Bai giang ve bat dang thuc toan hoc hiqql

1 BÀI GIẢNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN HỌC BÀI GIẢNG 1: ỨNG DỤNG CỦA MỘT BĐT ĐƠN GIẢN Chứng minh BĐT l| b|i to{n hấp dẫn Với b|i viết n|y kh{m ph{ số b|i BĐT hay v| khó nhờ BĐT đơn giản chương trình to{n THCS Bài tốn xuất phát: Cho a, b hai số x, y hai số dương Chứng minh rằng: a b (a  b)   x y xy (*) Chứng minh: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a y(x  y)  b x(x  y)  (a  b) xy  a y  b x  2abxy  (ay  bx)  BĐT sau hiển nhiên Dấu “=” xảy v| a b  x y a b c2 (a  b  c) Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta    x y z xyz (**) với ba số a, b, c v| ba số dương x, y, z Dấu “=” xảy v| a b c   x y z Bây giờ, ta áp dụng hai BĐT để chững minh số toán sau (a  b) Bài toán Cho hai số a, b, c Chứng minh a  b  4 Chứng minh Sử dụng BĐT (*) hai lần ta có : 2 a b4 (a  b )  a b   (a  b)  (a  b) a b           1 2  1    4 Dấu “=” xảy v| a = b Bài toán Cho c{c số dương x, y, z thỏa mãn 1    2x  y  z x  2y  z x  y  2z Chứng minh: Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta có: 1    Chững minh rằng: x y z 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1                1  1 2 2 4 4                          2x  y  z 2x  y  z x  y x  z x y x z 16  x y z  Tương tự, ta có: 1  1     , x  2y  z 16  x y z  1 1 2      x  y  2z 16  x y z  Cộng vế ba bất đẳng thức trên, ý tới giả thiết dẫn đến điều phải chứng minh Dấu “=” xảy v| x = y = z = Bài toán Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a b c    bc ca ab (Bất đẳng thức Nasơbit) Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) ta có: a b c a2 b2 c2 (a  b  c)       b  c c  a a  b ab  ac bc  ca ca  cb 2(ab  bc  ca) (a  b  c) B}y cần chứng minh BĐT:  2(ab  bc  ca) Nhưng BĐT n|y tương đương với 2(a  b2  c2  2(ab  bc  ca)  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  Đ}y l| BĐT ln Từ suy BDT cần phải chứng minh Dấu “=” xảy v| a = b = c Bài toán Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1    a (b  c) b (c  a) c (a  b) ( Vô địch Quốc tế năm 1995 tổ chức Canađa ) 2 Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) với lưu ý a b c = ta có: 1 b2 c2 c2 a a b2      a (b  c) b3 (c  a) c3 (a  b) a(b  c) b(c  a) c(a  b) (ab  bc  ca)   (ab  bc  ca) 2(ab  bc  ca) Vì ta cần chứng minh ab + bc + ca  Thật vậy, {p dụng BĐT Cauchy cho ba số dương a, b, c kết hợp với giả thiết abc = ta suy điều phải chứng minh Dấu “=” xảy v| a = b = c = Bài tập vận dụng: Bài Cho c{c số dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b2 b2  c2 c2  a    a  b  c ab bc ca HD: a  b2 b2  c2 c2  a  a b2 c2   b2 c2 a2          ab bc c  a  a  b b  c c  a   a  b b  c c  a  a  b  c  a  b  c  a  b  c  2a  b  c 2a  b  c 2 Bài Cho c{c số dương x, y, z Chứng minh rằng: a) x y z    x  2y  3z y  2z  3x z  2x  3y HD: x y z x2 y2 z2      x  2y  3z y  2z  3x z  2x  3y x  2yx  3zx y  2zy  3xy z  2xz  3yz  x  y  z x  y  z x  y  z    z   xy  yz  