(LUẬN văn THẠC sĩ) định lý điểm bất động trong không gian metric nón và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ HỒNG QUÂN ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ HỒNG QUÂN ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC NĨN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS Nguyễn Hữu Điển : Hà Nội - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Trang Lời nói đầu - -4 Ch-¬ng Các khái niệm - 1.1 Không gian metric 1.2 Sự hội tụ không gian metric 1.3 Nguyên lý ánh xạ co 1.4 Nón lồi - 11 Ch-¬ng Điểm bất động khơng gian metric nón 13 2.1 Không gian metric nón 13 2.2 Ánh xạ co - 16 2.3 Mở rộng ánh xạ co - 18 2.4 Điểm bất động chung ánh xạ - 22 2.5 Điểm bất động ánh xạ đa trị - 36 Chương Ứng dụng điểm bất động khơng gian metric nón 42 3.1 Điểm bất động ánh xạ không gian kiểu metric nón 42 3.2 Điểm bất động chung ánh xạ suy rộng - 47 3.3 Điểm bất động kiểu tích phân co - 51 3.4 Điểm bất động đôi - 59 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 -3- TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời nói đầu Cho C tập không gian X, F ánh xạ từ C vào X Phải đặt điều kiện C, X F để khẳng định tồn điểm x0 C cho F  x   x ? Điểm x0 gọi điểm bất động ánh xạ F Lý thuyết điểm bất động nhánh Tốn học, có nhiều ứng dụng lí thuyết tối ưu, lí thuyết trị chơi, bao hàm thức vi phân nhiều nghiên cứu Vật lí Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến ngun lí điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lí ánh xạ co Banach (1922) Định lý điểm bất động Banach ánh xạ co không gian metric đầy đủ kết kinh điển toán học Sau Banach chứng minh, định lý điểm bất động ánh xạ co trở thành vấn đề thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Các định lý điểm bất động ánh xạ co nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, nhiều loại không gian khác Năm 1935, Tychonoff nghiên cứu điểm bất động không gian lồi địa phương (1935) Kakutani (1941), Ky Fan (1952), Glicksberg (1952) nghiên cứu điểm bất động cho lớp hàm đa trị Và lý thuyết điểm bất động mở rộng đến không gian metric siêu lồi (M.A.Khamsi 1996), không gian trắc địa (W.A.Kirk 2003), không gian R- (W.A Kirk 2004) Cho đến có khoảng 10000 cơng trình định lý điểm bất động, công bố tạp chí tốn học Năm 2007, L-G Huang and X.Zang [1] với báo ‘’cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mapping’’ đưa khái niệm không gian metric nón đặt móng cho điểm bất động khơng gian - khơng gian metric nón Bài báo vận dụng sáng tạo, đưa định lý ánh xạ co d Tx, Ty   kd  x, y  , k  0,1 từ không gian metric thơng thường sang khơng gian metric nón, khẳng định tồn điểm bất động ánh xạ Khơng tác giả mở rộng kết sang ánh xạ dạng co kiểu -4- TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  1 d Tx, Ty   k d (Tx, x)  d Ty, y  , k  0,  Từ nhiều nhà tốn học  2 giới quan tâm Mohamed A Khamsi [3], Nguyen Huu Dien [2], S Rerapour and R Hamlbarani [5], Thabet Abdeljawad [13], Erdal Karapinar [13], L.B.Ciric [14], M Asadi [26], H Soleimani [26], S M Vaezpour, and B E Roades [28] Farshid Khojateh, Zahra Goodarzi [29] Trên sở P.Vetro [9] , C Di Bari [11], M Abbas and G Jungck [4], D Ilíc and V Racocevi [6], A Azam [7], M.Jleli [10], B.Samet, M.Arshad [8] and P.I.Beg [8], R.P.Agarawal [12], R Sumitra [20], chứng minh kết điểm bất động chung hàm Điểm bất động ánh xạ đa trị Abdul Latif [15], Fawzia Y Shaddad [15], Fawziay Shaddad (2010) Điểm bất động đôi F Sabetghadam [23], H P Masiha [23], A H Sanatpour (2009) v.v Nhằm tìm hiểu cách chi tiết có hệ thống