Luận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụngLuận văn thạc sĩ: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụng
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM L NH QUÝNH ÀNH LÞ IM BT ËNG CÕA NH X NÛA TÜA CO SUY RËNG V ÙNG DÖNG LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2019 I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM L NH QNH ÀNH LÞ IM BT ËNG CÕA NH X NÛA TÜA CO SUY RËNG V ÙNG DÖNG Ng nh: TON GII TCH M số: 8460102 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc TS BềI TH HềNG ThĂi Nguyản - 2019 Líi cam oan Tỉi xin cam oan r¬ng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thüc v khỉng trịng l°p vỵi · t i kh¡c Tỉi cơng xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho viằc thỹc hiằn luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 Ngữới viát luên vôn Lả ẳnh Quýnh XĂc nhên cừa trững khoa ToĂn XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn khoa håc TS Bịi Th¸ Hịng i Líi c£m ìn Trữợc trẳnh by nởi dung chẵnh cừa luên vôn, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi TS Bũi Thá Hũng, ngữới thƯy tên tẳnh hữợng dăn tổi suốt quĂ trẳnh nghiản cựu tổi cõ th hon thnh luên vôn ny Tổi xin trƠn trồng c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, khoa To¡n cịng to n thº cĂc thƯy cổ giĂo trữớng HSP ThĂi Nguyản  truyÃn thử cho tổi nhỳng kián thực quan trồng, tÔo iÃu kiằn thuên lủi v cho tổi nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn BÊn luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát vẳ vêy rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn hồc viản luên vôn n y ÷đc ho n ch¿nh hìn Ci cịng xin c£m ìn gia ẳnh v bÔn b  ởng viản, khẵch lằ tổi thới gian hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 TĂc giÊ Lả ẳnh Quýnh ii Mưc lưc Líi cam oan Líi c£m ìn Mởt số kỵ hiằu v viát tưt Mð ¦u Chữỡng nh lỵ im bĐt ởng cừa Ănh xÔ co Banach 1.1 nh nghắa v vẵ dử 1.2 Sü hëi tư khỉng gian metric 1.3 Khỉng gian metric ¦y õ 1.4 nh lỵ im bĐt ởng cừa Ănh xÔ co Banach i ii iv 3 6 Chữỡng nh lỵ im bĐt ởng cừa Ănh xÔ nỷa tỹa co suy rởng v ựng dửng 15 2.1 Khổng gian metric Ưy ừ theo qu Ôo 2.2 nh lỵ im bĐt ởng cừa Ănh xÔ tüa co 2.3 nh lỵ im bĐt ởng cừa Ănh xÔ tỹa co suy rởng 2.4 nh lỵ im bĐt ởng cừa Ănh xÔ nỷa tỹa co suy rởng 2.5 Ùng döng 15 16 21 25 31 Kát luên 34 T i li»u tham kh£o 35 iii Mởt số kỵ hiằu v viát tưt N N R R+ C {xn } ∅ A∪B A×B (X, d) O(x; ) B(S) têp cĂc số tỹ nhiản têp cĂc số tỹ nhiản khĂc khổng têp cĂc số thỹc têp số thỹc khổng Ơm têp cĂc số phực dÂy sè tªp réng hđp cõa hai tªp hđp A v B tẵch Descartes cừa hai têp hủp A v B khổng gian metric qu Ôo cừa Ănh xÔ T tÔi im x têp tĐt cÊ cĂc hm thỹc b chn trản S vợi chuân supremum kát thúc chựng minh iv M Ưu Lỵ thuyát im bĐt ởng v ựng dửng l lắnh vỹc nghiản cựu hĐp dăn cừa toĂn hồc hiằn Ôi Ơy l lắnh vỹc  v ang thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa rĐt nhiÃu nh toĂn hồc v ngoi nữợc Lỵ thuyát im bĐt ởng l mët cỉng cư quan trång º nghi¶n cùu c¡c hiằn tữủng phi tuyán tẵnh Nõ cõ nhiÃu ựng dửng nhiÃu lắnh vỹc khĂc cừa ToĂn hồc nhữ sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh vi, tẵch phƠn, hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh, phữỡng trẳnh hm, qu Ôo õng cừa hằ ởng lỹc, Hỡn nỳa, nõ cán câ nhi·u ùng döng c¡c ng nh khoa håc khĂc nhữ khoa hồc mĂy tẵnh, lỵ thuyát iÃu khin, lỵ thuyát trỏ chỡi, vêt lỵ toĂn, sinh hồc, kinh tá, Sỹ phĂt trin mÔnh m cừa lỵ thuyát im bĐt ởng cõ th nõi bưt nguỗn tứ nhỳng ựng dửng rởng rÂi cừa nõ Nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach l trung tƠm cừa lỵ thuyát im bĐt ëng tr¶n khỉng gian metric Sü íi cõa nguy¶n lỵ Ănh xÔ co Banach vợi ựng dửng cừa nõ  m sỹ phĂt trin mợi cừa mởt lỵ thuyát im bĐt ởng metric Lỵ thuyát im bĐt ởng metric phĂt trin chừ yáu theo ba vĐn à sau: Mð rëng c¡c i·u ki»n co cho c¡c ¡nh xÔ; m rởng cĂc nh lỵ im bĐt ởng  biát lản cĂc khổng gian cõ cĐu trúc tữỡng tỹ khỉng gian metric; v t¼m c¡c ùng dưng cõa chóng ối vợi vĐn à m rởng iÃu kiằn co cừa Ănh xÔ,  biát ữủc nhỳng lợp Ănh xÔ co tiảu biu ữủc k án nhữ cừa Pant- Singh-Mishra [3], Popescu [5], Mot- Perusel [6], Rhoades [7], Singh- Mishra [8], Suzuki [9], Nôm 1974, Ciric [1]  chựng minh nh lỵ im bĐt ởng cho Ănh xÔ tỹa co trản khổng gian metric T - Ưy ừ theo qu Ôo Nôm 2015, Kumam- DungSitthithakerngkiet [2]  chựng minh nh lỵ im bĐt ởng cho Ănh xÔ tüa co suy rëng tr¶n khỉng gian metric T - Ưy ừ theo qu Ôo Kát quÊ ny l m rởng kát quÊ cừa Ciric [1] Nôm 2017, Pant [4]  chựng minh nh lỵ im bĐt ởng cho Ănh xÔ nỷa tỹa co suy rởng trản khổng gian metric T - Ưy ừ theo qu Ôo Kát quÊ ny l mð rëng c¡c k¸t qu£ cõa Ciric [1] v Kumam- Dung- Sitthithakerngkiet [2] Mửc ẵch cừa luên vôn l giợi thiằu lÔi mởt số kát quÊ nghiản cựu cừa c¡c t¡c gi£ Ciric [1], Kumam- Dung- Sitthithakerngkiet [2] v Pant [4] và nh lỵ im bĐt ởng cho Ănh xÔ tỹa co, tỹa co suy rởng v nỷa tỹa co suy rởng trản khổng gian metric T - Ưy ừ theo qu Ôo Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, hai chữỡng nởi dung, phƯn kát luên v ti liằu tham khÊo Chữỡng chúng tổi trẳnh by khĂi niằm và khổng gian metric v nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach Ngo i chóng tỉi cán tr¼nh b y mët sè m rởng dÔng ỡn giÊn cừa nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach Chữỡng dnh cho viằc trẳnh by khĂi niằm khổng gian metric Ưy ừ theo qu Ôo v mởt số nh lỵ im bĐt ởng cho Ănh xÔ tỹa co, tỹa co suy rởng v nỷa tỹa co suy rởng trản khổng gian metric Ưy ừ theo qu Ôo Ngoi ra, mởt ựng dửng vo bi toĂn quy hoÔch ởng cụng ữủc trẳnh by chữỡng ny Chữỡng nh lỵ im bĐt ởng cừa Ănh xÔ co Banach Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mët sè kh¡i ni»m v· khæng gian metric v ành lỵ im bĐt ởng cừa Ănh xÔ co Banach khổng gian metric