Chuong 3 Công thc xp xi Xấp xỉ PP Siêu bội bằng PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức bằng PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức bằng PP Chuẩn Công thức xấp xỉ 1 Xấp xỉ PP Siêu bội bằng PP Nhị thức 2 Xấp xỉ PP Nhị t[.]
Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Nguyễn Ngọc Ái Vân Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Phân phối Siêu bội Xét tập hợp gồm N phần tử có M phần tử có tính chất ℘ Chọn khơng hồn lại ngẫu nhiên n phần tử gọi X số phần tử có tính chất ℘ n phần tử chọn ra, X có phân phối siêu bội, ký hiệu X ∼ H(N, M, n) C x C n−x P(X = x) = M N−M CNn Phân Phối Nhị thức Xét tổng thể (kích thước lớn) mà tỷ lệ phần tử có tính chất A p Chọn khơng hồn lại ngẫu nhiên n phần tử Gọi X số phần tử có tính chất A n phần tử Khi X có phân phối Nhị thức X ∼ B(n, p) P(X = k) = Cnk p k (1 − p)n−k , Nguyễn Ngọc Ái Vân x = 0, 1, 2, , n Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Xấp xỉ phân phối Siêu bội phân phối Nhị thức Điều kiện: n nhỏ so với N Cụ thể: n ≤ 0.01N Khi đó: H(N, M, n) −→ B(n, p = M/N) VD Một vườn lan có 10.000 nở hoa, có 1.000 hoa màu đỏ 1) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 20 lan có hoa màu đỏ 2) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 50 lan 10 có hoa màu đỏ 3) Có thể tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 200 lan có 50 hoa màu đỏ khơng ? Nguyễn Ngọc Ái Vân Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Liên hệ Phân phối Nhị thức Phân phối Poisson 1) Một ĐLNN X gọi có phân phối Poisson với tham số λ, kí hiệu X ∼ P(λ), giá trị số ngun khơng âm, có hàm khối xác suất P(x) = P(X = x) = e −λ λx x! với x = 0, 1, 2, 2) Nếu ĐLNN X có phân phối Nhị thức, X ∼ B(n, p) P(X = x) = Cnx p x (1 − p)n−x , x = 0, 1, 2, , n 3) Với x = 0, 1, 2, , ta có giới hạn sau: lim C x p x (1 − p)n−x = e −λ n→∞ n p→0 np→λ Nguyễn Ngọc Ái Vân Công thức xấp xỉ λx x! Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Nhị thức xấp xỉ Poisson X ∼ B(n, p) ⇒ X ∼ P(λ = np) Điều kiện: n lớn p nhỏ Cụ thể: p ≤ 5% , n ≥ 30 np < P(X = x) ≈ e −λ λx x! Ví dụ Last month your company sold 1,000 new watches Past experience indicates that the probability that a new watch will need repair during its warranty period is 0.002 Compute the probability that: no watch will need warranty work no more than watches will need warranty work Nguyễn Ngọc Ái Vân Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Tính xác phân phối nhị thức: Gọi X số đồng hồ bị hư thời gian bảo hành (trong tổng số 1000 đồng hồ công ty sản xuất), suy X ∼ B(n, p) với n = 1000 đồng hồ; p = xác suất đồng hồ bị hư thời gian bảo hành = 0.002 Xác suất khơng có đồng hồ bị hỏng: P(X = 0) = f (0) = 13.51% Xác suất có khơng q đồng hồ bị hỏng: P(X ≤ 5) = F (5) = 98.35% Nguyễn Ngọc Ái Vân Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Tính xấp xỉ phân phối Poisson: Vì p ≤ 5% n > 30, nên ta xấp xỉ từ phân phối nhị thức phân phối Poisson: X ∼ P(λ = np = 2) Xác suất khơng có đồng hồ bị hỏng: P(X = 0) = f (0) = 13.53% Xác suất có không đồng hồ bị hỏng: P(X ≤ 5) = F (5) = 98.34% Nguyễn Ngọc Ái Vân Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Theorem (Central Limit Theorem) Cho X1 , X2 , , Xn BNN độc lập có kỳ vọng µ độ lệch chuẩn σ Đặt Sn = X1 + X2 + + Xn Đặt Zn = Sn − nµ √ Khi n −→ ∞, ta có σ n P(Zn ≤ z) −→ Φ(z) ∀ z Ý nghĩa: Khi n lớn, ta có: Sn − nµ √ P < z ∼ Φ(z) σ n với Φ(z) hàm Gauss Nguyễn Ngọc Ái Vân Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Hệ Khi n đủ lớn p không gần 0, không gần 1, phân phối Nhị thức B(n,p p) xấp xỉ phân phối Chuẩn N(µ, σ ), với µ = np σ = np(1 − p) Trong thực tế, người ta hay chọn điều kiện xấp xỉ: n > 30, np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5, 0.05 ≤ p ≤ 0.95 B(n, p) ≈ N(µ, σ ), Nguyễn Ngọc Ái Vân µ = np, σ = p np(1 − p) Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Điều chỉnh 0.5 Chú ý xấp xỉ phân phối nhị thức (giá trị nguyên rời rạc) phân phối chuẩn (giá trị thực liên tục) ta cần điều chỉnh 0.5 P(a ≤ X ≤ b) ≈ P(a − 0.5 < X < b + 0.5) P(X ≤ b) ≈ P(X < b + 0.5) P(X < b) ≈ P(X < b − 0.5) P(a ≤ X ) ≈ P(a − 0.5 < X ) P(X = a) ≈ P(a − 0.5 < X < a + 0.5) Nguyễn Ngọc Ái Vân Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Điều chỉnh 0.5 Ví dụ Cho X ∼ B(100, 0.4), tính xác suất P(20 ≤ X ≤ 40) P(X < 32) P(X ≥ 25) Hãy xấp xỉ X phân phối chuẩn tính lại xác suất Vì np = 40, nq = 60 > 5, nên ta xấp xỉ B(n = 100, p = 0.4) phân phối chuẩn √ N(µ, σ ), với µ = np = 60 √ σ = npq = Nguyễn Ngọc Ái Vân Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Nguyễn Ngọc Ái Vân Công thức xấp xỉ ... Vân Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Tính xấp xỉ phân phối Poisson: Vì p ≤ 5% n > 30, nên ta xấp xỉ từ phân phối nhị thức. .. Vân x = 0, 1, 2, , n Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Xấp xỉ phân phối Siêu bội phân phối Nhị thức Điều kiện: n nhỏ so... với Φ(z) hàm Gauss Nguyễn Ngọc Ái Vân Công thức xấp xỉ Xấp xỉ PP Siêu bội PP Nhị thức Xấp xỉ PP Nhị thức PP Poisson Xấp xỉ PP Nhị thức PP Chuẩn Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Hệ Khi n đủ lớn p không