định lý điểm bất động cho ánh xạ co khơng gian metric nón, chúng tơi lựa chọn đề tài sau cho luận văn mình: Định lý điểm bất động khơng gian metric nón ứng dụng Bố cục luận văn chia làm chương: Chương 1: Các khái niệm Chương 2: Điểm bất động khơng gian metric nón Chương 3: Ứng dụng điểm bất động khơng gian metric nón Trong chương trình bày định nghĩa khơng gian metric, tính chất khơng gian metric, ngun lý ánh xạ co nhằm mục đích tạo sở cho chương sau Chương đưa định nghĩa không gian metric nón Khơng gian metric nón đầy đủ hội tụ theo metric nón Ở tác giả đưa kết tồn điểm bất động ánh xạ co không gian Tiếp ta mở rộng ánh xạ co tìm hiểu điểm bất động chung hàm Chương trình bày ứng dụng điểm bất động khơng gian metric nón Trên sở chương chứng minh điểm bất động không gian khơng gian kiểu metric nón, kiểu tích phân, lớp hàm suy rộng dựa cách xây dựng không gian metric nón kết có Cuối xét điểm bất động đôi ánh xạ Luận văn thực trường Đại học Khoa học Tự nhiên hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Điển Tác giả xin bày -5- TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa tốn nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 2009-2011 tốn học tính tốn cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặt dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Hà nội, ngày16 tháng 11 năm 2011 Tác giả -6- TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Các khái niệm 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Khoảng cách hay metric X ánh xạ d : X  X   thỏa mãn: i  d  x, y  x, y  X d  x, y   x  y ii d  x, y    x  y iii d  x, y   d  x, z   d  z, y  Nhận xét: Từ (ii) (iii) ta có d  x, z   d  x, y   d  y, z  Hay d  x, z   d  y, z   d  x, y  Đổi vai trò x y, (ii) ta có: d  y, z   d  x, z   d  y, x   d  x, y  Suy iv d  y, z   d  x, z   d  x, y  Định nghĩa 1.1.2 Tập X với khoảng cách d gọi khơng gian metric Kí hiệu  X , d  Chú ý: Cho X không gian metric với khoảng cách dX A tập X Khi A không gian metric với khoảng cách dA cảm sinh từ dX d A  x, y   d X  x, y  -7- TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Trong trường hợp ta nói A khơng gian X Giả sử X  tập Ta xác định ánh xạ d : X  X  0,    1 x  y d  x, y     0 x  y Dễ thấy d metric X Khi  X , d  không gian metric rời rạc 1.2 Sự hội tụ không gian metric Giả sử  X , d  không gian metric Định nghĩa 1.2.1 Dãy  xn n1 X gọi hội tụ tới x viết lim xn  x  n lim d  xn , x   n Nghĩa là:   0, n0  n0   , n  n0 : d  xn , x    Mệnh đề 1.2.2 Giới hạn dãy hội tụ Chứng minh: Giả sử  xn  hội tụ tới x x Nếu x  x , ta đặt   d  x, x  Do   tồn n1 cho:  d  xn , x   , n  n1 Tương tự tồn n2 cho:  d  xn , x   , n  n2 Kết hợp hai bất đẳng thức ta được:   d  x, x   d  x, xn   d  xn , x       n  max  n1 , n2  Mâu thuẫn Vậy x  x 1.3 Nguyên lý ánh xạ co Định nghĩa 1.3.1 Cho  X ,d  không gian metric Ánh xạ F : X  X gọi ánh xạ Lipschitzian tồn số   thỏa mãn: -8- TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com d  F  x  ,F  y    d  x, y  Nếu   F gọi ánh xạ co Định lý 1.3.2 Cho  X ,d  không gian metric đầy đủ F : X  X ánh xạ co với số Lipschitzian  Thế F có điểm bất động u  X Hơn x  X n có: lim F  x   u d  F  x  ,u   d  x,F  x   n 1 n n Nhận xét: Hệ số  ánh xạ co số không phụ thuộc vào cặp điểm  x, y  Ví dụ sau cho thấy  phụ thuộc vào cặp điểm  x, y  tức  xy  cho d  F  x  , F  y     xy d  x, y  nguyên lý điểm bất động khơng Ví dụ 1.3.3 Xét khơng gian metric đầy   , d  với mn 0  d  m, n    mn 1   nm Xác định ánh xạ F :    cho F  n   n  Khi khơng tồn   chung cho thỏa mãn d  F  n  ,F  n  1    d  x, y  cặp (m, n) Thật có hệ số  d  F (n), F (n  1)    d  n, n  1 Tức là: 1 1     1   , n 2n   2n   Cho n   ta có   , vơ lý Định lý 1.3.4 Cho  X ,d  không gian metric đầy đủ F : X  X ánh xạ thỏa mãn: d  F  x  ,F  y     d  x, y  x, y  X -9- TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Trong  : 0,   0,  tự đồng cấu, không giảm, thỏa mãn lim  n  t   0, t  n Thế F có điểm bất động u  X Hơn x  X có lim F n  x   u n   Định lý 1.3.6  Picard  Lindelof Cho f : I   n   n hàm số liên tục lipschitz theo biến y, nghĩa tồn   cho f  t, y   f  t,z    y  x x, y   n , I  0, b Thế tồn y  C1  I  nghiệm hệ phương trình:   y  t   f  t , y (t )     y (0)  y0 Định nghĩa 1.3.7 Cho  X ,d  không gian metric Ánh xạ F : X  X gọi ánh xạ không giãn F thỏa mãn: d  F  x  ,F  y    d  x, y  Định lý 1.3.8 Cho  X ,d  không gian metric compact F : X  X ánh xạ không giãn thỏa mãn: d  F  x  ,F  y    d  x, y  x, y  X x  y Thế F có điểm bất động X Định lý 1.3.9 (Schauder’s) Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian tuyến tính định chuẩn E F : C  C ánh xạ không giãn F(C) tập compact C Thế F có điểm bất động  ,Kirk) Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn Định lý 1.3.10 (Browder, Gohde không gian Hilbert (thực) H F : C  C ánh xạ khơng giãn Thế F có điểm bất động Từ năm 60 nhiều nhà toán học mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cách đưa khái niệm ánh xạ co Để tiện theo dõi xin nhắc lại số lớp ánh xạ co tiêu biểu - 10 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Thật : d ( f n  x , x* )  c  : N1 : n  N1 : d p  d ( f m  x , x* )  c    3 ( ) 1     d p      d p       d p  1     4        d p  2    d f x* , f n 1  x  d f x* , x *  d p  3   d f n 1  x , x*  d p  5    d f n  x , x* d p   d f n 1  x , x*    d p    3  5  1    3 d p 0 d f n  x , x*  d p  d ( f n  x , x* ) d f n  x , f n 1  x  d f x* , x*   d ( f n  x , f x  ) d ( f x* , x* ) Ta có : c    3 1     d p   4  d p  1    3  d f n  x , x*   d p  Từ d f  x  , x  nên f  x   x Từ định lý (3.3.11) cho a1  a2  a3  a4 ta có hệ (3.3.10) Ngồi ta dễ suy hệ sau: Hệ 3.3.12 Cho  X , d  khơng gian metric nón đầy đủ  : P  P ánh xạ không triệt tiêu, cộng tính tích phân nón thỏa mãn:  i    0,   d p  0 d  f  x , f  y   ii  d p    2  d  f  x , x   d p  d  f  y , y     1    d p  với x, y  X ,  0,   Khi f có điểm bất động Chứng minh: Áp dụng định lý (2.6.11) với 3    5  ta được: - 60 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com d  f  x , f  y     d p  1 d  f  x , x   d p  2 d  f  y , f  x     Từ đó: d p   d p  1   d  f  x , x    d p ,1     d p  2 d  f  x , x  1     d  f  y , y  d  f  x , f  y   d  f  y , y  d p  d p d  f  y , y     d p   Đặt   1   ta hệ (3.3.12) 3.4 Điểm bất động đôi Định nghĩa 3.4.1 Cho  X ,d  không gian metric nón Phần tử ( x, y)  X  X gọi điểm bất động đôi ánh xạ F : X  X  X F ( x, y)  x F ( y, x)  y Định lý 3.4.2 Cho  X ,d  khơng gian metric nón đầy đủ Giả sử ánh xạ F : X  X  X thỏa mãn điều kiện có sau với x, y, u, v  X a i 1 i  1,  d ( F ( x, y), F (u, v))  a1d ( x, u )  a2d ( y, v)  a3d ( F ( x, y), x)  a4 d ( F (u, v), u )  a5d ( F ( x, y), u )  a6d ( F (u, v), x) (3.6) Khi F có điểm bất động đôi Chứng minh: Chọn x0 , y0  X tập x1  F ( x0 , y0 ) , y1  F ( y0 , x0 ) , , xn1  F ( xn , yn ), yn1  F ( yn , xn ) Bởi (3.6) ta có: d  xn , xn1   d ( F ( xn1, , yn1 ), F ( xn , yn )  a1d ( xn1, xn )  a2d ( yn1, yn )  a3d ( F ( xn1, yn1 ), xn1 ) a4d ( F ( xn , yn ), xn )  a5d ( F ( xn1, yn1 ), xn )  a6d ( F ( xn , yn ), xn1 ) suy (1-a4  a6 )d( xn ,xn1 )  ( a1  