Luận văn thạc sĩ toán học đặc trưng euler và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  TRẦN THỊ ÁNH DƢƠNG ĐẶC TRƢNG EULER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  TRẦN TH[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ ÁNH DƢƠNG ĐẶC TRƢNG EULER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ ÁNH DƢƠNG ĐẶC TRƢNG EULER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Tạ Duy Phƣợng THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức sơ lược lý thuyết đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Định nghĩa 1.1.4 Định nghĩa 7 1.2 Chu trình 1.3 Một số dạng đồ thị 1.3.1 Đồ thị phẳng 1.3.2 Đồ thị đối ngẫu 8 1.3.3 Đồ thị liên thông 10 1.3.4 Đơn đồ thị 11 1.3.5 Đồ thị đầy đủ 11 1.3.6 Đồ thị phân đôi đầy đủ 11 1.4 Cây 12 Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler 14 2.1 Chứng minh dựa lý thuyết đồ thị 14 2.2 Chứng minh sử dụng phương pháp điện tích 19 2.2.1 Điện tích 20 2.2.2 Điện tích đối ngẫu 20 2.3 Chứng minh dựa phương pháp sử dụng góc 21 2.3.1 Tổng góc 21 2.3.2 Góc hình cầu 22 2.4 Chứng minh Euler 27 2.5 Một số chứng minh khác 30 2.5.1 Phương pháp loại bỏ tam giác 30 2.5.2 Chu trình Euler 32 Một số ứng dụng toán liên quan 35 3.1 Khối đa diện Platon 35 3.2 Trái bóng đá toán phủ mặt cầu 38 3.3 Đặc trưng Euler số ứng dụng lý thuyết đồ thị 39 3.4 Định lí Pick 44 3.5 Định lí Sylvester-Gallai 47 3.6 Định lí đường thẳng đơn sắc 49 Kết luận 56 Lời nói đầu Xét khối đa diện sau Cạnh E Mặt F V −E+F Tên Đỉnh V Tứ diện Hình lập phương 12 Bát diện 12 Thập nhị diện 20 30 12 Nhị thập diện 12 30 20 Hình Ta nhận thấy V − E + F = với tất năm khối đa diện Số không đổi gọi đặc trưng Euler Đặc trưng Euler, hay công thức V − E + F = 17 phương trình làm thay đổi giới (xem [1]) Do tính chất quan trọng công thức này, đặc trưng Euler có đến vài chục cách chứng minh (xem [5]) có nhiều ứng dụng (xem thí dụ, [6]) Đặc trưng Euler (còn gọi bất biến Euler, công thức Euler, đặc trưng Euler-Poincaré ) bất biến tôpô, số không đổi đặc trưng cho hình dạng cấu trúc khơng gian tơpơ khơng phụ thuộc vào cách bị biến dạng Đặc trưng Euler thường ký hiệu X Đặc trưng Euler X (S) đa giác phẳng S chia thành tam giác số đỉnh trừ số cạnh cộng với số mặt tam giác đa giác đó: X (S) = V − E + F Bất kỳ đa diện lồi có đặc trưng X = V − E + F = 2, V , E F tương ứng số đỉnh (góc), số cạnh số mặt khối đa diện Leonhard Euler, tên ông đặt cho khái niệm này, có cơng trình nghiên cứu đặc trưng Ta mở rộng đặc trưng Euler (tức công thức X = 2) cho hình cầu áp dụng cho khối đa diện cầu Luận văn chia làm ba chương Chương Một số kiến thức sơ lược lý thuyết đồ thị Chương Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler Chương Một số ứng dụng tốn liên quan Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy Phượng, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Thầy giáo thuộc khoa Tốn - Tin, Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến trường trung học phổ thông Lê Chân quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ q trình học tập cơng tác Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp cổ vũ, động viên tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Thái Ngun, tháng năm 2018 Tác giả Trần Thị Ánh Dương Chương Một số kiến thức sơ lược lý thuyết đồ thị Chương trình bày sơ lược khái niệm lý thuyết đồ thị để bổ trợ cho số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler dựa lý thuyết đồ thị chương sau Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [2,3,9] 1.1 1.1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa Đồ thị (graph) G = (V, E) gồm đỉnh V cạnh E, V 6= ∅ cạnh nối với hai đỉnh (không thiết phân biệt) Nếu cạnh e tương ứng với hai đỉnh u, v ta nói u v hai đỉnh kề Ký hiệu e = (u, v) hay e = (v, u) Cạnh (u, u) tương ứng với hai đỉnh trùng gọi vòng hay khuyên(loop) u Hai cạnh phân biệt tương ứng với cặp đỉnh gọi hai cạnh song song hay cạnh bội Cặp đỉnh không thứ tự gọi cạnh vô hướng (cạnh) Cặp đỉnh thứ tự gọi cạnh có hướng (cung) 6 Hình 1.1 1.1.2 Định nghĩa Đồ thị G gọi đồ thị vô hướng tất cạnh G cạnh vơ hướng Hình 1.2 Bậc đỉnh đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc với nó, riêng khun đỉnh tính hai lần cho bậc Kí hiệu là: deg(v) - Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập - Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Ví dụ Cho đồ thị sau: Hình 1.3 Ta có: deg(a) = 4, deg(b) = 5, deg(c) = 4, deg(d) = 0, deg(e) = 1, deg(f ) = 4, deg(g) = 1.1.3 Định nghĩa Đồ thị G gọi đồ thị có hướng tất cạnh G cạnh có hướng Hình 1.4 1.1.4 Định nghĩa Đồ thị G1 gọi đồ thị đồ thị G tập đỉnh tập cạnh G1 tương ứng tập tập đỉnh tập cạnh G 1.2 Chu trình Đường (path) có độ dài n từ v0 đến với n số nguyên dương, đồ thị vô hướng dãy cạnh liên tiếp v0 v1 , v1 v2 , , vn−1 Đỉnh v0 gọi đỉnh đầu, đỉnh gọi đỉnh cuối Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối gọi chu trình Đường (Chu trình) khơng qua cạnh lần thứ hai gọi đường đơn (Chu trình đơn) Chu trình đơn chứa tất cạnh đồ thị gọi chu trình Euler Đồ thị vơ hướng gọi đồ thị Euler có chu trình Euler 8 Ví dụ Trong Hình 1.5, đồ thị G1 có chu trình Euler: a, e, c, d, e, b, a Cả hai đồ thị G2 G3 khơng có chu trình Euler Hình 1.5 1.3 1.3.1 Một số dạng đồ thị Đồ thị phẳng Đồ thị G đồ thị phẳng vẽ mặt phẳng cho cạnh khơng cắt ngồi đỉnh Hình 1.6 1.3.2 Đồ thị đối ngẫu Đồ thị đối ngẫu đồ thị phẳng G đồ thị G có đỉnh tương ứng cho miền mặt phẳng đồ thị G có cạnh tương ứng với cạnh G kết nối hai miền kề G 9 Hình 1.7: Đồ thị đối ngẫu Xác định đồ thị đối ngẫu từ đồ thị phẳng Bước 1: Xác định miền đồ thị phẳng Ta có đồ thị phẳng G, xác định miền sau: • Miền 1: Miền bị giới hạn tam giác CDE • Miền 2: Miền bị giới hạn tam giác BCE • Miền 3: Miền bị giới hạn tam giác ABE • Miền ngồi: Miền khơng bị giới hạn hình ngũ giác ABCDE Hình 1.8: Nối miền tam giác CDE với miền mà cạnh DE , CD CE tiếp xúc Bước 2: Xác định miền tiếp xúc với miền vừa xác định bước Xét tam giác CDE (miền 1) ta thấy: • Cạnh