TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 GV Cô Bùi Thị Khuyên Nhóm 7 Lớp DT04 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM MSSV Họ và tên 2010511 Nguyễn Tài Phong 1911822 Lê Tấn P.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH GV: Cơ Bùi Thị Khun Nhóm Lớp: DT04 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM MSSV 2010511 1911822 1813565 1952374 2014095 1813761 1512482 Họ tên Nguyễn Tài Phong Lê Tấn Phát Lê Hồng Phúc Trần Trọng Nhất Trần Thuận Phát Ngụy Phú Quý Lê Quốc Phú Topic1 Câu 3: Hai người xe đạp bắt đầu đua lúc 08:00AM Cả hai kết thúc đua sau 15 phút Chứng minh số thời điểm đua, người đạp với vận tốc Gọi: v1 (t ) vận tốc xe v 2( t)là vận tốc xe Ta thời gian hoàn thành nhau: t 1= t 2=t = h 15= 8100s Giá trị trung bình vận tốc trong khoảng [0,2h15] được định nghĩa là: v tb1 ( t ) v tb2 ( t ) b ∫ v ( t ) dt b−a a = b ∫ v ( t ) dt b−a a = = 8100−0 = 8100−0 8100 ∫ v (t) dt 8100 ∫ v (t)dt Do khoảng chia nhỏ hai người có thời gian hoàn thành nên coi như: h 15 ∫ h 15 = v (t) dt ∫ v (t)dt Giả sử v1 (t ) < v 2( t ) ( 0≤ t ≤ 8100) 8100 Ta thấy được: ∫ v (t) dt < 8100 ∫ v (t)dt Trái với đề Giả sử v1 (t ) > v 2( t ) ( 0≥ t ≥ 2h15) h 15 Ta thấy được: ∫ v (t) dt > h 15 ∫ v (t)dt Trái với đề Sẽ tồn thời điểm v1 (t ) = v 2( t) ( 0≤ t ≤ 2h15) Câu 4: Tại 9:13AM, xe thể thao 35 dặm/giờ Hai phút sau, xe 85 dặm/giờ Chứng minh số thời điểm khoảng hai phút này, tăng tốc xe đạt xác 1500 dặm/ bình phương Gọi v (0) = 35 dặm/giờ v (2/60) = 85 dặm/giờ Phương trình Có a(t) = ' v (t ) v (t): 35( t/2 85 ) 35 Hàm giá trị trung bình thời điểm khoảng từ [0;2] là: a tb ( t ) = b ∫ v ' ( t ) dt b−a a = 85 t / 85 35( ) ln ( ) dt = ∫ 20 35 35 1500 dặm/ Tại số thời điểm khoảng hai phút này, tăng tốc xe đạt xác 1500 dặm/giờ bình phương Câu 5: Khi đối tượng lấy từ lò đặt môi trường với nhiệt độ khơng đổi 90◦F, nhiệt độ lõi 1500◦F sau, nhiệt độ lõi 390◦ F Giải thích lý có phải tồn thời gian khoảng (0, 5) nhiệt độ giảm với tốc độ 222◦ F Gọi:- T (0) = 1500o F - T (5) = 390o F T ' (t ) = k(T – 90) => T (t) = 90 + 1410( 10 t /5 ) 47 Ta có: - T’(0) = −436,412o F -T’(5) = −92,85375 o F Vậy tốc độ giảm 222o F có nghĩa : o o o −92,85375 F < −222 F < −436,412 F Mà tốc độ giảm nhiệt độ trung bình là: f (t ) = b ∫ T ' ( t ) dt b−a a = 10 t /5 10 1410( ) ln ( ) dt ∫ 5−0 47 47 = -222◦ F Phải tồn thời gian khoảng (0, 5) nhiệt độ giảm với tốc độ 222◦ F 11 Do mưa lớn, thể tích nước hồ chứa tăng 1400 arce-ft 24 Chứng minh thời điểm khoảng thời gian mà thể tích hồ chứa nước tăng với tốc độ vượt 225.000 gal/phút Ta có 1400 arce-ft = 456192000 gallons nước Mà ngày có 60.24 = 1440 phút 456192000 Số gallons nước tăng lên trung bình phút là: 1440 = 316800 gallons/phút Hiển nhiên thời điểm khoảng thời gian mà thể tích hồ chứa nước tăng với tốc độ vượt 225.000 gal/phút Tấm vé tài xế xe tải nộp