TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN TOÁN KHỐI B - MÃ SỐ B6 pdf

1 TRUONGHOCSO.COM MÃ SỐ B6 Hướng dẫn giải gồm 06 trang TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN; Khối: B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số     3 2 2 3 2 3 3 3 6 2 3 2 y x m x m m x m m m          (1), với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 1 m  . 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 , , x x x   3 2 1 x x x   thỏa mãn điều kiện 2 1 1 2 3 3 2 1 10 x x x x x      . Hướng dẫn: 1. Khảo sát hàm số 3 y x x   , bài toán cơ bản – học sinh tự giải. 2. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành là         3 2 2 3 2 3 3 3 6 2 3 2 0 1 2 0 ; 1; 2 x m x m m x m m m x m x m x m x m x m x m                       Vì   3 2 1 x x x   nên 1 2 3 ; 1; 2 x m x m x m      .             2 2 1 1 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 10 2 1 2 1 2 10 2 1 2 10 1 2 10 2 2 2 3 3 4 11 2 12 2 1 2 1 2 3 4 2 1 1 x x x x x m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m                                                                                   Dễ thấy với 2 m  thì phương trình (*) vô nghiệm. Vậy giá trị cần tìm là 3 m  . Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình   3 3 3 2 3 2 2 ; 2 3 2 5 8 x y x y x y x y x y                . Hướng dẫn: Đặt 3 3 3 3 2 ; 3 2 2 ; 3 2 x y a x y b x y a x y b          . Ta có   3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 ; 4 3 x x a b x a b y a b         . Hệ đã cho tương đương với       3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 5 2 4 3 8 7 4 4 11 42 83 52 0 2 1 2 1 1 1 11 31 52 0 1 3 2 1 1 a b a b a b b a b a b a b b b b b a b a x y x b b b b x y y                                                               Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất     ; 1;1 x y  . 2 Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình     2 3 4 3 2 cotx cot x cos x    . Hướng dẫn: Điều kiện 3 0 sin x  . Phương trình đã cho tương đương với         2 2 3 2 3 cos 3 3 4 3 2 4 3 2 3 3 2 4 3 3 4 3 2 1 1 3 1 3 3 3 12 cosx cos x xsin x cos xsinx cos x cos x sinx sin x sinx sin x sin x cos x cosx cos x cos x cot x x k k sinx sin x sin x sin x                               Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân     1 3 0 2 1 ln 1 I x x dx     . Hướng dẫn:               2 2 3 3 2 2 1 1 2 1 2 3 0 0 0 1 2 0 3 3 ln 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ln 1 3 ln 2 3 1 1 1 1 3 ln 2 3 ln 1 2ln 2 2 2 x x u x du dx dx x x x x dv x dx v x x x I x x x dx x dx x x I x x x                                                Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, CC’, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng DP, MN và thể tích khối tứ diện DMNP theo a . Hướng dẫn: Ta có 2 2 2 6 6 ; 2 2 a a MN MB BC CN MP PN      . Mặt khác 5 2 a DM DP DN   . Suy ra DMNP là tam giác đều cạnh đáy 6 2 a d  và cạnh bên 5 2 a b  . Do đó DP vuông góc với MN hay góc giữa DP và MN là 90  . Gọi H là trực tâm tam giác đều MNP ta có 2 3 . 3 2 3 2 d d a HM    ; 2 2 5 2 3 4 4 2 a a a h HD    . Diện tích tam giác MNP là 2 2 3 3 3 3 1 3 4 8 3 16 MNP DMNP d a S V Sh a       . Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn x y z xy yz xz      . Chứng minh 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x y z x y z         . Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức AM GM  ta có     2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 2 2 1 2 2 1 4 1 x x x x x x x x x x x                              . Hoàn toàn tương tự suy ra   2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 2 4 1 1 1 x y z x y z x y z x y z                      . 3 Chỉ cần chứng minh   3 1 3 2 4 1 1 1 1 1 1 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z                              Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarzt ta có               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 4 4 1 1 2 4 4 1 1 1 1 1 2 1 4 1 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x x y y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z xy yz xz x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y                                                                                 1 . 1 2 1 4 x y z z       Đẳng thức xảy ra khi 1 x y z    . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   1;2;1 H . Lập phương trình mặt phẳng   P cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Hướng dẫn: Mặt phẳng (P) cần tìm cắt các trục tọa độ có phương trình 1 x y z a b c    Tọa độ giao điểm với 3 trục tọa độ       ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; A a B b C c     2 1 1 1;2;1 0 H P a b c      H là trực tâm tam giác ABC khi . 0 0 2 3 2 0 . 0 AH BC b c c b a a a c BH AC                           Mặt phẳng cần tìm   :2 6 0 P x y z     . Câu 8.a (1,0 điểm). Tìm giá trị thực của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất       2 1 2 2 log 6 log 3 2 0x m x x x       . Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với     2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 0 log 6 log 3 2 0 8 3 6 3 2 x x x x m x x m x x x m x x                              Xét hàm số     2 8 3, 3;1 f x x x x      . Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh   4;19 I  và bề lõm hướng xuống dưới. Hàm số nghịch biến trên khoảng   3;1  . Hơn nữa     3 18; 1 6 f f      nên giá trị cần tìm của m là 6 18 m    . Câu 9.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường tròn có phương trình lần lượt là:           2 2 2 2 1 2 :2 1 2 1; : 2 2 4 C x y C x y        . Lập phương trình đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn   1 C và cắt đường tròn   2 C tại hai điểm , M N sao cho 2 2 MN  . Hướng dẫn: Đường tròn   1 C có tâm   1 1;0 I , bán kính 1 1 2 R  . Đường tròn   2 C có tâm   2 2;2 I , bán kính 2 2 R  . 4 Phương trình đường thẳng d có dạng:   2 2 0 0 Ax By C A B      . Đường thẳng d tiếp xúc với   1 C khi:     2 2 2 1 1 2 2 1 ; 2 2 A C d I R A C A B A B                          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 4 2 3 * 2 8 7 0 7 0 7 ; 1 1; 2 : 2 0 7 ; 7; 1; 2 :7 2 0 4 2 * 7 8 3 A B C MN d I R A B C A B A B C B A B C A C A B C A B C B A AB B A B A B A B A B A B C d x y A B A B C d x y A B C A AB                                                                            2 0 7 ; 1 1; 2 : 2 0 7 ; 1 7; 6 : 7 6 0 B A B B A A B A B C d x y B A A B C d x y                               Có 4 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Tính giới hạn sin 0 cos lim x x e x I x    . 2 sin sin sin 0 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 0 2sin cos 1 1 cos 1 sin 2 lim lim lim lim . lim sin sin sin 1 sin 2 2 lim .lim lim .sin 1 lim .limsin 1 sin 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x e x e x e x I x x x x x x x x e x x x I x x x x                                Câu 8.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ellipse   2 2 :4 9 36 E x y   . Lập phương trình tiếp tuyến của ellipse hợp với đường thẳng : 3 l y x  một góc 60    . Hướng dẫn: Phương trình đường thẳng   2 2 : 0 0 d Ax By C A B      . Đường thẳng này tiếp xúc với ellipse khi 2 2 2 9 4 A B C   . Theo yêu cầu bài toán     2 2 3 0 1 os , os60 3 0 2 3 2 A B A c d l c A A B A B A B                Xét hai trường hợp 1 2 3 4 2 : 2 2 * 0 ; 1 2 2 : 2 : 3 31 0 31 * 3 ; 1 31 : 3 31 0 C d y C B A B C B C d y d x y C B A B B C B d x y                                           Có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán. 5 Câu 9.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm       1;3;1 , 0;1; 1 , 1; 1;1 A B C  . Xác định tọa độ điểm M trên mặt phẳng :2 2 0 P x y z     sao cho biểu thức 2 3 4 F MA MB MC       đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn: Gọi E là điểm thỏa mãn   2 3 4 0 2;13; 5 EA MB MC E           . Với mọi điểm M ta có :   2 3 4 2 3 4 MA MB MC ME EA EB EC ME                . Suy ra 2 3 4 F MA MB MC       nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất, khi và chỉ khi M là hình chiếu của E trên mặt phẳng :2 2 0 P x y z     . Tọa độ của M thỏa mãn hệ:   6 2 2 0 11 6;11; 3 2 13 5 3 2 1 1 x x y z y M x y z z                             . HẾT . TRUONGHOCSO.COM MÃ SỐ B6 Hướng dẫn giải gồm 06 trang TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN; Khối: B Thời gian làm b i: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN. ; 7; 1; 2 :7 2 0 4 2 * 7 8 3 A B C MN d I R A B C A B A B C B A B C A C A B C A B C B A AB B A B A B A B A B A B C d x y A B A B C d x y A B C A AB                      . 2 2 2 2 2 2 5 2 4 3 8 7 4 4 11 42 83 52 0 2 1 2 1 1 1 11 31 52 0 1 3 2 1 1 a b a b a b b a b a b a b b b b b a b a x y x b b b b x y y                               