Luận văn thạc sĩ toán học tứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI ĐỨC HUY TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI ĐỨC HUY TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUN - 2019 i Danh mưc h¼nh 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 3.1 3.2 ành lỵ Pithot Mët bĐt ng thực hẳnh hồc Chựng minh nh lỵ 1.1 Chùng minh i·u ki»n c¦n Chùng minh i·u ki»n õ C¡c gâc °c tr÷ng Iosifescu iÃu kiằn tự giĂc ngoÔi tiáp cừa Wu Hai ữớng trỏn tiáp xúc cÔnh, ữớng cho CĂc ữớng trỏn tiáp xúc cĂc phẵa hai ÷íng ch²o C¡c tiáp im cừa ữớng trỏn Gi£ thuy¸t cõa Christopher Bradley °c tr÷ng Vainshtein 1 1 + = + R1 R3 R2 R4 CĂc ữớng trỏn ngoÔi tiáp cừa Christopher Bradley i·u ki»n c¦n v  õ thù i·u ki»n c¦n v  õ thù i·u ki»n c¦n v  õ thù C¡c ÷íng cao h1, h2, h3, h4 Tự giĂc ngoÔi tiáp ny l mởt tù gi¡c c¡nh di·u ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc Bốn ữớng trỏn nởi tiáp cĂc tam gi¡c nhä ữớng trỏn bng tiáp tam giĂc ối diằn nh C Bèn ÷íng trán b ng ti¸p tam gi¡c nhä èi di»n ¿nh P Tù gi¡c song t¥m China Western Mathematical Olympiad 2003 ABCD nởi tiáp ữủc v ch¿ ∆IJK l  tam gi¡c vng ÷íng th¯ng Newton cõa ABCD v  W XY Z Hẳnh thang cƠn ngoÔi tiáp Gõc giỳa cp cÔnh ối diằn cừa tự giĂc KLM N ë d i cĂc dƠy cung tiáp xúc W X v Y Z DƠy cung tiáp xúc W X, Y Z i qua giao iºm ÷íng ch²o 11 12 15 16 17 18 19 22 23 26 27 29 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 48 50 ii 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Gâc ϕ giúa d¥y cung W X v  Y Z Tù gi¡c ti¸p xóc W XY Z Chựng minh nh lỵ Fuss T½nh sin cõa mët nûa gâc A V½ dư 3.3.1 V½ dö 3.3.3 V½ dư 3.3.5 51 52 53 55 56 57 58 iii Mưc lưc Líi c£m ìn iv Mð Ưu 1 nh lỵ Pithot v cĂc iÃu kiằn tữỡng ữỡng 1.1 1.2 1.3 1.4 Ba nh lỵ cỡ bÊn và tự giĂc ngoÔi tiáp CĂc iÃu kiằn và cÔnh v ữớng cho CĂc iÃu kiằn liản quan án tam giĂc c trững và gõc v  ÷íng trán Tù gi¡c c¡nh di·u v  tù gi¡c song t¥m 2.1 Tù gi¡c c¡nh di·u v  c¡c t½nh ch§t 2.1.1 Mët sè h» thùc li¶n quan 2.1.2 C¡c i·u ki»n c¦n v  õ 2.1.3 C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n tam gi¡c 2.2 Tù gi¡c song tƠm v cĂc tẵnh chĐt 2.2.1 Mët sè °c tr÷ng cõa tự giĂc song tƠm 2.2.2 Hai c trững mợi cừa tự giĂc song tƠm 12 13 20 31 31 31 32 36 41 41 42 C¡c vĐn à liản quan 47 Ti liằu tham khÊo 61 3.1 oÔn thng tiáp tuyán v dƠy cung tiáp xúc 47 3.2 Tù gi¡c ti¸p xóc 51 3.3 Tự giĂc ngoÔi tiáp v  ph²p nghàch £o 55 iv Lới cÊm ỡn  hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa PGS.TS Nguyạn Viằt HÊi, GiÊng viản cao cĐp Trữớng Ôi hồc HÊi Phỏng Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhỳng iÃu thƯy  dnh cho tổi Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn o tÔo, Khoa ToĂn Tin, quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K11B (2017 - 2019) Trữớng Ôi hồc khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tỉi ho n th nh khâa håc Tỉi xin gûi líi c£m ỡn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! HÊi Phỏng, thĂng nôm 2019 Ngữới viát Luên vôn Bũi ực Huy M Ưu Mửc ẵch cừa à ti luên vôn Mửc ẵch cừa à ti ny l: Nghiản cựu sƠu thảm và tự giĂc ngoÔi tiáp: CĂc iÃu kiằn v tẵnh chĐt cừa tự giĂc ngoÔi tiáp thữớng ẵt ữủc trẳnh by cĂc sĂch hẳnh hồc Viằt nam, náu cõ cụng ch nõi án nh lỵ Pithot, tẵnh chĐt cừa tự giĂc nởi tiáp ữủc giợi thiằu thữớng xuyản Ngoi ra, cán câ lỵp c¡c tù gi¡c °c bi»t cõa tù giĂc ngoÔi tiáp cõ nhiÃu ựng dửng giÊi toĂn Giợi thiằu và tự giĂc ngoÔi tiáp cĂc trữớng hủp c biằt cừa nõ l lỵ chồn à ti cừa tổi Sau trẳnh by gƯn 20 iÃu kiằn cƯn v ừ cĂc tẵnh chĐt (cụng l  c¡c i·u ki»n c¦n v  õ) cõa tù gi¡c ngoÔi tiáp, cĂc c trững cừa tự giĂc cĂnh diÃu v  cõa tù gi¡c song t¥m chóng tỉi mn kh¯ng nh sỹ phong phú v sƠu sưc cừa hẳnh hồc sỡ cĐp biát tờng hủp, khai thĂc cĂc khẵa cÔnh cừa khĂi niằm bơng cĂc cổng cử sđn cõ Bỗi dữùng nông lỹc dÔy cĂc chuyản à khõ trữớng THCS v THPT gõp phƯn o tÔo hồc sinh hồc giọi mổn Hẳnh hồc Nởi dung cừa à ti, nhỳng vĐn à cƯn giÊi quyát Trẳnh by cĂc iÃu kiằn cƯn v ừ  mởt tự giĂc lỗi l tự giĂc ngoÔi tiáp Sau õ xt trữớng hủp c biằt cừa tự giĂc ngoÔi tiáp: Tự giĂc cĂnh diÃu, tự giĂc song tƠm v cĂc tẵnh chĐt cừa chúng PhĂt biu v chựng minh mởt số hằ thực liản quan Nởi dung luên vôn chia lm chữỡng: Chữỡng nh lỵ Pithot v c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng Sau ph¡t biºu v  chựng minh cht ch ba nh lỵ cỡ bÊn cừa tự giĂc ngoÔi tiáp (tham khÊo v bờ sung chi tiát [1], [6]) luên vôn trẳnh by cĂc iÃu kiằn cƯn v ừ nỳa và tự giĂc ngoÔi tiáp chia lm cĂc dĐu hiằu liản quan án cÔnh, ữớng cho, liản quan án diằn tẵch, liản quan án cĂc ữớng trỏn nởi tiáp v bng tiáp, Chữỡng ny bao gỗm: 1.1 Ba nh lỵ cỡ bÊn và tự giĂc ngoÔi tiáp 1.2 CĂc iÃu kiằn và cÔnh v ữớng cho 1.3 CĂc iÃu kiằn liản quan án tam gi¡c 1.4 °c tr÷ng v· gâc v  ÷íng trán Ch÷ìng Tù gi¡c c¡nh di·u v  tù gi¡c song tƠm Ơy l hai trữớng hủp c biằt cừa tự giĂc ngoÔi tiáp Vợi nhỳng giÊ thiát c biằt ta thu ữủc cĂc dĐu hiằu c trững cừa tự gi¡c c¡nh di·u v  tù gi¡c song t¥m cịng c¡c tẵnh chĐt khĂc Chữỡng ny bao gỗm cĂc mửc sau: 2.1 Tự giĂc cĂnh diÃu v cĂc tẵnh