Bo de thi toan vao lop 10 chuyen dai hoc su pham ha noi

2 MỤC LỤC PHẦN 1: ĐỀ THI Đề số 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Đề thi Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2019 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2019 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2018 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2018 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2017 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2017 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2016 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2016 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2014 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2014 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2013 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2013 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2012 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2012 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2011 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2011 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2010 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2010 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2009 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2009 (vòng 2) Trang PHẦN 2: HƯỚNG DẪN GIẢI Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu  a +1   + a + 2a a −1   a) Cho a số thực khác −1 Rút gọn biểu thức = P ÷ − a −1 a −1  a −1    +3  a +1 b) Cho số thực x, y, a thoản mãn Chứng minh x2 + x4 y + y + y x2 = a x2 + y = a Câu Trên quãng đường dài 20 km, thời điểm, bạn An từ A đến B bạn Bình từ B đến A Sau kể từ lúc xuất phát, An Bình gặp C nghỉ lại 15 phút (vận tốc An quãng đường AC không thay đổi, vận tối Bình qng đường BC khơng thay đổi) Sau nghỉ, An tiếp đến B với vận tốc nhỏ vận tốc An quáng đường AC km/h, Bình tiếp đến A với vận tốc lớn vận tốc Bình quãng đường BC km/h Biết An đến B sớm so với Bình đến A 48 phút Hỏi vận tốc An quãng đường AC bao nhiêu? Câu Cho đa thức P ( x ) = x + ax + b , Q ( x ) = x + cx + d với a, b, c, d số thực a) Tìm tất giá trị a, b để a nghiệm phương trình P ( x ) = b) Giả sử phương trình P ( x ) = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình Q ( x ) = có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 cho P ( x3 ) + P ( x4 ) = Q ( x1 ) + Q ( x2 ) Chứng minh x1 − x2 = x3 − x4 Câu Cho đường tròn ( O ) , bán kính R , ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi AA1 , BB1 , CC1 đường cao tam giác ABC ( A1 thuộc BC , B1 thuộc CA , C1 thuộc AB ) Đường thẳng A1C1 cắt đường tròn ( O ) A ' C ' ( A1 nằm A ' C1 ) Các tiếp tuyến đường tròn ( O ) A ' C ' cắt B ' a) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh HC1 A1C = A1C1 HB1 b) Chứng minh ba điểm B, B ', O thẳng hàng c) Khi tam giác ABC tam giác đều, tính A ' C ' theo R Câu Cho số thực x, y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= xy ( x − )( y + ) + 13 x + y − 26 x + 24 y + 46 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn: TỐN (VỊNG 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu Cho hai số thực phân biệt a b thỏa mãn điều kiện a = + b3 a 2b ( ab − 3) Tính giá trị biểu thức T = a + b − ab Câu Cho đa thức P ( x ) = m1 x + n1 x + k1 , Q ( x ) = m2 x + n2 x + k2 , R ( x ) = m3 x + n3 x + k3 1, 2,3 Giả sử phương trình P ( x ) = có hai nghiệm phân với