a3  a6 )d( xn ,xn1 )  a2d( yn1 , yn ) (3.7) Tương tự: (1-a  a6 )d ( yn , yn1 )  (a1  a3  a6 )d ( yn , yn1 )  a2d ( xn1, xn ) (3.8) - 61 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Từ (3.7) (3.8) ta có: (1-a  a6 )[d ( xn , xn1 )  d ( yn , yn1 )]  (a1  a2  a3  a6 )[d ( xn1, xn )  d ( yn1, yn )] d ( xn , xn1 )  d ( yn , yn1 )  hay a1  a2  a3  a6 [d ( xn1 , xn )  d ( yn1 , yn )] 1-a  a6 (3.9) Đặt dn  d ( xn , xn1 )  d ( yn , yn1 )  a1  a2  a3  a6  a4  a6 Từ (3.9) ta dn   dn1 Do n   ta có:  dn   dn1   2dn2    n d0 Nếu d0  ( x0 , y0 ) cặp điểm bất động F Nếu d0  0, n  m ta có: d ( xn , xm )  d ( xn , xn1 )  d ( xn1, xn2 )   d ( xm1, xm ) d ( yn , ym )  d ( yn , yn1 )  d ( yn1, yn2 )   d ( ym1, ym ) Từ đó: d ( xn , xm )  d ( yn , ym )  dn1  dn2   dm  ( n1   n2    m )d0  Lấy c  chọn N1   : n  N1 : m d0 1 m d0  c 1 Từ {xn } {yn } dãy Cauchy X nên x* , y*  X : lim xn  x* , lim yn  y* n suy c  N0   : n  N0 : d ( xn , x* )  n c 1  a3  a5  c 1  a3  a5  , d ( yn , y * )  2m 2m Ta có: d ( F ( x* , y* ), x* )  d ( F ( x* , y* ), xN 1 )  d ( xN 1 , x* )  d ( F ( x* , y * ), F ( x N , y N ))  d ( x N 1, x* )  a1d ( x* , xN )  a2 d ( y* , y N )  a3d ( F ( x* , y* ), x* )  a4d ( F ( xN , y N ), xN ) a5d ( F ( x* , y* ), xN )  a6d ( F ( xN , yN ), x* )  d ( xN 1, x* ) - 62 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  a1d ( x* , xN )  a2 d ( y* , y N )  a3d ( F ( x* , y * ), x* )  a4d ( xN 1, xN )  a5[d ( F ( x* , y* ), x* )  d ( x* , xN )]  a6d ( xN 1, x* )  d ( xN 1, x* ) Suy (1  a3  a5 )d ( F ( x* , y* ), x* )  (a1  a5 )d ( x* , xN )  a2d ( y* , yN ) a4d ( xN 1 , xN )  (a6  1)d ( xN 1 , x* ) hay d ( F ( x* , y* ), x* )   a1  a5 a2 d ( x* , x N )  d ( y* , yN )  a3  a5  a3  a5 (a6  1) a4 c d ( xN 1 , xN )  d ( xN 1 , x* )   a3  a5  a3  a5 m Vì m  N tùy ý nên d ( F ( x* , y* ), x* )   F ( x* , y* )  x* Tương tự F ( y* , x* )  y* Từ ( x* , y* ) cặp điểm bất động F Bây ta chứng minh tính Giả sử ( x ', y ') cặp điểm bất động khác F Theo (3.7): d ( x ', x* )  d ( F ( x ', y '), F ( x* , y* )  a1d ( x ', x* )  a2d ( y ', y* )  a3d ( F ( x ', y '), x* )  a4 d ( F ( x* , y* ), x* )  a5d ( F ( x ', y '), x* )  a6d ( F ( x* , y * ), x ')  a1d ( x ', x* )  a2 d ( y ', y* )  a5d ( x ', x* )  a6d ( x* , x ') suy (1  a1  a5  a6 )d ( x ', x* )  a2d ( y ', y* ) (3.10) Tương tự (1  a1  a5  a6 )d ( y ', y* )  a2d ( x ', x* ) (3.11) Từ (3.10) (3.11) ta có: (1  a1  a5  a6 )[d ( x ', x* )  d ( y ', y* )]  suy  d ( x ', x* )   ( x ', y ')  ( x* , y* )  * d ( y ', y )  Từ định lý ta có kết sau: Hệ 3.4.3 Cho  X ,d  không gian metric nón đầy dủ F : X  X  X thỏa mãn: d  F  x, y  , F  u, v    kd  x, u   ld  y, v  (3.12) - 63 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com với x, y, u, v  X k , l  : k  l  Khi F có điểm bất động Chứng minh: Từ (3.6) cho k  a1 ,l  a2 ,a3  a4  a5  a6  ta (3.12) Áp dụng định lý (3.4.2) suy điều phải chứng minh Hệ 3.4.4 (hệ 2.3[6]) Cho  X ,d  khơng gian metric nón đầy đủ F : X  X  X thỏa mãn: d  F  x, y  , F  u , v      d  x, u   d  y , v   (3.13) với x, y, u, v  X   [0,1) Khi F có điểm bất động đôi Chứng minh: Theo (3.12) ta có: d  F  x, y  , F  u, v    kd  x, u   ld  y, v  (3.14) Tráo vai trò (x, y) (u, v) ta được: d  F  u, v  , F  x, y    kd  u, x   ld  v, y  (3.15) Cộng vế (3.14) (3.15) d  F  x, y  , F  u, v    d  F  u, v  , F  x, y    kd  x, u   ld  y, v   kd u, x   ld v, y  (3.16) Vì d  F  u,v  ,F  x, y    d  F  x, y  ,F u,v   d  u,x   d  x,u  , d  v, y   d  v, y  Nên (3.16) trở thành d  F  x, y  , F  u , v    k l d  x, u   