zx   x  y  z   3 xy  yz  zx   x  y  z   x y 2 2 2  x2 y2 z2 b)    (x  y)(x  z) (y  z)(y  x) (z  x)(z  y) HD: x2 y2 z2  x  y  z    (x  y)(x  z) (y  z)(y  x) (z  x)(z  y) (x  y)(x  z)  (y  z)(y  x)  (z  x)(z  y)  x  y  z  x  y  z    z   xy  yz  zx   x  y  z    xy  yz  zx   x y 2 2 x  y  z  x  y  z  x  y  z  2 Bài Cho c{c số dương a, b, c thỏa mãn 3(ab + bc+ ca) = Chứng minh rằng: a b c a2 b2 c2      a  bc  b  ca  c2  ab  a  abc  a b3  abc  b c3  abc  c  a  b  c a  b  c a  b3  c3  3abc   a  b  c   a  b  ca 2  b  c  ab  bc  ac    a  b  c  TÀI LIỆU TOÁN HỌC  4 a  b  ca   a  b  c 2  b  c  ab  bc  ac  1 a  b  ca a  b  ca a  b  c  b  c  ab  bc  ac  3ab  3bc  3ca  a  b  c 2  b2  c2 a  b  c   2ab  2bc  2ca   a  b  c  a  b  c  2 a  b  c  a  b  c  abc Bài Cho c{c số dương a, b, c, d, e Chứng minh rằng: a b c d e      bc cd de ea ab a2 b2 c2 d2 e2 a  b  c  d  e      ab  ac bc  bd cd  ec ed  ad ae  be a  b  c  d  e   b  c  d  e   c  d  e   de Ta chứng minh: a  b  c  d  e  a  b  c  d  e   b  c  d  e   c  d  e   de 2   a  b  c  d  e   a  b  c  d  e   b  c  d  e   c  d  e   de    a  b2  c2  d  e2   a  b  c  d  e   b  c  d  e   c  d  e   de     a  b    a  c    a  d    a  e    b  c    b  d    b  e   c  d   c  e   d  2 2 2 2 Vậy BĐT chứng minh Bài Cho số dương x, y, z Chứng minh : 2 4 62        x  y y  z z  x 2 x  y 2 y  z 2z  x  4x  y  z  x  y  x BÀI GIẢNG 2: TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN, CƠ BẢN ĐỂ PHÁT TRIỂN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI Khi chứng minh BĐT, ta thường phải dùng đến nhiều phương ph{p kh{c Đôi khi, việc ta sử dụng BĐT đơn giản, quen thuộc lại mang đến hiệu bật ngờ Bài toán sở Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:  a  b  c  ab  bc  ca (1) 2  a b c  2 a  b  c a  b  c  (2)  3 ab  bc  ca  (3)  a b  b c  c a  abc  a  b  c  (4) 2 2 2  a  b  c  abc  a  b  c  (5)  4  ab  bc  ca   3abc  a  b  c  (6) Bài toán Cho a, b, c l| c{c số thực dương: 1 1    (2) a b c a) thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc Chứng minh rằng: a  b  c   b) Chứng minh rằng: a  b  c  abc(a  b  c) 4 (3) c) thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: abc 1        (4) abc a b c d) thỏa mãn a  b  c  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức S = 2 ab bc ca   c a b Lời giải: bc  ca  ab abc bc  ca  ab abc3 abc  (a  b  c)  3(ab  bc  ca) ( Do giả thiết a + b + c = abc) a) Ta có: (2)  a  b  c   a  b  c2  ab  bc  ca Bất đẳng thức cuối (1) Dấu “=” xảy v| a = b = c = b) Áp dụng trực tiếp (1), ta có: a  b4  c4  (a )  (b )  (c )  a 2b  b 2c  c 2a  (ab)  (bc)  (ca)  abbc  bcca  caab  abc(a  b  c) Dấu “=” xảy v| a = b = c c) Ta có: 1 a2  b2  c2     1   1    1    1    a2 b2 c2  ab   bc   ca  (4)    ab  bc  ca ab  bc  ca  a ab  bc  ca  b2 ab  bc  ca  c2       ab bc ca a2 b2 c2 ( giả thiết ab + bc + ca = 1)  bc  ca ca  ab ab  bc (a  b)(c  a) (b  c)(a  b) (b  c)(c  a)      2 ab bc ca a b c2  c(a  b) a(b  c) b(c  