mi , ni , ki số thực mi > 0, i = biệt a1 , a2 ; phương trình Q ( x ) = có hai nghiệm phân biệt b1 , b2 ; phương trình R ( x ) = có hai nghiệm phân biệt c1 , c2 thỏa mãn P ( c1 ) + Q ( c1 ) = P ( c2 ) + Q ( c2 ) , P ( b1 ) + R ( b1 ) = P ( b2 ) + R ( b2 ) , Q ( a1 ) + R ( a1 ) = Q ( a2 ) + R ( a2 ) Chứng minh a1 + a2 = b1 + b2 = c1 + c2 Câu a) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x y − x y + y + x − y + = b) Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a + b3 + c chia hết cho 14 Chứng minh abc chia hết cho 14 Câu Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn ( O ) AB > AC Gọi D, E chân đường cao tam giác ABC hạ từ A, B Gọi F chân đường vuông góc hạ từ B lên đường thẳng AO a) Chứng minh B, D, E , F bốn đỉnh hình thang cân b) Chứng minh EF qua trung điểm BC c) Gọi P giao điểm thứ hai đường thẳng AO đường tròn ( O ) , M N trung điểm EF CP Tính số đo góc BMN Câu Cho tập hợp X thỏa mãn tính chất sau: Tồn 2019 tập A1 , A2 , , A2019 X cho tập A1 , A2 , , A2019 có ba phần tử hai tập Ai , Aj có phần tử chung với ≤ i < j ≤ 2019 Chứng minh a) Tồn tập hợp tập hợp A1 , A2 , , A2019 cho giao tập hợp có phần tử b) Số phần tử X phải lớn 4039 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số 2x Câu Cho biểu thức P = ( x + 1) x + + ( x − 1) x − x −1 x −1 − x +1 − với x > x +1 Rút gọn biểu thức P Tìm x để P = x – Câu Một nhà máy chuyên sản xuất loại sản phẩm Năm 2015, nhà máy sản xuất 5000 sản phẩm Do ảnh hưởng thị trường tiêu thụ nên sản lượng nhà máy năm 2016 2017 giảm Cụ thể: số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất năm 2016 giảm x% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất năm 2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất năm 2017 giảm x% so với số lượng sản xuất năm 2016 Biết số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất năm 2017 giảm 51% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất năm 2015 Tìm x Câu Cho phương trình x3 − x − =0 Giả sử nghiệm phương trình cho Chứng minh x0 > Tính giá trị biểu thức x02 − = M x02 + 3x0 + x0 Câu Cho hình chữ nhật ABCD với BC = a, AB = b Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD Qua điểm M dựng đường thẳng cắt đường chéo AC hình chữ nhật ABCD điểm P cắt đường thẳng BC điểm Q cho B nằm C Q Khi MP ⊥ AC , hãy: a) Tính PQ theo a b b) Chứng minh a BP = b PN Chứng minh ∠MNP = ∠MNQ (không thiết MP AC vng góc với Câu Các số ngun x, x1 , x2 , , x9 thỏa mãn: (1 + x1 )(1 + x2 ) (1 + x9 ) =(1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − x9 ) =x Tính P = x.x2 x2 x9 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: TỐN (VỊNG 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu Cho số thực x, y không âm thỏa mãn điều kiện ( x + 1)( y + 1) = Tính giá trị biểu thức P= x + y − ( x + 1)( y + 1) + + xy Câu Cho số thực không âm x, y, z thay đổi thỏa mãn x2 + y + z + x2 y + y z + z x2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Q = x + y + z Câu a) Cho a, b hai số nguyên dương phân biệt Xét biểu thức M= (a + b) a + ab − a b − b3 Chứng minh M nhận giá trị nguyên b) Cho a, b hai số nguyên dương, đặt A =( a + b ) − 2a , B =( a + b ) − 2b Chứng minh A B không đồng thời số phương Câu Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt đường thẳng AB AC theo thứ tự D E Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy điểm P cho AP vuông góc với PC Đường thẳng qua B song song với OP cắt