KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG 09/2019 21 ĐƯỜNG CONG BẬC 2 TS Nguyễn Tư Đôn (*) Đường cong bậc 2 là đường cong đại số được phổ biến trong các môn hình học phẳng, hình[.]
KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG 09/2019 ĐƯỜNG CONG BẬC TS Nguyễn Tư Đôn (*) Đường cong bậc đường cong đại số phổ biến môn hình học phẳng, hình học giải tích, hình học họa hình, vẽ kỹ thuật nhiều mơn hình học khác chương trình trung học đại học Có ba đường bậc 2: elip, parabol hypebol Định nghĩa thơng thường - Trong mặt phẳng, parabol quỹ tích 1.1 Elip (Hình.1) điểm M cách điểm F - Trong mặt phẳng, elip quỹ tích đường thẳng d cố định điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến MF = MH hai điểm cố định F, F’ số F tiêu điểm d đường chuẩn MF + MF’ = 2a - Nếu chọn trục X, Y hình vẽ, F F’ hai tiêu điểm phương trình parabol Y2 = 2pX O điểm FF’ nên OF = OF’ = p khoảng cách từ F đến d gọi c tham số parabol - Nếu đặt trục X ≡ FF’ trục Y ⊥ X 1.3 Hypebol (Hình.3) O, ta có phương trình elip là: - Trong mặt phẳng, hypebol quỹ tích X2 Y2 2 + = với b = a = c điểm M cho hiệu khoảng cách từ a2 b M đến hai điểm cố định F, F’ số Đoạn thẳng AB = 2a, CD = 2b (hằng bé đoạn FF’) Vì a > b nên AB gọi trục dài, |MF − MF ′ | = 2a CD gọi trục ngắn O, điểm FF’, đặt OF = OF’ = - Đường kính liên hiệp c Hai đường kính elip gọi hai - Nếu lấy O làm gốc tọa độ hình đường kính liên hiệp dây cung song vẽ, ta có phương trình hypebol là: song với kính bị đường kính chia X2 Y2 − = với a2 = c2 - b2 đôi a2 b2 Trục X F, F’ gọi trục tiêu điểm thực hypebol Hai đường thẳng ứng với hai phương b b trình Y = a X Y = − a X hai đường Trục dài AB trục ngắn CD hai đường kính liên hiệp đặc biệt, vng góc 1.2 Parabol (Hình.2) d Y C M A F O tiệm cận hypebol Y Y M H F’ B O x F x M F’ F x O H.1 D H.2 H.3 21 09/2019 KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG Định lý DANDELIN Cho mặt nón bậc (elip trịn xoay) - Nếu mặt phẳng cắt tất đường sinh mặt nón, giao tuyến elip Trường hợp suy biến đỉnh nón - Nếu mặt phẳng cắt mặt nón song song với đường sinh, giao tuyến parabol Trường hợp suy biến đường sinh tiếp xúc, ứng với mặt phẳng tiếp xúc mặt nón Đường sinh nói cho hướng trục parabol - Nếu mặt phẳng cắt mặt nón song song với hai đường sinh, giao tuyến hypebol Trường hợp suy biến hai đường sinh Hai đường sinh nói cho hướng tiệm cận hypebol Elip, parabol, hypebol có mặt mặt nón, nên chúng thường gọi ba đường conic Sự có mặt ba đường conic Trong hình học họa hình, chúng thường có mặt trường hợp sau: S2 1- Rõ ràng rằng, giao tuyến mặt phẳng với mặt bậc đường bậc Giao tuyến elip, parabol, hypebol tùy theo số điểm vô tận giao tuyến không, hai - Mặt phẳng cắt mặt nón ba loại đường bậc định lý - Mặt phẳng cắt mặt trụ (eliptic, tròn xoay) elip - Mặt phẳng cắt mặt paraboloit (eliptic, tròn xoay) elip, parabol - Mặt phẳng cắt mặt hypeboloit tầng ba loại đường bậc - Mặt phẳng cắt mặt paraboloit hypeboloit parabol, hypebol - Mặt phẳng cắt mặt elipxoloit cho elip Hình 4: sơ đồ minh họa giao tuyến phẳng mặt nón Hình 5: sơ đồ minh họa giao tuyến phẳng mặt paraboloit hypeboloic (mặt phẳng P vng góc với mặt phẳng hình chiếu đứng) S2 P2 P2 Hypebol P’2 Parabol