a) (a  b)(c  a) (b  c)(a  b) (b  c)(c  a)      2 ab bc ca a b c2 Đặt x = c(a  b) ;y= ab a(b  c) ;z= bc b(c  a) với x, y, z > ca Bất đẳng thức cuối chuyển dạng (1) Suy điều phải chứng minh Dấu “=” xảy v| a = b = c = 2 2 2  ab bc ca  a b b c c a  ab bc bc ca ca ab  d) S          2    a b c a b a b b c   c  c a 2 2  ab   bc   ca            2(a  b  c )  c   a   b ( {p dụng (1))  (a  b  c )  2(a  b  c )  3(a  b  c )  ( Do giả thiết a2 + b2 + c2 = 1) Mà S > nên S  Min S = v| a = b = c = Nhận xét 1) Trong ví dụ a) v| c), ta thay giả thiết v|o bất đẳng thức cần chứng minh c{ch thích hợp để chúng có h}n thức m| tử v| mẫu bậc 2) Giả thiết ab + bc + ca = thường dùng b|i to{n chứng minh BĐT hay tìm cực trị m| dạng biến đổi thơng thường l| a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) B}y giờ, vận dụng BĐT (1) để chứng minh tìm cực trị c{c b|i to{n đ}y Bài tập vận dụng Bài Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1  a  b  c ab  bc  ca HD Giải: Áp dụng:  ab  bc  ca   3abc  a  b  c  Ta có: 3 a  b  c  = 3abc  a  b  c    ab  bc  ca  Do đó: 9   a  b  c 3abc  a  b  c   ab  bc  ca  Suy ra:  1  abc  ab  bc  ca    ab  bc  ca  ab  bc  ca Bài Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm gi{ trị nhỏ ab  bc  ca biểu thức: M = (ab  bc  ca) Bài Cho a, b, c l| c{c số thực dương Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: ab  bc  ca (a  b  c)3 P=  a  b2  c2 abc Bài Cho a, b, c l| c{c số thực dương Chứng minh rằng: a  b  c3 a  b b  c c  a     2abc c  ab a  bc b  ca BÀI GIẢNG 3: ĐỔI BIẾN ĐỂ CHỨNG MINH BĐT Có nhiều phương ph{p chứng minh BĐT Mỗi b|i to{n có nhiều phương ph{p để chứng minh B|i viết n|y trình b|y phương ph{p cho l| kh{ thú vị v| tinh ý, s{ng tạo thêm c{c b|i to{n khó Đổi i n theo m u thức Đặt mẫu có BĐT l| biến mới, đưa BĐT cho ho|n to|n theo c{c biến n|y Đ}y l| kỹ thuật sử dụng kh{ phổ biến chứng minh BĐT Chúng ta xét c{c ví dụ sau: Ví dụ Cho a,b,c l| độ d|i cạnh tam gi{c Chứng minh rằng: P 3a  2b  2c 3b  2c  2a 3c  2a  2b    3 bca cab a bc Lời giải: Đặt x  b  c  a, y  c  a  b,z  a  b  c  a  Khi đó: P  3   yz zx xy ,b  ,c   x, y,z   2 yz zx xy     3 2x 2y 2z x y y z x z yz zx xy   6      6 x y z  y x  z y  z x x y y z x z  x y y z x z       2 2 6 y x z y z x  y x  z y  z x Theo BĐT Cơ-si ta có:   đpcm Dấu đẳng thức xảy x  y  z  a  b  c Ví dụ Cho a,b,c  Chứng minh rằng: a b c    3a  b  c 3b  c  a 3c  a  b (Đề thi HSG mơn Tốn lớp 9- Quảng Ninh-2010) Lời giải: Đặt x  3a  b  c, y  3b  c  a,z  3c  a  b Ta tính được: a  4x  y  z 4y  z  x 4z  x  y ,b  ,c   x, y,z   10 10 10 Khi BĐT đa cho viết lại sau: 4x  y  z 4y  z  x 4z  x  y yz zx xy         đpcm.