Luận văn nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong dạy học toán ở trường phổ thông

MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU T 2T Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát 1 T T T Phạm vi lý thuyết tham chiếu mục đích nghiên cứu T T T T T T Tổ chức luận văn T T Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu T T T T 2T Chương CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG T TRONG CÁC PHÂN MƠN CỦA TỐN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC T 1.1 Mục tiêu chương T T T 2T 1.2 Nghĩa hệ số góc đường thẳng phân mơn tốn học 11 T T T T 1.2.1 Trong Hình học tổng hợp .11 T 2T 2T T 1.2.2 Trong Đại số - Giải tích 12 T 2T 2T T 1.2.3 Trong Hình học giải tích 19 T 2T 2T T 1.3 Nghĩa hệ số góc đường thẳng môn Kinh tế lượng 25 T T T T 1.4 Kết luận chương 27 T T T 2T Chương MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG HỆ SỐ GÓC T CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY – HỌC TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG 29 2T 2.1 Mục tiêu chương 29 T T T 2T 2.2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc đường thẳng dạy T T T – học tốn bậc phổ thơng 30 T 2.2.1 Hệ số góc đường thẳng dạy – học tốn bậc THCS .30 T 2T 2T T 2.2.2 Hệ số góc đường thẳng dạy – học toán bậc THPT .45 T 2T 2T T 2.3 Kết luận chương 64 T T T 2T Chương NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 66 T T 3.1 Mục tiêu chương 66 T T T 2T 3.2 Thực nghiệm học sinh THCS 66 T T T T 3.2.1 Đối tượng thực nghiệm 66 T 2T 2T T 3.2.2 Mục tiêu thực nghiệm 66 T 2T 2T T 3.2.3 Nội dung câu hỏi thực nghiệm .66 T 2T 2T T 3.2.4 Phân tích thực nghiệm 67 T 2T 2T T 3.2.5 Kết luận 80 T 2T 2T 2T 3.3 Thực nghiệm học sinh THPT 80 T T T T 3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 80 T 2T 2T T 3.3.2 Mục tiêu thực nghiệm 81 T 2T 2T T 3.3.3 Nội dung toán thực nghiệm .81 T 2T 2T T 3.3.4 Phân tích thực nghiệm 81 T 2T 2T T 3.3.5 Kết luận 92 T 2T 3.4 Kết luận chương 93 T T T 2T KẾT LUẬN 94 T 2T TÀI LIỆU THAM KHẢO 97 T 2T PHỤ LỤC 99 T 2T DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT Chữ viết đầy đủ Chữ viết tắt CL Chiến lược ĐS-GT Đại số - Giải tích GT Giả thuyết HH Hình học HHTH Hình học tổng hợp HHGT Hình học giải tích KNV Kiểu nhiệm vụ SGK Sách giáo khoa SGK9.T1 Sách giáo khoa toán lớp tập SGV9.T1 Sách giáo viên toán lớp tập SBT9.T1 Sách tập toán lớp tập ĐS10.NC Sách giáo khoa Đại số lớp 10 nâng cao GVĐS10.NC Sách giáo viên Đại số lớp 10 nâng cao BTĐS10.NC Sách Bài tập Đại số lớp 10 nâng cao ĐS10.CB Sách giáo khoa Đại số lớp 10 HH10.NC Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao GVHH10.NC Sách giáo viên Hình học lớp 10 nâng cao BTHH10.NC Sách Bài tập Hình học lớp 10 nâng cao HH10.CB Sách giáo khoa Hình học lớp 10 tr.00 Trang 00 THCS Trung học sở THPT Trung học phổ thơng MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát Hàm số khái niệm có ý nghĩa quan trọng toán học thực tiễn Trong toán học, chủ đề hàm số có mặt xuyên suốt từ THCS đến THPT, từ Trung học Đại học Trong đó, hàm số bậc dạng hàm số tất dạng hàm số trường phổ thơng Nó giữ vai trị tảng để học sinh nghiên cứu dạng hàm số khác phức tạp Khái niệm hàm số nói chung hàm số bậc nói riêng học sinh bắt đầu tiếp cận từ lớp với dạng đặc biệt y = ax (a ≠ 0) đến lớp học sinh học hàm số bậc dạng tổng quát y = ax + b (a ≠ 0) Ở lớp 7, bước đầu học sinh có hiểu biết sơ lược hàm số bậc đồ thị trường hợp đặc biệt y = ax (a ≠ 0) Việc cung cấp kiến thức hình dạng đồ thị hàm số y = ax đường thẳng làm tảng để xây dựng đồ thị hàm số bậc tổng quát y = ax + b (a ≠ 0), hệ số a x chưa có tên gọi thức mà sau đến lớp hệ số a