Parabol P2 P’2 a/ H.4 b/ Hypebol 2- Nói chung giao tuyến hai mặt bậc đường cong ghềnh bậc Nếu hai mặt có mặt phẳng đối xứng chung hình chiếu giao tuyến lên mặt phẳng đối xứng đường bậc Hình 6: hình chiếu đứng g2 giao tuyến mặt nón mặt trụ có mặt phẳng đối 22 H.5 xứng chung song song với mặt phẳng hình chiếu đứng hypebol Hình 7: hình chiếu đứng g2 giao tuyến mặt nón mặt cầu có mặt phẳng đối xứng chung song song với mặt phẳng hình chiếu đứng parabol KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG 09/2019 S2 S2 g2 O2 g2 H.6 H.7 3- Trường hợp đặc biệt, giao tuyến bậc hai mặt bậc nói tách thành hai đường bậc chúng thỏa mãn định lý 1, 2, giao tuyến suy biến hai mặt bậc (trong giáo trình hình học họa hình) Định lý 1: Nếu hai mặt bậc cắt theo đường bậc chúng cịn cắt theo đường bậc Định lý 2: Nếu hai mặt bậc tiếp xúc hai điểm mặt phẳng tiếp xúc chung hai điểm khơng trùng hai mặt bậc giao theo hai đường bậc qua hai điểm tiếp xúc Định lý 3: Nếu hai mặt bậc nội tiếp hai ngoại tiếp mặt bậc thứ hai mặt bậc giao theo hai đường bậc qua hai giao điểm hai đường tiếp xúc S’2 S2 S2 e’2 e2 e2 c2 e2 A2B2 p2 O2 B1 c1 S1 c1 S’1 S1 H.9 H.8 H.10 A1 Hình Giao tuyến mặt trụ mặt nón đường trịn c elip e Hình Giao tuyến hai mặt trụ hai elip e, e’ qua hai tiếp điểm A, B 23 09/2019 KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG Hình 10: giao tuyến hai mặt nón có mặt cầu nội tiếp chung elip e parabol p qua hai giao điểm hai đường trịn tiếp xúc Đường bậc hình học xạ ảnh, aphin 4.1 Cách xác định một đường cong bậc Định lý: Cho hai chùm liên hệ xạ ảnh cho đường nối hai tâm O,O’ không tự ứng Quỹ đạo giao điểm tia tương ứng đường cong bậc qua O, O’ Tiếp tuyến đường bậc O, ’ O tia tương ứng với đường thẳng O, O’ 4.2 Hình học aphin nhóm hình học xạ ảnh mà hình tuyệt đối đường thẳng Trong hình học aphin, ta kéo đường thẳng vô tận thành đường thẳng thường d∞ để nghiên cứu đường bậc Đường bậc tổng quát biểu diễn dạng đường trái xoan - Elip đường bậc không cắt đường thẳng vô tận d∞, khơng có điểm vơ tận - Parabol đường bậc tiếp với đường thẳng vơ tận: có điểm vô tận - Hypebol đường bậc cắt đường thẳng vơ tận hai điểm: có hai điểm vô tận Các tiếp tuyến điểm vô tận tiệm cận Do elip có tiệm cận ảo (liên hợp) Parabol có hai tiệm cận trùng với đường thẳng vơ tận Hypebol có hai tiệm cận 24 4.3 Định lý Pascal Nếu lục giác nội tiếp đường bậc ba cặp cạnh đối diện giao theo ba điểm thẳng hàng 4.4 Định lý Desargues Một đường cong bậc biến thiên chùm đường cong bậc vạch lên đường thẳng hai hàng điểm liên hệ xạ ảnh đối hợp với 4.5 Nếu đường cong bậc có tâm thì tâm là cực đường thẳng vơ tận Elip hypebol có tâm Parabol khơng có tâm 4.6 Hai đường kính liên hợp qua cực Hai đường kính liên hợp chia điều hòa hai tiệm cận 4.7 Vài tốn giải trí a/ Bài tốn 1: (Hình.11) Cho parabol với hai tiếp tuyến PA, PB ( A, B: hai tiếp điểm), IA = IB Chứng minh PI song song với trục parabol Giải: Ta có liên hệ xạ ảnh đối lập (1’, ’ , ) (1, 2, …) với điểm kép ≡ 3’ Trên đường thẳng vơ tận d∞ có hai điểm kép 1∞ 3∞ Chùm P (ABI∞) điều hòa mà IA = IB nên PI qua 1∞ tức PI song song với trục parabol b/ Bài tốn 2: (Hình.12) Cho giây AB đường bậc với IA = IB Vẽ giây CID EIF Đường CE vắt