04 Bai toan Dem P3 BG Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon vn) www facebook com/Lyhung95 Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON VN Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia ! VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GI[.]
Khóa học TỐN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn) www.facebook.com/Lyhung95 Tài liệu giảng (Tổ hợp – Xác suất 11) 04 BÀI TOÁN ĐẾM (Phần 3) Thầy Đặng Việt Hùng – MOON.VN VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Group thảo luận tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz DẠNG BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỔ HỢP TRONG HÌNH HỌC Bài 1: [ĐVH] Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đơi một, khơng có đường đồng quy Hỏi có giao điểm? Có tam giác tạo thành? n(n − 1) • Số giao điểm: Cn2 = n(n − 1)(n − 2) • Số tam giác: Cn3 = Bài 2: [ĐVH] Cho 10 điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng qua cặp điểm? b) Có vectơ nối cặp điểm? c) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên? d) Nếu 10 điểm khơng có điểm đồng phẳng, có tứ diện tạo thành? ĐS: a) C10 b) A10 c) C10 d) C10 Bài 3: [ĐVH] Cho đa giác lồi có n cạnh (n ≥ 4) a) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh? b) Giả sử đường chéo qua đỉnh khơng đồng qui Hãy tính số giao điểm (khơng phải đỉnh) đường chéo ấy? ĐS: a) Cn2 − n = n ⇒ n = b) Giao điểm đường chéo đa giác lồi (khơng phải đỉnh) giao điểm đường chéo tứ giác mà đỉnh đỉnh đa giác Vậy số giao điểm phải tìm số tứ giác với đỉnh thuộc n đỉnh đa giác: Cn4 Bài 4: [ĐVH] Cho đa giác lồi có n-cạnh (n ∈, b ≥ 3) a) Tìm số đường chéo đa giác Hãy đa giác có số cạnh số đường chéo? b) Có tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác? c) Có giao điểm đường chéo? n(n − 3) (n − 2)(n − 1)n n(n − 1)(n − 2)(n − 3) ĐS: a) ; n = b) c) 24 Bài 5: [ĐVH] Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt? b) 10 đường tròn phân biệt? c) 10 đường thẳng 10 đường tròn trên? ĐS: a) 45 b) 90 c) 335 Bài 6: [ĐVH] Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2) ĐS: 5950 Bài 7: [ĐVH] Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H a) Có tất tam giác vậy? Có tam giác có hai cạnh cạnh H? Tham gia khóa học TỐN 11 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia ! Khóa học TỐN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn) www.facebook.com/Lyhung95 b) Có tam giác có cạnh cạnh H? Có tam giác khơng có cạnh cạnh H? ĐS: a) 1140; 20 b) 320 ; 80 Bài 8: [ĐVH] Có 10 điểm A, B, C, mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng a) Nối chúng lại ta đường thẳng? Trong có đường khơng qua A hay B? b) Có tam giác đỉnh điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? ĐS: a) 45; 28 b) 120 ; 36 ; Bài 9: [ĐVH] Có p điểm mặt phẳng có q điểm thẳng hàng, số cịn lại khơng có điểm thẳng hàng Nối p điểm lại với Hỏi: a) Có đường thẳng? b) Chúng tạo tam giác? 1 ĐS: a) p ( p − 1) − q (q − 1) + b) p ( p − 1)( p − 2) − q (q − 1)(q − 2) Bài 10: [ĐVH] Cho p điểm có q điểm nằm đường trịn, ngồi khơng có điểm đồng phẳng Hỏi có bao nhiêu: a) Đường tròn, đường qua ba điểm? b) Tứ diện với đỉnh thuộc p điểm đó? ĐS: a) C 3p − Cq3 + b) C 4p − Cq4 LỜI GIẢI BÀI TẬP Bài 1: [ĐVH] Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đôi một, khơng có đường đồng quy Hỏi có giao điểm? Có tam giác tạo thành? Lời giải: n(n − 1) a) Cứ đường thẳng tạo thành giao điểm, có Cn2 = giao