x gọi hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) Đến lớp 9, học sinh cung cấp đầy đủ đặc trưng hàm số bậc (tập xác định, tính biến thiên) đồ thị hàm số bậc nhất, đáng ý khái niệm “hệ số góc” đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) Đến lớp 10, khái niệm “hệ số góc” học sinh tiếp cận qua hai phân mơn Đại số lẫn Hình học Ở phân mơn Đại số, ngồi việc củng cố, nhắc lại kiến thức hàm số bậc mà học sinh học lớp tập xác định, đồ thị hàm số bậc nhất, sách giáo khoa đại số 10 (cả sách nâng cao) bổ sung thêm bảng biến thiên hàm số bậc Chính hình ảnh trực quan làm bật tính biến thiên hàm số bậc Ngoài ra, sách giáo khoa đại số 10 mở rộng trường hợp đặc biệt hàm số bậc trường hợp a = Hàm số có dạng y = b, gọi hàm số đồ thị đường thẳng Ở phân mơn Hình học, phương pháp tọa độ thông qua công cụ vectơ, đối tượng đường thẳng xây dựng cách hơn, tổng qt thơng qua việc xây dựng “phương trình đường thẳng” Ở đây, khái niệm “hệ số góc” đường thẳng lần củng cố đặt mối liên hệ với góc tạo đường thẳng với trục Ox Nhưng tồn khác biệt so với cách tiếp cận bậc THCS, hệ số góc đường thẳng có mối liên hệ với tọa độ vectơ phương đường thẳng Hơn nữa, đến lớp 11, lần học sinh tiếp cận khái niệm “hệ số góc” đường thẳng đặt mối liên hệ với phân mơn tốn học Giải tích Theo đó, qua tốn tiếp tuyến đường cong, người ta hệ số góc đường thẳng có mối liên hệ với đạo hàm hàm số, khái niệm Giải tích: Hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hàm số tiếp điểm Từ đây, hệ số góc đường thẳng trở thành cơng cụ đắc lực tốn học Nó giữ vai trò quan trọng việc giải tốn xác định tính biến thiên hàm số, xác định tiếp tuyến với đường cong, … Trên sở đó, chúng tơi nhận thấy rằng: hệ số góc đường thẳng tồn nhiều phân mơn tốn học Đại số, Hình học Giải tích Với xuất đa dạng phạm vi khác làm lên mối liên hệ mật thiết phân môn toán học qua Sơ đồ mối liên hệ sinh thái hệ số góc đường thẳng mối liên hệ Hình học Đại Số - Giải tích (h.1): Hình Sơ đồ mối liên hệ sinh thái hệ số góc đường thẳng mối liên hệ Hình học Đại số - Giải tích Xuất phát từ ghi nhận trên, tự hỏi tồn phong phú đa dạng hệ số góc đường thẳng mối liên hệ sinh thái phân môn tốn học có nghĩa gì? với cách tiếp cận chương trình giảng dạy tốn THCS THPT hành (gọi chung bậc phổ thơng) học sinh hiểu nghĩa hệ số góc đường thẳng? Vì chúng tơi định chọn đề tài cho luận văn “Nghĩa hệ số góc đường thẳng dạy học tốn trường phổ thơng” Dưới góc độ tốn học hai phạm vi Hình học Đại số - Giải tích ln mang nhiều kiến thức sâu rộng Vì khn khổ luận văn này, mục tiêu chúng tơi tìm nghĩa hệ số góc đường thẳng Để làm điều đó, chúng tơi khơng sâu phân tích mối liên hệ sinh thái Hình học Đại số - Giải tích Thay vào đó, chúng tơi tập trung nghiên cứu khái niệm hệ số góc đường thẳng, nghĩa hệ số góc đường thẳng với cách hiểu xuất tồn mối liên hệ với phân mơn tốn học, mối liên hệ với số đối tượng tri thức khác toán học liên môn (chẳng hạn môn Kinh tế lượng) Trong đó, chúng tơi 0F P P Liên mơn hiểu phân mơn khác lĩnh vực ngồi tốn học có liên quan sử dụng đến kiến thức toán học tập trung nghĩa hệ số góc đường thẳng phạm vi HH ĐS-GT Đặc biệt, qua phân tích chương trình SGK bậc phổ thơng hành Việt Nam, xuất hình thành nghĩa hệ số góc đường thẳng học sinh Cụ thể, nghiên cứu khởi đầu với câu hỏi sau đây: - Trong phân môn tốn học liên mơn, hệ số góc đường thẳng có nghĩa gì? nghĩa có mối liên hệ với đối tượng tốn học nào? - Nghĩa hệ số góc đường thẳng chương trình sách giáo khoa phổ thơng trình bày nào? Chương trình sách giáo khoa phổ thơng có mong muốn ràng buộc việc dạy học hệ số góc đường thẳng? Học sinh phổ thơng hiểu nghĩa hệ số góc