trạm thu phí cho thấy cô 159 dặm với tốc độ giới hạn 65 dặm / Tài xế xe tải thông báo cần tăng tốc độ Tại sao? Trong cô gái 159 dặm => trung bình 79,5 dặm Tuy nhiên tốc độ xe di chuyển khơng đều, điều kiện đường xá, kẹt xe, lí chủ quan tài xế… mà tốc độ thời gian thấp 65 dặm / => Tài xế xe tải thông báo cần tăng tốc độ Bài 14 Một ô tô di chuyển 120 dặm ba tiếng đồng hồ Giả sử hàm vị trí p liên tục khoảng đóng [0, 3] khả vi khoảng mở (0, 3) Chỉ số thời điểm thời gian xe di duyển với tốc độ xác 40 dặm/giờ? Hàm vị trí tơ p(t) →Khi t = p(t) = →Khi t = p(t) = 120 Hàm vận tốc tơ:v(t)→v(t)=p’(t) Giá trị trung bình hàm số f trong khoảng [a,b] được định nghĩa A(t) = b ∫ f ( t ) dt b−a a Thay giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình để tìm vận tốc trung bình: A(t) = ∫ v ( t ) dt 3−0 = b ∫ p(t) ∣ 30=40 3a Vậy số thời điểm thời gian xe di duyển với tốc độ xác 40 dặm/giờ Bài 15 Ho làm cho khí quản co lại, ảnh hưởng đến vận tốc khơng khí qua khí quản Vận tốc khơng khí ho mơ hình hóa v = k(R − r)r2 , ≤ r ≤ R k số, R bán kính bình thường khí quản r bán kính ho Bán kính r tạo vận tốc khơng khí tối đa? V=k(R-r).r2 = kRr2 – r3 V’=2krR-3r2 r =0 V’=0 ↔ [r =2 kR/ Lập bảng biến thiên ta thấy V(r) đạt giá trị lớn tại r = Bài 16 kR Một giàn khoan 12 dặm khơi kết nối đường ống đến nhà máy lọc dầu bờ, 20 dặm thẳng xuống bờ biển từ giàn khoan Nếu đường ống nước có giá 500.000$/dặm đường ống đất liền có giá 300.000$/dặm, kết hợp để tốn nhất? Gọi x chiều dài đường ống nước Vậy chiều dài đường ống đất liền 20 – x Chi phí cho đường ống từ dàn khoan đến nhà máy lọc dầu bờ là: A = 500000.x + 300000(20 – x) =200000x + 6000000 Chi phí cho đường ống tốn ↔ x nhỏ → x = 12 Khi A = 8400000 Topic2 Giải: Lượng muối vào bể sau mỗi phút: (kg/lít) x (lít/phút) = kg/phút Từ đó suy lượng muối bình sau phút là: x = 30 kg Bài file đề 10 y (t ) y(0)=100; 50 - 1000 =y’(t); ↔ y’(t) + 0,1y(t) = 50 −0,1 t 0,1 t ×∫ 50 e ↔ y(t) = e −0,1 t ↔e × 50 0,1 t e −495 0,1 Bài file đề 10 y (t ) y(0)=0; 1- 100 = y ' (t); ↔ y’(t) + 0,1y(t)=1 −0,1 t 0,1 t ×∫ e ↔ y(t) = e ↔ 0,1 t y(t) = e−0,1 t × e0,1 −10 Lượng muối bể sau phút (t=6) = (kg) Bài file đề 2 0,6 - 10+2t y ( t )= y ' (t) y‘(t) + 10+2t y (t )=0,6 −ln (10+ 2t ) ln (10+2 t ) ×∫ 0,6 e ↔ y(t) = e ↔ y(t) = e−ln (10+ 2t ) ×(6 t+0,6 t 2) ↔ Nồng độ dung dịch sau 20 phút (t=20) = Bài đề 2: Rin=10x6%=0.6 Rout=8y(t)/500 y’=0.6-8y(t)/500 y’=(-8/500)(y-75/2) =>y-75/2 =C e mũ (-2/125)t y(0)=16 =>C= -43/2 =>y(t)=75/2 - (43/2)e mũ (-2/125)t Mỗi phút tăng thêm 10-8=2 lít Nên 50 phút sau đầy thùng y(50)= ~27.8(lít) Độ cồn thùng 27.8/500=~5.57% Bài đề Rin=0.005x10=0.05 Rout=12y(t)/2000 y’=0.05-(12y(t)/2000) y’=(-3/500)(y-25/3) => y-25/3=C e mũ (-3/500)t Với y(0)=50 =>C=125/3 V(t)=2000-2t y(t)=25/3 +(125/3)e mũ (-3/500)t y(10)= 47,57(kg) e−ln (10+2 × 20) × ( ×20+0,6 × 202 ) 100+2× 