(theo 10x 10y 10z x y z trên) Dấu đẳng thức xảy x  y  z  a  b  c Ví dụ Cho a,b,c  Chứng minh rằng: a 25b 4c    bc ca ab Giải: Đặt: x  b  c, y  c  a,z  a  b yzx zxy xyz ,b  ,c   x, y,z   2 a 25b 4c y  z  x 25  z  x  y   x  y  z    2   2 Vì bc ca a b 2x 2y 2z Từ tính được: a    y 25x   z 2x   25z 2y  y  z 25z  25x 2x  2y 25     22     17   2x 2y z 2 z   2x 2y   2x z   2y Mặt kh{c {p dụng BĐT Cơ-si cho hai số dương ta có:  y 25x   z 2x   25z y  y 25x z 2x 25z 2y  2x  2y    2x  z    2y  2z   2x 2y  2x z  2y z  2  2.1  2.5       Dấu đẳng thức xảy y 25x z 2x 25z 2y  ,  ,   y  25x ,z  4x ,4y  25z vơ lí x, y,z  2x 2y 2x z 2y z  y 25x   z 2x   25z 2y      2x  z    2y  z   17  đpcm 2x 2y       Từ suy   Qua ba ví dụ thấy hướng rõ ràng phép đổi biến Để thấy rõ vai trò kỹ thuật này, ta tiếp tục xét toán thi học sinh giỏi lớp tỉnh Phú Thọ năm học 20102011 thơng qua ví dụ sau: Ví dụ Cho a,b,c  Tìm GTNN biểu thức: A 4a b  3c 8c   a  b  2c 2a  b  c a  b  3c (Đề thi HSG Toán lớp Tỉnh Phú Thọ-2011) Lời giải: Đặt: x  a  b  2c, y  2a  b  c,z  a  b  3c  x, y,z   Từ tính được: a  z  y  2x,b  5x  y  3z,c  z  x Biểu thức cho trở th|nh A    z  y  2x   5x  y  3z   3 z  x   z  x    x y z  4y 2x   4z 8x  4z  4y 2x 8x 8 1 8        17 x y z y   x z   x Mặt kh{c {p dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta có: 10  4y 2x   4z 8x  4y 2x 4z 8x  x  y    x  z   x y  x z   32  12     Do A  12  17 Dấu đẳng thức xảy khi: 4y 2x 4z 8x  ,   x  y 2,z  x  2y  x  k 2, y  k,z  2k  k   x y x z       Vậy A  12  17 a   2 k,b   k,c   k,  k    Sau số toán củng cố cho phương pháp nêu trên: Cho a,b,c l| độ d|i cạnh tam gi{c Chứng minh rằng: a b c   1 2b  2c  a 2c  2a  b 2a  2b  c a 9b 16c    Cho Cho a,b,c  Chứng minh rằng: bc ca ab Cho c{c số x, y,z  thỏa mãn x  2y  3z  18 Chứng minh rằng: 2y  3z  3z  x  x  2y  51    1 x  2y  3z (Đề thi HSG mơn Tốn lớp Tỉnh Bến Tre-2009) Cho a,b,c  Tìm GTNN biểu thức: A a  3c 4b 8c   (China-2004) a  2b  c a  b  2c a  b  3c 3.2 Đổi biến tích c{c biến k Đ}y l| kỹ thuật đổi biến hiệu quả, giúp giải nhiều b|i to{n hay v| khó Tuy đ}y có nhiều c{ch đổi biến kh{c nhau, tùy theo tình cụ thể ta chọn c{ch l|m thích hợp Dưới đ}y xin trình b|y số trường hợp cụ thể: a,b,c   x, y,z  k k k ta đổi biến sau: a  ,b  ,c    x y z  xyz  abc  k 3.2.1 Với  Trong thực tế ta hay gặp k  1, đ}y l| tình gặp kh{ nhiều c{c kỳ thi lớn IMO Ta xét số ví dụ minh họa: Ví dụ Cho a,b,c  thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a  b  c b c  a  c a  b Lời giải: (IMO-1995) 70 Mặt kh{c ta có: 1 a  Ta chứng minh: 1 a (2) a   1 a 1 a  Thật vậy, (3)   3a  2a(1  a)   (3) 2a   a   (luôn đúng) Từ (1), (2) v| (3) suy đpcm Đẳng thức xảy  a = b = c = Ví dụ 5: Cho c{c số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a  b2  c2  abc  Lời giải  Do vai trò a, b, c l| nên giả sử a  b  c Suy c  Ta có: a  b  c  abc   2(ab  bc  ca)  abc =  ab(c  2)  2c(3  c) 2  a  b 3c Lại có: ab      c – < nên     2 3c a  b  c   (c  2)    2c(3  c)   2 2 (1) 3c  (c  2)    2c(3  c)    Ta chứng minh: (2) Thật vậy, (2)  (c  1) (c  2)  (luôn đúng) Từ (1) v| (2) suy đpcm Đẳng thức xảy  a = b = c = Ví dụ 6: Cho a, b, c l| c{c số thực không }m thoả mãn: a  b  c  Chứng minh 2 rằng: ab  bc  ca   abc Lời giải  Do vai trò a, b, c