đường thẳng? Phạm vi lý thuyết tham chiếu mục đích nghiên cứu Để có giải thích thỏa đáng cho vấn đề nêu điều quan trọng mà chúng tơi cần làm trước tiên tìm kiếm cơng cụ lý thuyết làm sở cho việc đưa câu trả lời cho câu hỏi Và chúng tơi tìm cơng cụ phạm vi Didactic tốn “Didactic mang lại cơng cụ hữu hiệu lí giải tượng giảng dạy học tập” [1, tr.9] Nếu gọi đối tượng O hệ số góc đường thẳng; I thể chế dạy học hành trường phổ thông Việt Nam vấn đề mối quan hệ cách tiếp cận O phạm vi tốn học, việc dạy học hệ số góc đường thẳng trường phổ thông liên quan đến khái niệm “quan hệ thể chế” Thuyết nhân học Chevallard (1998) đặt móng Câu hỏi “Học sinh phổ thơng hiểu nghĩa hệ số góc đường thẳng?” liên quan đến khái niệm “quan hệ cá nhân” lý thuyết Cá nhân xét đối tượng học sinh học hệ số góc đường thẳng Câu hỏi “Nghĩa hệ số góc đường thẳng sách giáo khoa chương trình phổ thơng trình bày nào? Chương trình sách giáo khoa phổ thơng có mong muốn ràng buộc việc dạy học hệ số góc đường thẳng?” liên quan đến khái niệm “quan hệ thể chế” lý thuyết Sau đây, chúng tơi trình bày tóm lược khái niệm cố gắng giải thích tính hợp lý lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu luận văn Phần trình bày khái niệm trích lọc từ sách song ngữ Việt - Pháp “Những yếu yếu tố Didactic Tốn” (2009) Chúng tơi sử dụng khái niệm sau: “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân” “tổ chức toán học” Mối quan hệ thể chế R(I,O) quan hệ cá nhân R(X,O) xác định thơng qua nghiên cứu tổ chức tốn học, praxéologie khái niệm Chevallard (1998) đưa mà qua việc phân tích chúng, cho phép xác định mối quan hệ thể chế đối tượng tri thức O 2.1 Quan hệ thể chế R(I, O) Quan hệ R(I, O) thể chế I với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Quan hệ cho biết O xuất nào, đâu, có vai trị gì, tồn sao,… I 2.2 Quan hệ cá nhân R(X,O) Quan hệ R(X, O) cá nhân X với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Quan hệ cho biết X nghĩ gì, hiểu O, thao tác O sao,… Quan hệ cá nhân với đối tượng O rõ cách thức mà X biết O Với đối tượng O mà chúng tơi quan tâm (hệ số góc đường thẳng), phân tích R(I, O) cho phép chúng tơi rút nghĩa O I từ chúng tơi làm rõ vai trị, phạm vi tác động mối liên hệ lựa chọn thể chế I đường tiếp cận nghĩa O, đặc biệt bậc trung học sở trung học phổ thơng Đồng thời, để tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học sinh O lại cần phải nghiên cứu R(I, O) lựa chọn thể chế O ảnh hưởng trực tiếp đến quan hệ cá nhân O Vì lẽ đó, chúng tơi nhận thấy cần thiết phải xem xét “quan hệ thể chế” “quan hệ cá nhân” đối tượng tri thức mà quan tâm Mặt khác, theo Bosch Chevallard để phân tích mối quan hệ R(I, O) cần phải dùng đến khái niệm “tổ chức tốn học” 2.3 Tổ chức toán học Theo Chevallard (1998), praxéologie phận gồm bốn thành phần [T,τ,θ,Θ] T KNV, τ kỹ thuật cho phép giải KNV T, θ công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ Θ lý thuyết giải thích cho cơng nghệ θ Một praxéologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức toán học (organisation mathématique) Việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O cịn cho phép ta hình dung số yếu tố quan hệ cá nhân chủ thể X tồn O Do đó, việc lựa chọn Thuyết nhân học làm tham chiếu cho nghiên cứu hồn tồn thỏa đáng Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu chọn, chúng tơi cụ thể hóa câu hỏi ban đầu trình bày lại câu hỏi mà việc tìm kiếm số yếu tố cho phép trả lời chúng mục đích nghiên cứu luận văn Gọi đối tượng O hệ số góc đường thẳng; I thể chế dạy học hệ số góc đường thẳng theo chương trình phổ thông hành Việt Nam CH1 Về mặt tri thức luận, đối tượng O nghiên cứu phân mơn nào, phạm