chĐt 2.2 Tự giĂc song tƠm v cĂc tẵnh chĐt Chữỡng CĂc vĐn à liản quan Bản cÔnh khĂi niằm tự giĂc ngoÔi tiáp vợi cĂc trữớng hủp c biằt cừa nõ cõ rĐt nhiÃu cĂc vĐn à liản quan Trong chữỡng ny ta à cêp án cĂc khĂi niằm, tẵnh chĐt hay ữủc sỷ dửng giÊi toĂn, õ l: 3.1 oÔn thng tiáp tuyán v dƠy cung tiáp xúc 3.2 Tự giĂc tiáp xúc 3.3 Tự giĂc ngoÔi tiáp v php nghch Êo Chữỡng nh lỵ Pithot v cĂc iÃu kiằn tữỡng ữỡng 1.1 Ba nh lỵ cỡ bÊn và tự giĂc ngoÔi tiáp Ta nhưc lÔi tự giĂc ngoÔi tiáp ữớng trỏn l tự giĂc lỗi m tĐt cÊ cĂc cÔnh Ãu tiáp xúc vợi mởt ữớng trỏn hay tự giĂc ngoÔi tiáp l tỗn tÔi tỗn tÔi mởt ữớng trỏn nởi tiáp tự giĂc Lữu ỵ rơng ữớng trỏn nởi tiáp õ l nhĐt Trong ton bở luên vôn chúng tổi s sỷ dửng tự giĂc ngoÔi tiáp ' thay cho cĂch nõi tự giĂc ngoÔi tiáp mởt ữớng trỏn Dạ thĐy khổng phÊi mồi tự giĂc lỗi Ãu l tự giĂc ngoÔi tiáp Do õ, muốn mởt tự giĂc ngoÔi tiáp cƯn ph£i câ th¶m mët (ho°c mët sè) i·u ki»n n o â, m  ta gåi l  i·u ki»n c¦n v  õ  mởt tự giĂc ngoÔi tiáp DĐu hiằu nhên biát mởt tự giĂc ngoÔi tiáp xuĐt hiằn sợm v õng vai trỏ quan trồng l nh lỵ Pithot Henri Pithot (1695-1771) l mởt k sữ ngữới PhĂp  cổng bố i·u ki»n c¦n v  cơng l  i·u ki»n õ º mởt tự giĂc ngoÔi tiáp tứ nôm 1725, php chựng minh Ưu tiản ữủc thỹc hiằn bi nh toĂn hồc Thửy sắ Jakob Steiner (1796-1863) vo nôm 1846 nh lỵ 1.1 Tự giĂc ABCD vợi cĂc cÔnh a, b, c, d ngoÔi tiáp (Pithot) ữớng trỏn v ch¿ AB + CD = BC + DA, a + c = b + d (1.1) ABCD ngoÔi tiáp ữớng trỏn (I), cĂc tiáp cÔnh AB, BC, CD, DA l  M, N, P, Q Suy ra: Chùng minh ([1]), Gi£ sû iºm thù tü tr¶n c¡c tùc l  AM = AQ, BM = BN , CN = CP, DP = DQ AB + CD = BC + DA Cởng vá vợi vá ta cõ : nh lỵ Pithot H¼nh 1.1 AB + CD = BC + DA Khỉng mĐt tẵnh chĐt tờng quĂt ta coi AB AD Do AB + CD = BC + DA n¶n BC DC Khi õ tỗn tÔi Q AD, P ∈ DC cho AB = AQ v  CB = CP , suy DP = DQ Tø â, c¡c tam gi¡c ABQ, CBP, DP Q l  nhúng tam giĂc cƠn v cĂc ữớng cao tứ ba nh A, C, D l  trung trüc cõa tam gi¡c BPQ, ỗng quy tÔi mởt im I Ta cõ I cĂch Ãu cĂc cÔnh AD, DC, CB, AB cừa tự giĂc Vêy tỗn tÔi ữớng trỏn tƠm I tiáp xúc vợi cĂc cÔnh tự giĂc Ngữủc lÔi, giÊ sỷ tự giĂc ABCD thọa mÂn Chú ỵ Ta cỏn cõ kát quÊ mÔnh hỡn nh lỵ Pithot v cụng l cĂch ABCD l mởt tiáp xúc vợi AB, AD, BC ỗng thới cưt AB + DC AD + BC DĐu bơng xÊy chựng minh khĂc cừa phƯn Êo nh lỵ Pithot: GiÊ sỷ tự giĂc tũy ỵ v cõ ữớng trỏn DC tÔi hai im Khi õ ABCD l tự giĂc ngoÔi tiáp cÔnh Thêt vêy, kỵ hiằu nhữ Hẳnh 1.2 thẳ bĐt ng thực cƯn chùng minh trð th nh x + y + z ≥ c + d Ta nhưc lÔi nh lỵ phữỡng tẵch : Cho ÷íng