l| nên giả sử a = max{a, b, c} Xét hai khả năng: + Với a  b  c  Khi đó: a(b  a)(b  c)   a 2b  abc  ab  ca  ab2  bc2  ca  a 2b  bc2  abc (1) Mà a b  bc   b(3  b )   (b  1) (b  2)  2 Từ (1) v| (2) suy đpcm + Với a  c  b  Khi đó: 2 (2) 71 b(c  a)(c  b)   ab2  bc2  ca  ca  cb2  abc (3) Lại có: ca  cb   c(3  c )   (c  1) (c  2)  (4) 2 2 Từ (3) v| (4) suy đpcm Đẳng thức xảy  (a;b;c)  (1;1;1),  2;0;1 ,  0;1;  , 1; 2;0  II Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho a, b, c l| c{c số thực không }m, thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ab  bc  ca  3abc  Bài 2: Cho a, b, c l| c{c số thực không }m, thoả mãn a  b  c  abc  Chứng minh 2 rằng: abc   ab  bc  ca  abc Bài 3: Cho a, b, c l| c{c số thực thuộc đoạn *–1; 1+ Chứng minh rằng: (a  b)(b  c)  (b  c)(c  a)  (c  a)(a  b)  (a  b)(b  c)(c  a) Bài 4: Cho a, b, c l| c{c số thực thuộc đoạn *1; 2+ Chứng minh rằng: 1 1 (a  b  c)      10 a b c Bài 5: Cho a, b, c l| c{c số thực thuộc đoạn *0; 1+ Chứng minh rằng: a(1  b)  b(1  c)  c(1  a)  Bài giảng : MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho x, y, z l| số dương thỏa mãn x + y + z  Chứng minh : x2  1  y   z   82 x y z Bài Giả sử x, y l| hai số dương thỏa mãn điều kiện x + y = biểu thức : S = Tìm gi{ trị nhỏ 4  x 4y Bài Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x + y  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức sau : A = 1  x xy Bài Cho c{c số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn xyz = Chứng minh : 72  x  y3  y3  z  z3  x   3 xy yz zx Bài Cho x, y, z > v| x + y + z = Chứng minh :    36 x y z B|i Cho x , y , z l| c{c số dương thỏa mãn x + y + z = Tìm gi{ trị lớn biểu thức : A= x y z   x 1 y 1 z 1 Bài Cho x, y thỏa mãn điều kiện x + y = v| x > Tìm gi{ trị lớn biểu thức B = x2y3 Bài 8.Cho a, b, c l| c{c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức A = (1  a)(1  b)(1  c) (1  a)(1  b)(1  c) Bài Cho x, y, z l| số thực thuộc đoạn 1;4 x  y, x  z Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức : P= x y z   2x  3y y  z z  x Bài 10 Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz : (x  y)3  (x  z)3  3(x  y)(x  z)(z  y)  5(y  z)3 Bài 11.Cho c{c số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x  y)  4xy  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức : A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + Bài 12 Cho x, y l| hai số thực khơng }m thay đổi Tìm gi{ trị lớn v| gi{ trị nhỏ biểu thức P =  x  y 1  xy  1  x  1  y  2 Bài 13 Cho x, y l| c{c số thực thay đổi Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức A= (x  1)2  y2  (x  1)  y  y  Bài 14 Cho a, b, c, d > Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P= a b c d    2b  9c  1945d 2c  9d  1945a 2d  9a  1945b 2a  9b  1945c Bài 15 Cho c{c số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức M = 1 1    a  b  c2 ab bc ca 73 Bài 16 Cho c{c số x, y, z, t > thỏa mãn : xy + 4zt + 2yz + 2xt = Tìm gi{ trị lớn