vi tốn học? Trong phạm vi đó, đối tượng O hiểu nào? Nó có nghĩa gì? Nó liên hệ với đối tượng toán học nào? CH2 Trong I, cách tiếp cận đối tượng O trình bày nào? Trong cách tiếp cận đó, nghĩa O thể sao? Những mong muốn ràng buộc thể chế O cách tiếp cận này? Có tổ chức toán học thể chế nhằm làm rõ nghĩa O? Chúng tơi tìm lời giải đáp cho hai câu hỏi CH1 CH2 thông qua việc nghiên cứu giáo trình đào tạo bồi dưỡng giáo viên, phân tích kết từ cơng trình nghiên cứu có, phân tích sách giáo khoa mơn tốn giảng dạy trường phổ thơng theo chương trình hành Việt Nam (bao gồm sách giáo khoa Đại số 9, Đại số 10 nâng cao Hình học 10 nâng cao) Trước phân tích R(I, O), chúng tơi thực phân tích O góc độ tri thức bác học Bởi để tồn thể chế tri thức phải biến đổi cho phù hợp Chính biến đổi tạo nên khoảng cách tri thức trình bày SGK tri thức bác học Vì để có hiểu biết đầy đủ O phân tích O góc độ tri thức bác học thật cần thiết Phạm vi hoạt động tri thức toán học thường lớn đối tượng hệ số góc đường thẳng khơng ngoại lệ Do đó, chúng tơi khơng thể thực nghiên cứu khoa học hệ số góc cách đầy đủ Thay vào đó, chúng tơi tiến hành nghiên cứu O thông qua việc tổng hợp kết có đường thẳng hệ số góc đường thẳng Kết thu từ việc nghiên cứu tri thức bác học hệ số góc đường thẳng phân tích sách giáo khoa mơn tốn giảng dạy trường phổ thơng theo chương trình hành Việt Nam làm sở cho phép đưa giả thuyết nghiên cứu hiểu biết học sinh nghĩa hệ số góc đường thẳng Từ đó, chúng tơi xây dựng hai thực nghiệm (một THCS THPT) nhằm kiểm chứng lại giả thuyết nghiên cứu nêu Tổ chức luận văn Chương Các nghĩa hệ số góc đường thẳng phân mơn tốn học mối liên hệ với số đối tượng tri thức khác Chúng phân tích tính chất tốn học đường thẳng hệ số góc đường thẳng góc độ tốn học Qua việc phân tích tính chất này, có nhìn rõ khái niệm hệ số góc đường thẳng nghĩa mặt phẳng Từ chúng tơi trả lời câu hỏi CH1 Chương Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc đường thẳng dạy – học tốn trường phổ thơng Trong chương này, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm hệ số góc đường thẳng chương trình SGK mơn Tốn THCS THPT hành Qua đó, chúng tơi làm rõ: cách tiếp cận khái niệm hệ số góc đường thẳng, nghĩa hệ số góc đường thẳng Kết nghiên cứu mối quan hệ thể chế cho phép trả lời câu hỏi CH2 nêu lên giả thuyết nghiên cứu 86 Suy tanα = a = u2 u1 Vậy α = 300 = P P Có thể khẳng định chiến lược S hsg_vt chiến lược làm bộc lộ rõ mối liên R R hệ góc tạo đường thẳng với trục Ox hệ số góc; mối liên hệ hệ số góc với tọa độ vectơ phương đường thẳng (nghĩa nghĩa 2) Nếu học sinh sử dụng tốt chiến lược này, đồng nghĩa với việc học sinh huy động tốt hệ thức tanα = a = u2 lời giải tốn gọn nhanh chóng Tuy u1 nhiên, theo phân tích thể chế chương 2, dự đốn chiến lược khơng xuất kết thực nghiệm chiến lược mong đợi toán Vì cuối năm học lớp 10, em học sinh học kiến thức đường thẳng, vectơ phương, vectơ pháp tuyến, … nên với tốn này, học sinh có đủ khả làm việc độc lập Vì vậy, chúng tơi phát cho học sinh 01 phiếu câu hỏi yêu cầu học sinh làm việc độc lập thời gian 20 phút 3.3.4.3 Phân tích hậu nghiệm Chúng tơi tiến hành thực nghiệm 120 học sinh lớp 11 học chương trình Nâng cao (11A2, 11A3, 11A4), trường THPT Phan Văn Trị, Giồng P P P P P P Trôm, Bến Tre Kết thực nghiệm thống kê Bảng 3.3 cho thấy rõ chênh lệch lớn việc lựa chọn chiến lược giải toán học sinh 87 Bảng 3.3 Bảng thống kê kết trả lời Bài toán Tổng (Tỉ lệ) Các CL sử Số Cách giải thích học sinh lượng dụng Tỉ lệ Viết phương trình đường thẳng (∆); Vẽ đường thẳng (∆) mặt phẳng tọa độ; Gọi M tọa độ giao điểm (d ) R S ptđt R R (d ) Gọi N hình chiếu M R (HH) R 3,33% 