trán M c­t ÷íng M A.M B = M O − R = d2 − R2 cè ành Mët ÷íng th¯ng thay êi qua A v  B Khi â (O; R) v  iºm M 2 trỏn tÔi hai im : Mởt bĐt ng thực hẳnh hồc Hẳnh 1.2 Theo nh lỵ phữỡng tẵch ta câ c2 = z(y + z), d2 = x(x + y) Do õ, ta cƯn chựng minh bĐt ng thực q z(y + z) + q x(x + y) ≤ x + y + z Những õ chẵnh l hằ quÊ trỹc tiáp cừa bĐt ng thực AM-GM vẳ z+y+z 2z + y = , 2 q x+x+y 2x + y z(x + y) ≤ = 2 q z(y + z) DĐu bơng xÊy v ch y = ị nghắa cừa bĐt ¯ng thùc n y l  ð ché: k¸t qu£ têng qu¡t hỡn nh lỵ Pithot v ta cõ bĐt ng thực nghiảm ngt ữớng trỏn cưt mởt cÔnh tự giĂc nh lỵ 1.2 ([6]) Tự giĂc lỗi ABCD vợi P = AC BD ngoÔi tiáp mởt ữớng trỏn v  ch¿ khi: 1 1 + = + d(P, AB) d(P, CD) d(P, BC) d(P, DA) hay viát dữợi dÔng 1 1 + = + h1 h3 h2 h4 d(P, AB), d(P, BC), d(P, CD), d(P, DA) P án cĂc oÔn thng AB, BC, CD, DA Trong â: c¡ch tø (1.2) l¦n lữủt l khoÊng : Chựng minh nh lỵ 1.1 Hẳnh 1.3 Chựng minh Trữợc hát ta biu diạn (1.2) dữợi dÔng lữủng giĂc Xt cĂc M, N, E, F cừa P lƯn lữủt trản cĂc cÔnh AB , BC , AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, theo nh lỵ Thales hẳnh chiáu vuổng gõc CD, DA Vỵi PM AP PF = = d(C, AB) AC d(C, AD) PM BP PN = = d(D, AB) BD d(D, BC) PC PE PN = = d(A, BC) AC d(A, DC) Ngh¾a l , PM PF PM PN PN PE = ; = ; = b sin B c sin D d sin A c sin C a sin B d sin D H» thùc (1.2) trð th nh 1 1 + = + PM PE PN PF NhƠn cÊ vá vợi 1+ PM ta ÷đc PM PM PM a sin A sin B d sin A b sin B = + ⇐⇒ + = + PE PN PF c sin C sin D c sin C c sin D : Chùng minh iÃu kiằn cƯn Hẳnh 1.4 Do õ, (1.2) tữỡng ữỡng vỵi a sin A sin B + c sin C sin D = b sin B sin C + d sin D sin A ABCD ngoÔi tiáp ữủc náu v ch náu cõ (1.3) ABCD l tự giĂc ngoÔi tiáp thẳ cõ mởt ữớng trỏn BƠy giớ ta chựng minh iÃu kiằn cƯn Náu (1.3) r Khi õ     A B B C a = r cot + cot , b = r cot + cot 2 2     C D D A c = r cot + cot , d = r cot + cot 2 2 nëi tiáp bĂn kẵnh Do õ,   A B A A B B a sin A sin B = r cot + cot sin cos sin cos 2 2 2   A B B A A B cos cos = 4r cos sin + cos sin 2 2 2 A+B A B = 4r sin cos cos 2 C +D A B = 4r sin cos cos 2   D C C D B A = 4r cos sin + cos sin cos cos 2 2 2   D A B C D C cos cos cos cos = 4r tan + tan 2 2 2 T÷ìng tü,   D A A B C D cos cos cos cos b sin B sin C = 4r tan + tan 2 2 2   A B A B C D c sin C sin D = 4r tan + tan cos cos cos cos 2 2 2   B C A B C D d sin D sin A = 4r tan + tan cos cos cos cos 2 2 2 Tø â suy h» thùc (1.3) i·u ki»n õ Gi£ sû câ (1.3) v  ABCD khæng l tự giĂc ngoÔi tiáp Trữớng hủp Hẳnh 1.5 a) CĂc cÔnh ối cừa tự giĂc khổng song song, chng hÔn Xt ữớng trỏn