20 Bài đề Rin=50x60%=30 Rout=20y(t)/800 y’=30- 20y(t)/800 y’=(-1/40)(y-1200) =>y-1200=C e mũ (-1/40)t y(0)=240 => C=-960 =>y(t)=1200-960e mũ (1/40)t y(10)=~452.4(lít) Giải: Nờng đợ ḿi được bơm vơ bể sau mỗi phút là: (gram/gal) x (gal/phút) = 10 gram/phút Số gram muối chảy bể mỗi phút với y(t) là lượng muối sau t phút là: [3 (gal/phút) / 200] x y(t) = 200 y (t) gram/phút Tốc độ thay đổi theo thời gian của y(t) là: y ' =lư ơ´ ng mu ô´ ich ´a y v a` o−lư ơ´ ng mu ô´ ich ´a y ra=10− y (t) 200 Vậy ta có phương trình tách biến y'= −3 2000 ( y− ) 200 Nồng độ muối dung dịch muối chảy vào là gram/gal Do đó theo thời gian, nồng độ muối bể tăng dần và tiệm cận đến nồng độ gram/gal, nghĩa là lượng muối bể sẽ tiến dần tới 2000/3 gram Ta có dy −3 = dt 2000 200 y− dy −3 = ∫ dt 2000 200 y− −3 = t+C ln y − 2000 200 ∫ | | | y− | −3 t +C 2000 =e 200 y− 2000 =C e −3 t 200 v ơ´ i C=± eC ≠ Lúc đầu, bể có chứa 100 gal nước muối nồng độ gram/gal, đó y ( )=100 → C= −1700 Suy lượng muối bể tại thời điểm t là: y (t)= −3 2000 1700 200 t − e 3 Mà ta lại có phút dung dịch muối vào bể được – = gal 2000 700 ( −200 ¿ gal thì cần phút Lượng muối bể tại 700/3 phút là: y ( ) −3 700 700 2000 1700 200 = − e 3 ≈ 649,555 gram Vậy nồng độ muối bể bể đầy là: 649,555 gram ≈ 0,974 2000 gal Giải: Gọi y1(t) là lượng nước bể sau t giờ y1(0) = 600 Ta có Ta lại có y1(0) = 600 dy y ( t ) 2250− y ( t ) =v ch a´ y v a` o−v ch ´a y =9−6 = dt 1500 250 dy dt → = 2250− y ( t ) 250 →−ln1650=C → ln |2250− y1 ( t )|=ln 1650− →|2250− y ( t )|=e Vì vế phải > vế trái cũng > −t y ( t )=2250−1650 e 250 Khi nước tràn khỏi bể ln 1650− t 250 t 250 −t =1650 e 250 y ( t )=1500 −t 2250−1650.e 250 =1500 t = -250.ln 11 ≈ 197,11( giờ ) Gọi y2(t) là lượng muối bể sau t giờ y2(0) = dy y (t ) 1 =9 (1+ cost )−6 (1+ cost ) = (1+cost )(9−6 y ( t ) ) dt 5 dy → = ( 1+cost ) dt 9−6 y ( t ) →−ln|9−6 y ( t )|= ( t +sint )+ C Ta đã có y2(0) = C = - ln 21 9−6 y ( t )=ln 21− 51 ( t+ sint ) t −ln 2190 −ln 1690=C → ln|2250− y ( t )|= 250 |9−6 y ( t )|=e ln 21− (t + sint )=21 e −(t +sint ) Vì vế phải > nên vế trái cũng phải > y ( t ) −9=21 e y ( t ) = 9+ 21.e −(t + sint) −(t+ sint ) Vậy, lượng muối còn lại sau nước khỏi bể là: ∆ y =5− y ¿ Bài 12 Một bể chứa 1000 gal chảy từ số trình hóa học, biết ban đầu có 800 gal nước với ounces nhiễm hịa tan Dịng chảy nước bị ô nhiễm vào bể chứa với tốc độ gal/giờ chứa ounces/gal nhiễm Một giải pháp hỗn hợp tốt rời khỏi bể với tốc độ gal/giờ Khi lượng ô nhiễm bể đạt 500 ounces dòng nước bị ô nhiễm bị cắt (bị khóa lại) nước (không ô nhiễm) vào bồn chứa với tốc độ mức thấp 2gal/giờ; dòng chảy với tốc độ tăng lên mức gal/giờ Xác định lượng ô nhiễm bể thời điểm t Gọi y ( t ) lượng ô nhiễm thời gian t Tốc độ lượng ô nhiễm vào bể là: 15 ounces/giờ y (t ) Tốc độ lượng ô nhiễm khỏi bể là: × 800 Suy thời điểm t với y ' =15− y ( t )