PC Q Chứng minh a) PB = PQ b) O trực tâm tam giác ADE ∠QAC c) ∠PAO = Câu Có 45 người tham gia họp Quan sát quen thuộc họ, người ta thấy rằng: hai người có số người quen lại khơng quen Gọi S số cặp người quen họp (cặp người quen không kể thứ tự xếp hai người cặp) a) Xây dựng ví dụ để S = 870 b) Chứng minh S ≤ 870 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề số Câu 1(2.0 điểm) Cho biểu thức P = a − a − 2b − b2 a  b  +  a+ a+b 1 − a a   ( )  a + a + ab + a 2b b  + :  2 a −b a −b   Với a, b > 0, a ≠ b, a + b ≠ a a) Chứng minh P= a − b b) Tìm số a b biết P = a − b3 = Câu 2(1.0 điểm) Giả sử x, y hai số thực phân biệt thỏa mãn 1 + = x + y + xy + 1 + + x + y + xy + Câu 3(2.0 điểm) Cho parabol (P) : y = x đường thẳng ( d ) : y = −2ax − 4a (với a Tính giá trị biểu thức P = tham số ) a)Tìm tọa độ giao điểm ( d) (P) a = − b) Tìm tất giá trị a để đường thẳng ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 = Câu (1.0 điểm) Anh nam xe đạp từ A đến C Trên quãng đường AB ban đầu (B nằm A C) Anh Nam với vận tốc không đổi a(km/h) thời gian từ A đến B 1,5 Trên quãng đường BC lại anh Nam chậm dần với vận tốc thời điểm t (tính giờ) kể từ B v = −8t + a (km/h) Quãng đường từ B đến thời điểm t S = −4t + at Tính quãng đường AB biết đến C xe dừng hẳn quãng đường BC dài 16km Câu (3.0 điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn Các tiếp tuyến đường trịn (O) điểm B, C cắt điểm P Gọi D, E tương ứng chân đường đường vng góc kẻ từ P xuống đường thẳng AB AC M trung điểm cạnh BC a) Chứng minh ∠MEP = ∠MDP b) Giả sử B, C cố định A chạy (O) cho tam giác ABC ln tam giác có ba góc nhọn Chứng minh đường thẳng DE qua điểm cố định c) Khi tam giác ABC Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R Câu 6(1.0 điểm) Các số thực không âm x1 , x2 , x3 , , x9 thỏa mãn hệ điều kiện 10  x1 + x2 + x3 + + x9 =  18  x1 + x2 + x3 + + x9 = Chứng minh 1.19 x1 + 2.18 x2 + 3.17 x3 + + 9.11x9 ≥ 270 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn: TỐN (VỊNG 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số Câu (1.5 điểm ) Cho số dương a,b,c,d Chứng minh số 1 1 1 1 a + + ;b + + ;c + + ;d + + Có số không nhỏ b c c d c d a b Câu (1.5 điểm )Giải phương trình : (x + x ) + ( x + 1) − x + ( x + 1) + ( x + x ) = 2017 2 2 Câu (3.0 điểm ) 1.Tìm tất số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a 2= b3 ;c3= d ; a= d + 98 1 2.Tìm tất số thực x cho số x − 2; x + 2; x − ; x + có x x số số nguyên Câu (3điểm ) Cho đường trịn (O) bán kính R điểm M nằm (O) Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) ( A, B hai tiếp điểm) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A, C khác B) Gọi I; K trung điểm MA, MC Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Chứng minh KO − KM = R2 2.Chứng minh tứ giác BCDM tứ giác nội tiếp 3.Gọi E giao điểm thứ hai đường thẳng MD với đường tròn (O) N trung điểm KE đường thẳng KE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Chứng minh bốn điểm I, A, N, F nằm đường tròn Câu (1.0 điểm ) Xét hình bên : Ta viết số 1, 2,3,4, A vào vị trí điểm hình vẽ bên cho số xuất lần tổng ba số cạnh tam giác 18 Hai cách viết gọi G F E số viết điểm (A;B;C;D;E;F;G;H;K) cách trùng Hỏi có cách viết phân biệt ? Tại sao? Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 K H B D C TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2016 – 2017 Mơn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề số   1+ a 1− a 1 + − −   a − a − + a  a  1+ a − 1− a Câu (2.0 điểm) Cho= biểu thức P  với < a < Chứng minh P = −1 Câu (2.5 điểm) Cho parabol ( P ) : y = − x đường thẳng ( d )= : y 2mx − với m tham số a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) m = b) Chứng minh với giá trị m (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Gọi y1 , y2 tung độ A, B Tìm m cho y12 − y12 = Câu 3(1.5 điểm) Một người xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách 120 km Vận tốc quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc quãng đường AB sau 4 vận tốc quãng đường AB đầu Khi đến B, người nghỉ 30 phút trở lại A với vận tốc lớn vận tốc quãng đường AB lúc 10km/h Thời gian kể tử lúc xuất phát A đến xe trở A 8,5 Tính vận tốc xe máy quãng đường người từ B A? Câu 4(3.0 điểm) Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng M nằm A, B Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, dựng hai tam giác AMC BMD Gọi P giao điểm AD BC a) Chứng minh AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CP.CB + DP.DA = AB c) Đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC BMPD cắt PA, PB tương ứng E, F Chứng minh tứ giác CDFE hình thang Câu 5(1.0 điểm) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: 5a + + 5b + + 5c + ≥ Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2016 – 2017 Mơn: TỐN (VỊNG 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số Câu 1(1.5 điểm) Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị nguyên dương với giá trị nguyên dương n = P  n + ( n + 1) +  ( n − 1) + n  4n + − 4n +  Câu (2.5 điểm) ( ) ( x −1 + y −1 a) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn x8 − y= 95 x + y x2 − y − b) Tìm số thực x, y thỏa mãn + += x y ) Câu (2.0 điểm) Cho S tập số nguyên dương n có dạng = n x + y , x, y số nguyên Chứng minh rằng: a) Nếu a, b ∈ S ab ∈ S b) Nếu N ∈ S N số chẵn N chia hết cho N ∈S Câu (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC Kẻ đường cao AH đường trịn (O) đường kính AH cắt cạnh AB, AC tương ứng D E Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC S a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh SB.SC = SH c) Đường thẳng SO cắt AB, AC tương ứng M, N Đường thẳng DE cắt HM HN tương ứng P, Q Chứng minh BP, CQ, AH đồng quy Câu (1.0 điểm) Giả sử điểm mặt phẳng tô ba màu xanh, đỏ, vàng Chứng minh tồn ba điểm màu ba đỉnh tam giác cân Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số  a b  1   + + 1  −  b a  a b  Câu (2,5 điểm) Cho biểu thức P =  với a > 0, b > 0, a ≠ b a b2  a b  + − +  b2 a  b a  Chứng minh P = ab Tìm giá trị nhỏ P Giả sử a, b thay đổi cho 4a + b + ab =  x − my =2 − 4m Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình  với m tham số mx + y = 3m + 1 Giải hệ phương trình m = 2 Chứng minh hệ ln có nghiệm với giá trị m Giả sử (x0;y0) nghiệm hệ Chứng minh đẳng thức x0 + y0 − 5( x0 + y0 ) + 10 = Câu (1,5 điểm) Cho a, b số thực khác Biết phương trình a ( a − x ) + b( x − b) = có nghiệm Chứng minh |a| = |b| Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc ABC;ACB nhọn BAC = 60° Các đường phân giác BB1, CC1 tam giác ABC cắt I Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp Gọi K giao điểm thứ hai (khác B) đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp Chứng minh AK ⊥ B1C1 Câu (1,0 điểm) Tìm số thực khơng âm a b thỏa mãn  a + b +   b + a +  3   1 =  2a +   2b +  4   2 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 