Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG VINH DÃY SỐ JACOBSTHAL VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 11/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG Đ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG VINH DÃY SỐ JACOBSTHAL VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 11/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG VINH DÃY SỐ JACOBSTHAL VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên, 11/2019 i Mục lục Mở đầu 1 Dãy số Jacobsthal 1.1 Dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas 1.2 Một số tính chất 1.3 Dãy tổng riêng 10 Tổng bình phương tích số Jacobsthal 17 2.1 Tổng bình phương số Jacobsthal số chẵn 17 2.2 Tổng bình phương số Jacobsthal số lẻ 21 2.3 Tích số Jacobsthal 25 2.4 Tổng đan dấu bình phương số Jacobsthal số chẵn 28 2.5 Tổng đan dấu bình phương số Jacobsthal số lẻ 31 2.6 Tổng đan dấu tích hai số Jacobsthal liên tiếp 34 Một số mở rộng dãy số Jacobsthal 38 3.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng 38 3.2 Dãy số Jacobsthal suy rộng phức 42 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Dãy số Jacobsthal {Jn } dãy số Jacobsthal–Lucas {jn } xác định công thức truy hồi: J0 = 0, J1 = 1, Jn = Jn−1 + 2Jn−2 , j0 = 2, j1 = 1, jn = jn−1 + 2jn−2 , với n > với n > Khái niệm hai dãy số lần giới thiệu Horadam [3] năm 1988 Sau đó, hai dãy số nhiều người quan tâm nghiên cứu Năm 1996, Horadam [4] công bố thêm số kết hai dãy số ˇ Gần đây, năm 2007, Cerin [2] công bố số kết nghiên cứu tổng bình phương số Jacobsthal tổng tích hai số Jacobsthal liên tiếp Đây kết thú vị dãy số Jacobsthal Vừa rồi, năm 2018, Aydin [1] công bố số nghiên cứu việc mở rộng dãy số Jacobsthal Đầu tiên, ta thấy dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas có chung cơng thức truy hồi khác điều kiện ban đầu Từ hai dãy số này, Aydin định nghĩa dãy số Jacobsthal suy rộng {Jn } cách cho điều kiện ban đầu tùy ý Cụ thể, dãy số Jacobsthal suy rộng xác định J0 = q, J1 = p + q, Jn = Jn−1 + 2Jn−2 , với n ≥ 2, đó, p, q hai số nguyên tùy ý Bên cạnh đó, Aydin cịn định nghĩa dãy số Jacobsthal suy rộng phức {Cn } số đối tượng khác mở rộng từ dãy số Jacobsthal Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại số kết nói dãy số Jacobsthal, dãy số Jacobsthal–Lucas vấn đề liên quan Cụ thể, Chương 1, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas dựa theo hai báo [3] [4] ˇ Horadam Chương trình bày lại kết Cerin tổng bình phương tích số Jacobsthal Chương trình bày khái niệm số tính chất dãy Jacobsthal suy rộng dãy Jacobsthal suy rộng phức dựa theo bái Aydin [1] Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Ngơ Văn Định Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Ngô Văn Định, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ suốt q trình học tập hồn thành luận văn tốt nghiệp Xin cảm ơn người thân gia đình tất người bạn thân yêu thông cảm, chia sẻ tạo điều kiện tốt cho tơi để tơi học tập, nghiên cứu thực luận văn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Người viết luận văn Nguyễn Quang Vinh Chương Dãy số Jacobsthal Mục đích chương trình bày lại khái niệm dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal - Lucas Đồng thời chúng tơi trình bày chứng minh cơng thức số hạng tổng qt, cơng thức Simson số tính chất thú vị hai dãy số Đặc biệt, chúng tơi trình bày số tính chất hai dãy số tổng riêng số hạng hai dãy số Các nội dung tham khảo hai báo [3] [4] Trước đó, chúng tơi trình bày sơ lược lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính cấp hai để làm sở cho việc trình bày hai dãy số nói Nội dung chúng tơi tham khảo sách [5] 1.1 Dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas công thức tổng quát hai dãy số Thực chất hai dãy số nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với điều kiện ban đầu khác Chính vậy, trước tiên, chúng tơi nhắc lại khái niệm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai đặc biệt chúng tơi trình bày cơng thức nghiệm phương trình trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt 4 Định nghĩa 1.1.1 Phương trình có dạng un+1 = Aun + Bun−1 , n = 1, 2, , (1.1) A, B số, gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Để tìm nghiệm phương trình sai phân (1.1), xét phương trình bậc hai λ2 − Aλ − B = (1.2) Phương trình bậc hai gọi phương trình đặc trưng phương trình sai phân (1.1) Định lý sau cho công thức nghiệm phương trình sai phân (1.1) trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt Định lý 1.1.2 ([5, Định lý 10.1]) Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α β Khi phương trình sai phân (1.1) có nghiệm un = C1 αn + C2 β n , n = 0, 1, 2, , (1.3) C1 C2 số Chúng ta cần ý rằng, biết điều kiện ban đầu u0 u1 số C1 C2 hồn tồn xác định Ví dụ 1.1.3 Tìm nghiệm phương trình sai phân un+1 = 5un − 6un−1 với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1 Giải Phương trình đặc trưng phương trình (1.4) λ2 − 5λ + = (1.4) Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Do đó, nghiệm tổng quát phương trình (1.4) un = C1 2n + C2 3n , n = 0, 1, Từ điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1 ta có hệ phương trình C + C = 0, 2C1 + 3C2 = −1 Giải hệ phương trình ta C1 = 1, C2 = −1 Vậy nghiệm phương trình (1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = −1 un = 2n − 3n , n = 0, 1, Một cách tổng quát, trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α β , phương trình sai phân (1.1) với điều kiện ban đầu u0 , u1 xác định dãy số {un }∞ n=0 với aαn − bβ n , un = α−β a = u1 − u0 β, b = u1 − u0 α Bây giờ, nghiên cứu khái niệm dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas dựa lý thuyết chung phương trình sai phân Định nghĩa 1.1.4 a) Dãy số Jacobsthal {Jn } xác định J0 = 0, J1 = Jn+2 = Jn+1 + 2Jn , với n ≥ (1.5) b) Dãy số Jacobsthal–Lucas {jn } xác định j0 = 2, j1 = jn+2 = jn+1 + 2jn , với n ≥ (1.6) Từ công thức (1.5) and (1.6) ta có bảng số hạng dãy số Jn jn sau: n Jn jn 10 · · · 1 11 21 43 85 171 341 · · · 17 31 65 127 257 511 1025 · · · Từ công thức (1.5) (1.6) ta dễ dàng thấy rằng, với n ≥ 1, tất giá trị Jn jn số lẻ Đây đặc trưng hai dãy số Từ định nghĩa dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas, ta thấy rằng, hai dãy số xác định phương trình sai phân khác điều kiện ban đầu Phương trình sai phân xác định hai dãy số có phương trình đặc trưng x2 − x − = Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt α = 2, β = −1 Do vậy, theo Định lý 1.1.2 hai dãy có số hạng tổng quát dạng C1 2n + C2 (−1)n , n = 0, 1, 2, Với điều kiện ban đầu J0 = J1 = ta tìm C1 = 13 , C2 = −1 Do cơng thức tổng qt cho Jn αn − β n Jn = = (2n − (−1)n ) , với n ≥ 3 Tương tự, với điều kiện ban đầu j0 = j1 = ta thu C1 = C2 = Do đó, cơng thức tổng qt cho jn jn = αn + β n = 2n + (−1)n , với n ≥ Hai công thức tổng quát cịn gọi cơng thức Binet cho dãy Jacobsthal công thức Binet cho dãy Jacobsthal–Lucas Do vậy, ta có mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1.1.5 (Công thức Binet) Với số nguyên n ≥ 0, ta có Jn = n (2 − (−1)n ) jn = 2n + (−1)n 1.2 Một số tính chất Ở mục trước ta có định nghĩa cơng thức Binet xác định số hạng tổng quát hai dãy số Jn jn Trong mục chúng tơi trình bày số tính chất hai dãy số Trước tiên công thức Simson cho hai dãy số Mệnh đề 1.2.1 (Công thức Simson) Với số nguyên n ≥ 1, ta có Jn+1 Jn−1 − Jn2 = (−1)n 2n−1 jn+1 jn−1 − jn2 = (−1)n−1 2n−1 = −9 Jn+1 Jn−1 − Jn2 Chứng minh Theo cơng thức Binet, ta có Jn = 31 (2n − (−1)n ) Suy 1 n+1 − (−1)n+1 2n−1 − (−1)n−1 − (2n − (−1)n )2 9 n+1 = − (−1)n+1 2n−1 − (−1)n−1 − (2n − (−1)n )2 2n − (−1)n−1 2n+1 − (−1)n+1 2n−1 + − 22n + (−1)n 2n+1 − = = (−1)n 2n−1 23 + = (−1)n 2n−1 Jn+1 Jn−1 − Jn2 = Tương tự, sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas ta chứng minh jn+1 jn−1 − jn2 = (−1)n−1 2n−1 Suy jn+1 jn−1 − jn2 = −9 Jn+1 Jn−1 − Jn2 Mệnh đề sau cho ta tổng số hạng đầu dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal–Lucas Mệnh đề 1.2.2 a) Với n ≥ 2, ta có n X i=2 Ji = Jn+2 − (1.7) ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG VINH DÃY SỐ JACOBSTHAL VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: ... rộng từ dãy số Jacobsthal Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại số kết nói dãy số Jacobsthal, dãy số Jacobsthal? ??Lucas vấn đề liên quan Cụ thể, Chương 1, chúng tơi trình bày khái niệm số tính... [5] 1.1 Dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal? ??Lucas Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm dãy số Jacobsthal dãy số Jacobsthal? ??Lucas công thức tổng quát hai dãy số Thực chất hai dãy số nghiệm