Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 892 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
892
Dung lượng
15,91 MB
Nội dung
1 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC LỚP THANH OAI Năm học 2014-2015 Mơn thi: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Đề số (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết 1 a) x − = 2 243 b) x − − x = c) − x > 5 Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh đa thức x − x + vô nghiệm a c b b) Cho tỉ lệ thức = Với ≠ ± Chứng minh: b d d 2a + 3c 2a − 3c a + c ac = 2) 2b + 3d 2b − 3d b + d bd Câu (4,0 điểm) 1) a) Tìm x biết x + − x = x − b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức B = 8− x đạt giá trị nhỏ x −3 Câu (5,0 điểm) Cho ∆ABC nhọn, AD vng góc với BC D Xác định I; J cho AB trung trực DI, AC trung trực DJ;IJ cắt AB ; AC L K Chứng minh a) ∆AIJ cân b) DA tia phân giác góc LDK c) BK ⊥ AC ; CL ⊥ AB d) Nếu D điểm tùy ý cạnh BC Chứng minh góc IAJ có số đo khơng đổi tìm vị trí điểm D cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ Câu (1,0 điểm) Tìm x, y thuộc biết : 25 − y = ( x − 2009 ) 2 ĐÁP ÁN HSG THANH OAI 2014-2015 Câu 5 1 1 1 a) x − = ⇒ x − = ⇒ x = 2 3 Vậy x = b) x − − x = ta có x − − x = ⇒ x = (thỏa mãn) Nếu x < ta có: −2 x + − x = ⇒ x = (thỏa mãn) Vậy x = x = Nếu x ≥ c) − x > 5 3 2 − x > ⇔ x < − x < − ⇔ x > 5 5 Vậy x < x > Câu ⇔ a) x − x + = x − x + + = ( x − 1) + Vì ( x − 1) ≥ ( ∀x ) nên ( x − 1) + ≥ 1( ∀x ) Do đa thức cho vơ nghiệm 2 b) 1) Với 2) b a c 2a 2c 3a 3c 2a + 3c 2a − 3c ≠± ; = = = = = = = d b d 2b 2d 3b 3d 2b + 3d 2b − 3d a c a2 c2 a2 + c2 = ⇒ = = (1) b d b d b + d2 a c a c ac = ⇒ = = (2) b d b d bd Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Câu a ) x + − x = x − (1) Lập bảng xét dấu x x+3 x–4 -3 - + + - + Xét khoảng x < 3, ta có (1) trở thành −2 x = 7⇔x= −3,5 (thuộc khoảng xét) Xét khoảng −3 ≤ x ≤ , ta có (1) trở thành 0.x = (khơng có giá trị x thỏa mãn) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Xét khoảng x > , ta có (1) trở thành: −2 x =−7 ⇔ x =3,5 (không thuộc khoảng xét) Kết luận : Vậy x = −3,5 − x − ( x − 3) = = −1 x −3 x −3 x −3 B đạt giá trị nhỏ ⇔ nhỏ x −3 Xét x > x < , ta có giá trị nhỏ −5 x = x −3 Kết luận: Giá trị nhỏ B – x = b) Biến đổi B = Câu A K J L I B D C a) Do AB; AC trung trực AB = AJ ⇒ ∆AIJ cân A Nên AI = AD; AD=AJ ⇒ AI b) ∆ALI = ∆ALD (c.c.c) ⇒ I1 = D = Tương tự ∆AKD = ∆AKJ (c.c.c) ⇒ D J2 Mà ∆AI J cân (câu a) ⇒ I1 = J2 =D ⇒ DA tia phân giác LDK ⇒D c) Chứng minh KC phân giác đỉnh K tam giác DLK Chứng minh DC phân giác đỉnh D tam giác DLK Suy LC tia phân giác đỉnh L tam giác DLK Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Mà AB phân giác đỉnh L tam giác LDK Hay CL vng góc với AB L Chứng minh tương tự : BK vng góc với AC K = BAC (không đổi) d) Chứng minh IAJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nến cạnh bên AI nhỏ * ∆AIJ cân A có IAJ Ta có = AI AD ≥ AH (AH đường vng góc kẻ từ A đến BC) Xảy dấu đẳng thức D ≡ H Vậy D chân đường vng góc hạ từ A xuống BC thi IJ nhỏ Câu Ta có: 25 − y = ( x − 2009 ) ( x − 2009 ) = 25 − y 2 ( x − 2009 ) + y = 25(*) Vì y ≥ nên ( x − 2009 ) ≤ 25 2 , suy ( x − 2009 ) = ( x − 2009 ) = Với ( x − 2009 ) = , thay vào (*) ta có: y = 17 (loại) Với ( x − 2009 ) = thay vào (*) ta có y = 25, suy y = ( y ∈ ) Từ tìm = x 2009, = y 5 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VIỆT YÊN NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN Đề số Thời gian làm bài: 120 phút Câu (4,0 điểm) 2 1 − 0, 25 + 0, − + 11 : 2012 = 1) M − 1, − + 1 − 0,875 + 0, 2013 11 2) Tìm x, biết : x + x − = x + Câu (5,0 điểm) a +b−c b+c −a c + a −b 1) Cho a,b,c ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện = = c a b b a c Hãy tính giá trị biểu thức B =+ 1 1 + 1 + a c b 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5;6;7, sau chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có lớp nhận nhiều gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x − + x − 2003 với x số nguyên xyz 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x + y + z = Câu (6,0 điểm) = 600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ Cho xAy BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh: a) K trung điểm AC b) ∆KMC tam giác c) Cho BK = cm Tính cạnh ∆AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương ≤ a ≤ b ≤ c ≤ , chứng minh Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 a b c + + ≤2 bc + ac + ab + TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐÁP ÁN HSG TOÁN VIỆT YÊN 2012-2013 Câu 2 1 − 0, 25 + 0, − + 11 : 2012 − 1)= Ta có: M 1, − + 1 − 0,875 + 0, 2013 11 2 2 − + 11 = − 7−7+ 11 1 − + : 2012 7 2013 − + 10 1 1 1 − + − + 11 − : 2012 = − + − + 2013 11 2 2012 = = − : 7 2013 2) Vì x + x − > nên (1) ⇒ x + x − = x + hay x − = +) Nếu x ≥ (*) ⇒ x − = ⇒ x = +)Nếu x < (*) ⇒ x − =−2 ⇒ x =−1 Câu 1) Nếu a + b + c ≠ , Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a +b−c b+c −a c + a −b a +b−c +b+c −a +c + a −b = = = = c a b a+b+c a+b−c b+c−a c+ a −b a+b b+c c+a Mà = +1 = +1 = + ⇒= = = c a b c a b b a c b + c c + a b + c Vậy B =+ 1 1 + 1 + = = a c b a c b +)Nếu a + b + c = Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a +b−c b+c −a c + a −b a +b−c +b+c −a +c + a −b = = = = c a b a+b+c a+b−c b+c−a c + a −b a+b b+c c+a Mà = +1 = +1 = +1 ⇒ += = c a b c a b b a c b + c c + a b + c Vậy B =+ 1 1 + 1 + = = a c b a c b Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x (x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu a, b, c a b c a+b+c x 5x 6x x 7x = = = = ⇒a= = ;c = ;b = (1) 18 18 18 18 18 Ta có: Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a' b' c' a +b + c x 4x 5x 6x = = = = ⇒ a' = ;b ' = ;c ' = (2) 15 15 15 15 15 So sánh (1) (2) ta có a > a '; b = b '; c < c ' nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu Vậy c − c ' = hay x 6x 7x − =4⇒ = ⇒ x = 360 15 18 90 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu 1) Ta có: A = x − + x − 2013 = x − + 2013 − x ≥ x − + 2013 − x = 2011 Dấu “=” xảy 2013 2) Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử ≤ x ≤ y ≤ z ( x − )( 2013 − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Theo bài: 1 1 1 1= + + ≤ + + = ⇒ x2 ≤ ⇒ x = yz yx zx x x x x Thay vào đầu ta có : + y + z = yz ⇒ y − yz + + z = ⇒ y (1 − z ) − (1 − z ) + =0 ⇔ ( y − 1)( z − 1) =2 TH1 y − = ⇒ y = z − = ⇒ z = TH2 y − = ⇒ y = z − = ⇒ z = Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn: (1; 2;3) ; (1;3; ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Câu x z t C B y K M A a) H ∠ACB = ∆ABC cân B ∠CAB = ( ∠MAC ) BK đường cao ⇒ BK đường trung tuyến ⇒ K trung điểm AC b) ∆ABH = ∆BAK (cạnh huyền – góc nhọn) 1 AC ⇒ BH = AC 2 1 AC ⇒ BH = AC (hai cạnh tương ứng) mà ⇒ AK = 2 = BH = AC ⇒ CM = CK ⇒ ∆MKC tam Ta có BH = CM (tính chất đoạn chắn) mà CK giác cân (1) ⇒ BH = AK (hai cạnh tương ứng) mà ⇒ AK = = 30o ⇒ ∠MCK = 60o 90o ∠ACB Mặt khác ∠MCB = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ( 2) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Từ (1) (2) suy ∆MKC tam giác c) Vì ∆ABK vuông K mà ∠KAB = 30o ⇒ AB = BK = 2.2 = 4cm Vì ∆ABK vng K nên theo Pytago ta có: AK= Mà KC = AB − BK = 16 − 4= 12 AC ⇒ KC = AK = 12 ∆KCM ⇒ KC = KM = 12 Theo phần b) AB = BC =4; AH =BK=2 HM = BC (HBCM hình chữ nhật) ⇒ AM = AH + HM =6 Câu Do ≤ a ≤ b ≤ c ≤ ⇒ ( a − 1)( b − 1) ≥ ⇔ ab + ≥ a + b ⇔ 1 c c (1) ≤ ⇔ ≤ ab + a + b ab + a + b Tương tự: a a b b ≤ (2) ; ≤ (3) bc + b + c ac + a + c Do đó: a b c a b c + + ≤ + + (4) bc + ac + ab + b + c a + c a + b Mà : a b c 2a 2b 2c 2(a + b + c) + + ≤ + + = = (5) b+c a+c a+b a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c Từ (4) (5) suy a b c + + ≤ ( dpcm ) bc + ac + ab + Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 TRƯỜNG THCS ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN HẠ HỊA NĂM HỌC 2010-2011 Đề số Bài Chứng minh rằng: M = 3n + − 2n + + 3n − 2n có tân với số tự nhiên n ≥ Bài Tìm x a ) x − + = 15 b) x − 3, + x − = x+3 Bài Chứng minh : ( ad + bc ) = 4abcd số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức Bài 2 10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x − + ( y + 20 ) + 2010 5 Bài ( D ∈ BC ) Vẽ tia CE Cho tam giác ABC vuông B Vẽ tia AD phân giác BAC ( E ∈ AB ) Hai tia AD CE cắt I phân giác BCA = 1350 a) Chứng minh CIA b) Vẽ tia Cx tia đối tia CA Tia phân giác góc BCx cắt tia AD K Tính góc CKA ĐÁP ÁN HSG TỐN HẠ HỊA NĂM 2010-2011 Bài Ta có: M = 3n + − 2n + + 3n − 2n= ( + ) − ( + )= ) ⇒ M 10 ( n ∈ N *) n+2 n n+2 n 3n ( 32 + 1) − 2n ( 22 + 1) = 3n.10 − 2n.5 = 10 ( 3n − 2n −1 Vậy với n ∈ N * ta có M ln tận Bài = x − 12 = x 13 = x 6,5 a) x − + = 15 ⇔ x − = 12 ⇔ ⇔ ⇔ x − =−12 x =−11 