DE, CD tiếp xúc với miền ngồi • Cạnh CE tiếp xúc với tam giác BCE (miền 2) Ta thực vẽ đường cong nối từ tam giác CDE sang miền tam giác BCE 10 Tương tự ta xét với tam giác BCE tam giác ABE Hình 1.9: Nối miền tam giác BCE với miền mà cạnh BC , BE CE tiếp xúc Bước 3: Gọi H đồ thị vừa tìm được, ta có H đồ thị đối ngẫu G Hình 1.10: Nối miền tam giác ABE với miền mà cạnh AB , AE BE tiếp xúc 1.3.3 Đồ thị liên thông Một đồ thị liên thông tồn đường cặp đỉnh phân biệt đồ thị Ví dụ Trong Hình 1.11 đồ thị G liên thông đồ thị H khơng liên thơng 11 Hình 1.11 1.3.4 Đơn đồ thị Đồ thị khơng có khun cạnh bội gọi đơn đồ thị Ngược lại, gọi đa đồ thị 1.3.5 Đồ thị đầy đủ Là đơn đồ thị bao gồm n đỉnh mà đỉnh có bậc n − (mỗi đỉnh nối với n − đỉnh lại) Ký hiệu: Kn Ví dụ Hình 1.12 1.3.6 Đồ thị phân đơi đầy đủ Là đơn đồ thị đó: - Các đỉnh đồ thị chia làm hai tập - Mỗi cạnh nối đỉnh từ tập đến đỉnh tập 12 Kí hiệu: Km,n Ví dụ Hình 1.13 1.4 Cây Cây đồ thị mà hai đỉnh nối với đường Cây đồ thị vô hướng, liên thơng khơng có chu trình đơn Hình 1.14: Cây Cây bao trùm (spanning tree) gọi khung đồ thị G đồ thị G , chứa tất đỉnh G Hay nói cách khác, bao trùm đồ thị G đồ thị G, chứa tất đỉnh G, liên thông khơng có chu trình Cây khung đồ thị liên thông G đồ thị liên thông nhỏ G 13 Hình 1.15: Cây khung 14 Chương Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler Chương trình bày số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler 2.1 Chứng minh dựa lý thuyết đồ thị Biểu diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành miền, kể miền vơ hạn Ví dụ biểu diễn phẳng đồ thị hình 2.1 chia mặt phẳng thành miền Chúng gán nhãn hình vẽ Hình 2.1 Euler chứng minh tất biểu diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành số miền Ơng tìm mối quan hệ số miền, số đỉnh số cạnh đồ thị phẳng Khi cơng thức đặc trưng Euler đồ thị phẳng phát biểu sau Định lí Nếu G đồ thị phẳng liên thơng có V đỉnh, E cạnh F 15 miền V − E + F = Sau số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler dựa sở lý thuyết đồ thị Chứng minh 2.1.1 (xem [2]) Gọi G đơn đồ thị phẳng liên thông với E cạnh V đỉnh Gọi R số miền biểu diễn phẳng G Cần chứng minh R = E − V + Trước tiên ta xác định biểu diễn phẳng G Ta chứng minh cách xây dựng dãy đồ thị G1 , G2 , , Ge = G, bước ghép thêm cạnh vào đồ thị bước trước Điều làm sử dụng phương pháp quy nạp toán học sau Lấy tùy ý cạnh G để nhận G1 Để nhận Gn từ Gn−1 ta thêm tùy ý cạnh liên thuộc với đỉnh Gn−1 thêm đỉnh khác liên thuộc với cạnh đó, chưa có Gn−1 Điều làm G liên thơng G nhận sau e cạnh ghép thêm vào đồ thị tạo trước Gọi Rn , En Vn tương ứng số miền, số cạnh số đỉnh biểu diễn phẳng Gn biểu diễn phẳng G sinh Ta chứng minh quy nạp Với n = 1, hệ thức R1 = E1 − V1 + với G1 E1 = 1, V1 = R1 = Hình 2.2 Giả sử Rn = En − Vn + Gọi {an+1 , bn+1 } cạnh gộp vào Gn để Gn+1 Có hai khả xảy Trường hợp Cả hai đỉnh an+1 , bn+1 thuộc Gn Khi chúng phải biên miền chung R khơng gộp cạnh {an+1 , bn+1 } vào Gn mà khơng có cạnh cắt (Gn+1 phẳng) Cạnh chia miền R thành hai miền 16 Hình 2.3 Do Rn+1 = Rn + 1, En+1 = En + Vn+1 = Vn Vì ta có cơng thức Rn+1 = En+1 − Vn+1 + Trường hợp Một hai đỉnh an+1 , bn+1 chưa thuộc Gn Hình 2.4 Giả sử an+1 thuộc Gn cịn bn+1 khơng thuộc Gn Thêm cạnh không sinh miền nào, bn+1 phải miền có an+1 biên Do đó, Rn+1 = Rn Nhưng En+1 = En + Vn+1 = Vn + Vì Rn+1 = En+1 − Vn+1 + Vậy với n ta có Rn = En − Vn + Vì đồ thị gốc Ge nhận sau thêm e cạnh, Định lí chứng minh Công thức Euler minh họa ví dụ sau: Ví dụ 2.1.1 Giả sử đơn đồ thị phẳng liên thơng có 20 đỉnh, đỉnh có bậc Biểu diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành miền? Giải Đồ thị phẳng có 20 đỉnh, đỉnh có bậc 3, 17 V = 20 Vì tổng số bậc đỉnh, 3V = 3.20 = 60, hai lần số cạnh, tức 2E, ta có E = 60 : = 30 Do theo công thức Euler, số miền R = E − V + = 30 − 20 + = 12 Chứng minh 2.1.2 (xem [8]) Đồ thị Hình 2.5 có năm đỉnh, bảy cạnh, bốn miền − + = Hình 2.5 Nếu khơng tính vùng khơng giới hạn miền công thức Euler trở thành V − E + F = Xét (một đồ thị phẳng liên thơng khơng có chu trình) Vì khơng có chu trình, miền miền khơng bị giới hạn, nên công thức Euler V − E + = hay V = E + Do đó, số đỉnh lớn số cạnh đơn vị Ta dùng cách loại bỏ cạnh khỏi đồ thị để chứng minh định lí Xét đồ thị phẳng liên thơng Chọn cạnh Cạnh liên thuộc hai đỉnh khuyên Hình 2.6 18 Giả sử cạnh liên thuộc hai đỉnh Ta thu nhỏ cạnh biến hồn tồn trở thành đỉnh Điều thực đồ thị phẳng (xem loại bỏ cạnh a, c, d Hình 2.6) Như làm cho số cạnh số đỉnh giảm đơn vị Số miền khơng đổi Do đó, giá trị biểu thức V − E + F không thay đổi Giả sử cạnh khuyên Ta loại bỏ cạnh b, e Do đó, số cạnh số miền giảm đơn vị Số đỉnh không thay đổi Vì vậy, giá trị biểu thức V − E + F khơng thay đổi Tiếp tục q trình loại bỏ cạnh lại đỉnh nhất, khơng có cạnh có miền (miền ngồi) Do V − E + F = Bởi V − E + F khơng đổi suốt trình nên V − E + F = với đồ thị ban đầu Chứng minh 2.1.3 (xem [5]) Gọi G đơn đồ thị phẳng liên thông với E cạnh, V đỉnh F miền Giả sử T ⊆ E tập hợp cạnh bao trùm G, tức đồ thị nhỏ liên thông với tất đỉnh G Đồ thị khơng chứa chu trình nhỏ Ta xác định đồ thị đối ngẫu G G sau: - Đặt đỉnh vào miền G - Thêm cạnh cho cạnh G tách hai miền liền kề nối 0 đỉnh G cung e cắt cạnh chung e hai miền Sau ta vẽ số cạnh liên thơng đồ thị đối ngẫu 0 Xét tập hợp T ⊆ E cạnh đồ thị đối ngẫu tương ứng với cạnh E\T Các cạnh T liên thông tất miền Như 0 T bao trùm G Đối với cây, số đỉnh số cạnh đơn vị nên ta có:

|V (T )| − |E (T )| = V T − E T = 1; ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ ÁNH DƢƠNG ĐẶC TRƢNG EULER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... chục cách chứng minh (xem [5]) có nhiều ứng dụng (xem thí dụ, [6]) Đặc trưng Euler (cịn gọi bất biến Euler, công thức Euler, đặc trưng Euler- Poincaré ) bất biến tôpô, số không đổi đặc trưng cho... trình Euler 32 Một số ứng dụng toán liên quan 35 3.1 Khối đa diện Platon 35 3.2 Trái bóng đá tốn phủ mặt cầu 38 3.3 Đặc trưng Euler số ứng dụng