Luận văn chỉnh hóa lồi và lặp cho bài toán ngược parabolic trong tài chính định lượng

LỜI CẢM ƠN Luận văn kết làm việc nghiêm túc cần mẫn, hồn thành khơng có giúp đỡ nhiều người Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ tơi lời động viên, hỗ trợ q báu, để tơi vượt qua giai đoạn khó khăn q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy GS.TS Đặng Đức Trọng, người giới thiệu tơi vào lĩnh vực Tốn tài Lý thuyết toán ngược với hướng dẫn tận tình thời gian làm luận văn Tơi xin cảm ơn quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình dạy dỗ, cho tảng kiến thức vững chắc; đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy thầy PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô hội đồng chấm luận văn thạc sĩ dành thời gian đọc luận văn cho nhận xét quý báu Cuối xin gửi lời cảm ơn đến thầy, thuộc Phịng quản lý Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành khóa học Nguyễn Vũ An MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài kiến thức tốn tài .6 1.2 Một vài kiến thức giải tích .9 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 14 2.1 Bài toán thuận: Phương trình Dupire .14 2.2 Sự tồn nghiệm toán parabolic 16 2.3 Các tính chất quan trọng tốn tử F(⋅) 19 2.4 Bài toán ngược xác định độ biến động địa phương 28 2.4.1 Bài toán ngược định giá quyền chọn châu Âu .28 2.4.2 Sự khơng chỉnh tốn ngược .29 2.5 Một tổng kết vấn đề xác định độ biến động địa phương 29 CHƯƠNG 3: CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG 32 3.1 Chỉnh hóa lồi cho toán xác định độ biến động địa phương 33 3.1.1 Sự tồn ổn định nghiệm chỉnh hóa .33 3.1.2 Sự hội tụ nghiệm chỉnh hóa 36 3.1.3 Tốc độ hội tụ với độ đo Bregman 38 3.1.4 Sự hội tụ với qui tắc Morozov .44 3.2 Hàm chỉnh hóa Kullback-Leibler 47 3.2.1 Định nghĩa kết biết 47 3.2.2 Chỉnh hóa Tikhonov với hàm Kullback-Leibler 49 CHƯƠNG 4: CHỈNH HÓA LẶP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG 58 4.1 Chỉnh hóa lặp Landweber W21,2 (Ω) 58 4.2 Chỉnh hóa lặp Landweber L2(Ω) 61 4.3 Thực thi số 68 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 LỜI NÓI ĐẦU Luận văn đề cập đến việc nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa cho tốn xác định tham biến khếch tán phương trình đạo hàm riêng parabolic nảy sinh lĩnh vực tài định lượng Đó tốn xác định độ biến động địa phương định giá hợp đồng quyền chọn Châu Âu Bài toán thuận ban đầu viết dạng phương trình mang tên Black-Scholes Năm 1973, cơng thức nhanh chóng trở thành cơng cụ hiệu cho việc định giá quyền chọn; sau phát triển thành phương trình Dupire Bruno Dupire, năm 1994 Năm 1997, Scholes Merton nhận giải thưởng Nobel kinh tế cho đóng góp quan trọng Luận văn tập trung vào khía cạnh lý thuyết toán xác định độ biến động từ quan sát giá hợp đồng quyền chọn Châu Âu thị trường Đây tốn khơng chỉnh, phi tuyến mà việc xác định nghiệm cần đến phương pháp chỉnh hóa Chúng ta tập trung trình bày chỉnh hóa lồi Tikhonov chỉnh hóa lặp Landweber cho tốn ngược Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương 1: Trình bày cách khái niệm, kết lĩnh vực tốn tài giải tích cần thiết sử dụng luận văn Chương 2: Ở phần đầu 