xy  zt biểu thức: S = Bài 17 Cho  x   y  Chứng minh : x  y  10 Bài 18 Cho x, y, z l| c{c số thực dương thỏa mãn điều kiện x  trị nhỏ x + y + z ? Bài 19 Cho c{c số thực a, b, c  CMR: abc  6029  2010  2010 xy  xyz  Tìm giá  a  2010 b  2010 c Bài 20 cho x, y, z l| c{c số dương thỏa mãn x + y + z  12 Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: H= x y z   y z x Bài 21.Cho a ; b ; c l| ba số dương kh{c đơi Tìm : F= (a  x)(a  y) (b  y)(b  x) (c  x)(c  y)   x ; y l| hai số dương có a(a  b)(a  c) b(b  a)(b  c) c(c  a)(c  b) tổng Bài 22 Cho a1 + a2 + + an = k Tìm cực trị biểu thức: A = a21 + a22 + + a2n Bài 23 Cho x; y; z  thỏa mãn điều kiện: x + y+ z = a Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức Q = (1  a a a )(1  )(1  ) x y z Bài 24 Cho c{c số thực a , b ,c  thỏa mãn a2 + b2 + c2 + d2 = 16 Tìm gi{ trị lớn biểu thức: P= a 1  b 1  c 1  d 1 Bài 25 Cho a + b = 16 Tìm biểu thức: N = 5ab2 + a(b  16) +2(a - 1) + 3(b + 1) Bài 26 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a bc a)    2 (a  b) (b  c) (c  a) a3 b3 c3 a bc b)    a  b2 b2  c2 c2  a 2 a3 b3 c3 a bc c)    2 a  3ab  b b  3bc  c c  3ca  a B|i 27 Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c + abc = Chứng minh rằng: a + b + c  ab + bc + ca Bài 28 Cho c{c số thực a, b, c   0;1 Chứng minh rằng: a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a)  Bài 29 Cho a, b, c l| độ d|i cạnh tam gi{c Chứng minh rằng: 74 a b c    bca cab a bc Bài 30 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x3 y3 z3      xy  yz  xz  y  z  x  27 75 BÀI GIẢNG MỘT HƢỚNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A Cơ sở lí thuy t Xuất phát từ bất đẳng thức (a  b)  0, a,b (*) Dấu ‚=‛ xảy  a = b Từ (*) ta suy ra: Hay a  b2  2ab, a,b (1a) a  b2  ab, a,b (1b) 2(a  b2 )  (a  b)2 , a,b (1c) a  b2  a  b    , a,b (1d) 2   2 Với a, b > Chia vế (1a) cho ab ta được: a b  2 b a (2) ab    ab   Cộng vế (1a) với 2ab ta (a  b)  4ab Hay (3) Với a, b  Khai phương vế ta được: ab  ab ( BĐT Cô–si với số không }m) Với a, b > 0, chia vế (3) cho ab(a+b), ta được: Hay ab  ab ab 1   , a b ab (4) 1   4a 4b a  b Với a, b > 0, nh}n hai vế (2) với a ta được: a2  b  2a b (5a) Hoặc nh}n hai vế với b, ta được: b2 a   2b a (5b) Với a, b > Lấy nghịch đảo vế (1a) ta được: 76   1  2ab a  b 1 ab   2a 2b a  b (6a) ( nh}n vế với a + b ) 11 1 a  b     a b  a  b2 (6b) Với a, b > 0, từ (1)  a  ab  b  ab  a  b  ab(a  b) 3 (7) Từ (a  b)  0, (b  c)  0, (c  a)  2 a  b2  c2  ab  bc  ca Suy ra: 3(a  b2  c2 )  (a  b  c)2 Hay (8a) (8b) B Bài tập áp dụng Bài Cho a, b, c l| độ d|i cạnh tam gi{c ( p l| nửa chu vi) Chứng minh rằng: 1 1 1    2    pa pb pc a b c Lời giải 1   a b ab 1 4    p  a p  b 2p  a  b c  Áp dụng (4), với a, b > ta có: Từ đó: (a) 1 4    p  b p  c 2p  b  c a (b) 1 4    p  c p  a 2p  a  c b (c) Cộng (a), (b), (c), vế theo vế, ta được: 1   1 1 2    4     a b c pa pb pc Dấu "=" xảy  a = b = c Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2 