112 93,34% 0% 0% 3,33% Ox; Trong ∆OMN vng O có:  = tan α tan = MON Kiểm chứng 96,67(%) GT1 (116/120) MN → tìm α ON Phương trình đường thẳng ∆ có vectơ  phương u đường thẳng Ox  có vectơ phương i = (1;0) Khi đó: S goc_vt R  ( ) cos u;i =    u.i  ( ) → số đo góc u,i u i  ( ) → số đo góc (∆,Ox) = u,i  Vectơ phương u = (u1 ; u ) ; Tìm hệ số góc đường thẳng qua S hsg_vt R Không hệ thức a = u2 ; kiểm 3,33% u1 chứng (4/120) Tìm α qua hệ thức tanα = a GT1 S ptdt Viết phương trình đường thẳng ∆ theo R (ĐS) hệ số góc y = ax + b; Sử dụng hệ thức tanα = a ⇒ số đo α Không trả lời 88 Trong chiến lược S ptđt (HH), S ptđt (ĐS), S hsg_vt S goc_vt chiến lược R R R R R R R R R R S ptđt (ĐS) S hsg_vt không học sinh sử dụng để giải toán R R R R Trong đó, chiến lược S goc_vt đại đa số học sinh sử dụng để giải R R toán cho đáp án (112/120, tỉ lệ 93,34%) Chúng đơn cử lời giải học sinh 11A4_17 sau (h.3.14): P P Hình 3.14 Lời giải học sinh 11A4_17 đơn giản Lời giải tốn tách biệt P P hồn tồn với yếu tố hình vẽ Theo lời giải trên, học sinh chọn vectơ đơn vị  i = (1;0 ) làm vectơ phương trục Ox Tuy nhiên, học sinh 11A4_17 có P P nhầm lẫn áp dụng cơng thức tính góc tạo hai đường thẳng (∆) trục Ox Về mặt tốn học, góc tạo hai đường thẳng ln bù với góc tạo hai vectơ phương (hoặc hai vectơ pháp tuyến) chúng Thế nên,  ( )  u.i học sinh áp dụng công thức cos(∆,Ox) = cos u; i =   từ tìm góc u i α = (∆,Ox) = 300 P P Thế đây, mặt phẳng định hướng Oxy, góc (∆,Ox) lại với  ( ) góc u; i Do đó, kết lời giải mà học sinh 11A4_17 tìm P P trùng hợp Ngồi ra, chúng tơi cịn tìm thấy lời giải khác học sinh 11A2_26 P (h.3.15) P 89 Hình 3.15 Cũng với chiến lược S goc_vt , học sinh 11A2_26 chọn cách tính góc R R P P (∆,Ox) khác với học sinh 11A4_17 Theo đó, học sinh 11A2_26 vectơ pháp  tuyến đường thẳng ∆ n= 1; − chọn vectơ pháp tuyến trục Ox P P P P ( )    n ' = ( 0;1) từ tính góc ( n, n ') Từ kết luận góc (∆,Ox) cần tìm Ngồi ra, số học sinh sử dụng chiến lược S ptđt (HH) để giải toán khiêm R R tốn (4/120, tỉ lệ 3,33%) Trong lời giải học sinh mà thu hoạch được, đáng ý lời giải học sinh lớp 11A2_24 11A3_9 sau đây: P P P P Lời giải học sinh 11A2_24 (h.3.16): P P Học sinh vẽ hai đường thẳng (d ) (d ) mặt phẳng tọa độ R Oxy tìm tọa độ giao điểm I ( ) R R R 3;1 (d ) (d ) R R R R 90 Hình 3.16 Sau đó, học sinh viết phương trình đường thẳng (∆), vẽ đường thẳng (∆) kỹ thuật hình học, học sinh tìm số đo góc α = 300 P P 91 Hình 3.17 Trong lời giải trên, học sinh chưa nêu cách xác định điểm H, K; độ dài OH OK Mặc dù việc suy luận chứng tỏ tứ giác OHIK hình chữ nhật khơng cần thiết lập luận chưa hợp lí Tuy nhiên, lời giải cho ta thấy học sinh dùng kỹ thuật HH để giải toán Tuy lời giải dài dòng thể đậm nét kỹ thuật hình học Lời giải học sinh 11A3_9 (h.3.18): P P Hình 3.18 So với lời giải học sinh 11A2_24, lời giải có khác biệt: học P P 92 sinh 11A3_9 khơng trình bày hình vẽ đường thẳng mặt phẳng tọa độ Oxy P P Học sinh không đưa lời giải chi tiết phương pháp giải để đưa giá trị góc α Trong tình này, chúng tơi nhận thấy có khả học sinh dùng kỹ thuật HH để giải toán  3 Theo dự đốn chúng tơi, học sinh lấy điểm A 1;  thuộc   (∆) vẽ đường thẳng (∆), (d ) (d ) giấy nháp dựng tam giác R R R R vuông OAB (chẳng hạn) để tìm số đo góc α = 300 qua tỉ số lượng giác P OA tanα = tan  AOB = = OB 3 = P Kết phân tích cho phép khẳng định học sinh không huy động nghĩa nghĩa hệ số góc đường thẳng vào tốn thuộc KNV tính góc tạo đường thẳng trục Ox 3.3.5 Kết luận Khi đứng trước KNV tính góc tạo đường thẳng với trục Ox, chiến lược S goc_vt học sinh xem chiến lược tối ưu Trong đó, chiến lược S hsg_vt R R R chiến lược đắt giá