2.1, trình bày vài tính chất tốn thuận theo mơ hình Black-Scholes việc định giá hợp đồng quyền chọn kiểu châu Âu Ở mục 2.2, trình bày kết tồn tại, ước lượng liên quan đến nghiệm phương trình parabolic tốn thuận; vài kết phát biểu tài liệu khác trích dẫn mà khơng chứng minh chi tiết Ở mục 2.3, phát biểu tính chất quan trọng tốn tử F từ dẫn đến tính khơng chỉnh tốn ngược; tính chất quan trọng liên quan đến tốn tử đạo hàm F', kết quan trọng để thu tốc độ hội tụ chỉnh hóa Tikhonov trình bày chương Một kết quan trọng khác chứng minh toán tử F thỏa mãn điều kiện h , kết sử dụng cho chỉnh hóa lặp chương Cuối chương, trình bày ngắn gọn vài kết khác liên quan đến toán xác định độ biến động địa phương Chương 3: Luận văn trình bày việc sử dụng chỉnh hóa Tikhonov cơng cụ hàm chỉnh hóa lồi mở rộng tốn chỉnh hóa Tikhonov tồn phương Do đó, xem xét tốn ngược khía cạnh giải tích lồi độ đo Bregman Trong mục 3.1, chứng minh tồn tại, ổn định, hội tụ nghiệm chỉnh hóa với qui tắc chọn tham số chỉnh hóa cách tiên nghiệm hậu nghiệm Mặt khác, mục này, tốc độ hội tụ nghiệm chỉnh hóa đến nghiệm xác phát biểu việc sử dụng độ đo Bregman Ở mục 3.2, luận văn trình bày việc sử dụng chỉnh hóa Tikhonov với hàm entropy Kullback-Leibler cho tốn ngược Chương 4: Luận văn phân tích việc sử dụng lý thuyết chỉnh hóa lặp cho toán ngược xác định độ biến động địa phương Ở mục 4.1, phát biểu kiểm tra lại giả thiết liên quan đến toán tử F cho việc sử dụng chỉnh hóa lặp Landweber Việc áp dụng chỉnh hóa lặp Landweber W21,2 dẫn đến tính tốn F  · với * tích vơ hướng không gian cho bước lặp Tuy nhiên, phức tạp tích vơ hướng lại gây khó khăn cho việc thực thi số Do đó, mục 4.2, tiếp tục phân tích hội tụ chỉnh hóa lặp Landweber cách sử dụng luật phân kỳ không gian L2 , điều làm đơn giản cho việc xây dựng phương pháp số để tính tốn F  · Và mục 4.3, trình bày sơ * lược vài kết thực thi số để minh họa cho kết lý thuyết mục 4.2 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài kiến thức tốn tài Định nghĩa 1.1.1 Quyền chọn mua kiểu châu Âu hợp đồng cho phép người ta sở hữu quyền, mà khơng bắt buộc, để mua cổ phần chứng khốn với giá thực thi K>0 thời điểm đáo hạn T>0 tương lai Các điều kiện hợp đồng là: • Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng muốn thực thi hợp đồng trả cho người viết hợp đồng số tiền giá thực thi hợp đồng • Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi người giữ trả, người viết phải giao cổ phần chứng khốn cho người giữ vào ngày đáo hạn Để mơ hình giá tài sản S với trình chuyển động Brown hình học, ta cho (,U , F , P) không gian xác suất với lọc F  ( Ft )t  khơng gian mẫu U s -đại số , P độ đo xác suất Định nghĩa 1.1.2 Một lọc họ s -đại số Ft t0 cho Ft  Fs với 0t  s Định nghĩa 1.1.3 Một trình ngẫu nhiên tập hợp biến ngẫu nhiên xt tT định nghĩa không gian xác suất (,U , P) Ánh xạ w  xt w  với t  T cố định biến ngẫu nhiên t  xt w  với w   gọi quỹ đạo trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.4 Một trình ngẫu nhiên Wt t0 tương ứng với lọc Ft t0 không gian xác suất (,U , F , P) gọi trình Wiener hay chuyển động Brown điều kiện sau thỏa mãn: * W0  hầu chắn * Các số gia Wt độc lập hay nói cách khác với  t1  t2   tn biến ngẫu nhiên Wt2  Wt1 ,Wt3  Wt2 , ,Wtn  Wtn1 độc lập * Wt  Ws ~ N (0, t  s ) với  s  t * Wt t0 có quỹ đạo liên tục hầu chắn Một phương án đầu tư (portfolio) tổ hợp số hữu hạn chứng khoán với trọng số Giả sử có n chứng khốn với giá trị thời điểm t S1 (t ), S2 (t ), , S n (t ) Một phương án đầu tư cách chọn a1 (t ) chứng khoán S1 , , an (t ) chứng khoán Sn thời điểm t để đầu tư Vậy giá trị phương án thời điểm t, ký hiệu V a (t ) xác định là: n V a (t )  a1 (t ) S1 (t )   an (t ) Sn (t )   (t ) Si (t ) i1 Vì giá chứng khốn S1 (t ), S2 (t ), , Sn (t ) trình ngẫu nhiên, nên giá trị phương án đầu tư trình ngẫu nhiên Các (t ) hàm số tất định t Một phương án đầu tư gọi danh mục đầu tư, ký hiệu f  (a, S ) Định nghĩa 1.1.6 Một phương án đầu tư (a, S ) gọi phương án bán chứng khoán Si thời điểm t (t )  gọi phương án mua đối chứng khoán (t )  Giá chứng khoán Si thời điểm t ký hiệu Si (t ) Tại thời điểm t, phương án đầu tư cân đối lại, tức điều chỉnh lại việc mua bán chứng khốn Si (1  i  n) Điều có nghĩa thay đổi trọng số chúng từ a1 (t ), , an (t ) sang b1 (t ), , b n (t ) Nếu sau cân đối lại mà giá phương án đầu tư không thay đổi, tức là: b1 (t ) S1 (t )   b n (t ) Sn (t )  a1 (t ) S1 (t )   an (t ) Sn (t ), ta gọi cân đối cân đối tự tài trợ (self-financing) Điều có nghĩa là, với phương án đầu tư tự tài trợ, muốn tăng đầu tư vào chứng khốn phải giảm đầu tư chứng khoán khác Vậy điều chỉnh tự tài trợ thời điểm t phương án đầu tư làm tăng giảm vốn đầu tư: (a, S )  (b , S )  V b (t )  V a (t ) , xét thời điểm t * Xét mơ hình thị trường M gồm chứng khoán S họ phương án đầu tư tự tài trợ   f  a, S  Ta kí hiệu M   S ,  Các giá chứng khoán St S xem trình ngẫu nhiên xét khơng gian xác suất có lọc (,U , F , P ) , với F  Ft  lọc hay nói cách khác luồng thơng tin thị trường, ghi nhận biến cố xảy thị trường Các trình giá tài sản tài giả thiết thích nghi với luồng thơng tin này, có nghĩa là, với t, giá đo Ft Định nghĩa 1.1.7 Một phương án đầu tư tự tài trợ f   gọi hội có độ chênh lệch thị giá trình giá Vt f  thỏa mãn điều kiện: * P V0 f   0  1; * P VT f   0  1; * P VT f   0  0; Với T thời điểm đáo hạn hợp đồng Điều kiện nói lên hầu chắn thời điểm ban đầu, vốn đầu tư khơng; điều kiện có nghĩa hầu chắn đến lúc kết thúc hợp đồng, phương án đầu tư có lợi nhuận  ; điều kiện nói có khả kiếm lời thực thời điểm kết thúc hợp đồng Cả ba điều kiện có nghĩa phương án f phương án tay không mà kiếm lợi nhuận Định nghĩa 1.1.8 Ta nói thị trường M   S ,  thị trường khơng có độ chênh lệch thị giá, khơng tồn phương án đầu tư tự tài trợ  mà có độ chênh lệch thị giá Định nghĩa 1.1.9 Cho (, F , G ) không gian xác suất, G s - đại số F , G  F X biến ngẫu nhiên, tức ánh xạ đo từ (, F ) vào ( , B (  )) , B(  ) s - đại số tập Borel đường thẳng thực  Khi đó, biến ngẫu nhiên Y gọi kỳ vọng có điều kiện X s - đại số G , nếu: *Y biến ngẫu nhiên đo G *Với tập A  G ta có  YdP   XdP A A Biến ngẫu nhiên Y ký hiệu E  X G  Định nghĩa 1.1.10 Một độ đo xác suất Q (,U , P ) gọi xác suất rủi ro trung tính nếu: *Q tương đương với P, có nghĩa Q(A)=0 P(A)=0 