Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN ÂN THI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức 2 2 1 2 5 1 2 1 1 1 1 x x A x x x x [.]
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN ÂN THI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2022-2023 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (1,5 điểm) x 1 2x A x x 1 x x 1 Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A x 2 A b) Tính giá trị Bài 2: (1,5 điểm) biết 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x y x y xy B 4x 4x b) Tìm giá trị lớn biểu thức Bài 3: (1,0 điểm) Chứng minh rằng: n 3n n chia hết cho 48 với số nguyên lẻ n Bài 4: (2,0 điểm) ( )( )( 1 ) [ ] 2.2017 = ( x ∈ N ¿) a) Giải phương trình: 1+ 1.3 1+ 2.4 1+ 3.5 … 1+ 2018 x ( x+2 ) 3 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x x y Bài 5: (1,0 điểm) Cho số dương a,b,c,d thỏa mãn a b c d 2 Chứng minh rằng: a4 b4 c4 d a3 b3 c3 d Bài 6: (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E , F trung điểm cạnh AB , BC M giao điểm CE DF a) Chứng minh CE vng góc với DF CM CE a b) Chứng minh CF CM K c) Gọi giao điểm DA Chứng minh tam giác MAD cân b) Tính diện tích tam giác MDC theo a = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP HUYỆN ÂN THI Năm học: 2022-2023 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (1,5 điểm) x 1 2x A x x 1 x x Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A x 2 b) Tính giá trị A biết Lời giải x 1 2x 1 A x 1,x x x 1 x x ĐKXĐ: a) 1 2x 5 x A x x 1 x x x x 1 x x x A x 1 1 x 1 x x2 A x2 x A 1 2x A x 1,x x với điều kiện b) Ta có |x|=2↔ ¿ 2 A 2.2 Khi x 2 2 A x Khi Bài 2: (1,5 điểm) 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x y x y xy b) Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải 2 a) x y x y xy x xy y x y x y x y x y 1 b) B x∈ R x x ĐKXĐ: B 4x 4x B x 1 2 2 x 1 2 x Vì nên Dấu " " xảy B x 1 x 0 x Vậy giá trị lớn biểu thức Bài 3: (1,0 điểm) 2 x 1 B 1 x x x Chứng minh rằng: n 3n n chia hết cho 48 với số nguyên lẻ n Lời giải Ta có: n3 3n n n n 3n 3 n n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 3 Vì n lẻ nên.n=2 k +1(k ∈ Z) n 1 n 1 n 3 2k 1 2k 1 2k Do 2k 2k 2k 8k k 1 k 1 k k 1 k 1 k k 1 k 1 Vì tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Mà ƯCLN 2,3 1 k k 1 k 1 8k k 1 k 1 nên chia hết cho , suy chia hết cho 48 Vậy n 3n n chia hết cho 48 với số nguyên lẻ n Bài 4: (2,0 điểm) ( )( )( ) [ ] 2.2017 = ( x ∈ N ¿) a) Giải phương trình: 1+ 1.3 1+ 2.4 1+ 3.5 … 1+ 2018 x ( x+2 ) 3 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x x y Lời giải a) Ta có: x x x 1 1 x x 2 x x 2 x x 2 22 32 42 ( x 1)2 2.2017 1.3 2.4 3.5 x( x 2) 2018 Do đó: (1) 2.3.4 x 1 2.3.4 x 1 2.2017 1.2.3 x 3.4.5 x 2018 x 1 2.2017 x 2 2018 x 2017 x 2018 x 2016 (thỏa mãn x ∈ N ¿) Vậy tập nghiệm phương trình cho S {2016} 1 x x x x y x y x 2 y x b) Ta thấy: 3 - Nếu y x x x x ( x 1) x x x x 3x 3x x 0 x x 0 x( x 1) 0 x x; y 0;1 ; 1; Suy y x 1 x x x x x 3x - Nếu y x x x x ( x 1) x Khơng có giá trị x ∈ Z thỏa mãn: x x; y 0;1 ; 1; Vậy Bài 5: (1,0 điểm) Cho số dương a,b,c,d thỏa mãn a b c d 2 Chứng minh rằng: a4 b4 c d a3 b3 c3 d Lời giải Từ giả thiết: a b c d suy 22 1.a 1.b 1.c 1.d 12 12 12 12 a2 b c2 d a b c d Lại có: 1.a 1.b2 1.c2 1.d 2 (1) 12 12 12 a b c d 2 2 2 2 4 4 Hay (a b c d )(a b c d ) 4(a b c d ) Từ (1) (2) 1.(a b c d ) 4(a b c d ) Mặt khác: a 3 b c d 2 a.a 4 b.b c.c d d 2 (2) (3) 2 (a2 b2 c2 d )(a b c d ) Từ (3) (4) suy a b3 c3 d 4 a b c d (4) a4 b4 c d 3 a b c d3 a b c d Dấu “=” xảy ra: Bài 6: (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E , F trung điểm cạnh AB , BC M giao điểm CE DF a) Chứng minh CE vng góc với DF CM CE a b) Chứng minh CF c) Gọi K giao điểm CM DA Chứng minh tam giác MAD cân d) Tính diện tích tam giác MDC theo a Lời giải K B A E F E M D C a) Chứng minh CE DF ABC= ^ BCD=^ CDA= ^ DAB=900; AB BC CA DA a Vì ABCD hình vng nên ^ Vì E F trung điểm AB BC nên AE EB BF FC Xét BEC CFD có: BEC CFD(c.g.c) ^ =^ C D 1 ^1+ C ^2=90 Mà C ^2 =900 ^ D1 + C CE DF M CM CE a b) Chứng minh CF Xét CMF CBE có: ^ chung C CMF ∽ CBE ( g.g) CM CF CB CE CM CE CB CF CM CE a Vậy CF c) Chứng minh MAD cân Xét AEK BEC có: ^ EAK = ^ EBC=900 AE EB (gt) ^ (2 góc đối đỉnh) ^ AEK =BEC AEK BEC (g.c.g) AK BC Mà BC AD AK AD Xét DMK vuông M có MA đường trung tuyến ứng với cạnh huyền KD MA AD AK MAD cân A CMD S d) Tính SMDC theo a Xét CMD FCD có: ^ D1chung FCD (g.g) 2 S CD CD CMD SCMD SFCD SFCD FD FD SFCD Ta có: 1 a2 CF.CD a.a 2 2 Xét CDF vuông C có: FD CF CD (định lý Py-ta-go) a 5a FD a 2 2 CD a2 5a FD 4 a2 a2 SCMD 5 Do đó: Vậy SCMD a2 (đvdt) = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =