Về nghiệm của hệ các luật bảo toàn

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN 978 604 82 2548 3 154 VỀ NGHIỆM CỦA HỆ CÁC LUẬT BẢO TOÀN Nguyễn Hữu Thọ Bộ môn Toán học Khoa CNTT Trường Đại học Thủy lợi, email nhtho@tlu edu vn[.]

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 VỀ NGHIỆM CỦA HỆ CÁC LUẬT BẢO TOÀN Nguyễn Hữu Thọ Bộ mơn Tốn học - Khoa CNTT - Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG y  y0 (x, t) điểm cực tiểu: Báo cáo nghiên cứu trường hợp đặc biệt toán giá trị ban đầu hệ luật bảo toàn Đối với hệ xét, báo cáo đưa tiêu chuẩn để chọn nghiệm entropy cho tốn Riemann Chúng tơi xét dạng ma trận toán sử dụng sơ đồ sai phân hữu hạn Lax [1] toán giá trị ban đầu để xây dựng công thức cho nghiệm xấp xỉ, giới hạn nghiệm xấp xỉ cho ta nghiệm toán ta xét NỘI DUNG BÁO CÁO y  x  y    u (z)dz  tf *   ,  y  t      f * liên hợp lồi f (u) , M( ¡ ) không gian độ đo bị chặn ¡ Đối với toán Riemann, tức kiện ban đầu (2) có dạng (u , v ), x  (3)  u(x,0), v(x,0)    L L (u R , v R ), x  Lefloch rằng, toán có nhiều nghiệm trường hợp u L  u R Bây xét hệ luật bảo toàn: u t  log(aeu  be u )  x  u  u (4)   ae  be  v   0, t  0, x  ¡  v t   u u    ae  be x 2.1 Đặt vấn đề Trong báo [2] năm 1990, Lefloch xét hệ luật bảo toàn dạng u t   f (u)  x  (1)   v t   a(u)v  x  , t  0, x  ¡ với điều kiện ban đầu: u(x;0)  u (x), v(x,0)  v0 (x) , (2) a(u)  f (u) f : ¡  ¡ hàm lồi ngặt Khi kiện ban đầu u  L1 ( ¡ )  BV( ¡ ) và: v0  L ( ¡ )  L1 ( ¡ ) , Lefloch rằng, toán (1) - (2) có nghiệm: (u, v)  L ( ¡  , BV( ¡ ))  L ( ¡  , M( ¡ )) xác định bởi:   x  y0 (x, t)   u(x, t)  (f *)  t      y0 (x,t)   v(x, t)     v (z)dz    x        với điều kiện ban đầu: (u , v ), x   u(x,0), v(x,0)    L L (u R , v R ), x  (5) a, b, uL, uR số biết, u  u(x, t), v  v(x, t) ẩn hàm, đề xuất cách chọn nghiệm Chúng ta sử dụng sơ đồ xấp xỉ mà Lax [1] sử dụng chọn nghiệm entropy luật bảo tồn vơ hướng Trước hết viết lại (5) dạng ma trận: (6) A t  log(aeA  be A )   , x đây: u 0 (7) A  v u 154 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 Xét x t cỡ lưới không gian thời gian, đặt A nk ; A  kx, nt  , (8) k  0, 1, 2, , n  0,1, 2, theo Lax, nhận sơ đồ sai phân: A nk  A nk 1  (9) t   g A nk 11 , A nk 1  g A kn 1, A kn 11   x  đó: g  A, B   log[aeA  be  A ] (10) Ở ta lấy x  t   , tốc độ đặc trưng giá trị riêng ae u  be u 1    u ae  ae  u (5) nhỏ theo modul Khi ta viết lại (9) (10) sau:  A n 1  A n 1  A nk  A nk 1  log ae k 1  be k     (11)  Ank 1  A n 1   log ae  be k 1    với điều kiện ban đầu:  u0  (12) A 0k   k   v0 u   k k Đặt: s     log aeu R  be  u R   log ae u L  be u L  (13) uR  uL và: ae u R  be  u R R*  s(vR  v L )  u vR  ae R  be  u R ae u L  be  u L vL aeu L  be  u L nhận kết sau 0  tồn theo nghĩa phân