với A  U *Hầu chắn ta có  S  S EQ  rTtt  Fs   rTss với  s  t  T  e  e EQ · Fs  kỳ vọng có điều kiện Fs theo xác suất Q Định lý 1.1.1 (19, Định lý định giá tài sản) Một thị trường khơng có độ chênh lệch thị giá tồn xác suất rủi ro trung tính Q 1.2 Một vài kiến thức giải tích Định nghĩa 1.2.1 Hai đại lượng dương a b gọi tương đương tồn hai số < c < C <  , cho c.b  a  C.b ta kí hiệu a ~ b Định nghĩa 1.2.2 Cho f(x) g(x) hai hàm số định nghĩa tập  , ta có f ( x)  O  g ( x) x  tồn hai số dương d M cho f ( x)  M g ( x) với x  d Định nghĩa 1.2.3 [Bài tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard] Cho X Y không gian định chuẩn, ánh xạ K : X  Y (tuyến tính phi tuyến) Bài toán Kx=y gọi đặt điều kiện sau thỏa mãn: *Sự tồn tại: Với y  Y tồn phần tử x  X cho Kx  y *Sự nhất: Với y  Y tồn tối đa phần tử x  X thỏa mãn Kx  y *Sự ổn định: Nghiệm x phụ thuộc cách liên tục vào y, theo nghĩa với dãy ( xn )  X cho Kxn  K x n   ta có xn  x n   Ngược lại, ba điều kiện khơng thỏa mãn tốn gọi không chỉnh Định nghĩa 1.2.4 Cho K : X  Y tốn tử ( tuyến tính phi tuyến) không gian Hilbert X Y Khi đó, ta định nghĩa chỉnh hóa họ tốn tử liên tục (khơng thiết tuyến tính) Ra : Y  X với a  cho lim Ra Kx  x với x  X a0 Mệnh đề 1.2.1 Cho xn dãy không gian tô pô X Khi xn  x  X dãy xn xn có dãy hội tụ đến x Định nghĩa 1.2.5 Cho X không gian Banach F : X   , ta nói hàm F nửa liên tục yếu liminf F  xn   F ( x) với xn  x Định lý 1.2.1 Định lý biểu diễn Riesz] Với vectơ a cố định thuộc không gian Hilbert X, hệ thức f ( x )  a, x (1.2.1) xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) khơng gian X, với f  a (1.2.2) Ngược lại, phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) khơng gian Hilbert X biểu diễn cách dạng (1.2.1) a vectơ X thỏa mãn (1.2.2) Định lý 1.2.2 [Bất đẳng thức Schwartz] Cho x y không gian tiền Hilbert X, ta ln có: x, y  x y (1.2.3) Định lý 1.2.3 [Bất đẳng thức Holder] Nếu f  Lp , g  Lp với / p  / p   f g  L1 ta có: f g L1  f Lp g Lp  (1.2.4) Định lý 1.2.4 [Không gian liên hợp Lp với  p   ] 10 Định lý 4.2.2 Giả sử (2.1.10) có nghiệm a † ∈ Bρ ( a0 ) cho k* = k* (δ , vδ ) chọn theo qui tắc dừng (4.2.1), (4.2.2) Khi nghiệm lặp Landweber akδ hội tụ đến * nghiệm xác a † δ → Chứng minh Cho {δ n } dãy hội tụ đến n → ∞ Đặt := vδ dãy tương n ứng liệu nhiễu, kn = k* (δ n , ) Đầu tiên, giả sử {kn } có điểm tụ hữu hạn k Khơng tính tổng qt, ta cho kn = k , ∀n ∈  Do đó, từ định nghĩa kn suy ( ) − F akδ n L2 ( Ω ) ≤ τδ n (4.2.17) Vì k cố định, aδk phụ thuộc liên tục vào liệu nhiễu vδ, đó, ta cho n → ∞ (4.2.17), ta ( ) akδ n → ak , F akδ n → F ( ak ) , n → ∞ Hay nói cách khác, nghiệm lặp Landweber thứ k liệu xác v nghiệm xác F ( a ) = v , a † = ak δ n → Trường hợp lại, giả sử kn → ∞ n → ∞ Khi đó, cho kn > k với Mệnh đề 4.2.1 ta có akδnn − a † L2 ( Ω ) ≤ akδ n − a † L2 ( Ω ) ≤ akδ n − ak L2 ( Ω ) + ak − a † L2 ( Ω ) Cho ε > , với Định lý 4.2.1, ta cố định k = k ( ε ) đủ lớn cho ak − a † akδ n − ak L2 ( Ω ) L2 ( Ω ) < ε / Do tính ổn định phép lặp Landweber phi tuyến, ta có < ε / , với n > n ( ε , k ) , suy akδnn − a † kn > k ) Do đó, akδnn → a † L2 (Ω) n → ∞ 67 L2 ( Ω )