Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MỴ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2019 iii Mục lục Bảng ký hiệu danh sách viết tắt Mở đầu Chương Bài toán điểm bất động tách tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert 1.1 Bài toán điểm bất động tách không gian Hilbert 1.1.1 Ánh xạ không giãn phép chiếu mêtric 1.1.2 Bài toán điểm bất động 1.1.3 Bài toán điểm bất động tách 10 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 11 1.2.1 Ánh xạ đơn điệu 11 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 13 1.2.3 Mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động 14 Chương Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng phân với ràng buộc điểm bất động tách 2.1 Bài toán phương pháp 2.1.1 Bài toán 2.1.2 Phương pháp 2.2 Sự hội tụ 2.2.1 Định lý hội tụ 2.2.2 Một số hệ 2.2.3 Ví dụ minh họa thức biến 17 17 17 19 20 20 30 33 iv Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Bảng ký hiệu danh sách viết tắt H 2H PC Fix(T ) VIP SFP SFPP không gian Hilbert thực tập tập H phép chiếu mêtric lên tập C tập điểm bất động ánh xạ T toán bất đẳng thức biến phân toán chấp nhận tách toán điểm bất động tách Mở đầu Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng h., i chuẩn k.k, C tập lồi, đóng khác rỗng H, F ánh xạ từ tập H chứa C vào H Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) với ánh xạ giá F tập ràng buộc C , ký hiệu VIP(F ,C ), phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C (1) Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Philip Hartman Guido Stampacchia công bố nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu tốn lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Đến nay, toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, toán bất đẳng thức biến phân tách, toán bất đẳng thức biến phân véc-tơ, toán bất đẳng thức biến phân ẩn Bài toán bất đẳng thức biến phân thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu nhà tốn học mơ hình chứa nhiều tốn quan trọng lĩnh vực khác toán ứng dụng lý thuyết tối ưu, toán bù, toán điểm bất động, lý thuyết trị chơi, cân mạng giao thơng Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân xây dựng phương pháp giải Trong phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân phương pháp chiếu đóng vai trị quan trọng đơn giản thuận lợi q trình tính tốn Mục tiêu đề tài luận văn đọc hiểu trình bày lại phương pháp chiếu giải lớp bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất động tách báo [3] cơng bố năm 2017 Bài tốn trình bày cụ thể sau: Cho C Q tập lồi đóng khơng gian Hilbert H1 H2 , F : C → H1 ánh xạ đơn điệu mạnh, A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính bị chặn, T : C → C , S : Q → Q ánh xạ khơng giãn Bài tốn bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách VIP(F, Ω) tốn Tìm x∗ ∈ Ω cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ Ω, (2) Ω tập nghiệm toán điểm bất động tách (Split Fixed Point Problem), ký hiệu SFPP: Tìm x∗ ∈ Fix(T ) cho Ax∗ ∈ Fix(S), (3) Fix(T ), Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ T ánh xạ S Nội dung đề tài luận văn viết hai chương Chương 1: Bài toán điểm bất động tách toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Chương trình bày khái niệm ánh xạ khơng giãn, phép chiếu mêtric, toán điểm bất động tách, toán bất đẳng thức biến phân, mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân tốn điểm bất động khơng gian Hilbert thực H Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1, 2, 5, 7, 8, 13] Chương Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách Chương trình bày phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm tốn điểm bất động tách khơng gian Hilbert Nội dung chương viết dựa báo [3] cơng bố năm 2017 Luận văn hồn thành Trường Đại học khoa học – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu để em hồn thành luận văn Em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy cô giáo Trường Đại học khoa học – Đại học Thái Nguyên giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khóa học 4 Nhân dịp em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Ân Thi, gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho em suốt trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Mỵ Chương Bài toán điểm bất động tách toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Chương trình bày số kiến thức liên quan đến toán điểm bất động, toán điểm bất động tách toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert thực Mục 1.1 giới thiệu toán điểm bất động, toán điểm bất động tách, trình bày số tính chất phép chiếu mêtric tính chất tập nghiệm tốn điểm bất động Mục 1.2 giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu trình bày mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân tốn điểm bất động khơng gian Hilbert thực Kiến thức chương viết sở tài liệu [1, 2, 4] 1.1 Bài toán điểm bất động tách không gian Hilbert Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng h., i chuẩn k.k, tương ứng Cho {xn } dãy không gian H Ta ký hiệu xn * x nghĩa dãy {xn } hội tụ yếu đến x xn → x nghĩa dãy {xn } hội tụ mạnh đến x 6 1.1.1 Ánh xạ không giãn phép chiếu mêtric Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]) Cho C tập khác rỗng không gian Hilbert thực H (i) Ánh xạ T : C → H gọi ánh xạ L–liên tục Lipschitz C tồn số L ≥ cho kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C (1.1) (ii) Trong (1.1), L ∈ [0, 1) T gọi ánh xạ co; L = T gọi ánh xạ không giãn Sau ta xét hình chiếu phần tử x ∈ H lên C Định nghĩa 1.1.2 (xem [2]) Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Phép cho tương ứng phần tử x ∈ H phần tử PC (x) ∈ C xác định kx − PC (x)k ≤ kx − yk với y ∈ C (1.2) gọi toán tử chiếu (hay phép chiếu mêtric) chiếu H lên C Định lý 1.1.3 (xem [2]) Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Với x ∈ H, tồn phần tử PC (x) ∈ C cho (1.2) thỏa mãn Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf kx − uk Khi đó, tồn {un } ⊂ C u∈C cho kx − un k −→ d, n −→ ∞ Từ ta có kun − um k2 = (x − un ) − (x − um ) 2 2 u + u n m = 2 x − un + 2 x − um − 4 x − 2 ≤ x − un + x − um − 4d2 −→ 0, n, m −→ ∞ Do {un } dãy Cauchy không gian Hilbert thực H Suy tồn u = lim un ∈ C Do chuẩn hàm số liên tục nên kx − uk = d Giả sử tồn n→∞ ... Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách Chương trình bày phương pháp chiếu giải tốn bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm tốn điểm bất động. .. liên hệ toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động 14 Chương Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng phân với ràng buộc điểm bất động tách 2.1 Bài toán phương pháp ... SFPP không gian Hilbert thực tập tập H phép chiếu mêtric lên tập C tập điểm bất động ánh xạ T toán bất đẳng thức biến phân toán chấp nhận tách toán điểm bất động tách Mở đầu Cho H khơng gian