Nội dung chính của bài giảng trình bày một số tính chất đơn giản của đường cong bậc ba như: Đường cong bậc ba có phương trình y= ax3 + bx2 + cx + d và đường cong bậc ba bất kì. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA ĐƯỜNG CONG BẬC BA Nguyễn Tiến Lâm, Ngô Quang Dương - THPT Chuyên KHTN, Hà Nội Bài viết trình bày số tính chất đơn giản đường cong bậc ba Mở đầu Trong hình học sơ cấp, định lý Menelaus định lý tiếng liên quan đến toán chứng minh thẳng hàng điểm Định lý chứng minh định lý Thales Dưới đây, ta đưa cách chứng minh phương pháp tọa độ Quy ước viết, tọa độ Descartes điểm M xM ; yM / Định lý (Định lý Ménélaus) Các điểm A1 , B1 , C1 chia đoạn thẳng BC , CA, AB theo tỉ số ˛, ˇ, , ˛, ˇ, R Ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng ˛ˇ D Chứng minh Chiều thuận Giả sử ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng đường thẳng qua ba điểm Trong hệ trục tọa độ Oxy, đường thẳng có phương trình ax C by C c D đặt f x/ D axÁC by C c Điểm A1 chia BC theo tỉ số ˛ nên tọa độ A1 xB ˛xC yB ˛yC A1 I : Vì A1 nên ˛ ˛ a dẫn đến ˛ D xB ˛xC yB ˛yC Cb C c D 0; ˛ ˛ f xB / : f xC / f xC / f xA / I D : Từ đó, ta có ˛ˇ D 1: f xA / f xB / Chiều đảo Giả sử đường thẳng MN cắt đường thẳng AB P giả sử P chia đoạn AB theo tỉ số : Theo chiều thuận ˛ˇ D mà ˛ˇ D nên D ; tức P Á P: Suy M; N; P thẳng hàng Một cách tương tự, ta có ˇ D Tiếp theo, ta xét định lý Carnot dạng tổng quát định lý Menelaus Nội dung định lý phát biểu đây: Định lý (Định lý Carnot) Giả sử điểm Ai , Bi , Ci chia cạnh BC , CA, AB theo tỉ số ˛i ; ˇi ; i ; với i D 1; 2: Khi đó, điểm A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 thuộc conic ˛1 ˛2 ˇ1 ˇ2 D Định lý chứng minh tương tự định lý Menelaus có sử dụng thêm định lý Viete cho phương trình bậc 119 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Một số tính chất đường cong bậc ba 2.1 Đường cong bậc ba có phương trình y D ax C bx C cx C d Mục đưa tính chất đường bậc ba có phương trình dạng y D ax C bx C cx C d Bổ đề Khi b D 0, giả sử A, B, C ba điểm phân biệt thuộc đường cong bậc ba K Khi đó, A, B, C thẳng hàng xA C xB C xC D Chứng minh Giả sử đường thẳng qua hai điểm A, B có phương trình W ˛x C ˇy C D 0: Chiều thuận Giả sử C thuộc đường thẳng AB; ta cần xA C xB C xC D 0: Thật vậy, tọa độ A, B, C nghiệm hệ ( ˛x C ˇy C D 0; ax C cx C d D y: Thay y từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu tiên, ta phương trình hồnh độ giao điểm C / ax C ˛ C b/x C C c D 0: Vì xA , xB , xC nghiệm phương trình nên theo định lý Viete, ta có xA CxB CxC D 0: Chiều đảo Giả sử xA C xB C xC D 0: Gọi C giao điểm K đường thẳng AB, theo phần thuận xA C xB C xC D 0; dẫn đến xC D xC hay C Á C : Do đó, A, B, C thẳng hàng Từ bổ đề trên, ta thu kết đẹp liên quan tới đường cong bậc ba K trường hợp b D trình bày mệnh đề Mệnh đề Khi b D 0; giả sử A, B, C ba điểm phân biệt thuộc đường cong K Tiếp tuyến K điểm A, B, C cắt đường cong K điểm thứ hai A0 , B , C Chứng