nhất, chiến lược thể rõ mối liên hệ tanα = a = R u2 u1 không học sinh ưu tiên lựa chọn Ngoài ra, kỹ thuật HH xuất chiến lược S ptđt (HH) lựa chọn số học sinh giải R R toán Như chiến lược S goc_vt lấn át chiến lược lại lựa chọn R R cách giải toán học sinh Qua đó, hồn tồn khẳng định rằng, học sinh THPT không huy động nghĩa nghĩa hệ số góc đường thẳng để giải KNV tính góc tạo đường thẳng với trục Ox Tuy nhiên, khác với học sinh THCS, học sinh THPT khơng dựa vào yếu tố hình vẽ, không dùng kỹ thuật HH để giải KNV Thay vào đó, họ huy động vectơ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) đường thẳng công thức tính góc hợp vectơ cơng cụ 93 thật hữu hiệu để giải KNV Và đó, giả thuyết hợp thức 3.4 Kết luận chương - Thực nghiệm học sinh THCS tiến hành 101 em học sinh, với câu hỏi Với câu hỏi này, kết thực nghiệm cho phép chứng thực giả thuyết giả thuyết đặt cuối chương học sinh THCS Câu hỏi b) cho phép chúng tơi hợp thức hóa giả thuyết “Nghĩa hệ số góc đường thẳng hình thành học sinh sau khái niệm tỉ số biến thiên hàm số học sinh tiếp cận Do đó,bằng cách lập bảng giá trị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0), học sinh xác định giá trị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0) x tăng thêm đơn vị” Câu hỏi c) cho phép hợp thức giả thuyết 1“Đứng trước nhiệm vụ tính góc tạo đường thẳng có phương trình y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox, học sinh khơng huy động nghĩa hệ số góc (theo a = tanα, với α góc tạo đường thẳng trục Ox), họ sử dụng đồ thị giải kỹ thuật hình học” - Với học sinh THPT, tiến hành thực nghiệm 120 học sinh lớp 11 Kết thực nghiệm giúp hợp thức giả thuyết Khi đứng trước nhiệm vụ tính góc tạo đường thẳng với trục Ox, học sinh THPT không huy động nghĩa nghĩa hệ số góc đường thẳng (nghĩa a = tanα = u2 u1 ) Thế nhưng, họ biết huy động vectơ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) đường thẳng cơng thức tính góc hợp hai vectơ để giải KNV Kết hợp hai thực nghiệm cho phép kết luận nghĩa hệ số góc đường thẳng chưa hình thành cách đầy đủ học sinh THCS THPT Chính vài KNV, học sinh chưa huy động nghĩa hệ số góc đường thẳng để tìm chiến lược giải tối ưu 94 KẾT LUẬN Việc phân tích nghĩa hệ số góc đường thẳng góc độ tốn học với việc phân tích cách tiếp cận khái niệm hệ số góc đường thẳng thể chế dạy học toán hai cấp học THCS THPT, kết thực nghiệm cho phép trả lời câu hỏi đặt đầu luận văn Cụ thể, kết mà thu bao gồm: Trong chương 1, phân tích tính chất tốn học đường thẳng hệ số góc đường thẳng góc độ tốn học Việc phân tích tính chất giúp chúng tơi có nhìn rõ khái niệm hệ số góc đường thẳng nghĩa mặt phẳng Theo đó, phân mơn khác tốn học, ngơn ngữ biểu đạt đường thẳng khác nghĩa hệ số góc đường thẳng mặt phẳng có cách thể khác nhau: Nghĩa 1: Trong phạm vi hình học tổng hợp, ta có nghĩa khái niệm hệ số góc Theo đó, hệ số góc đường thẳng tang góc tạo đường thẳng với trục Ox Nghĩa 2: Trong phạm vi HHGT, hệ số góc đường thẳng tỉ số tung độ hoành độ vectơ phương phương trình đường thẳng (nếu đường thẳng có hệ số góc) Nghĩa là, đường thẳng có phương trình Ax + By + C = (với B ≠ 0) vectơ phương đường thẳng  = u ( B; − A) Khi đó, hệ số góc đường thẳng k = −A B Ngược lại, hệ số góc đường thẳng cho phép ta xác định vectơ phương (hay vectơ pháp tuyến) đường thẳng Nghĩa là, đường thẳng có hệ số góc k (k ∈  ) tọa độ vectơ phương đường thẳng có dạng ( n; k n) , n số thực tùy ý khác Khi đó, với giá trị n khác 0, ta tìm vectơ phương đường thẳng Nghĩa 3: hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) cho biết tính đơn điệu hàm số y = ax + b  Ngồi ra, hệ số góc tiếp tuyến với đường cong xác định hàm