d  y , v  2 (3.17) Cho k=l, viết lại (3.17): d  F  x, y  , F  u , v    k l d  x, u   d  y, v   Đặt   k  l ta (3.13) Áp dụng hệ (3.4.3) ta có kết cần chứng minh - 64 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ví dụ 3.4.5 Cho E=  P  { x, y    : x, y  0} nón chuẩn tắc Lấy X  [0,1] với metric d  x, y    x  y , x  y  Ta định nghĩa F : X  X  X xác định F  x, y   Khi đó: 1) d  F  x, y  , F  u, v     x  y  , x, y  X k d  x, u   d  y, v   , với k=  2 2) F(0,0) =0 Chú ý hàm F : X  X  X cho F  x, y   x y thỏa mãn điều kiện (3.13) với k=1 d  F  x, y  , F  u , v     d  x, u   d  y , v   Trường hợp (0, 0) (1, 1) hai cặp điểm bất động F Từ điểm bất động F khơng Điều chứng tỏ điều kiện   (3.13) a i 1 i  định lý (3.4.2) không bỏ qua Hệ 3.4.6 ([6]) Cho  X ,d  không gian metric nón đầy đủ F : X  X  X thỏa mãn d  F  x, y  , F  u, v    kd  F  x, y  , u   ld  F u, v  , x  (3.18) với x, y, u, v  X k , l  : k  l  Khi F có điểm bất động Chứng minh: Từ (3.6) cho k  a5 , l  a6 , a1  a2  a3  a4  ta (3.18) Áp dụng định lý (3.4.2) suy điều phải chứng minh Hệ 3.4.7 Cho  X ,d  khơng gian metric nón đầy đủ F : X  X  X thỏa mãn d  F  x, y  , F  u, v     [d  F  x, y  , x   d  F  u, v  , u  ] (3.19) với x, y, u, v  X   [0,1) Khi F có điểm bất động Chứng minh: Từ (3.6) cho k  a3 , l  a4 , a1  a2  a5  a6  ta - 65 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com d  F  x, y  , F  u, v    k d  F  x, y  , x   l d  F u, v  , u  (3.20) Tráo vai trò (x, y) (u, v) ta được: d  F  x, y  , F  u, v    k d  F u, v  , u   l d  F  x, y  , x  (3.21) Cộng vế (3.20) (3.21) d  F  x, y  , F  u, v    d  F  u, v  , F  x, y    k l d  F  x, y  , x   d  F u , v  , v   (3.22) Vì d  F  u,v  ,F  x, y    d  F  x, y  ,F u,v   Nên (3.22) trở thành d  F  x, y  , F  u , v    k l d  F  x, y  , x   d  F  u, v  , v   (3.23) Đặt   k  l ta (3.19) Áp dụng định lý (3.4.2) ta có kết cần chứng minh Định lý 3.4.8 Cho  X ,d  khơng gian metric nón đầy đủ Giả sử ánh xạ  1 F : X  X  X thỏa mãn điều kiện sau với x, y, u, v  X   0,   2 d ( F ( x, y), F (u, v))  0 0 d ( x, u), d ( y, v), d ( F ( x, y), x), d ( F (u, v), u), d ( F ( x, y), u), d ( F (u, v), x) (3.24) Khi F có điểm bất động đơi Chứng minh: Chọn x0 , y0  X tập x1  F ( x0 , y0 ) , y1  F ( y0 , x0 ) , , xn1  F ( xn , yn ), yn1  F ( yn , xn ) Bởi (3.24) ta có: d  xn , xn1   d ( F ( xn1, , yn1 ), F ( xn , yn )   {d ( xn1 , xn ), d ( yn1 , yn ), d ( F ( xn1 , yn1 ), xn1 ), d ( F ( xn , yn ), xn ), d ( F ( xn 1 , yn 1 ), xn ), d ( F ( xn , yn ), xn 1 )}   {d ( xn1 , xn ), d ( yn1 , yn ), d ( xn1 , xn ), d (xn1 , xn1 )} (3.25) Tương tự: - 66 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com d  yn , yn1    d ( yn1 , yn ), d ( xn1, xn ), d ( yn1, yn ), d ( yn1, yn1 ) (3.26) Từ (3.25) xảy khả sau: (10 ) d  xn , xn1   d  xn , xn1   d  xn , xn1    xn1  xn   x0  1 Hay d  xn , xn1    d  xn1 , xn  ,   0,   2  1 (20 ) d  xn , xn1    d  xn1 , xn  ,   0,   2 (3 ) d  xn , xn1   d  xn1 , xn1   d  xn1 , xn   d  xn , xn1  Hay d  xn , xn1    1  d  xn1 , xn    1 Vì   0,  nên   0,1 1   2 (40) d  xn , xn1    d  yn1 , yn  Theo (3.26) ta xét trường hợp sau: i) d  xn , xn1   d  yn1 , yn    2d  xn2 , xn1   n d  x0 , x1  , n  2m     n1d  x1 , x2  , n  2m    1 m   ,   0,   2  1 ii) d  xn , xn1    d  yn1 , yn    d  yn1 , yn2     n d  y0 , y1  ,   0,   2 iii) d  xn , xn1    d  yn1 , yn    2d  yn1 , yn   xn  xn1 n  1  d  xn , xn1    d  xn1 , xn  ,   0,   2 iv) d  xn , xn1   d  yn1 , yn    2d  yn1 , yn2    2d  yn1 , yn   1     n   n1  d  y0 , y1  ,   0,   2 Từ (10), (20), (30), (40),và