x2 x x 1 x2 P : x 2x 1 x x x2 x 3) Cho biểu thức c) Tìm điều kiện xác định rút gọn P ĐKXĐ: x 0 x 1 x x 1 x 1 x x2 : x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x2 : : 2 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x P x x x 1 x x x 1 : x2 2x 1 x x x x x 1 x2 P x Vậy x 0, x 1 P d) Tìm x để P x2 P x x (tm) x x x x 0 x 1 x 1 0 x 1(ktm) 1 P x 2 Vậy 2 4) Giải phương trình x x 1 Với x 0, pt x x 1 1 *) x 3 1 x x 1( PTVN ) *)0 x 3 1 x x x 1(tm) Với x 0, phương trình cho trở thành x x 1 *) x 0, x x 1( PTVN ) *) x 3, x 2( ktm) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 1 Bài (4,0 điểm) 2 3) Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun x y 2010 2 Giả sử phương trình cho có nghiệm nguyên x0 ; y0 x0 y0 2010 2 2 Ta thấy x0 y0 chia cho có số dư 1, nên x0 y0 chia cho có số dư hoặc Vế phải 2010 chia cho dư (mâu thuẫn với điều giả sử ) Vậy phương trình cho khơng có nghiệm nguyên n Tìm số tự nhiên n để 4) Ta có : n 2 2 36 số nguyên tố 36 n 16n2 100 n 10 36n n 10 6n n 10 6n n Để 2 36 2 số nguyên tố, điều kiện cần n 10 6n 1 n 10 6n số nguyên 2 tố nên n 10 6n 1 n 3 0 n 3 n 36 Thử lại: với n 3 số nguyên tố Bài (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức T x 12 x2 2 x 12 x x 16 x x T 1 x x 4 x2 x 4 MinT x 2 x 1 x 12 x 16 x x T 4 4 x x 4 x2 x2 MaxT 4 x 1 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AB AC , đường cao AH Gọi M , N hình chiếu H AB, AC Đường thẳng qua A vng góc với MN I, cắt BC K B H M K I N A C 5) Chứng minh AN AC AB AM Ta có HAC ∽ NHA, NHA ∽ AMN AMN ∽ ACB AN AM AB AC AN AC AB AM (dfcm) 6) Chứng minh K trung điểm BC Chứng minh AKC cân K nên K trungg điểm BC 2 7) Chứng minh AB BH HC AM BM AN NC AK 2 Ta có : AB AC BC AH BH AH CH BH CH AH BH HC 2 Do AB AH BH BH CH BH BH CH BH BH BC 2 Cmtt ta AM BM HM , AN CN HN 2 2 Mà HM HN MN AH AK 8) Tìm điều kiện tam giác ABC để diện tích hình chữ nhật AMHN lớn Diện tích hình chữ nhật AMHN lớn AM AN AMN ∽ ACB AN AM AB AC Vì Suy AB AC Do đó, tam giác ABC vng cân A diện tích hình chữ nhật AMHN lớn n 2 n n 1 Bài (1,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n ta có 26.5 59 Giải 5n 2 26.5n 82 n 1 51.5n 8.64n 59 5n 8.64n 59.5n 64n 5n Vì 64 n 5n 64 nên ta có điều phải chứng minh