AB P, đường DF cắt AB Q Chứng minh IP = IQ Giải: AB cắt đường bậc (C) cạnh tứ điểm ECDF cách điểm liên hệ xạ ảnh đối hợp: (A,B), (P,Q) (I ≡ I), I điểm kép, nên (ABIJ) =(PQIJ) = -1, mà IA = IB nên J chạy vô tận thành J∞ Vậy IP = IQ KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG 1∞ d S∞ 2’ 1’ 33’ A P A F I D Q B (e) H.12 H.11 O S O I B D I∞ T (h) A H.14 H.13 c/ Bài tốn 3: (Hình.13) Cho hypebol với hai tiệm cận t t’ Vẽ cát tuyến cắt hypebol A, B cắt hai tiệm cận C1D Chứng minh AB CD có chung trung điểm Giải: Theo định lý Desargues cặp điểm A, B C, D xác định liên hệ đối hợp nhận điểm vô tận cát tuyến điểm kép Vậy điểm kép thứ hai điểm vơ tận chia điều hịa A, B C, D nên điểm kép thứ hai trung điểm chung hai đoạn AB CD d/ Bài tốn 4: (Hình.14) Chứng minh: Nếu hình bình hành có hai đỉnh đối diện thuộc hypebol có cạnh song song với hai tiệm cận hai đỉnh đối diện cịn lại thẳng hàng với tâm hypebol Theo định lý Pascal: D C K d∞ A P B d S C (h) C E (p) 09/2019 AS x CT = B AT x CS = D SO x TO = O Nên BOD đường Pascal - Có thể dùng định lý Desargues (Hình 14) Cặp điểm AC đường thẳng AC liên hệ đối hợp, nhận điểm K làm điểm kép đường thẳng vô tận Các điểm B, D, O điểm liên hợp K nên thuộc đường đối cực K hypebol Lời bàn Nội dung đường cong bậc theo khái niệm thông thường vừa sức học sinh, sinh viên trường phổ thông kỹ thuật 25 09/2019 KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG Hình học xạ ảnh nghiên cứu đường cong bậc bao quát hơn, sâu sắc có nhiều tốn hay Rất nhiều hình ảnh đường cong bậc có từ trang sách học sinh sinh viên, đời sống ngày, kỹ thuật… đến không gian vũ trụ: - Các miệng cống xiên, đầu ống tháo nước, nút nối ống, bóng mái nhà lên cột trịn… có dạng elip - Các mặt cắt mặt nước thấm qua đập đất, mặt cắt chảo rađa… có dạng parabol - Các đầu bút chì cạnh, đầu êcru, bóng chao đèn lên tường… có dạng hypebol - Hình học Galil phẳng biểu diễn “đường trịn” parabol - Hình học Minkovski phẳng biểu diễn “đường tròn” hypebol 26 - Trong khoa học vũ trụ, vệ tinh bay quanh đất theo quỹ đạo elip với tốc độ vũ trụ cấp 1, tàu vũ trụ bay theo quỹ đạo parabol với tốc độ cấp 2, bay theo quỹ đạo hypebol với tốc độ cấp 3… Kết luận: Các đường conic nội dung nhỏ toán học, khái niệm với lý thuyết tập phong phú Các giáo viên nên đầu tư cách dạy cho mơn học có liên quan đạt hiệu tối ưu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tư Đơn (2013) Hình học họa hình 1, NXB Giáo dục Hà Nội [2] Nguyễn Đình Điện, Đỗ Mạnh Mơn (2007) Hình học họa hình 1, NXB Giáo dục Hà Nội [3] Nguyễn Cảnh Tồn (1961) Hình học xạ ảnh, NXB Giáo dục Hà Nội ... Định lý 3: Nếu hai mặt bậc nội tiếp hai ngoại tiếp mặt bậc thứ hai mặt bậc giao theo hai đường bậc qua hai giao điểm hai đường tiếp xúc S? ?2 S2 S2 e? ?2 e2 e2 c2 e2 A2B2 p2 O2 B1 c1 S1 c1 S’1 S1... TRÚC ĐÀ NẴNG 09 /20 19 S2 S2 g2 O2 g2 H.6 H.7 3- Trường hợp đặc biệt, giao tuyến bậc hai mặt bậc nói tách thành hai đường bậc chúng thỏa mãn định lý 1, 2, giao tuyến suy biến hai mặt bậc (trong giáo... vng góc với mặt phẳng hình chiếu đứng) S2 P2 P2 Hypebol P? ?2 Parabol Parabol P2 P? ?2 a/ H.4 b/ Hypebol 2- Nói chung giao tuyến hai mặt bậc đường cong ghềnh bậc Nếu hai mặt có mặt phẳng đối xứng