kết hợp với (i), (ii), (iii), (iv) ta suy  xn  dãy Cauchy X Tương tự:  yn  dãy Cauchy X - 67 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Vì (X, d) khơng gian đầy đủ nên nên x* , y*  X : lim xn  x* , lim yn  y* n suy c  N0   : n  N : d ( xn , x* )  n c c , d ( yn , y * )  2m 2m Ta chứng minh  x , y  điểm bất động đôi F Thật vậy, ta có: d ( F ( x* , y* ), x* )  d ( F ( x* , y* ), xN 1 )  d ( xN 1 , x* )  d ( F ( x* , y* ), F ( xN , y N ))  d ( xN 1 , x* )     d ( xN 1 , x* )   {d ( x* , xN ), d ( y* , y N ), d ( F ( x* , y* ), x* ), d ( F ( xN , y N ), xN ), d ( F ( x* , y* ), xN ), d ( F ( xN , yN ), x* ) } Hay d ( F ( x* , y* ), x* )     +d ( xN 1 , x* )  {d ( x* , xN ), d ( y* , y N ), d ( F ( x* , y* ), x* ), d ( xN 1 , xN ), d ( F ( x* , y* ), x* )  d ( x* , xN ), d ( xN 1 , x* )} Suy d ( F ( x* , y* ), x* )   d ( F ( x* , y* ), x* )   c c  2m 2m hay d ( F ( x* , y* ), x* )   1 c   2m Vì m  N tùy ý nên d ( F ( x* , y* ), x* )   F ( x* , y* )  x* Tương tự F ( y* , x* )  y* Từ ( x* , y* ) cặp điểm bất động F Bây ta chứng minh tính Giả sử ( x ', y ') cặp điểm bất động khác F Theo (3.24): d ( x ', x* )  d ( F ( x ', y '), F ( x* , y* )     {d ( x ', x* ), d ( y ', y* ), d ( F ( x ', y '), x* ), d ( F ( x* , y* ), x* ), d (F ( x ', y '), x* ), d (F ( x*, y * ), x ')} Hay d ( x ', x* )    với  {d ( x ', x* ), d ( y ', y* )} Tương tự d ( y ', y* )    với  {d ( x ', x ), d ( y, y* )} (3.27) (3.28) - 68 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Từ (3.27) (3.28) ta có  d ( x ', x* )   ( x ', y ')  ( x* , y* )  * d ( y ', y )  Từ định lý ta có kết sau: Hệ 3.4.9 Cho  X ,d  khơng gian metric nón đầy đủ Giả sử hàm F : X  X  X  1 thỏa mãn điều kiện sau với x, y, u, v  X   0,   2 d ( F ( x, y), F (u, v))  0   0  d ( x, u ), d ( y, v), d ( F ( x, y ), x)  d ( F (u, v), u ) d ( F ( x, y ), u )  d ( F (u, v), x)  ,  2  (3.29) Khi F có điểm bất động đơi Chứng minh: Không giảm tổng quát giả sử d ( F ( x, y), F (u, v))  d ( F ( x, y), x) Tráo vai trò  x, y   u, v  ta d ( F ( x, y), F (u, v))  d ( F (u, v), u) Từ đó: d  F  x, y  , F  u, v    d ( F ( x, y ), x)  d ( F (u, v), u ) Tương tự, d ( F ( x, y), F (u, v))  d ( F ( x, y), u) ta có d ( F ( x, y), F (u, v))  d ( F (u, v), x) Từ đó: d  F  x, y  , F  u, v    d ( F ( x, y ), u )  d ( F (u, v), x) Nên (3.29) trường hợp riêng (2.24) Từ áp dụng định lý (3.4.8) ta có điều phải chứng minh - 69 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Kết luận Luận văn trình bày hợp lý kết đạt Trong luận văn tập trung chủ yếu vào chứng minh tồn điểm bất động lớp ánh xạ khơng gian metric nón Ngồi điểm bất động chung ánh xạ nghiên cứu chi tiết Với mong muốn nhìn nhận vấn đề cách toàn diện hơn, sở kết có chúng tơi cố gắng trình bày ứng dụng điểm bất động không gian metric nón Điều thể định lý điểm bất động khơng gian kiểu metric nón, điểm bất động kiểu tích phân, điểm bất động ánh xạ suy rộng - 70 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L-G Huang and X.Zang, Cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mapping, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 332, no.2, pp.1468-1476, 2007 [2] Nguyen Huu Dien, Some remarks on common fixed poin theorems, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 187, no.1, october 1, 1994 [3] Mohamed A Khamsi, Remarks on cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mappings, fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 315398, pages, doi: 10.1155/ 2010/ 315398 [4] M Abbas and G Jungck, Common fixed poin