điểm n(n − 1)(n − 2) b) Cứ đường thẳng tạo thành tam giác, có Cn3 = tam giác Bài 2: [ĐVH] Cho 10 điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng qua cặp điểm? b) Có vectơ nối cặp điểm? c) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên? d) Nếu 10 điểm khơng có điểm đồng phẳng, có tứ diện tạo thành? Lời giải: a) Cứ điểm có đường thẳng qua nên có C10 đường thẳng cần tìm b) Vector có phân biệt điểm đầu cuối nên với điểm có vector nên có A10 vector c) Cứ điểm lập thành tam giác nên có C10 tam giác d) Cứ điểm khơng đồng phẳng tạo thành tứ diện nên có C10 tứ diện thiết lập Bài 3: [ĐVH] Cho đa giác lồi có n cạnh (n ≥ 4) a) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh? b) Giả sử đường chéo qua đỉnh khơng đồng qui Hãy tính số giao điểm (khơng phải đỉnh) đường chéo ấy? Cn4 Lời giải: a) Cứ điểm tạo thành đường thẳng gồm đường chéo cạnh, suy số đường chéo Cn2 − n Tham gia khóa học TỐN 11 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia ! Khóa học TỐN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn) Suy Cn2 − n = n ⇔ www.facebook.com/Lyhung95 n! = 2n ⇔ n = 2!( n − ) ! b) Giao điểm đường chéo đa giác lồi (khơng phải đỉnh) giao điểm đường chéo tứ giác mà đỉnh đỉnh đa giác Vậy số giao điểm phải tìm số tứ giác với đỉnh thuộc n đỉnh đa giác: Cn4 Bài 4: [ĐVH] Cho đa giác lồi có n-cạnh (n ∈, b ≥ 3) a) Tìm số đường chéo đa giác Hãy đa giác có số cạnh số đường chéo? b) Có tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác? c) Có giao điểm đường chéo? Lời giải: a) Cứ điểm tạo thành đường thẳng gồm đường chéo cạnh, suy số đường chéo Cn2 − n Nếu đa giác có số cạnh số đường chéo Cn2 − n = n ⇔ n! = 2n ⇔ n = 2!( n − ) ! (n − 2)(n − 1)n tam giác cần lập n(n − 1)(n − 2)(n − 3) c) Cứ đỉnh tạo thành đường chéo ứng với giao điểm, có Cn4 = 24 Bài 5: [ĐVH] Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt? b) 10 đường tròn phân biệt? c) 10 đường thẳng 10 đường tròn trên? Lời giải: b) Chọn n đỉnh ta thu Cn3 = a) Cứ đường thẳng phân biệt tạo thành giao điểm Vậy có C10 = 45 giao điểm b) Cứ đường tròn phân biệt tạo thành giao điểm Vậy có 2C10 = 90 giao điểm c) Cứ đường thẳng đường tròn tạo thành giao điểm, suy có 2.10.10 = 200 giao điểm đơn Kết hợp hai câu a b ta có 200 + 45 + 90 = 335 giao điểm Bài 6: [ĐVH] Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2) Lời giải: Số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2) : +) TH1: điểm đường (d1) điểm đường (d2) ⇒ Số tam giác C171 C202 =3230 +) TH2: điểm đường (d1) điểm đường (d2) ⇒ Số tam giác C20 C172 = 2720 Do đó, tổng số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn 3230 + 2720 = 5950 Bài 7: [ĐVH] Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H a) Có tất tam giác vậy? Có tam giác có hai cạnh cạnh H? b) Có tam giác có cạnh cạnh H? Có tam giác khơng có cạnh cạnh H? Lời giải: a) • Có tất tam giác vậy? Đa giác H có 20 cạnh ⇒ có 20 đỉnh Một tam giác tạo đỉnh ⇒ Có C20 = 1140 tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H Tham gia khóa học TỐN 11 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia ! Khóa học TỐN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn) www.facebook.com/Lyhung95 • Có tam giác có hai cạnh cạnh H? Tam giác có cạnh cạnh H ⇒ đỉnh chúng đỉnh kề thuộc H Chọn đỉnh chung cạnh cạnh đa giác có cách chọn ⇒ Có C20 = 20 đỉnh hay có 20 tam giác có hai cạnh cạnh H b) • Có tam giác có cạnh cạnh H? Để có cạnh cạnh H, ta chọn đỉnh kề 