Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917 193 864 – luanvantrust com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN QUỐC THÁI SỐ BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Kham thảo m[.]
Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN QUỐC THÁI SỐ BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele 0917.193.864 Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN QUỐC THÁI – C00256 SỐ BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ cấp MÃ SỐ: 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS: VŨ THẾ KHƠI Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele 0917.193.864 Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học Thăng Long hướng dẫn tận tình PGS.TS Vũ Thế Khôi Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại Học Thăng Long giúp đỡ, giảng dạy tạo điều kiện cho tơi q trình học tập lớp Cao học Tốn khóa III Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn tạo điều kiện cho tơi thời gian học tập Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp lớp cao học toán KIII Hà nội có nhiều động viên giúp đỡ q trình học tập vừa qua Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận bảo quý thầy cô bạn đồng nghiệp Hà nội, ngày tháng .năm 2016 Tác giả Nguyễn Quốc Thái Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele 0917.193.864 Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com GIỚI THIỆU Trong chương trình tốn trung học phổ thông bậc đại học biết đến công thức tổ hợp cơng thức hệ số nhị thức khai triển (x + y )n cụ thể: n n (x + y ) = i =0 i n xi y n i X Câu hỏi đặt tổng, tích sau có cơng thức tương tự hay không? k k k k + + + + n =? x (x 1)(x 2) (x n) =? x (x + 1)(x + 2) (x + n) =? 1 k +3 k k + + n + =? Trong giảng dạy toán học sơ cấp việc nắm vững kiến thức cần thiết và từ tác giả định chọn đề tài: "SỐ BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG" Qua trình hướng dẫn Thầy Vũ Thế Khôi tác giả học, đọc nghiên cứu số tài liệu xem qua kênh toán học Internet, luận văn tác giả tập hợp trình bày lại kiến thức số ứng dụng có liên quan đến tổng, tích Luận văn gồm chương: Chương 1: Lận văn trình bày lịch sử nghiên cứu hình thành số Bernoulli số nhà tốn học giới, Trình bày cơng thức truy hồi tính số Bernoulli kèm chứng minh chi tiết cho cơng thức Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele 0917.193.864 Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com Cũng chứng minh số tính chất sơ Bernoulli Từ cho cơng thức tổng qt nhà tốn học Bernoulli Chương 2: Trong chương luận văn tiếp cận cách thức khác để tính số Bernoulli thơng qua hàm sinh Trình bày lý thuyết chuỗi lũy thừa hình thức đa thức Bernoulli khai triển Fourier đa thức Bernoulli Chương 3: Luận trình bày lại lý thuyết số Stirling, hàm Zeta mối liên hệ số Bernoulli với số Stirling hàm Zeta Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele 0917.193.864 Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com Mục lục Mục lục iv SỐ BERNOULLI 1.1 Giới thiệu lịch sử hình thành số Bernoulli 1 1.2 Công thức tổng lũy thừa 1.2.1 Tổng lũy thừa số nguyên liên tiếp 1.2.2 Số Bernoulli 1.2.3 Công thức Bernoulli 1.2.4 Định lý Faulhaber 10 HÀM SINH SỐ BERNOULLI 12 2.1 Chuỗi lũy thừa hình thức 12 2.2 Hàm sinh số Bernoulli 19 2.3 Đa thức Bernoulli 23 2.4 2.3.1 Khai triển Fourier đa thức Bernoulli 25 2.3.2 Công thức tổng Euler-Maclaurin 29 Sử dụng đa thức Bernoulli để tính tổng 32 2.4.1 Dùng khai triển Fourier tính tổng 32 2.4.2 Lũy thừa số tự nhiên 33 2.4.3 Tổng đan dấu lũy thừa số tự nhiên 34 2.4.4 Tổng dãy lượng giác 36 MỐI LIÊN HỆ CỦA SỐ BERNOULLI VỚI SỐ STIRLING VÀ HÀM ZETA 38 3.1 Số Stirling số Bernoulli 38 3.1.1 Số Stirling loại 38 3.1.2 Số Stirling loại 3.1.3 39 Công thức số Bernoulli với số Stirling Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele 0917.193.864 45 Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com Trang: iv Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele 0917.193.864 MỤC LỤC 3.2 Hàm Euler zeta số Bernoulli 3.2.1 49 Định nghĩa hàm Euler zeta 49 3.2.2 Công thức tích Euler 50 3.2.3 Đẳng thức Euler 51 3.3 Áp dụng hàm zeta tính tổng vơ hạn 53 Tài liệu tham khảo 55 Trang: v CHƯƠNG SỐ BERNOULLI Trong chương luận văn xin giới thiệu lược sử hình thành số Bernoulli số nhà tốn học giới, dựa theo tài liệu [1], [2], [3] 1.1 GIỚI THIỆU LỊCH SỬ HÌNH THÀNH SỐ BERNOULLI Jakob Bernoulli1 để lại sách Ars Conjectandi (1713), ông nghiên cứu tổng lũy thừa số nguyên liên tiếp k + 2k + 3k + , ông giới thiệu số đặc biệt có liên quan đến tổng đưa công thức cho tổng lũy thừa : n i =1 X i= ( 2+ ) , nn n i =1 X i = (n + n 1) (2n +1 ) , n i =1 X i = ( 2+ ) nn , (1.1) Ông khẳng định khơng đến 10 phút để tính tổng với lũy thừa 10 với n = 1000, kết xác Bernoulli đưa là: 91409924241424243424241924242500 Bernoulli đưa công thức chung liên quan đến số đó, giải thích chúng tính qua công thức truy hồi nhấn mạnh cách thức hữu ích cho việc tính tốn tổng lũy thừa Bernoulli không dùng ký hiệu B 0, B1, B2, mà ông dùng ký tự A, B,C thay cho B2n không dùng công thức nhị thức, tài liệu ông công thức viết là: Jakob Bernoulli (còn biết đến với tên James Jacques) (27 tháng 12, 1654 – 16 tháng năm 1705) nhà toán học người Thụy Sĩ Cống hiến chủ yếu ơng vào hình học giải tích, lý thuyết xác suất, phép tính biến phân Bất đẳng thức Bernoulli thường dạy thường phổ thông mang tên để vinh danh ông Bernoulli với Newton Leibniz người phát triển phép tính vi phân tích phân ơng có tìm hiểu cao Ơng cịn có người em trai 12 tuổi nhà toán học tiếng Johann Bernoulli, gia đình nhà Bernoulli sau cịn sản sinh nhiều nhà toán học tài Trang: ... luanvantrust.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN QUỐC THÁI – C00256 SỐ BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ cấp MÃ SỐ: 60460113 NGƯỜI... CHƯƠNG SỐ BERNOULLI Trong chương luận văn xin giới thiệu lược sử hình thành số Bernoulli số nhà toán học giới, dựa theo tài liệu [1], [2], [3] 1.1 GIỚI THIỆU LỊCH SỬ HÌNH THÀNH SỐ BERNOULLI Jakob Bernoulli1 ... LIÊN HỆ CỦA SỐ BERNOULLI VỚI SỐ STIRLING VÀ HÀM ZETA 38 3.1 Số Stirling số Bernoulli 38 3.1.1 Số Stirling loại 38 3.1.2 Số Stirling