minh A0 , B , C thẳng hàng A, B, C thẳng hàng Chứng minh Giả sử A, B, C ba điểm thẳng hàng thuộc đường cong K Phương trình tiếp tuyến K A y D 3axA2 C c/.x xA / C axA3 C cxA C d: Do vậy, xA nghiệm kép phương trình ax C cx C d D 3axA2 C c/.x xA / C axA3 C cxA C d hay x xA /2 x C 2xA / D 0: Phương trình có hai nghiệm xA ; 2xA nên hoành độ điểm A0 xA0 D 2xA : Một cách tương tự, ta có xB D 2xB ; xC D 2xC : Suy xA0 C xB C xC D 2.xA C xB C xC /: Từ đây, áp dụng bổ đề ta thấy A0 , B , C thẳng hàng A, B, C thẳng hàng Tiếp theo, ta xét mở rộng mệnh đề Mệnh đề (Mở rộng mệnh đề 1) Khi b D 0; xét hai đường thẳng d1 , d2 : Giả sử di cắt K ba điểm Ai , Bi , Ci với i D 1; Khi đó, giao điểm đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 với đường cong K thẳng hàng 120 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Chứng minh Gọi A3 , B3 , C3 tương ứng giao điểm đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 với đường cong K giả sử , bi , ci hoành độ điểm Ai , Bi , Ci với i D 1; 2; Theo bổ đề ta phải có a1 C a2 C a3 D b1 C b2 C b3 D c1 C c2 C c3 D Suy †3iD1 C bi C ci / D Nhưng Ai , Bi , Ci thuộc đường thẳng di với i D 1; nên C bi C ci D với i D 1; 2: Từ đó, ta phải có a3 C b3 C c3 D 0: Cũng theo bổ đề ba điểm A3 , B3 , C3 thẳng hàng Phép chứng minh hoàn tất Trong toán trên, ta cần cho hai đường thẳng d1 ; d2 trùng đường thẳng A1 A2 ; B1 B2 ; C1 C2 suy biến thành tiếp tuyến đường cong K ta thu lại kết mệnh đề Một câu hỏi đặt liệu kết không với đường cong K bất kỳ? Ta xét toán mở rộng sau đây: Mệnh đề (Mở rộng mệnh đề 2) Xét đường cong K W y D ax C bx C cx C d , vi a Ô v hai ng thng d1 , d2 : Giả sử di cắt đường cong K ba điểm phân biệt Ai , Bi , Ci với i D 1; Gọi A3 , B3 , C3 giao điểm đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 với đường cong K Khi đó, ba điểm A3 , B3 , C3 thẳng hàng Hình 12.1: A3 , B3 , C3 thẳng hàng Chứng minh Ta chia làm hai trường hợp A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đôi cắt Gọi A, B, C giao điểm cặp đường thẳng B1 B2 ; C1 C2 /, C1 C2 ; A1 A2 /, A1 A2 ; B1 B2 / Giả sử điểm Ai chia đoạn BC theo tỉ số ˛i ; điểm Bi chia đoạn CA theo tỉ số ˇi ; điểm Ci chia đoạn AB theo tỉ số i , với i D 1; 2; Áp dụng định lý Carnot cho đường cong K bậc với 4ABC ta có ˛1 ˛2 ˛3 ˇ1 ˇ2 ˇ3 D 1: Nhưng ba điểm Ai , Bi , Ci thẳng hàng (cùng nằm đường thẳng di )nên áp dụng định lý Menelaus cho 4ABC với cát tuyến d1 ta có ˛i ˇi i D 1; với i D 1; 2: Suy ˛3 ˇ3 D 1; nghĩa A3 , B3 , C3 thẳng hàng theo định lý Ménélaus Trong cặp B1 B2 ; C1 C2 /, C1 C2 ; A1 A2 /, A1 A2 ; B1 B2 / có cặp song song Lúc ta thực phép chiếu xuyên tâm biến Ai , Bi , Ci thành A0i , Bi0 , Ci0 , đường bậc ba K thành K0 Hiển nhiên tồn phép chiếu thỏa mãn A01 A02 , B10 B20 , C10 C20 đôi cắt Lúc ta lại quay trường hợp 121 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Ở tốn trên, cho hai đường thẳng d1 , d2 trùng đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 suy biến