bố  u(x, t), v(x, t)  cho dạng với công thức sau: (i) Khi u L  u R ,  u(x, t), v(x, t)    {u L  (u R  u L )H(x  st), v L  (vR  v L )H(x  st)  R *t x st } H(x) hàm Heaviside (ii) Khi uL < uR, a)  u(x, t), v(x, t)   (u L , v L )  aeu L  be  u L  Nếu x   u t L  be  u L  ae   1 b tx  b)  u(x, t), v(x, t)    log   ,0  a tx  2 Nếu:  aeu L  be u L   aeu R  be  u R   u L uL   t  x   aeu R  be  u R  t  ae  be    c)  u(x, t), v(x, t)   (u R , vR )  ae u R  be u R  Nếu x   u uR   t R  ae  be  (iii) Khi u L  u R  u , (u, v L ), x  a(u)t (u, v R ), x  a(u)t  u(x, t), v(x, t)    Và định lý sau cho ta cách xác định nghiệm toán (4) – (5) Định lý Với kiện ban đầu u (x) u (x) thuộc lớp hàm L ( ¡ )  L1 ( ¡ ) Khi   u  (x, t), v  (x, t) xác định (11) – (12) (14)  2.2 Kết Sau số kết đạt (xin khơng trình bày chứng minh cụ thể) Định lý Giả sử u  (x, t), v  (x, t)   lim u  (x, t), v  (x, t)   u(x, t), v(x, t)   nghiệm xấp xỉ toán (4) - (5) xác định (11) - (12), giới hạn hội tụ tới  u(x, t), v(x, t)  theo nghĩa phân bố  u(x, t), v(x, t)  cho công thức hiện:   b t  x  y (x, t)  u(x, t)  log    a t  x  y (x, t)   ,       v(x, t)    v (z)dz     x  y (x,t)    y  y0 (x, t) điểm cực đại 155 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 TÀI LIỆU THAM KHẢO   x  y    u (z)dz tf *   x  t  y x  t  t    y Ở f * () hàm liên hợp lồi f (u)  log[ae u  be u ] , xác định bởi: f * ( )  log (1   )1 (1   )1   log 4a1 b1     KẾT LUẬN Báo cáo trình bày kết tiêu chuẩn chọn nghiệm entropy cho toán Riemann hệ luật bảo toàn, kết mở rộng kết báo [2] [3], kiến thức luật bảo tồn vơ hướng hệ luật bảo tồn trình bày báo cáo tham khảo [1] [4] [1] Lax, P.D , (1957), Hyperbolic systems of conservation laws II, Commun Pure Appl Math 10 , 537-566 [2] Lefloch, P., (1990), An existence and uniqueness result for two nonstrictly hyperbolic systems, Nonlinear Evolution Equations that change type, IMA (Springer - Verlag), Vol 13, 126-138 [3] Tran Duc Van, Mai Duc Thanh and Nguyen Huu Tho, (2002), On LaxOleinik type formulas for weak solutions to scalar conservation laws, Vietnam J Math., 195-200 [4] Trần Đức Vân, (2005), Lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 156 ... Báo cáo trình bày kết tiêu chuẩn chọn nghiệm entropy cho tốn Riemann hệ luật bảo tồn, kết mở rộng kết báo [2] [3], kiến thức luật bảo tồn vơ hướng hệ luật bảo tồn trình bày báo cáo tham khảo [1]... (u, v L ), x  a(u)t (u, v R ), x  a(u)t  u(x, t), v(x, t)    Và định lý sau cho ta cách xác định nghiệm toán (4) – (5) Định lý Với kiện ban đầu u (x) u (x) thuộc lớp hàm L ( ¡ )  L1 (... thể) Định lý Giả sử u  (x, t), v  (x, t)   lim u  (x, t), v  (x, t)   u(x, t), v(x, t)   nghiệm xấp xỉ toán (4) - (5) xác định (11) - (12), giới hạn hội tụ tới  u(x, t), v(x, t)  theo