x =−5,5 Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 877 bz − cy cx − az ay − bx abz − acy bcx − abz acy − bcz = = = = = a b c a2 b2 c2 abz − acy + bcx − abz + acy − bcx = a + b2 + c2 z y x z x y z ⇒ = ; = ⇒ = = c b a c a b c ⇒ x: y:z = a :b:c Bài Vì x ≥ 0,3 x ≥ ⇒ x + x + > 4 Từ −2 x − x − 1= x + x + 4 ⇒ A= x + x + − x − x − 1= x ≥ với x Vậy giá trị A không âm với x Bài B A C D Giả sử ∆ABC thỏa mãn: 3BD + AD + CD = AB + BC + CA (1) 2 2 2 Trong tam giác vng DAB có AD + BD = AB 2 Trong tam giác vng DBC có BD + CD = BC 2 Suy 3BD + AD + CD = BD + AD + BD + CD = AB + BC (2) 2 2 2 2 Từ (1) (2) ta có: 2AB + BC = AB + BC + CA ⇒ AB = CA ⇒ AB = CA 2 2 2 Vậy tam giác ABC cân A Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 878 Bài A M H N K B D C KNC (đối đỉnh); = = ( gt ); HNA a) Xét ∆NHA ∆NKC có: AN CN ( = 900 ) ⇒ ∆NHA = ∆NKC ⇒ AH = CK AHN = CKN b) Trên tia đối tia NM lấy D cho ND = NM Xét ∆NAM ∆NCD có: = AN CN = , ANM CND = , NM ND , từ = , AM / / CD ∆NAM = ∆NCD(c.g c) ⇒ AM = CD, NAM NCD = MCD , MCD vị trí so le nên CMB Mà CBM Xét ∆MCB ∆CMD có: MCD , MC chung ⇒ ∆MCB = ∆CMD(c.g c) ⇒ BC = MD = BM CD = ; CMB Mà MD = MN nên BC = MN Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 879 TRƯỜNG THCS CÙ CHÍNH LAN ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm hoc 2018-2019 Đề số 223 Mơn thi: TỐN Câu (5 điểm) a c = với a, b, c ≠ Chứng minh rằng: c b a a2 + c2 b − a b2 − a = b) a) b b2 + c2 a a2 + c2 25 2) Tổng ba phân số tối giản tử chúng tỉ lệ nghịch với 20;4;5 Các 63 mẫu chúng tỉ lệ thuận với 1;3;7 Tìm ba phân số 1) Cho Câu (3 điểm) Tìm số nguyên x, y biết: y + = x Câu (3 điểm) Tìm số ngun x để A có giá trị số nguyên biết: = A x +1 ( x ≥ 0) x −3 Câu (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − 2013 + x − 2014 + x − 2015 Câu (7 điểm) Cho tam giác ABC vng cân A có trung tuyến AM E điểm thuộc cạnh BC Kẻ BH , CH vuông góc với AE ( H , K thuộc AE) a) Chứng minh BH = AK b) Cho biết MHK tam giác ? Vì ? ĐÁP ÁN Câu a c a c a c 1) a) Từ =⇒ = = c b c b c b a a2 c2 a2 + c2 a a2 + c2 ⇒ = = 2= ⇒ = (đpcm) b c b c + b2 b b + c2 b) Áp dụng chứng minh phần a ta có: Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 880 a c a a2 + c2 b b2 + c2 b b2 + c2 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − −1 c b b b + c2 a a2 + c2 a a2 + c2 b a b2 + c2 a + c2 b − a b2 + c2 − a − c2 ⇒ = − − ⇒ = a a a2 + c2 a2 + c2 a a2 + c2 b − a b2 − a ⇒ = (dfcm) a a2 + c2 2) Gọi ba phân số cần tìm a, b, c 25 Theo ta có: a + b + c = 63 1 1 1 a : b : c= 20= 4= 5= = = = 21: 35 :12 20 12 35 25 a b c a+b+c ⇒ = = = = 63 = 21 35 12 21 + 35 + 12 68 63 5 25 20 ⇒ a= 21 = ; b= 35 = ; c= 12 = 63 63 63 21 25 20 Vậy ba phân số cần tìm ; ; 21 Câu y y 1− 2y + = ⇒ = − ⇒ = ⇒ x (1 − y ) = 40 x x x ⇒ − y ∈ ước lẻ 40 ±1; ±5 Từ 1− 2y -5 -1 x -8 -40 40 y -2 } { Vậy ta có cặp số ( x; y ) = ( −8;3) ; ( −40;1) ; ( 40;0 ) ; (8; −2 ) Câu Ta có: A = A∈ ⇔ Lập bảng: x +1 = 1+ x −3 x −3 ∈ ⇔ x − ∈U (4) ={±1; ±2; ±4} x −3 881 x −3 x -4 -2 -1 Loại 16 25 49 Vậy x ∈ {1;4;16;25;49} Câu A = x − 2013 + x − 2014 + x − 2015 A= ( x − 2013 + x − 2015 ) + x − 2014 Vi : x − 2015 = 2015 − x ⇒ A= ( x − 2013 + 2015 − x ) + x − 2014 Mà x − 2013 + 2015 − x ≥ x − 2013 + 2015 − x = ⇒ A= ( x − 2013 + 2015 − x ) + x − 2014 ≥ + x − 2014 ⇒ A ≥ x − 2014 ≥ ( x − 2013)( 2015 − x ) ≥ Dấu " = " xảy ⇔ x − 2014 ⇔x= 2014 Vậy Amin = ⇔ x = 2014 Câu A H E B M C K Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 882 a) Xét ∆ABH ∆CAK có: ) (cùng phụ với BAH AHB = CKA = 900 ; AB = AC (∆ABC cân A), ABH = CAE ⇒ ∆ABH = ∆CAK (ch − gn) ⇒ BH = AK b) Ta có: MA = MB = MC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) ∆ABC cân A ⇒ AM vừa trung tuyến vừa đường cao = ACM = 450 ⇒ AM ⊥ BC ⇒ ∆AMB ∆AMC vuông cân M ⇒ BAM = ∆CAK (cau a ) ⇒ BAH ACK (hai góc tương ứng) Ta có: ∆ABH = Mà: = + MAH BAH = BAH BAM 450 + MAH MCK ⇒ ⇒ MAH = ACK = ACM + MCK ACK = 45 + MCK ( phụ với HMC AMH = CMK Xét ∆AMH ∆CMK có: MCK (cmt ) = MA MC = (cmt ); MAH ⇒ ∆AMH = ∆CMK ( g c.g ) ⇒ MH = MK ⇒ ∆MHK cân M = AMH + HMC 900 ⇒ CMK + HMC = HMK = 90 ⇒ ∆HMK vuông cân M AMH = CMK PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 GIAO THỦY MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Đề số 224 Bài (5,0 điểm) 2 1 a) Thực phép tính : 6. − − 3. − + 1 : − − 1 1 1 − + − + + 100 3 3 Tính giá trị biểu thức= B A + 100 b) Cho biểu thức: A = − + Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 883 Bài (3,0 điểm) Tìm x, y biết: a) x = x + y = 120 y b) ( x − 1) +2 = y −1 + y − + y − +1 Bài (3,0 điểm) 1 1 So sánh M với + + + + 12 15 105 315 9177 2 2 b) Cho số nguyên dương a; b; c; d ; e thỏa mãn a + b + c + d + e chia hết cho Chứng tỏ a + b + c + d + e hợp số 2a + 3b 2c + 3d a c Bài (3,0 điểm) Cho tỉ lệ thức: = Chứng minh rằng: (giả thiết = 2a − 3b 2c − 3d b d a) Cho M = tỉ lệ thức có nghĩa) Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC , O trung điểm BC Từ B kẻ BD vng góc với AC (D thuộc AC ) Từ C kẻ CE vng góc với AB ( E ∈ AB ) a) Chứng minh rằng: OD = BC b) Trên tia đối tia DE lấy điểm N, tia đối tia ED lấy điểm M cho DN = EM Chứng minh rằng: Tam giác OMN tam giác cân ĐÁP ÁN Bài 2 1 a ) 6. − − 3. − + 1 : − − 1 4 2 16 = + + 1 : − = + : 3 3 9 = = 16 Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 884 1 1 1 b) A = − + − + − + + 100 3 3 3 1 1 3A = −1 + − + − + + 99 3 3 1 A + A =−1 + 100 ⇒ A = −1 + 100 4 1 ⇒ A < ⇒ A =− −1 + 100 = 1 − 100 4 4 1 B = A + 100 = .1 − 100 + 100 = 4 Bài a) x x y x y x y x + y 120 = ⇒ = ⇒ = = = = = =2 y 8 40 20 40 + 20 60 = 16 x 2.8 = ⇒ = 10 y 2.5 = b) = y −1 + y − + y − +1 ( x − 1) + Đặt A = ( x − 1) +2 Chứng tỏ A ≤ ( ∀x ) (1) Dấu xảy ⇔ x = Đặt B = y − + y − + y − + B = y −1 + y − + y − +1 y − ≥ y − với y Dấu xảy ⇔ y ≥ y − ≥ với y Dấu xảy ⇔ y = − y ≥ − y với y Dấu xảy ⇔ y ≤ ⇒ B ≥ với y (2) Dấu xảy ⇔ y = Từ (1) (2) ⇒ A = B = ⇒ x =1; y = Bài a) So sánh M với 12 Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 885 1 1 + + + + 1.3.5 3.5.7 5.7.9 19.21.23 4 4 ⇒ M= + + + + 1.3.5 3.5.7 5.7.9 19.21.23 1 1 1 1 4M = − + − + − + + − 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 19.21 21.23 1 40 = − = 21.23 483 40 40 Vì = > ⇒M < 12 480 483 12 2 2 b) Đặt A = a + b + c + d + e ; B = a + b + c + d + e M= (a ( a + a ) + (b Xét: A + B= + b2 + c + d + e2 ) + ( a + b + c + d + e ) = + b ) + ( c + c ) + ( d + d ) + ( e2 + e ) A + B= a ( a + 1) + b ( b + 1) + c ( c + 1) + d ( d + 1) + e ( e + 1) Với n số ngun tích số ngun liên tiếp chia hết A + B chia hết cho Theo đề A chia hết B chia hết cho Và B > Vậy B hợp số Bài Giả thiết tỉ lệ thức có nghĩa, từ a c a b 2a 3b = ⇒ = ⇒ = b d c d 2c 3d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 2a 3b 2a + 2c 2a − 3b 2a + 3b 2c + 3d == = ⇒ = 2c 3d 2c + 3d 2c − 3d 2a − 3b 2c − 3d Bài 886 N A D E M B C O I a) Chứng minh OD = BC Trên tia đối tia OD lấy điểm I cho OI = OD Nối I với C Chứng minh ∆OBD = ∆OCI (c.g c) ⇒ BD = CI = OIC , mà hai góc vị trí so le ⇒ DB / / CI Và BDO Mà CD ⊥ BD ⇒ CD ⊥ CI ∆ICD(c.g c) ⇒ BC =⇒ DI OD = BC Chứng minh được: ∆BDC = b) Nối O với E = Chứng minh tương tự câu a có: OE BC ⇒ OD = OE ⇒ ∆OED cân O = ODN Chứng minh được: OEM Chứng minh được: ∆OEM = ∆ODN ( c.g c ) ⇒ OM = ON (dfcm) Liên hệ tài liệu word môn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 887 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Đề số 225 Bài (4,0 điểm) a) Thực phép tính: 212.35 − 46.92 ( 3) b) CMR: + − 510.73 − 252.492 (125.7 ) + 59.133 1 1 1 − + + n−2 − n + + 98 − 100 < 7 7 7 50 Bài (3,0 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x − + y + + x + xz = b) Cho đa thức : f ( x) = ax + bx + c Biết f = −1) 2018 Tính a, b, c ( ) 0; f = (1) 2017; f ( = Bài (3,0 điểm) a) Cho b2 − a b − a a c = = Chứng minh rằng: a + c2 a c b b) Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với 1,2,3 Bài (8,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC ) Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD = AC Trên đường vng góc với AB B lấy điểm E cho BE = AD (E C nằm nửa mặt phẳng bở AB) 1) Tam giác CDE tam giác 2) Trên cạnh AC lấy điểm F cho CF = AD Gọi giao điểm BF CD O = 450 Chứng minh COF = OCP Kẻ FH ⊥ CP ( H ∈ CP ) Chứng minh: 3) Trên BF lấy điểm P cho FCO a) HO tia phân giác FHP b) Chứng minh: OH + OC > HF + CF Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 888 Bài (2,0 điểm) Tìm x, y ∈ biết: 36 − y = ( x − 2018 ) 2 ĐÁP ÁN Bài = a) E 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 252.492 (125.7 ) + 59.133 12 212.35 − 212.34 510.73 − 54.7 ( − 1) ( − ) = 12 12 − 9 = 12 − + + 13 ( + 1) 59.73.9 212.34.2 ( − ) 56 − −2429 = − = − = 212.35.4 59.73.9 55.9 6250 1 1 1 b) Đặt A = − + + n−2 − n + + 98 − 100 7 