Ưy ừ v mởt số bián th cừa nõ 1.1 nh nghắa v vẵ dử nh nghắa 1.1.1 Gi£ sû X l tªp hđp kh¡c réng H m d : X ì X R ữủc gồi l metric trản X náu thọa mÂn (i) d(x, y) vỵi måi x, y ∈ X v d(x, y) = ⇔ x = y (ii) d(x, y) = d(y, x) vỵi måi x, y ∈ X (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) vỵi måi x, y, z ∈ X Khi â c°p (X, d) gåi l khổng gian metric Vẵ dử 1.1.2 Trản C[0,1], xt h m sè d : C[0,1] × C[0,1] → R bði Z |x(t) − y(t)|dt, d(x, y) = vỵi måi x, y ∈ C[0,1] Ta câ Z d(x, y) = |x(t) − y(t)|dt ≥ 0, Gi£ sû Z d(x, y) = vỵi måi x, y ∈ C[0,1] |x(t) − y(t)|dt = 0 i·u n y tữỡng ữỡng vợi x(t) = y(t), vợi mồi t [0, 1] i·u n y chùng tä x = y M°t khĂc, ta lÔi cõ Z |x(t) y(t)|dt d(x, y) = Z |x(t) − z(t) + z(t) − y(t)|dt Z Z ≤ |x(t) − z(t)|dt + |z(t) − y(t)|dt = 0 = d(x, z) + d(z, y) vỵi måi x, y, z ∈ C[0,1] Vªy (C[0,1], d) l khỉng gian metric 1.2 Sü hëi tư khỉng gian metric ành ngh¾a 1.2.1 Cho (X, d) l khæng gian metric, {xn} l mët dÂy cĂc phƯn tỷ cừa X , ta nõi {xn} hëi tư ¸n z ∈ X n¸u lim d(xn , z) = n→∞ Ta k½ hi»u n→∞ lim xn = z ho°c xn → z n → ∞ nh lỵ 1.2.2 GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian metric Khi õ (i) Giợi hÔn cừa mởt dÂy (náu cõ) l nhĐt (ii) Náu n lim xn = a; lim yn = b th¼ lim d(xn , yn ) = d(a, b) n→∞ n→∞ Chùng minh (i) Trong X gi£ sû n→∞ lim xn = a; lim yn = b Ta câ n→∞ d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , b) vỵi måi n Cho n → ∞ ta thu ÷đc d(a, b) = i·u n y k²o theo a = b (ii) Vỵi måi n ta ·u câ d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , b) Suy n,m→∞ lim d(xn , xm ) = Vêy {xn } l dÂy Cauchy X Vẳ X l Ưy ừ, tỗn tÔi x X cho n→∞ lim xn = x∗ M°t kh¡c tø b§t ¯ng thùc d(T x∗ , x∗ ) ≤ d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ ) ≤ r(d(T xn , x∗ ) + d(T x∗ , xn )) + d(xn+1 , x∗ ) ≤ r(d(xn+1 , x∗ ) + d(T x∗ , xn )) + d(xn+1 , x∗ ) Suy d(T x∗ , x∗ ) ≤ (r(d(T xn , x∗ ) + d(xn+1 , x∗ )) + d(xn+1 , x∗ )) 1−r Cho n → ∞ ta thu ÷đc d(T x∗, x∗) = Tùc l T x∗ = x∗ Vªy x∗ l mởt im bĐt ởng cừa T GiÊ sỷ tỗn tÔi y X cho T y = y , â ta câ d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ r(d(T x∗ , y ∗ ) + d(T y ∗ , x∗ )) = 2rd(x∗ , y ∗ ) V¼ r ∈ [0, 21 ) n¶n d(x∗, y∗) = i·u n y k²o theo x∗ = y∗ Vªy x∗ l iºm bĐt ởng nhĐt cừa T nh lỵ 1.4.6 Gi£ sû (X, d) l khỉng gian metric ¦y õ v Ănh xÔ T :XX thọa mÂn iÃu kiằn co sau d(T x, T y) ≤ r max{d(T x, x); d(T y, y)} â r ∈ [0, 1) l hơng số Khi õ T Hỡn nỳa, vợi mội x ∈ X, ta câ vỵi måi x, y ∈ X, câ iºm b§t ëng nh§t x∗ ∈ X lim T n x = x∗ n→∞ Vỵi méi x0 X , ta xƠy dỹng dÂy {xn} X bði cỉng thùc xn = T n x0 vỵi mồi n Náu tỗn tÔi n N cho xn+1 = xn thẳ xn chẵnh l im bĐt ởng cừa Ănh xÔ T GiÊ sỷ xn+1 6= xn vỵi måi n ∈ N Chùng minh 11 Khi â ta câ d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 ) ≤ r max{d(T xn , xn ); d(T xn−1 , xn−1 )} = r max{d(xn+1 , xn ); d(xn , xn−1 )} = rd(xn , xn−1 ) Bơng quy nÔp ta suy