results for noncommuting mappings without continuity in cone metric spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 341, no.1, pp.416-420, 2008 [5] S.Rezapour and R Hamlbarani, Some notes on the paper: Cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mapping, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 345, no.2, pp.719-724, 2008 [6] D Ilíc and V Racocevi, Common fixed points for maps on the cone metric space, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 341, no.2, pp.876-882, 2008 [7] M Abbas , A Azam and P.Vetro, some common fixed poin results in cone metric spaces, fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 493965, 11 pages, 2009 [8] A Azam, M.Arshad and P.I.Beg, Common fixed poin in cone metric spaces, Journal of Nonlinear Science and Its Applications, vol 2, no 4, pp.204-213,2009 [9] V Vetro, Common fixed poin results in cone metric spaces, Rendiconti del Cricolo Matematico di Palermo, vol 56, no 3, pp 464-468, 2007 - 71 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com [10] M.Jleli and B.Samet, The Kannan’s fixed point theorem in a cone rectangular metric space, Journal of Nonlinear Science and Its Applications, vol 2, no 3, pp.161167,2009 [11] C.Di bari and P.vetro,  -pairs and common fixed point in cone metric spaces, Rendiconti del Cricolo Matematico di Palermo, vol 57, no 2, pp 279-285, 2007 [12] R.P.Agarawal, D.O’Regan, and Rrecup, Domain invariance theory for contractive type maps, Dynamic Systems and Applications, vol 16, no 3, pp.579586,2007 [13] Thabet Abdeljawad and Erdal Karapinar, Quasicone metric spaces and Generalizations of Caristi Kirk’s theorem, fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 574387, pages, doi: 10.1155/ 2009/ 574387 [14] L.B.Ciric, Generalized contractions and fixed point theorems, Publicationsde l'Institut Mathematical, Nouvelle Serie, vol 12, no.26, pp.19-26, 1971 [15] Abdul Latif and Fawzia Y Shaddad, Fixed point results for multivalued maps in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 941371, 11 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 941371  [16] G Jungck, S Radenovi 'c, Radojevi 'c , and V.Rakocevic , Common fixed point theorems for weakly compatible pairs on metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 643840, 13 pages, doi: 10.1155/ 2009/ 643840 [17] B.E Rhoades, A comparison of various definition of contractive mappings, transactions of the American Mathematical Society, vol 226, pp.257-290, 1977 [18] Sh Rezapour, Areview on topogical properties of cone metric space, in Analysis, Topology and Applicatons, Vrnjacka Banja, Serbia, Many-June 2008  [19] D Ilic' and V.Rakocevic , Quasi-contraction on a cone metric spacestar, open, Applied Mathematics Letters, vol 22, no 5, pp.728-731, 2009 [20] R Sumitra, V Rhymend Uthariaraj, R Hemavathy, Common Fixed point theorem for non-self mappings satisfiyng generalized Ciric type contraction condition - 72 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com in cone metric space, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 408086, 17 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 408086 [21] Zoran Kadelburg, Stojan Radenov ic , and Vladimir Radenov ic , Topological vector space-valued cone metric space and fixed point theorems, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 170253, 17 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 170253 [22] Z Kadelburg, S Radenov ic , and B Rosi 'c , Strict contractive conditions and common fixed