số y = f(x) điểm x ∈ (a;b) cho biết tốc độ biến thiên 95 hàm số khoảng (a;b) (với (a;b) khoảng xác định hàm số y = f(x)) Nghĩa 4: Ngoài ra, nghĩa khác hệ số góc đường thẳng tìm thấy ứng dụng vào mơn Kinh tế lượng, là: Cho hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Nếu x tăng thêm đơn vị y tăng thêm (nếu a > 0) hay giảm (nếu a < 0) a đơn vị Trong chương 2, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc đường thẳng hai cấp học THCS THPT Qua phân tích thể chế, nhận thấy vài tổ chức tốn học, có KNV làm bộc lộ nghĩa hệ số góc đường thẳng, đồng thời có KNV khơng hình thành nghĩa hệ số góc đường thẳng học sinh Và đó, câu hỏi mà chúng tơi đặt đầu luận văn giải đáp Bảng 3.4 Sự hình thành nghĩa hệ số góc học sinh Nghĩa hệ số góc Sự xuất hệ số góc Hình thành đường thẳng phân môn học sinh Nghĩa Đại số - Giải tích X Nghĩa Hình học Nghĩa Đại số - Giải tích Nghĩa Đại số - Giải tích Khơng hình thành học sinh X X X - Ở bậc THCS (chủ yếu lớp 9), khái niệm hệ số góc đường thẳng nghĩa thể chế tiếp cận phân mơn Đại số Ở đây, nghĩa nghĩa hệ số góc đường thẳng thể chế tiếp cận lý thuyết tập Tuy nhiên, nghĩa tiếp cận cách rõ ràng đầy đủ nghĩa Nghĩa khơng hình thành học sinh - Ở bậc THPT (chủ yếu lớp 10), khái niệm đường thẳng, hệ số góc nghĩa tiếp cận ĐS HH Ở phân môn ĐS, nghĩa nghĩa hệ số góc thể chế tiếp cận cách mờ nhạt chưa đầy đủ lý thuyết lẫn tập Ở phân môn HH, nghĩa nghĩa hệ số góc thể chế tiếp cận cách rõ ràng đầy đủ lý thuyết nghĩa không 96 hình thành tập Từ đó, chúng tơi nêu lên giả thuyết nghiên cứu cuối chương 2: Giả thuyết 1: Đứng trước nhiệm vụ tính góc tạo đường thẳng có phương trình y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox, học sinh không huy động nghĩa hệ số góc (theo a = tanα, với α góc tạo đường thẳng trục Ox), họ sử dụng đồ thị giải kỹ thuật hình học Giả thuyết 2: Nghĩa hệ số góc đường thẳng hình thành học sinh sau khái niệm tỉ số biến thiên hàm số học sinh tiếp cận Do đó,bằng cách lập bảng giá trị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0), học sinh xác định giá trị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0) x tăng thêm đơn vị Trong chương 3, xây dựng hai thực nghiệm, thực nghiệm học sinh THCS (lớp 9) thực nghiệm học sinh THPT (đầu lớp 11) Kết thực nghiệm chứng thực giả thuyết nghiên cứu nêu Chúng tơi mong muốn xây dựng tình dạy học cho phép hình thành nghĩa nghĩa hệ số góc đường thẳng hai cấp học THCS THPT Tuy nhiên hạn chế tư liệu thời gian, chưa thể thực mong muốn Đây hạn chế đề tài đồng thời hướng nghiên cứu gợi từ luận văn 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố Didactic Toán, Nxb ĐHQG Tp.Hồ Chí Minh Phạm Trí Cao – Vũ Minh Châu (2009), Kinh tế lượng ứng dụng (Dành cho khối tài ngân hàng), Nxb Thống kê Tp.Hồ Chí Minh Lê Thị Hồi Châu (2008), Phương pháp dạy – học hình học trường trung học phổ thơng, Giáo trình lưu hành nội bộ, Nxb ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh Phan Đức Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung, Ngơ Hữu Dũng, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo (2005), Sách giáo khoa Toán 9, Tập 1, Nxb Giáo dục Việt Nam Phan Đức Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung, Ngơ Hữu Dũng, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo (2005), Sách giáo viên Toán 9, Tập 1, Nxb Giáo dục Việt Nam Văn Như Cương – Phạm Vũ Khuê – Trần Hữu Nam (2007), Bài tập Hình học 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam Phan Huy Điển – Phan Huy Khải – Tạ Duy Phượng (2002), Cơ sở giải tích phổ thơng, lý thuyết thực hành tính toán, Nxb Khoa học Kỹ thuật Hà Nội Nguyễn Huy Đoan – Phạm Thị Bạch Ngọc – Đoàn