81 Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MAN Ta có ∠MON = ON nên ∠OMN = 2∠MAN = 60o ; OM = ∠ONM = 60o Do ∠MON + ∠MCN =180o nên tứ giác OMCN nội tiếp, từ ∠OCN = ∠OMN = 60o Mà ∠ACN = 120o = 60o Suy A, O, C thẳng hàng Vậy O thuộc đường thẳng AC cố định Câu Đặt = S1 1+ + 3+ Khi đó, ta có S1 + S = Lại có: + + = , S2 79 + 80 2+ + 4+ + + 80 + 81 81 − = 2k − 2k − = 2k + 2k − 1 > = 2k + 2k + 2k + − 2k ( k ≥ 1) Do S1 > S nên S1 > ĐỀ SỐ 18 Câu 1) Từ giả thiết suy a > 2 a+ =  2 1 1 2 + ⇒  a + =   +  ⇒ 4a + a − = 8     (1) 2) Từ (1) suy a = 2 (1 − a ) ⇒S= a + (1 − a ) + a + = a2 + a+3 2 = (1 − a ) + ( a + 3) = Câu 1) ĐK x + y > Ta có PT thứ hệ tương đương với   − + xy  − 1 =0 x+ y  xy ( x + y − 1) ⇔ ( x + y + 1)( x + y − 1) − = x+ y ( x + y) ( ) ⇔ ( x + y − 1) x + y + x + y = = ⇔ x+ y ( x ) + y2 + x + y > Kết hợp với PT thứ hai hệ ta có:  x= +y = x  x = −2 ⇔   −y = y  y = x = 2) Ta có a b + ab3 + 2a b + 2a + 2b + = Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 82 ⇔ ab ( a + b ) + ( a + b ) + = ⇔ ( ab − 1)( a + b ) + ( a + b + c ) = 2 (1)  a + b +1 Từ (1) suy a + b ≠ − ab =   (đpcm)  a+b  Câu Giả sử a ≥ b ≥ c Ta có a + b + c = (a + b2 + c2 ) ( ) − a 2b2 + b2 c2 + c2 a Vì p số nguyên tố p ≥ , suy a + b + c chia hết cho p a b + b c + c a chia hết cho p hay a b + c ( a + b ) p ⇔ a b − c  p ⇔ ( ab − c )( ab + c ) p Do p = a + b + c > ab + c > ab − c ≥ p số nguyên tố nên ab − c = ⇒ a = b = c ⇒ p = 3a ⇒ a = b = c = p = Câu ∠BMS = 90o nên ∆AEB  ∆BMS suy 1) Do ∠BAE = ∠SBM ∠AEB = Mà BM = ME nên AB BS = AE ME AB BS = AE BM (1) ∠MBE 2) Tam giác BME cân M nên ∠MEB = Lại có ∠SBM + ∠ABE = ∠BAE + ∠ABE = 90o = ∠AEB ⇒ ∠SBA = ∠AEM ( 2) Từ (1) (2) suy ∆AEM  ∆ABS ∠EAN Mà ∠ABP = ∠AEN (cùng bù với ∠CEF ) nên 3) Từ kết câu ta có ∠BAP = AN NE = ∆AEN  ∆ABP, suy ( 3) AP PB Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 83 ∠ASB, Vì ∆MAE  ∆SAB (câu 2) tương tự ta có ∆MAF  ∆SAC nên ∠AME = ∠AMF = ∠ASC ∠EMF = ∠BSC ⇒ ∠SBP = ∠MEN (do hai tam giác cân có hai góc đỉnh nhau) Suy ∆EMN  ∆BSP ⇒ NE NM = PS PS AN NM = Từ (3) (4) suy PB PS ( 4) ⇒ NP / / MS mà MS ⊥ BC nên NP ⊥ BC Câu Nếu ta chọn 44 bi màu đỏ, 44 bi màu xanh, 44 bi màu tím 45 bi màu vàng trắng (mỗi màu có viên) tổng số bi lấy 44 + 44 + 44 + 45 = 177 viên bi Do khơng có 45 bi màu Vậy tốn khơng ta lấy 177 viên bi Nếu lấy 178 viên bi số bi màu trắng vàng có tối đa 45, cịn lại 178 – 45 = 133 bi có màu đỏ màu xanh màu tím 133  Theo nguyên lí Dirichlet tồn màu mà có  45 viên bi  +1 =   ĐỀ SỐ 19 Câu 1) ĐK x ≠ −26; −6; −3; −1;1; ĐS A = 3x − 2x + 2) Biến đổi A= − 15 15 nguyên ĐS x ∈ {−2; −4;0; −8;12; −18} Vậy A nguyên x+3 x+3 Câu 1) PT hoành độ giao điểm d1 d2 ( 2m + 1) x + 2m −= m x + m −  m + −3m + m −  Tìm I  − ;  m2 +  m +1  ( )  y1= 2m + x1 + 2m − 2) Giả sử I ( x1 ; y1 ) , ta có:  ⇒ y1 = − x1 − y= m x1 + m −  Suy I thuộc đường thẳng cố định có phương trình y =− x −  x − y = z −1 Câu 1) HPT (I) ⇔  − z + z − 10  xy = Suy x + y = ( x − y ) + xy = ( z − 1) + ( − z + z − 10 ) =−z + 12 z − 19 (đpcm) 2 2) Từ x + y = 17 ⇒ z = Thay vào HPT (I) tính ( x; y ) = ( 4; −1) ; ( x; y ) = (1; −4 ) ĐS ( x; y; z ) = ( 4; −1;6 ) ; ( x; y; z ) = (1; −4;6 ) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 84 Câu 1) Kẻ KE vng góc với BC, đó= KE ( ) a 2− a a = , BE = , EC 2 Từ KC = a − 2) Trong tam giác vng CDI có CI = 2a 30o = DI nên ∠DCI = Mặt khác ∠HPD − 90o − ∠ABP = 30o Suy