7 7 Ta có: 1 1 + + n−4 − n−2 + + 96 − 98 7 7 1 ⇒ 50 A = − 100 < ⇒ A < 50 49 A =1 − Bài a) Sử dụng tính chất A ≥ 2 ≥ 0; y + ≥ 0; x + xz ≥ nên x − + y + + x + xz ≥ 3 Dấu xảy x = ;y = − ;z = − b) Tính f (0) = c ⇒ c = f (1) = a + b + c ⇒ a + b + c = 2017 ⇒ a + b = 2017 Suy : x − f ( −1) = a − b + c = 2018 ⇒ a − b = 2018 Từ tính a = 4035 ;b = − 2 Bài a) Từ a c = ⇒ c =ab c b Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 889 b + c b + ab b ( a + b ) b Khi đó: = = = a + c a + ab a ( a + b ) a b2 + c2 b b2 − a b − a Suy : − = − Hay 2 = a +c a a + c2 a b) Gọi chữ số cần tìm a, b, c Số chia hết cho 18 nên chia hết cho ⇒ ( a + b + c )9 Lại có: ≤ a + b + c ≤ 27 suy a + b + c nhận giá trị 9,18,27 a Theo ta có: = b c a+b+c a+b+c mà a ∈ nên = = ∈ , suy 6 a+b+c = 18 a b c Suy = = = ⇒ a = 3, b = 6, c = Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số cuối chẵn Vậy số cần tìm 396;936 Bài E B P D O A M F H C 1) Chứng minh = = ∆DBE = ∆CAD(c.g c) ⇒ DE = DC (1); BDE ACD; DEB CDA Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 890 + DEB = Mặt khác : ∆DBE vng B có BDE 900 + CDA Do đó: BDE = 900 ⇒ CDE = 900 ⇒ ∆CDE vuông D (2) Từ (1) (2) suy ∆CDE vuông cân D = DCE = 45 2) ∆CDE vuông cân D ⇒ DEC = Chứng minh BE / / AC ⇒ EBC FCB = FCB BC Chứng minh: ∆BEC = ∆CFB (vì có BE = CF (cùng AD), EBC = CBF ⇒ BF / / CE cạnh chung) ⇒ BCE = COF (vì hai góc so le ) mà DCE =450 ⇒ COF =450 Khi DCE 3) a) AFH góc ngồi đỉnh F ∆HFC nên: ( = = AFH = FHC 900 + 2OCF 450 + OCF ) Mà AFO góc ngồi đỉnh F ∆OFC + FCO =450 + FCO , AFO = AFH , hay FO tia phân giác ⇒ AFO =COF AFH ∆CFH có đường phân giác góc C đường phân giác góc ngồi F cắt O, nên đường phân giác góc ngồi đỉnh H ∆CHF phải qua O ⇒ HO tia phân giác FHP 3b) Qua H kẻ đường thẳng vng góc với OF I cắt AC M Chứng minh ∆FIM = ∆FIH ( g c.g ) ⇒ MI = HI , FM = FH Do đó: OM = OH (quan hệ đường xiên – hình chiếu) Từ suy ra: OH + OC > HF + CF Bài 36 − y = ( x − 2018 ) ⇒ y + 8.( x − 2018 ) = 36 2 ( x − 2018 )2 = Vi y ≥ ⇒ ( x − 2018 ) = ( x − 2018 )2 = Với ( x − 2018 ) =⇒ y =28(ktm) 2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 891 x = 2020 ⇒ y2 = ⇒ y = y = 2016 Với ( x − 2018 ) = ⇒ Với ( x − 2018 ) = ⇒ x = 2018 ⇒ y = 36 ⇒ y = Vậy ( x; y ) ∈ {( 2020;2 ) ; ( 2016;2 ) ; ( 2018;6 )} Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 17 ⇒ 10a + b 17 Ta có: 3a + 2b 17 ⇒ 9.(3a + 2b) 17 ⇒ 27 a + 18b 17 ⇒ ( 17 a + 17b ) + (10a + b ) 17 ⇒ 10a + b 17 *10a + b 17 ⇒ 3a + 2b 17 Ta có: 10a + b 17 ⇒ (10a + b ) 17 ⇒ 20a + 2b 17. .. mơn tốn: 039. 373 .2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x (x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu a, b, c a b c a+b+c x 5x 6x x 7x = = = = ⇒a=... GTNN ⇔ nhỏ =−1 + x − 15 x − 15 x − 15 27 Xét x − 15 > >0 x − 15 27 27 Xét x − 15 < nhỏ x − 15 < < Vậy x − 15 x − 15 27 Phân số có tử dương mẫu âm x − 15 27 Khi nhỏ x − 15 số nguyên âm lớn hay