thành tiếp tuyến đường cong K kết mệnh đề ỳng trng hp b Ô hay ỳng vi đường cong bậc ba tổng quát 2.2 Đường cong bậc ba Ở trên, ta trình bày số tính chất đường cong bậc ba có phương trình quen thuộc Phần đề cập đến đường cong bậc ba bất kì, mà tọa độ Descartes, phương trình cho dạng hàm ẩn: ax3 x C ay3 y C ax2y x y C axy2 xy C bx2 x C by2 y C bxy xy C cx x C cy y C d D Trong hệ số ax3 , ay3 , ax2y , axy2 , bx2 , by2 , bxy , cx , cy , d số thực ax3 , ay3 , ax2y , axy2 khơng đồng thời Nói đến đường cong bậc ta có kết tiếng: Định lý (Định lý Cayley-Bacharach) Hai đường cong bậc cắt điểm (theo định lý Bezout, hai đường cong bậc m, n cắt m n điểm) Một đường cong bậc khác qua số điểm qua điểm thứ Định lý Cayley-Bacharach [1] suy biến: thay đường cong bậc hợp đường thẳng, hay hợp conic đường thẳng, Do đó, ứng dụng định lý chứng minh điểm thẳng hàng, hay điểm thuộc conic Chẳng hạn định lý mang đến chứng minh ngắn gọn cho mệnh đề 2.1: đường cong bậc K A1 ; A2 ; A3 [ B1 ; B2 ; B3 [ C1 ; C2 ; C3 có giao điểm Ai , Bi , Ci với i D 1; 2; Khi đường bậc suy biến A1 ; B1 ; C1 [ A2 ; B2 ; C2 [ A3 ; B3 qua số điểm nên chứa điểm C3 Điều nghĩa A3 , B3 , C3 thẳng hàng Hệ Các điểm A, B, C , D, P , P1 , P2 thuộc đường cong bậc ba K điểm A, B, C , D, P1 , P2 thuộc conic giao điểm khác A, B, C , D AB, CD với K P thẳng hàng Chứng minh AB, CD cắt K M , N M , N , P thẳng hàng K cubic suy biến A; B; M [ C; D; N [ P; P1 ; P2 có giao điểm A, B, C , D, M , N , P , P1 , P2 Theo định lý CayleyBacharach, đường bậc ba suy biến ABCDP1 [ M; N; P (trong ABCDP1 conic qua điểm A, B, C , D, P1 ) qua P2 nên A, B, C , D, P1 , P2 thuộc conic Phần đảo, A, B, C , D, P1 , P2 thuộc conic Xét ba đường bậc ba K, A; B; M [ C; D; N [ P; P1 ; P2 , ABCDP1 P2 [ M; N từ áp dụng định lý Cayley-Bacharach ta suy M , N , P thẳng hàng Một số tốn khác có chứng minh áp dụng định lý Cayley-Bacharach tương tự trên, bạn đọc xem [2] 122 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Hình 12.2: Một ứng dụng trực tiếp định lý Cayley-Bacharach Tài liệu tham khảo [1] Cayley-Bacharach theorem, Wikipedia [2] Generalization of some triangle geometry results associated with cubics http://blogcuaquangduong.blogspot.com/2016/03/ generalizations-of-some-triangle.html 123 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 124 ...Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Một số tính chất đường cong bậc ba 2.1 Đường cong bậc ba có phương trình y D ax C bx C cx C d Mục đưa tính chất đường bậc ba có phương trình dạng y D ax C bx C... thời Nói đến đường cong bậc ta có kết tiếng: Định lý (Định lý Cayley-Bacharach) Hai đường cong bậc cắt điểm (theo định lý Bezout, hai đường cong bậc m, n cắt m n điểm) Một đường cong bậc khác qua... d1 , d2 trùng đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 suy biến thành tiếp tuyến đường cong K kết mệnh đề cng ỳng trng hp b Ô hay ỳng với đường cong bậc ba tổng quát 2.2 Đường cong bậc ba Ở trên, ta