b2  c2 c2  a   abc 2c 2a 2b  đpcm 77 Lời giải Từ công thức (5) ta có: a2 b2 c2  c  2a;  a  2b;  b  2c c a b Cộng c{c BĐT trên, vế theo vế, ta được: a b2 c2   abc c a b Tương tự : (1) a b2 c2    a  b  c (2) b c a a  b2 b2  c2 c2  a Cộng (1) với (2) ta được:    a  b  c (đpcm) 2c 2a 2b Dấu "=" xảy  a = b = c Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a bc    bc ca ab Lời giải  Từ cơng thức (5) ta có: (2a)2  (b  c)  2.2a  4a; bc (2b)  (a  c)  2.2b  4b; ac (2c)  (a  b)  2.2c  4c bc 4a 4b2 4c2 Cộng c{c BĐT trên, vế theo vế, ta được:    2(a  b  c) bc ac ab Chia vế cho ta đpcm Bài Cho x > Chứng minh rằng: 1  x       1  16 x  x Lời giải (1  x)2  4x   Từ (3) ta có: (a) 1       1   x x x x  Nh}n (a), (b), vế theo vế, suy đpcm Dấu "=" xảy  x = Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: (b) 78 1   1   3          ab ac bc  a b a c bc Lời giải  Từ (3) ta có (a  b)  4ab Chia vế cho ab(a  b)  , ta được: Tương tự:  ; ac (a  c)  ab (a  b)  bc (b  c) Cộng c{c BĐT trên, vế theo vế, ta được:  1 1 1     4   2  ab ac bc  (a  b) (b  c) (a  c)   1   1  3     4.3    2   ab ac bc   (a  b) (a  c) (b  c)   1    4    ab ac bc (theo (8)) Bài Chứng minh rằng: 2(a  b  c )  ab(a  b)  bc(b  c)  ac(a  c)  Từ (7) ta có: 3 a  b3  ab(a  b); b3  c3  bc(b  c); c3  a  ac(a  c) Cộng c{c BĐT trên, vế theo vế, ta được: 2(a  b3  c3 )  ab(a  b)  bc(b  c)  (a  c) (đpcm) Dấu "=" xảy  a = b= c ax  by  x  y  Bài Cho (x; y) l| nghiệm hệ phương trình:  Tìm gi{ trị lớn biểu thức: P = xy Lời giải  Trước hết ta tính x, y Từ ax = by  ax  ay  ay  by  a(x  y)  (a  b)y  y  Khi đó: xy  ab  (a  b) a b  x ab ab 79 Suy ra: Max xy  1 ab  xy Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 1 1 1      2a  b  c 2b  a  c 2c  a  b 4a 4b 4c Lời giải 1 1      ab a b 4a  4b 16a 16b 1 1 1 1        2a  (b  c) 8a 4(b  c) 8a 4b  4c 8a 16b 16c  Từ (4) ta có: Suy Tương tự : 1 1    ; 2b  (a  c) 8b 16a 16c 1 1    2c  (a  b) 8c 16a 16b Cộng vế với vế bđt trên, rút gọn ta có đpcm Bài Cho a, b, c > thoả mãn 1 ab cb   Chứng minh rằng:  4 b a c 2a  b 2c  b Lời giải ac 2ac   b b ac ac 2ac a ab a  c = a  3ac  a  3c  Suy ra: 2a  b 2a  2ac 2a 2a ac c  b c  3b  Tương tự : 2c  b 2c Từ giả thiết ab c  b a  3c c  3a ac  3c  ca  3a  Do đó: =   2a  b 2c  b 2a 2c 2ac = 3(a  c2 )  2ac 3.2ac  2ac 8ac   4 2ac 2ac 2ac (đpcm) Bài 10 Cho a, b, c > thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  b  2c  4(1  a)(1  b)(1  c) Lời giải  Từ a  b  c   b  c   a  c   c     c  2 80 Suy ra: 4(1  a)(1  b)(1  c)  (b  c)  (1  b) (1  c) = (1  c) (1  c) = 2 (1  c2 )(1  c)   c  a  b  2c (đpcm) Bài 11 Cho a, b, c l| độ d|i cạnh tam gi{c Chứng minh rằng: a b c   3 bca ca b a bc (*) Lời giải  Đặt x  b  c  a; y  c  a  b; z  a  b  c  x  y  z  a  b  c Suy ra: a yz ; b zx ; c xy Ta có: VT(*)  yz z x x  y 1 y z x y x x             (2   2)  2x 2y 2z 2 x x y z z y  Dấu “=” xảy  x = y = z  a = b = c hay ABC Bài 12 Cho a, b, c l| độ d|i cạnh