point theorems in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 173838, 14 pages, doi: 10.1155/ 2009/ 173838 [23] F Sabetghadam and H P Masiha, Common fixed point for generalized   pair mappings on cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 718340, pages, doi: 10.1155/ 2010/ 718340 [24] Erdal Karapinal, Some nonunique fixed point theorems of C ' iri ' c type on cone metric space, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 123094, 14 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 123094 [25] Muhammad Arshad, Akbar Aram, and Pasquale Vetro, Some common fixed results in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 493965, 11 pages, doi: 10.1155/ 2009/493965 [26] M Asadi, H Soleimani and S M Vaezpour, An order on subsets of cone metric spaces and fixed point of set-valued contractions, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 723203, pages, doi: 10.1155/ 2009/723203 [27] Akbar azam, Ismat Beg, and Muhammad Arshad, Fixed point in topological vector space-valued cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 604084, pages, doi: 10.1155/ 2010/ 604084 [28] M Asadi, H Soleimani, S M Vaezpour, and B E Roades, On T-stability of Picard iteration in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point - 73 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com theory and Applications, vol.2009, Article ID 751090, pages, doi: 10.1155/ 2009/ 751090 [29] Farshid Khojateh, Zahra Goodarzi, and Abdolrahman Razani, Some fixed point theorems of Integral type contraction in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 189684, 13 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 189684 [30] J O Olaleru, Some generalizations of fixed point theorems in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 657914, 10 pages, doi: 10.1155/ 2009/657914 [31] P Raja and S M Vaezpour, Some extensions oof Banach’s cotraction principle in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2008, Article ID 768294, 11 pages, doi: 10.1155/ 2008/ 768294 [32] F Sabetghadam, H P Masiha, and A H Sanatpour, Some coupled fixed point theorems in metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 125426, pages, doi: 10.1155/ 2009/ 125426 [33] Ismat Beg, Akbar Azam, and Muhammad Arshad, Common fixed point for maps on topological vetor space valued cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation, international Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, vol.2009, Article ID 560264, pages, doi: 10.1155/ 2009/ 560264 [34] A Branciari, A pixed point theorems for mapping satisfying a genenal contractive condition of intergal type, International Journal of Mathematics anh Mathematical Sciences, vol 29, no.9, pp.531-536, 2002 [35] D H Tan and N A Minh, Some pixed point theorems for of contractive condition type, Acta Math Vietnam 1(1978), 24-42 - 74 - TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... Chương 2: Điểm bất động không gian metric nón Chương 3: Ứng dụng điểm bất động khơng gian metric nón Trong chương trình bày định nghĩa khơng gian metric, tính chất khơng gian metric, nguyên lý ánh... hệ thống định lý điểm bất động cho ánh xạ co không gian metric nón, chúng tơi lựa chọn đề tài sau cho luận văn mình: Định lý điểm bất động khơng gian metric nón ứng dụng Bố cục luận văn chia... bày ứng dụng điểm bất động khơng gian metric nón Trên sở chương chứng minh điểm bất động khơng gian khơng gian kiểu metric nón, kiểu tích phân, lớp hàm suy rộng dựa cách xây dựng khơng gian metric