Luận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phươngLuận văn thạc sĩ: Chặn đều chỉ số khả quy cho IĐêan tham số của Môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THÀNH TRUNG CHẶN ĐỀU CHỈ SỐ KHẢ QUY CHO IĐÊAN THAM SỐ CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Đỗ Minh Châu THÁI NGUYÊN - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn không bị trùng lặp với luận văn trước Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc ăm 2019 T giả ận n Nguyễn Thành Trung i LỜI CẢM ƠN Luận văn "Chặn số khả quy cho Iđêan tham số môđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương" hoàn thành sau thời gian năm học tập nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun Với lịng kính trọng biết ơn sâu sắc, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới cô giáo - TS Trần Đỗ Minh Châu, người kính mến hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, lãnh đạo khoa Toán, lãnh đạo khoa Sau đại học Trường tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tham gia giảng dạy cho lớp Cao học chun ngành Tốn khóa 25 Cuối xin cảm ơn người thân yêu gia đình, bạn bè ln cho tơi niềm tin động lực để học tập nghiên cứu thật tốt iiiii iii MỞ ĐẦU Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Giả sử x = x1 , , xd hệ tham số M q = (x1 , , xd ) Cho n = (n1 , nd ) gồm d số nguyên dương xn = xn1 , , xnd d Ta xem hiệu IM,x (n) = `(M/xn M ) − e(xn ; M ) hàm theo biến n e(x; M ) số bội M ứng với dãy x Mặc dù IM,x (n) không đa thức với n1 , , nd đủ lớn bị chặn đa thức Trong [7], N T Cường chứng minh bậc bé tất đa thức theo biến n chặn IM,x (n) không phụ thuộc vào việc chọn x Bậc gọi kiểu đa thức M, kí hiệu p(M ) Chú ý M môđun Cohen-Macaulay `(M/ q M ) = e(q; M ), với (và với mọi) iđêan tham số q M Vì ta quy ước bậc đa thức −1 M mơđun Cohen-Macaulay p(M ) = −1 Để mở rộng lớp môđun CohenMacaulay, J Stuckrad W Vogel giới thiệu lớp môđun Buchsbaum Một R-môđun M gọi Buchsbaum với iđêan tham số q, hiệu `(M/ q M ) − e(q; M ) khơng đổi Sau đó, N T Cường, P Schenzel N V Trung [9] giới thiệu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Môđun M Cohen-Macaulay suy rộng hiệu `(M/ q M ) − e(q; M ) bị chặn với iđêan tham số q M Dễ dàng thấy M môđun Cohen-Macaulay suy rộng p(M ) ≤ Cho đến cịn thông tin cấu trúc M p(M ) > Cho q iđêan tham số M Số thành phần bất khả quy xuất phân tích bất khả quy thu gọn q M gọi số khả quy q M kí hiệu irM (q M ) Chú ý ta ln có irM (q M ) = dimR/m Soc(M/ q M ), với R-mơđun N tùy ý, Soc(N ) = (0 :N m) Một kết cổ điển D G Northcott phát biểu số khả quy iđêan tham số môđun Cohen-Macaulay bất biến môđun M Trong [11], S Endo M Narita đưa ví dụ chứng tỏ chiều ngược lại khơng Khi M môđun CohenMacaulay suy rộng, S Goto N Suzuki [13] chứng minh irM (q M ) có chặn cho cơng thức ! d−1 X d irM (q M ) ≤ `R (Hmj (M )) + dimk Soc Hmd (M ) j j=0 với iđêan tham số q M Trong trường hợp M môđun Buchsbaum, S Goto H Sakurai [12] chứng minh dấu bất đẳng thức xảy với iđêan tham số q nằm lũy thừa đủ lớn m Tiếp theo, N T Cường H L Trường [10] mở rộng kết Goto, H Sakurai cho trường hợp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Gần đây, N T Cường P H Quý sử