Quỳnh - Đặng Hùng Thắng – Lưu Xuân Tình (2009), Bài tập Đại số 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam Nguyễn Thúc Hào (1992), Hình học vectơ, Nxb KH&KT Hà Nội 10 Trương Đức Hinh – Đào Tam (2004), Giáo trình sở hình học hình học sơ cấp, Nxb Đà Nẵng 98 11 Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm – Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh 12 Ngơ Thúc Lanh – Đồn Huỳnh – Nguyễn Đình Trí (2003), Từ điển tốn học thông dụng, Nxb Giáo dục Việt Nam 13 Nguyễn Minh Phong (2012), Mối liên hệ hình học tổng hợp giải tích dạy học hình học lớp 12 Việt Nam, Luận Văn Thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp Hồ Chí Minh 14 Đồn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2009), Đại số 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam 15 Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2009), Sách giáo viên Đại số 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam 16 Đoàn Quỳnh – Văn Như Cương – Phạm Vũ Khuê – Bùi Văn Nghị (2007), Hình học 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam 17 Đoàn Quỳnh – Văn Như Cương – Phạm Vũ Khuê – Bùi Văn Nghị (2007), Sách giáo viên Hình học 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam 18 S.M.Nikolski – Nhóm dịch giả, Từ điển bách khoa phổ thơng tốn học Tập 1, 2, Nxb Giáo dục 19 Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học mơn tốn trường phổ thơng (các tình dạy học điển hình), Nxb ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh 20 Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo (2005), Sách tập Toán , Tập 1, Nxb Giáo dục Việt Nam 21 Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số nghiên cứu đường cong qua phương trình nó, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp Hồ Chí Minh PHỤ LỤC PHỤ LỤC (Phiếu thực nghiệm học sinh THCS) PHIẾU THỰC NGHIỆM U Trường: …………………………… Lớp: …… Các em thân mến! Phiếu thực nghiệm gồm 01 câu hỏi Các em có 30 phút để trình bày lời giải phần “Trả lời” Trong trình làm bài, em viết tính tốn vào phần “Nháp”(khơng xóa phần viết nháp) Kết lời giải câu hỏi không nhằm đánh giá em mà để góp phần cải thiện việc dạy học mơn Tốn Chân thành cám ơn cộng tác em! Câu hỏi Cho hàm số y = f(x) = 2x + a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến với x > ? Vì sao? b) Nếu x tăng thêm đơn vị giá trị hàm số thay đổi ? Giải thích câu trả lời em? c) Tính góc tạo đường thẳng y = 2x + trục Ox (làm tròn đến độ) Trả lời U U Nháp U PHỤ LỤC (Phiếu thực nghiệm học sinh THPT) PHIẾU THỰC NGHIỆM U Trường: …………………………… Lớp: …… Các em thân mến! Phiếu thực nghiệm gồm 01 tốn Các em có 20 phút để độc lập suy nghĩ trình bày lời giải phần “Lời giải” Kết lời giải tốn khơng nhằm đánh giá em mà để góp phần cải thiện việc dạy học mơn Toán Chân thành cám ơn cộng tác em! Bài toán  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi u = ( 3;1) vectơ phương đường thẳng (∆) Biết (∆) qua giao điểm hai đường thẳng (d1): x - y + = (d2): 3x - 2y - 1= Tính góc tạo đường thẳng (∆) với trục Ox Lời giải ... chế dạy học THCS THPT để từ thấy nghĩa hệ số góc đường thẳng 2.2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc đường thẳng dạy – học toán bậc phổ thơng 2.2.1 Hệ số góc đường thẳng dạy – học tốn... Định nghĩa [về hệ số góc đường thẳng khơng thẳng đứng] Hệ số góc đường thẳng khơng thẳng đứng hệ số góc đoạn thẳng đường thẳng? ?? [Bùi anh Tuấn(2007), tr.20-22] Qua trích dẫn cho thấy nghĩa hệ số góc. .. sang quan hệ đại số thành ? ?Hệ số góc? ?? Mối quan hệ xác định cơng thức a = tanα (trong a hệ số góc đường thẳng α góc tạo đường thẳng với trục Ox) Đây ? ?nghĩa hình học? ?? hệ số góc đường thẳng y =