20 đỉnh cho ⇒ Có 20 cách chọn đỉnh cịn lại có 18 đỉnh lại trừ đỉnh kề ta cịn lại 16 đỉnh thỏa mãn ⇒ Có : 20.16 = 320 tam giác có cạnh cạnh H • Có tam giác khơng có cạnh cạnh H? Số tam giác cạnh cạnh H tổng số tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H trừ số tam giác có cạnh cạnh H : 1140 − 320 − 20 = 800 Bài 8: [ĐVH] Có 10 điểm A, B, C, mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng a) Nối chúng lại ta đường thẳng? Trong có đường khơng qua A hay B? b) Có tam giác đỉnh điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? Lời giải: a) • Từ 10 điểm cho, nối điểm ta đường thẳng ⇒ Có C102 = 45 đường thẳng • Đường thẳng khơng qua A hay B, tức đường thẳng tạo từ điểm C,D, ⇒ Có C82 = 28 đường thẳng b) • Có tam giác đỉnh điểm trên? Mỗi tam giác có đỉnh, số tam giác tạo điểm 10 điểm cho C103 = 120 • Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Cố định điểm A Trong điểm lại, lấy điểm để đoạn thẳng ⇒ Có C92 = 36 đoạn thẳng, tức có 36 tam giác chứa điểm A • Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? Cố định cạnh AB tam giác Khi đó, đỉnh cịn lại tam giác có lựa chọn Do đó, có tam giác chứa cạnh AB Bài 9: [ĐVH] Có p điểm mặt phẳng có q điểm thẳng hàng, số cịn lại khơng có điểm thẳng hàng Nối p điểm lại với Hỏi: a) Có đường thẳng? b) Chúng tạo tam giác? Lời giải: p! a) Từ p điểm mặt phẳng ta lập C p2 = = p ( p − 1) đường thẳng 2!.( p − 2)! q! Nhưng p điểm cho lại có q điểm thẳng hàng nên bị trùng Cq2 − = − = q (q − 1) − 2!(q − 2)! đường thẳng ⇒ Có ( p ( p − 1) − q (q − 1) + 2) đường thẳng p! b) Từ p điểm mặt phẳng ta lập C 3p = = p ( p − 1)( p − 2) tam giác 3!( p − 3)! Nhưng p điểm cho lại có q điểm thẳng hàng nên có Tham gia khóa học TỐN 11 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia ! Khóa học TỐN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn) www.facebook.com/Lyhung95 q! = q (q − 1)(q − 2) không tam giác 3!(q − 3)! ⇒ có ( p ( p − 1)( p − 2) − q (q − 1)(q − 2)) tam giác Bài 10: [ĐVH] Cho p điểm có q điểm nằm đường trịn, ngồi khơng có điểm đồng phẳng Hỏi có bao nhiêu: a) Đường trịn, đường qua ba điểm? b) Tứ diện với đỉnh thuộc p điểm đó? Lời giải: a) Từ p điểm cho ta tạo C p đường tròn ( đường qua điểm, chưa xét đến q điểm nằm Cq3 = đường trịn) Nhưng p điểm cho lại có q điểm nằm đường tròn nên bị trùng Cq3 − đường trịn ⇒ Có C 3p − Cq3 + đường tròn, đường qua điểm b) Từ p điểm cho ta tạo C p4 tứ diện ( đỉnh thuộc p điểm, chưa xét đến q điểm nằm đường tròn) Nhưng p điểm cho lại có q điểm nằm đường trịn nên có Cq4 khơng tứ diện ⇒ Có C p4 − Cq4 tứ diện với đỉnh thuộc p điểm cho Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn Tham gia khóa học TỐN 11 MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia ! ... điểm có đường thẳng qua nên có C10 đường thẳng cần tìm b) Vector có phân biệt điểm đầu cuối nên với điểm có vector nên có A10 vector c) Cứ điểm lập thành tam giác nên có C10 tam giác d) Cứ điểm... Một tam giác tạo đỉnh ⇒ Có C20 = 114 0 tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H Tham gia khóa học TỐN 11 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia ! Khóa học TỐN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)... đường chéo cạnh, suy số đường chéo Cn2 − n Tham gia khóa học TỐN 11 MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia ! Khóa học TỐN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn) Suy Cn2 − n = n ⇔ www.facebook.com/Lyhung95