dụng kỹ thuật chẻ đối đồng điều địa phương để chứng minh lại kết Mục đích luận văn trình bày lại kết P H Quý báo "On the uniform bound of the index of reducibility of parameter ideals of a module whose polynomial type is at most one" Kết khẳng định M R-môđun hữu hạn sinh cho p(M ) ≤ irM (q M ) bị chặn với iđêan tham số q M Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm chương Chương trình bày khái niệm môđun hữu hạn sinh gồm chiều, độ sâu số bội; khái niệm tính chất Đối ngẫu Matlis, môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại kiểu đa thức Chương trình bày khái niệm số khả quy, chặn số phần tử sinh tối tiểu môđun trường hợp chiều chặn số khả quy trường hợp p(M ) ≤ Thái Nguyên, tháng năm 2019 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong suốt luận văn này, ta giả thiết (R, m) vành giao hoán Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh chiều d, L R-môđun tùy ý không thiết hữu hạn sinh 1.1 Chiều, hệ tham số số bội môđun hữu hạn sinh Mục đích tiết nhắc lại khái niệm số kết bất biến R-môđun hữa hạn sinh M gồm chiều, độ sâu số bội ứng với hệ tham số Định nghĩa 1.1.1 Ta nói dãy iđêan nguyên tố q0 ⊂ q1 ⊂ ⊂ qn R có độ dài n qi 6= qi+1 với i Chiều Krull vành R cận tất độ dài dãy iđêan nguyên tố R Chiều Krull R kí hiệu dim R Ví dụ 1.1.2 (i) Cho k trường Vành đa thức vô hạn biến R = k[X1 , X2 , , Xn , ] có chiều ∞ xích iđêan nguyên tố (X1 ) ⊂ (X1 , X2 ) ⊂ ⊂ (X1 , X2 , , Xn ) ⊂ tăng vô hạn (ii) Nếu R vành Artin dim R = 0, iđêan nguyên tố R iđêan cực đại Đặc biệt, trường có chiều (iii) Vành số ngun Z có dim Z = 1, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên tố khác khơng cực đại có dạng pZ với p số nguyên tố Định nghĩa 1.1.3 Chiều Krull M, kí hiệu dim M, chiều Krull vành R/ AnnR (M ) Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử m ∈ M cho p = AnnR (m) Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR M Chú ý iđêan nguyên tố p ∈ AssR M M chứa môđun đẳng cấu với R/ p Hơn nữa, tập iđêan nguyên tố tối tiểu chứa AnnR M tập iđêan tối tiểu AssR M Vì ta có cơng thức tính dim M qua chiều iđêan nguyên tố liên kết M sau Bổ đề 1.1.4 dim M = max{dim(R/ p) | p ∈ AssR M } Cho I 6= R iđêan R Ta nói I iđêan nguyên sơ √ ab ∈ I a ∈ / I kéo theo b ∈ I với a, b ∈ R Chú ý I √ iđêan nguyên sơ p = I iđêan nguyên tố Trong trường hợp ta nói I iđêan p-nguyên sơ Cho L R-môđun không thiết hữu hạn sinh Dãy = L0 & L1 & L2 & & Lt = L (*) Li mơđun L gọi dãy môđun độ dài t Ta nói L có dãy hợp thành tồn dãy (*) mà Li Li+1 thêm môđun khác, với i = 0, , t − Nếu L có dãy hợp thành dãy mơđun khơng ... gốc ăm 2019 T giả ận n Nguyễn Thành Trung i LỜI CẢM ƠN Luận văn "Chặn số khả quy cho Iđêan tham số môđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương" hoàn thành sau thời gian năm học tập nghiên cứu... R -môđun hữu hạn sinh cho p(M ) ≤ irM (q M ) bị chặn với iđêan tham số q M Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm chương Chương trình bày khái niệm môđun hữu hạn sinh. .. chiều d, L R -môđun tùy ý không thiết hữu hạn sinh 1.1 Chiều, hệ tham số số bội mơđun hữu hạn sinh Mục đích tiết nhắc lại khái niệm số kết bất biến R -môđun hữa hạn sinh M gồm chiều, độ sâu số bội ứng