d(xn+1 , xn ) ≤ rn d(x1 , x0 ), vỵi måi n ∈ N Vỵi m > n ta câ d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + + d(xm−1 , xm ) ≤ (rn + rn+1 + + rm−1 )d(x1 , x0 ) rn ≤ d(x1 , x0 ) → n → ∞ 1−r Suy n,m→∞ lim d(xn , xm ) = Vêy {xn } l dÂy Cauchy X Vẳ X Ưy ừ, tỗn tÔi x ∈ X cho n→∞ lim xn = x∗ M°t kh¡c tø b§t ¯ng thùc d(T x∗ , x∗ ) ≤ d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ ) ≤ r max{d(T xn , xn ); d(T x∗ , x∗ )} + d(xn+1 , x∗ ) = r max{d(xn+1 , xn ); d(T x∗ , x∗ )} + d(xn+1 , x∗ ) Cho n → ∞, ta thu ÷đc d(T x∗ , x∗ ) ≤ rd(T x∗ , x∗ ) i·u n y k²o theo d(T x∗, x∗) = Tùc l T x∗ = x∗ Vêy x l mởt im bĐt ởng cừa T GiÊ sỷ tỗn tÔi y X cho T y∗ = y∗ Khi â ta câ d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ r max{d(T x∗ , x∗ ); d(T y ∗ , y ∗ )} = Suy x∗ = y Vêy x l im bĐt ởng cừa nhĐt cừa T 12 nh lỵ 1.4.7 GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian metric Ưy ừ v Ănh xÔ T :X→X thäa m¢n i·u ki»n co sau d(T x, T y) ≤ r max{d(T x, y); d(T y, x)} â r ∈ [0, 21 ) l h¬ng sè Khi â T Hìn núa vỵi méi x ∈ X, ta câ vỵi måi x, y ∈ X, câ iºm b§t ëng nh§t x∗ ∈ X lim T n x = x∗ n→∞ Vỵi méi x0 ∈ X , ta xƠy dỹng dÂy {xn} X bi cỉng thùc xn = T n x0 vỵi måi n ≥ Khi â ta câ Chùng minh d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 ) ≤ r max{d(T xn , xn−1 ); d(T xn−1 , xn )} = rd(xn−1 , xn+1 ) ≤ r(d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )) Tø â suy d(xn+1 , xn ) ≤ r d(xn , xn−1 ) = hd(xn , xn−1 ), 1−r ð ¥y h = r r Bơng quy nÔp ta suy d(xn+1 , xn ) ≤ hn d(x1 , x0 ), vỵi måi n ∈ N Vỵi m > n ta câ d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + + d(xm−1 , xm ) ≤ (hn + hn+1 + + hm−1 )d(x1 , x0 ) hn d(x1 , x0 ) → n → ∞ ≤ 1−h Suy n,m→∞ lim d(xn , xm ) = Vªy {xn } l dÂy Cauchy X Vẳ X Ưy ừ, tỗn tÔi x X cho n lim xn = x∗ M°t kh¡c tø b§t ¯ng thùc d(T x∗ , x∗ ) ≤ d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ ) ≤ r max{d(T xn , x∗ ); d(T x∗ , xn )} + d(xn+1 , x∗ ) = r max{d(xn+1 , x∗ ); d(T x∗ , xn )} + d(xn+1 , x∗ ) 13 Cho n → ∞, ta thu ÷đc d(T x∗ , x∗ ) ≤ rd(T x∗ , x∗ ) i·u n y k²o theo d(T x∗, x∗) = Tùc l T x = x Vêy x l mởt im bĐt ởng cừa T GiÊ sỷ tỗn tÔi y X cho T y∗ = y∗ Khi â ta câ d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ r max{d(T x∗ , y ∗ ); d(x∗ , T y ∗ )} = rd(x∗ , y ∗ ) Suy x∗ = y∗ Vªy x∗ l iºm b§t ëng cõa nh§t cõa T 14 ... lỵ im bĐt ởng cừa Ănh xÔ tỹa co 2.3 nh lỵ im bĐt ởng cừa Ănh xÔ tỹa co suy rởng 2.4 nh lỵ im bĐt ởng cừa Ănh xÔ nỷa tỹa co suy rëng 2.5 Ùng döng ... Kumam- Dung- Sitthithakerngkiet [2] v Pant [4] và nh lỵ im bĐt ởng cho Ănh xÔ tỹa co, tỹa co suy rởng v nûa tüa co suy rëng tr¶n khỉng gian metric T - Ưy ừ theo qu Ôo Luên vôn gỗm phƯn m Ưu,... khổng gian metric Ưy ừ theo qu Ôo v mởt số nh lỵ im bĐt ởng cho Ănh xÔ tỹa co, tỹa co suy rởng v nỷa tỹa co suy rởng trản khổng gian metric Ưy ừ theo qu Ôo Ngoi ra, mởt ựng dửng vo bi