nởi tiáp ABT , AD ∩ BC = T ta düng mët ÷íng th¯ng song song DC , tiáp xúc vợi ữớng trỏn, nõ cưt BC ð C , c­t DA ð D0 Gi£ 0 0 0 0 00 0 sû BC = b , C D = c , D A = d , C C = x, D D = y, D D = z , 00 00 00 00 â, D l  iºm trản C D cho C CDD l hẳnh bẳnh hnh Chú ỵ b = b0 + x, c = c0 − y, d = d0 + z V¼ ABC D0 l tự giĂc ngoÔi tiáp nản vợi a sin A sin B + c0 sin C sin D = c0 sin C sin D = b0 sin B sin C + d0 sin D sin A (1.4) So s¡nh (1.3) v  (1.4) cho a sin A sin B + c sin C sin D = b sin B sin C + d sin D sin A −y sin C sin D = x sin B sin C + z sin D sin A hay y sin C sin D + x sin B sin C + z sin D sin A = iÃu ny mƠu thuăn vẳ cÊ số x, y, z Ãu dĐu v cĂc giĂ tr lữủng giĂc Ãu dữỡng Kát quÊ thu ữủc Trữớng hủp Hẳnh 1.5 b) chng hÔn AD k BC ABCD cõ mởt cp cÔnh ối song song, Xt ữớng trỏn tiáp xúc vợi cĂc cÔnh AB, BC DA Dỹng ữớng thng song song vợi DC , tiáp xúc ữớng trỏn, nõ 0 0 0 c­t BC, DA t÷ìng ùng ð C , D Gi£ sû C C = D D = x, BC = b v  v  : Chùng minh i·u ki»n õ H¼nh 1.5 D0 A = d0 Rã r ng b0 = b − x, d = d0 + x, C D0 = CD = c V¼ABC D0 l tự giĂc ngoÔi tiáp nản a sin A sin B + c sin C sin D = b0 sin B sin C = b0 sin B sin C + d0 sin D sin A (1.5) So s¡nh (1.5) vỵi (1.3): b sin B sin C + d sin D sin A = b0 sin B sin C + d0 sin D sin A ⇔x(sin B sin C + sin D sin A) = x 6= 0, sin A = sin B ; sin C sin D (hai gâc bị nhau) n¶n sin A sin C = Vổ lỵ nh lỵ ữủc chựng minh hon ton Vẳ suy ra: Trong [6] Nicusor Minculete trẵch dăn mởt c trững lữủng giĂc cừa tự giĂc ngoÔi tiáp Marius Iosifescu cổng bố mởt tÔp chẵ cụ cõa Romanian (Iosifescu, Problem 1421, The Mathematical Gazette (in Romanian), N0 11, 1954) BÊn thƠn Nicusor Minculete chữa ồc ữủc php chựng minh c trững ny cừa Iosifescu vẳ khổng cõ bÊn tiáng Anh, cụng khổng xĂc nh ữủc ph²p chùng minh sau ¥y cõa ỉng câ gièng ph²p chùng minh cõa Iosifescu khỉng Câ thº coi °c tr÷ng Iosifescu sau Ơy l c trững lữủng giĂc cừa tự giĂc ngoÔi tiáp nh lỵ 1.3 Tự giĂc lỗi ABCD ngoÔi tiáp (c trững Iosifescu, [6]) v ch z y w x tan tan = tan tan , 2 2 (1.6) 10 â, \ y = ADB, \ z = BDC, \ w = DBC \ x = ABD, Chùng minh Sû dưng cỉng thùc l÷đng gi¡c tan2 u − cos u = + cos u ta th§y (1.6) tữỡng ữỡng vợi cos x cos z − cos y − cos w − + cos x + cos z + cos y + cos w i·u õ lÔi tữỡng ữỡng vợi (1 cos x)(1 cos z)(1 + cos y)(1 + cos w) = = (1 − cos y)(1 − cos w)(1 + cos x)(1 + cos z) a = AB, b = BC, c = CD, d = DA a2 + q − d , cho n¶n cho cosx = 2aq Nh­c lÔi cổ sin v t q = BD, (1.7) nh lỵ d2 (a q)2 (d + a q)(d − a + q) − cos x = = 2aq (2aq) (a − q + d)(a − q − d) (a − q)2 − d2 = + cos x = 2aq (2aq) Cụng bơng cĂch nhữ thá: (a + d − q)(a − d + q) (d + q + a)(d + q − a) , + cos y = (2dq) (2dq) (b + c − q)(b − c + q) (c + q + b)(c + q − b) − cos z = , + cos z = (2cq) (2cq) (b + c − q)(c − b + q) (b + q + c)(b + q − c) − cos w = , + cos w = (2bq) (2bq) − cos y = Nhữ vêy (1.7) tữỡng ữỡng vợi (d + a − q)(d − a + q)2 (b + c − q)(b − c + q)2 · · 2aq 2cq (d + q + a) (b + q + c) · · 2dq 2bq (a + d − q)(a − d + q)2 (c + b − q)(c − b + q)2 = · · 2dq 2bq (a + q + d) (c + q + b) · · 2aq 2cq 11 : C¡c gâc °c tr÷ng Iosifescu Hẳnh 1.6 iÃu õ lÔi tữỡng ữỡng vợi P.[(d − a + q)2 (b − c + q)2 − (a − d + q)2 (c − b + q)2 ] = â, P = (d + a + q)(b + c − q)(d + q + a)(b + q + c) 16abcdq (1.8) l  biºu thùc dữỡng cĂc bĐt ng thực tam giĂc cĂc tam giĂc ABD, BCD Khai trin (1.8) nhên ữủc P.[(d − a + q)(b − c + q) + (a − d + q)(c − b + q)]× ×[(d − a + q)(b − c + q) − (a − d + q)(c − b + q)] = ¯ng thực tữỡng ữỡng vợi 4qP.(b + d a c)[q − (a − d)(b − c)] = Sû dưng b§t ¯ng thùc tam gi¡c ta câ q − (a − d)(b − c) > tan (1.9) q > a − d; q > b − c, Tứ Ơy ta kát luên ữủc z y w x · tan = tan · tan ⇐⇒ b + d = a + c 2 2 °c trững Iosifescu ữủc chựng minh theo nh lỵ Pithot vêy 12 1.2 CĂc iÃu kiằn và cÔnh v ữớng cho Mởt nhỳng ữớng tẳm cĂc iÃu kiằn cƯn v ừ  tự giĂc lỗi ngoÔi tiáp l chựng minh cĂc iÃu kiằn mợi ny tữỡng ữỡng vợi mởt ba nh lỵ cỡ bÊn trản Sau Ơy l hai c trững tữỡng tỹ vợi nh lỵ Pithot: M»nh · 1.1 N¸u ABCD l  mët tù gi¡c lỗi m cĂc cÔnh ối diằn AB v CD cưt ð P, AD v  BC c­t ð Q thẳ ABCD ngoÔi tiáp v ch xÊy i·u ki»n BP + BQ = DP + DQ; AP − AQ = CP − CQ Chùng minh iÃu kiằn ny ữủc chựng minh bơng phÊn chựng K, L, M, N l cĂc tiáp im cừa ữớng trỏn nởi tiáp vợi lƯn lữủt cĂc cÔnh AB, BC, CD, DA i·u ki»n c¦n Gi£ sû tù gi¡c ABCD ngoÔi tiáp Gồi Khi õ, BP + BQ = AP − AB + BC + CQ = (AP + CQ) + (BC − AB) = AQ + CP + CD − AD = DP + DQ; AP + CQ = AK + P K + QL − CL = AN + P M + QN − CM = AQ + CP : iÃu kiằn tự giĂc ngoÔi tiáp cừa Wu H¼nh 1.7 13 i·u ki»n õ Ta chùng minh ch¯ng hÔn cõ ABCD thẳ BC BP + BQ = DP + DQ l tự giĂc ngoÔi tiáp Xt ữớng trỏn tiáp xúc vợi cÔnh AD khổng tiáp xúc 0 vợi ữớng trỏn Gồi S l im trản AQ cho Q S song song DD 0 0 V¼ BP + BQ = DP + DQ v  BP + BQ = D P + D Q , ko theo QS + SQ0 = QQ0 MƠu thuăn v  c¡c tia SXY Z BA v  ch¿ di»n t½ch CD Gi£ sû ÷íng th¯ng ∆XY Z Ta câ iÃu kiằn liản quan án diằn tẵch Mằnh à 1.2 Tự giĂc lỗi ABCD vợi P = AC BD CƯn v ừ  ABCD ã ngoÔi tiáp l câ mët c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng sau: a + c = b + d (1.10) • SAP B SCP D SBP C SDP A a.SCP D + c.SAP B = b.SDP A + d.SBP C • a.P C.P D + c.P A.P B = b.P A.P D + d.P B.P C Chùng minh Tø c¡c h» thùc (1.11) (1.12) a a = = , d(P, AB) a.d(P, AB) 2S(AP B) suy (1.10) tữỡng ữỡng vợi (1.2) Sü t÷ìng ÷ìng cõa (1.10), (1.11) v  (1.12) rót tø c¡c ¯ng thùc SAP B = P A.P B sin ϕ, v.v , ϕ l  gâc giúa hai ữớng cho 2 rơng SAP B SCP D = SBP C SDP A = P A.P B.P C.P D sin vợi lữu ỵ 1.3 CĂc iÃu kiằn liản quan án tam giĂc Trong mởt b i b¡o n«m 2000, (Problem 10698, Amer Math Monthly, 105(1998) 995; solution, 107 (2000), 657-658 ), Wu Wei Chao ÷a mởt c trững khĂc cừa tự giĂc ngoÔi tiáp: Gåi P l  giao hai ÷íng ch²o ABCD v  r1 , r2 , r3 , r4 l  b¡n k½nh c¡c ữớng trỏn nởi tiáp AP B, BP C, CP D, DP A, tữỡng ựng Khi õ cõ kát quÊ sau cừa tự giĂc lỗi Mằnh à 1.3 Tự giĂc lỗi ABCD ngoÔi tiáp ữủc v ch 1 1 + = + r1 r2 r3 r4 Chùng minh X²t tam gi¡c ùng l  , hb , hc ABC (1.13) tũy ỵ vợi cÔnh a, b, c ữớng cao tữỡng v bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp r Tø c¡c cæng thùc 14 1 1 SABC = (a + b + c) · r = aha = bhb = chc 2 2 ta suy ra: a+b+c b c b c = = + + = + + r aha aha aha bhb chc Nghắa l bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc quan hằ vợi cĂc ÷íng cao bði h» thùc 1 1 = + + r hb hc p döng ¯ng thùc â v o tam gi¡c r1 r2 r3 r4 (1.14) AP B, BP C, CP D, DP A ta câ: 1 + + , d(P, AB) d(A, BD) d(B, AC) 1 = + + , d(P, BC) d(C, BD) d(B, AC) 1 = + + , d(P, CD) d(C, BD) d(D, AC) 1 = + + , d(P, AD) d(A, BD) d(D, AC) = Tø â suy sü t÷ìng ÷ìng cõa (1.13) v  (1.2) M»nh · 1.4 Tự giĂc lỗi l tự giĂc ngoÔi tiáp náu v ch náu hai ữớng trỏn nởi tiáp hai tam giĂc tÔo bi mởt ữớng cho tiáp xúc vợi ABCD, giÊ sỷ cĂc ữớng trỏn nởi tiáp cĂc tam giĂc ABC, CDA, BCD, DAB lƯn lữủt tiáp xúc vợi AC v  BD ð X, Y, Z, W (H¼nh 1.8 ) Trữợc hát ta chựng minh: Chựng minh Trong tự giĂc lỗi ZW = |a b + c d| = XY Thêt vêy, sỷ dửng tẵnh chĐt tiáp tuyán ngoi ta cõ BZ = b z BW = a − w, n¶n ZW = BW − BZ = a − w − b + z Cụng bơng cĂch nhữ vêy, DW = d w v  DZ = c − z ZW = DZ − DW = c − z − d + w n¶n ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI ĐỨC HUY TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... iÃu kiằn cƯn v ừ nỳa và tự giĂc ngoÔi tiáp chia lm cĂc dĐu hiằu liản quan án cÔnh, ữớng cho, liản quan án diằn tẵch, liản quan án cĂc ữớng trỏn nởi tiáp v bng tiáp, Chữỡng ny bao gỗm: 1.1... quan án tam giĂc °c tr÷ng v· gâc v  ÷íng trán Tù gi¡c c¡nh di·u v  tù gi¡c song t¥m 2.1 Tù gi¡c c¡nh diÃu v cĂc tẵnh chĐt 2.1.1 Mët sè h» thùc li¶n quan