tam gi{c Chứng minh rằng: abc  (b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) Lời giải  Tương tự b|i 11 ta có: x  y  xy , Suy ra: y  z  yz, (b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) = xyz  z  x  zx xy yz zx  abc 2 Bài 13 Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: a  b2 b2  c2 c2  a   abc ab bc ca  Theo (1c) ta có: 2(a  b )  (a  b)  Tương tự: b2  c2 b  c ,  bc 2 a  b2 a  b  ab c2  a c  a  ca Cộng c{c BĐT trên, vế theo vế, ta đpcm 81 Bài 14 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ab bc ca 1  2    2 a  b b  c c  a2 a b c Lời giải  Theo (6) ta có : a  b 11 1     a  b2  a b  bc 11 1    , b2  c2  b c  Tương tự: ca 11 1     c2  a 2  c a  Cộng c{c BĐT trên, vế theo vế, ta đpcm 2 1   25  Bài 15 Cho a, b > thoả mãn a  b  Chứng minh rằng:  a     b    a  b  (*) Lời giải a  b2  a  b   Từ (1d) ta có:     Suy ra: 1  1 1 1 1 a  b a  b 1 a b  52    a     b     a   b    1    3     a  b  2 a b  2 a b  2 b a  2 Bài 16 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 2 1  a b  1  b c  1  c a Lời giải  Từ (4) ta có: Tương tự: 1 1   (a  b)   1 a b ab  a b 1 1  (b  c) ,  (c  a) 1 1   c a b c Cộng c{c BĐT trên, vế theo vế, ta đpcm Bài 17 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c b  c c  a a  b 15       bc a c a b a b c 2  a bc 82 Lời giải Theo (2) ta có: M a b   b a bc ca ab b c c a a b          2226 a b c a a b b c c b c   a  a  b  c  N    1  1  1    b  c c  a a  b   b  c  c  a  a  b  1    a  b  c   3 bc ca ab 1    3   a  b    b  c    c  a      2  b  c c  a a  b  Suy ra: M N6 15  Dấu "=" xảy  a = b = c 2 Bài 18 Cho số dương a, b thoả a + b = Chứng minh rằng: a) 1  6 ab a  b b)   14 ab a  b Lời giải  a) Từ (3) ta có 4ab  (a  b)  4ab   Từ (4) ta có Suy ra: 4 ab (vì a, b > 0) 1   a b ab 1  1        6   ab a  b 2ab  2ab a  b  (a  b) Dấu “=”xảy  a = b = b) Tương tự ta có 1        3      12  14 2  ab a  b 2ab a  b 2ab (a  b)  2ab a  b  Bài 19 Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: ac bd ca db    4 ab bc cd da Lời giải 83  Sử dụng cơng thức (4) ta có: 1   a b ab ac ca     (a  c)     (a  c) ab cd abcd ab cd Suy ra: bd db   (b  d) bc da abcd Tương tự: Cộng c{c BĐT trên, vế theo vế, ta đpcm Bài 20 Cho a + b = Chứng minh rằng: a  b  4 Lời giải 2(a  b2 )  (a  b)2   a  b2   Từ (1c) ta có: 2(a  b4 )  (a  b2 )2  22  Suy ra: a  b4  (đpcm) Bài 21 Cho a  1, b  1, a  b  Tìm gi{ trị lớn biểu thức:  a +  b2 A= (Đề thi v|o lớp 10 THPT Hải Dương) Lời giải  Ta có : A=  a +  b2  Xét A2 =  a   b  (1  a )(1  b )   (a  b )   a   b 2 2   2(a  b2   (a  b)2   A   1  A  A = a = b  2a   4a   a   Vậy maxA = a  b  3 a  b   2 Bài 22 Giải hệ phương trình:  2x 1  x  y   2y z   y   2z x  1  z (a) (b) (c) 2 84 Lời giải  Từ hệ phương trình ta suy được: x, y, z  2x 2x x Ta có:  x  2x  1  y   x2  x2 2z 2y x  z Tương tự: z   y,  z2  y2 Như vậy: x  z  y  x  x  y  z 2x x   x Do (a)   x  x   x   x2  Vậy hệ phương trình có nghiệm: (0; 0; 0) (1; 1; 1)