tứ giác CHDP nội tiếp (đpcm) 3) Lấy trung điểm L’ đoạn KC Do tam giác CKD cân K M trung điểm CP suy L L’ đối xứng qua KM nên LM = L’M Do L’M đường trung bình tam KP a giác CKP nên L= (đpcm) 'M = 2 Câu Biến đổi phương trình dạng ( x − ) − ( x − ) ( x − 1) − ( x − 1) = 2 Vì x = khơng phải nghiệm phương trình nên x ≠  x2 −   x2 −  Khi PT cho tương đương với  −   −6 =  x −1   x −1  Đặt t = t = −1 x2 − Phương trình trở thành t − 5t − = ⇔  x −1  t = ĐS PT cho bốn nghiệm + 7;3 − 7; −1 + 21 −1 − 21 ; 2 ĐỀ SỐ 20 Câu 1) Từ giả thiết, ta có a + − a =b + − b ⇒ a − a =b − b Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 85 ( ⇒ a − a = b2 − b4 ⇒ a − b2 )( a ) + b − = Vì a − b ≠ (giả thiết a ≠ b ) nên a + b = 2) Đặt a = 2009, ta có ( ) 20092 + 20092.20102 + 20102 = a + a ( a + 1) + ( a + 1) = a + a a + 2a + + ( a + 1) = a + 2a ( a + 1) + ( a + 1) = (a ) 2 + a +1 Vậy toán chứng minh a+b = 2c  ab = −5d Câu 1) Theo định lí Vi-ét, ta có:  2a c + d = cd = −5b  (1) ( 2) ( 3) ( 4) Từ (1) (3) suy a – c = c – b = d - a (đpcm) 2) Đặt a – c = c – b = d – a = m c = a – m; b = c – m = a – 2m; d = a + m Do a + b + c + d = 4a – 2m; d = a + m Từ (2), (4) suy a − 2am = −5a − 5m; a − m = −5a + 10m Từ đó, thu m − 2am = −15m Do a ≠ c nên m ≠ suy m – 2a = -15 Suy a + b + c + d = 30 (đpcm) Câu 1) Ta có ( mn −2 ) < n S ⇔ n3 > ⇔ n > (đúng) nS < m n ⇔ m > n (đúng theo giả thiết) 2) Giả sử m ≠ n , xét hai trường hợp Với m > n, theo 1) S số phương suy n S= ( mn ) − ⇒ 4n3= 2mn + (sai) Với m < n Nếu m ≥ n > ⇒ 2mn > 4m ⇒ ( mn ) < S < ( mn + 1) (mâu thuẫn với S số 2 phương) Nếu m = Với n > ( n + 1) < S < ( n + ) (mâu thuẫn với S số phương) 2 Với n = S = khơng phải số phương Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 86 Vậy phải có m = n Câu 1) Từ CA + CB > AB ⇒ AN + BM > AN + BN ⇒ BM > BN (đpcm) 2) Do tam giác CBM cân B nên ∠BCM = ∠BMC Mà ∠PMC = ∠BMC (so le trong) nên ∠PMC = ∠BMC Tương tự ∠QNC = ∠ANC , suy điểm P1 , Q1 đối xứng với điểm P, Q qua đường thẳng CM CN thuộc AB = CP CP = CQ1 Từ ∆CPM = ∆CP1 M ; , CQ ∆CQN = ∆CQ1 N ⇒ ∠CP1 M = ∠CPM , ∠CQN = ∠CQ1 N Mặt khác ∆CPM = ∆CQN (cùng bù với góc ∠ACB ) ⇒ ∠CP1 M = ∠CQ1 N nên CP1 = CQ1 ⇒ CP = CQ 3) a , CA = AN = Ta có CB = BM = ⇒ MN = BM − BN = a 3a  a  a − = 2  ( ) −1 a ( ) 3− AC a Gọi h khoảng cách từ C đến AB h = = ⇒ S MCN = a2 16 a+b  a−b  Câu Do a = +b  nên tổng bình phương ba số khơng thay đổi sau   +     lần chơi 2 Tổng bình phương ba số ban đầu 13 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 87 Tổng bình phương ba số đòi hỏi 41 + 2 Như vậy, ta khơng nhận trạng thái đòi hỏi ĐỀ SỐ 21 Câu Ta có A = 20a + 92 + a + 16a + 64 = 20a + 92 + (a + 8) A = a + 20a + 100 = (a + 10) = a + 10 B=( a4 + 20a3 + 10a2) + 2(a2 + 20a + 100) = a2(a + 10)2 + 2(a + 10)2 = (a + 10)2(a2 + 2) A = a + 10 ≥ ;B = (a + 10)2(a2 + 2) ≥ 0;A + B ≥ dấu “=” a = -10 Câu Gọi thời gian người thứ làm xong cơng việc x (h) x > 18 Gọi thời gian người thứ hai làm xong cơng việc y (h) x > 18 1 h người thứ làm (CV); h người thứ hai làm (CV) x y 1 1 h hai người làm (CV) ta có PT: + = (1) 18 x y 18 người thứ làm 6h người thứ làm 12 h 50% cơng việc.ta có PT: 12 + = (2) x y Từ (1) (2) ta có hệ 1 1 1 1 1  x + y = 18  x + y = 18  x = 36  x = 36   ⇔ ⇔ ⇔   y = 36 1 = 1 + =  + 12 =  y 36  x y 12  x y Vậy mội đội đội riêng 36 h xong Câu  y = x y = x2 a) xét hệ PT:  ⇔  y = mx +  x − mx − = xét PT x2 – mx – = có ∆ = m + > b) y1 = mx1 + 1;y2 = mx2 + 1;M = m2.x1x2 mà x1;x2 nghiệm PT x2 – mx – = Theo Viét x1x2 = -1 nên M = -m2 ≤ Max(M) = Câu Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 88 a-Đặt CH = x BH = 10 - x ta có áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABH; ACH AH2 = AB2 - BH2 = 25 - x2 ; AH2 =A2C - H2C = 45 - (10 - x)2 Ta có PT : 25 - x2 = 45 - (10 - x)2 ⇔ 25 - x2 = 45 – 100 + 20x - x2 ⇔ 20x = 80 ⇔ x = nên AH = 10 AO AO AB b) Áp dụng tính chất phân giác = ; S AOB = S AHB = ; = = ⇒ AH OH BH 15 S ABT = S ABM = ; 15 10 S AOT = S ABT − S AOB = − = (đvdt) 12 Câu Ta có : (x + )( y + + y )( x − + x ) =  x −     1+ y = x x (1) − + )    + x2 ( ⇔ − y+  2  + x2     − Tương tự  x + + x      =  y − + y2         (2) Cộng (1) (2) Ta có − y − 1+ y2 − x − 1+ x2 = x − 1+ x2 + y − 1+ y2 ⇔ − y − x = x + y ⇔ x + y = Vậy x + y = (đpcm) ĐỀ SỐ 22 Câu  23 xy xy xy −  xy  − P =  2 + 3   x y − xy + 2  xy + xy −  23 xy xy xy −  xy  − + P =  3 3   ( xy + )(( xy − ) 2( xy + )  xy + xy − P= 43 xy + x y − 23 xy + 2( xy + )( xy − ) xy xy + − xy xy − = ( xy + ) xy ( xy + )( xy − ) xy + Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 − xy xy − =0 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 89 Câu a)Theo giả thiết ta có  ∆ = b − 4c >  ∆ = b − 4c >  ∆ = b − 4c >   ∆ = b − 4c ≥ + x   x =   x1 + x = −b b + c =  x x x x − − = x2 −    ⇔ ⇔ ⇔  x1 x = c b + c =  x1 x = c  x x = c  x1 x = c x + x = x + x  x +  = x 22 + x 2 2  = x2 + x2  x −  x1 = x + x   x −  ∆ = b − 4c >  ∆ = b − 4c >  ∆ = b − 4c >    b = −8 b + c = b + c =  ⇔ ⇔ ⇔ c = 12  x1 x = c  x1 x = c x = x − 2x − = ( x − 2)( x − x + 2) =  2    x = x y z  + 12 − = 4 x + y − z = 12 b)  ⇔ ⇔ 7( x + y + z ) = 42 ⇔ A = 6 10 30 x y z x y z + + =   + + =1 10 2 Câu xét pq = ta có đpcm xét :pq > (ap + 1)(aq + 1) pq ⇔ a pq + ap + aq + 1 pq ⇔ a ( p + q ) + 1 pq ⇔ a ≥ pq − p+q pq − pq pq − pq − = > (vì pq>1) nên a > p + q 2( p + q ) 2( p + q ) 2( p + q ) Cách khác : xét hiệu (ap + 1)(aq + 1) pq ⇔ a pq + ap + aq + 1 pq ⇔ ap + aq + 1 pq ⇒ ap + aq + ≥ pq pq Ta có 2ap + 2aq > ap + aq + ≥ pq ⇒ 2a ( p + q ) > pq ⇔ a > (đpcm) 2( p + q ) Câu Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 a) Ta có tứ giác CEHF hình chữ nhật Ta có ∠ CFE= ∠ EAB (cùng ∠ CHE ) nên thứ giác AEFB nội tiếp b) Kẻ trung trực EF cắt HD O3 chứng minh O3 tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB Chứng minh CD ⊥ EF tam giác CHD có IO3 đường trung bình nên mà O3O ⊥ AB mà OA = OB nên O3O trung trực AB nên O3 tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB hay H, O3, D thẳng hàng c) ∠ BFS = ∠ BKS (cùng bù ∠ EFB) nên tứ giác BFKS nội tiếp suy ∠ FKS = ∠ FBA mà ∠ FBA = ∠ CEF nên ∠ FKS = ∠ CEF nên tứ giác CEFK nội tiếp suy ∠ EKF = ∠ ECF = 900 hay FK vng góc với EK Câu a-cách chia cạnh thành 100 phần qua điểm chia kẻ đường thẳng // cạnh ta 100 hình vng có chu vi P = 2,02 Chia cạnh thành x phần cạnh lại y phần (x,y ∈N*) Ta có xy = 100 gọi kích thước hình chữ nhật a,b 1 2( x + y ) x + y ; P (max )khi x+y (max) = = a = , b = P = x y xy xy 50 Mà (x;y)=(1;100);(2;50);(4;25);(5;20);(10;10) có cặp (1;100) thoả mãn Khi P(max)=2,02 ĐỀ SỐ 21 Câu P  a+b  a+b b a + + : − a + b  ( a − b )( a + b ) b( a − b) a( a − b)  P a+b a+ b  (a + b) ab + b a ( a + b ) + a b ( a − b)  :  −  − + a b a b ab ( )( )   P a+b a+ b  (a ab + b ab + ab + b a ) + a ab − ab  :   − a − b a + b ab ( )( )   P a+b a+ b   ab (a + b) :   − a − b a + b ab ( )( )   P a + b ( a − b )( a + b ) ab − a+ b ab (a + b) = P a− b − a− b a− b a− b a− b a− b a− b Nếu a > b > P = a− b a− b − =0 2 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 91 a− b b− a − = a− b 2 Nếu < a < b P = Khi P = -1 a < b P= a − b= a − a + 1= −1 ⇔ a (1 − a )= Vi : a > ⇒ a = 1; b = Câu Tính ∆ = (m2 + 1)2 - 4(m - 2) = m4 +2m2 + 1- 4m + = (m2 - 1)2 + (2m - 1)2 + > với ∀ m ∆ > với ∀ m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt Vì ∆ > với ∀ m theo vi-ét ta có:  x1 + x2 = −(m + 1)   x1.x2= m − Từ GT ta có x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + ⇔ 2( x12 + x22 ) − ( x1 + x2 ) − x12 x22 = 55 x2 x1 x1 x2 ⇔ 2( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1 + x2 ) − x12 x22 = 55 ⇔ 2(m + 1) − 4(m − 2) + (m + 1) − (m − 2) = 55 ⇔ 2m + 4m + − 4m + + m + − m + 4m − =55 ⇔ 2m + 4m − 48 =0 ⇔ (m − 4)(m + 6) =0 Vì m2 + > với m nên : m2 = suy m = (Loại), Vậy m = -2 Câu B I O2 O M C K A O1 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 92 1.Chứng minh điểm C, O1, M, O2 thuộc đường trịn ( C) Ta có theo tính chất quan hệ góc nội tiếp góc tâm chắn cung ∠ CO2M = ∠ CBA; ∠ CO1M = ∠ CAB Nên ∠ CO2M + ∠ CO1M = ∠ CBA + ∠ CAB = 2( ∠ CBA + ∠ CAB) = 1800 Vậy điểm C,O1, M,O2 thuộc đường tròn ( C) 2.Chứng minh O thuộc đường trịn ( C) Ta có ∠ COM góc ngồi ∆ cân CBO nên ∠ COM = ∠ CBO + ∠ OCB = ∠ CBO = ∠ CO2M nên O thuộc đường trịn ( C) 3.Xác định vị trí M để bán kính đường trịn ( C) nhỏ Ta có ∠ O2OO1 = 900 nên ∠ O2C O1 = 900 nên O1O2 đường kính đường trịn ( C) để bán kính đường trịn ( C) nhỏ O1O2 nhỏ gọi I,K trung điểm BC,CA ta có ∆ O2C O1 đồng dạng với ∆ ICK (g.g) nên O2O1 O2C AB = ≥ ⇒ O1O2 ≥ IK = IK IC AB Min(O1O2) = IK= O2 ≡ I ; O1 ≡ K ; M trùng với chân đường cao kẻ từ C tới AB Câu ac – a – c = b2 - 2b ⇔ ac – a – c + = b2 - 2b + ⇔ (a - 1)(c - 1) = (b - 1)2 bd – b – d = c2 - 2c ⇔ bd – b – d + 1= c2 - 2c + ⇔ (c -1)2 = (b - 1)(d - 1) b - 1,c - khác nên lấy (1) chia (2) ta (1) (2) a −1 b −1 = ⇔ (a − 1)(d − 1) = (c − 1)(b − 1) c −1 d −1 ⇔ ad − a − d + = bc − b − c + ⇔ ad + b + c = bc + a + d ;(dpcm) 1 = ( z + y)2 ; = ( z + x) Câu Từ GT ta có 2 ( z + x) ( z + y) 1 1 + + = + ( z + y ) + ( z + x) 2 2 ( x − y) ( z + x) ( z + y) ( x − y) 1 ( ) ( ) ( )( ) + + − + + + + = + ( x − y) + VT = z y z x z y z x 2 ( x − y) ( x − y) VT = [ Áp dụng BĐT A + B ≥ AB ] ta có 1 1 ( x − y )= + + = + ( x − y)2 + ≥ +2 2 2 ( x − y) ( z + x) ( z + y) ( x − y) ( x − y) Vậy 1 + + ≥4 2 ( x − y) ( z + x) ( z + y) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 93  x − y =±1 Dấu “=” xảy  ( z + y )( z + x) = ĐỀ SỐ 22 Câu a + b = ( a + b − c ) ⇔ a + b = a + b + c + ab − ac − bc ⇔= c ac + bc − ab Ta có a + ( a − c ) a + a − ac + c = (*) b + ( b − c ) b + b − bc + c thay c = ac + bc − ab Vào (*) Ta có a + ( a − c ) a + a − ac + c 2a + 2b − 2b + ac + bc − ab − ac = = b + ( b − c ) b + b − bc + c 2a + 2b − 2a + ac + bc − ab − bc (a + b) − b + bc − ab ( a + b − c ) − b ( b − c + a ) = (a + b) − a + ac − ab ( a + b − c ) − a ( a − c + b ) ( a + b − c )( a − c ) = ( a + b − c )( b − c ) a− c ;(dpcm) b− c Câu 1.Để phương trình vơ nghiệm ∆ < 0; Ta có ∆ = a2 – 4(a2 - 6) = 24 – 3a2 Từ giả thiết ta có a = 6(a + 1) 24a − 18a − 18 18 = − (*) thay vào ∆ = 24 − 3a = a a a Ta chứng minh < a < từ giả thiết a − 6a − =0 ⇔ a − 3a + 3a − 9a + 3a − =−3 ⇔ (a − 3)(a + 3a + 3) = −3 Ta có a2 + 3a + > với a nên a – < suy a < nên kết hợp với (*) ta có ∆= 6− 18 18 > = a 18