Khái niệm về số Bernoulli
Định nghĩa 1.1.1 Số Bn, n ∈N, được gọi là số Bernoulli nếu
B n = hd n dt n t e t −1 i t=0, |t| 0 và a 6= b Số Bernoulli tổng quát
Bn(a, b) được định nghĩa bởi φ(t;a, b) = t b t −a t ∞
Khai triển của số Bernoulli và tính chất
Từ (1.2) ta có thể viết t = (e t −1)(
Khai triển Taylor của hàm e t −1 ta có e t −1 ∞
Ta sẽ xét tích của hai chuỗi lũy thừa
(i) Hệ số của t r trong tích
X k=0 b r−k a k (ii) Hệ số của t r! r trong tích
Từ việc phân tích tổng hai chuỗi lũy thừa, ta có thể so sánh hệ số của các số hạng ở hai vế, từ đó chứng minh điều cần thiết Định lý 1.2.2 khẳng định rằng các số Bernoulli thỏa mãn một số tính chất nhất định.
Chứng minh: Từ (1.4) và (1.6) ta có
C r k Bk r−k+ 1 = 1, r = 0. Đánh giá B r ta được
C r k B k r −k+ 1. Định lý được chứng minh.
Từ công thức trên ta có thể tính được những số Bernoulli
Tương tự ta có thể tính toán được B 2 = 1 6 ;B 3 = 0;B 4 = − 30 1 ;B 5 = 0;
Các số Bernoulli ở vị trí lẻ, như B 6 = 42 1, B 7 = 0, B 8 = −30 1, B 9 = 0, và B 10 = 66 5, cho thấy rằng các số này có giá trị bằng 0 Điều này dẫn đến câu hỏi về việc liệu các số Bernoulli lẻ có thực sự bằng 0 hay không Để giải đáp thắc mắc này, ta đưa ra định lý sau: Định lý 1.2.4 khẳng định rằng với n là số lẻ và n ≥ 3, thì số Bernoulli B n sẽ bằng không.
G(t) = t e t và thay đổi nó để đánh giá số hạng tương ứng B1 Xét hàm
Rõ ràng đây là một hàm số lẻ Do đó hàm G1(t) là một hàm chẵn Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét: Với kết quả của Định lý 1.2.4, ta có thể viết t e t −1 ∞
Bằng cách viết lại hàm sinh ta có định lý sau: Định lý 1.2.5 Số Bernoulli thỏa mãn biểu diễn
2 2s −1B2jB 2s−2j (1.10) với điều kiện ban đầu B 0 = 1.
Chứng minh: Ta viết t e t + 1 = t e t −1 − 2t e 2t −1. Khai triển vế phải ta có t e t −1 − 2t e 2t −1 ∞
Nhân vế trái với e t t −1 ta được t e t + 1 t e t −1 = t 2 e 2t −1
B k k!2 k t k Nhân hai vế với e t −1 t ta được t
(2 i −1)B i i! t i ). Áp dụng (1.6) với aj =Bj, bk = −(2 k −1)Bk ta có, hệ số của t r! r cho tích ở vế phải là
C r i (2 i −1)B i B r−i và vế trái hệ số bằng
Do đó, nếu r là số chẵn, r = 2s, s > 1 thì vế trái bằng 0 và ta có
Số hạng với i = 0 và i = 1 đều bằng không, do đó tổng bắt đầu từ i = 2 và chỉ khác không khi i là số chẵn Cụ thể, với i = 2j, biểu thức có thể được viết dưới dạng s.
Số hạng khi cho j = s là
Hệ quả 1.2.6 Với mọi n ∈ N, ta có
Chứng minh: Đặt b n = (−1) n−1 B 2n Từ (1.10) ta được b n n−1
2 2n −1b j n n−j Điều kiện ban đầu b1 = 1 6 > 0 suy ra b n >0,∀n ∈N. Định lý 1.2.7 Với r ≥ 0, số Bernoulli thỏa mãn
Chứng minh: Đạo hàm của hàm sinh ta được d dt t e t −1 = 1 e t −1 − te t
So sánh hệ số của t r ta được
C r+1 j B j B r+1−j Điều này cho ta rBr+1 = −(r+ 1)Br− r+1
C r+1 j B j B r+1−j Định lý được chứng minh Định lý 1.2.8 Số Bernoulli thỏa mãn
Chứng minh: Định lý này được rút ra trực tiếp từ Định lý 1.2.7 khi thayr = 2u−1.
Nhận xét: Ta có b r = (−1) r−1 B r Khi đó
C r+1 j b j b r+1−j Đây là một chứng minh khác của Hệ quả 1.2.6.
Trong (1.13) ta thay r + 1 bởi n ta được
Phương pháp tính số Bernoulli
Tính số Bernoulli bằng định nghĩa
B n =h d n dt n t e t −1 i t=0 ta có thể tính được các số Bernoulli.
Tuy nhiên, cách tính này rất mất thời gian và công sức vì khi n càng lớn thì khối lượng các phép toán là rất lớn.
Tính số Bernoulli bằng phương pháp truy hồi
Ta sẽ tính số Bernoulli thông qua công thức (1.7)
Công thức C r k Bk r−k+ 1 có thể được áp dụng bằng cách thay r lần lượt bằng 2, 3, 4, và tiếp tục như vậy Tuy nhiên, phương pháp này chỉ hiệu quả cho việc tính các số Bernoulli nhỏ; đối với các số Bernoulli lớn, quá trình tính toán sẽ trở nên tốn công sức hơn rất nhiều.
Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng (1.8) để tính truy hồi số Bernoulli một cách đơn giản hơn
Tính số Bernoulli thông qua tổng kép
Ta có thể tính trực tiếp một số Bernoulli bất kỳ Nhưng nói chung khi n lớn dần thì khối lượng các phép tính cũng tăng lên gấp bội.
Khái niệm về đa thức Bernoulli
Định nghĩa 2.1.1 Đa thức Bn(x) được gọi là đa thức Bernoulli nếu
∂t n te xt e t −1 i t=0 (n = 0,1,2, ), (2.1) Hoặc, thỏa mãn φ(x, t) = te xt e t −1 ∞
Ta có một vài đa thức Bernoulli đầu tiên
B6(x) = x 6 −3x 5 + 5 2 x 4 − 1 2 x 2 + 42 1 Định nghĩa 2.1.2 Cho a, b, c >0, a 6= b Đa thức Bn(x;a, b, c) được gọi là đa thức Bernoulli tổng quát nếu
Tính chất của đa thức Bernoulli và đa thức Bernoulli tổng quát
Tính chất của đa thức Bernoulli
Định lý 2.2.1 Hàm B n (x) thỏa mãn
B n 0 (x) =nB n−1 (x), n ≥ 1 (2.5) Chứng minh: Từ (1.2) và (2.2), khai triển Taylor của hàm e xt ta được e xt ∞
Do đó ta có đa thức Bernoulli đầu tiên
Từ (2.2) ta đạo hàm hai vế t 2 e xt e t −1 ∞
Vế trái được viết lại như sau t te xt e t −1 = t(
So sánh hệ số của các số hạng ở hai vế của biểu thức trên ta được
Đối với n ≥ 1, ta có B n 0 (x) = nB n−1 (x), điều này chứng minh định lý Đặc biệt, khi B 0 (x) = 1, ta nhận thấy B n (x) là đa thức bậc n Hơn nữa, giá trị B n (0) = B n cho phép xác định hệ số của B n (x) từ B n−1 (x) Theo định lý 2.2.2, với n ≥ 0, đa thức Bernoulli thỏa mãn đồng nhất thức.
So sánh hệ số của t n hai vế ta được
B n (x+ 1) =B n (x) +nx n−1 Định lý 2.2.3 Đa thức Bernoulli thỏa mãn đồng nhất thức
2) = 2 1−n Bn(2x), n ≥ 0 (2.8) Chứng minh: Ta có
Từ đó ta suy ra
2) = 2 1−n B n (2x). Định lý 2.2.4 Đa thức Bernoulli thỏa mãn
Chứng minh: Với x= 0, ta có Bn(0) = Bn Do đó, từ (2.8) cho ta
Suy ra điều phải chứng minh Định lý 2.2.5 Cho n ≥ 0, khi đó
Chứng minh: Cùng với giá trị của B n ( 1 2 ), trong (2.8) thay x = 1 2 ta được
2) = (2 1−n −1)Bn(1) Kết hợp với (2.9) và với n 6= 1 ta suy ra B n (1) =B n
Mặt khác, tại x= 1, Bn(1) =B0(x) +B1 ta có Bn(1) = 1 2 Điều này được viết như sau
Do đó ta có thể viết
Bn(1) = (−1) n Bn. Định lý 2.2.6 Đa thức Bernoulli thỏa mãn
B n (1−x)t n n! = te (1−x)t e t −1 Đặt s = −t, ta có te (1−x)t e t −1 = −se −(1−x)t e −s −1
Tính chất của đa thức Bernoulli tổng quát
Định lý 2.2.7 Cho a, b, c > 0 và a6= b Cho x∈ R và n ≥ 0 Khi đó
C n k (lnc) n−k (lnb−lna) k−1 B k ( lna lna−lnb)x n−k ,
Chứng minh: Hiển nhiên ta có (2.12), (2.13), (2.14) Áp dụng Định nghĩa 1.1.2 và khai triển hàm lũy thừa c xt tại t = 0 ta có tc xt b t −a t = (
Kết hợp với (2.4) ta được (2.15).
Mặt khác, những đẳng thức dưới đây là nhận được từ Định lý 2.2.6
Bn(a, b) = (lnb−lna) n−1 Bn( lna lnb−lna)
(−1) n−i (lnb−lna) i−1 (lna) n−i C n i Bi. Thay thế vào (2.15) ta được (2.16) và (2.17)
Đạo hàm và tích phân của đa thức Bernoulli tổng quát được nghiên cứu với các điều kiện a, b, c > 0, a ≠ b, n ≥ 0, và x ∈ R Theo Định lý 2.2.8, với mọi số nguyên âm l và số thực α, β, ta có công thức d^l B_n(x; a, b, c) / dx^l = n!.
Chứng minh: Đẳng thức (2.18) là dễ nhận ra Tích phân cả hai vế của(2.18) theo biến x với l = 1 ta nhận được đẳng thức (2.19). Định lý 2.2.9 Cho a, b, c > 0, a 6= b, n ≥ 0, x ∈R Thì
Chứng minh: Từ (2.3), ta có tc (x+1)t b t −a t ∞
So sánh hai vế ta đạt được
Tương tự, xuất phát từ tc (x+1)t b t −a t = tc xt
Ta có tc (x+1)t b t −a t = tc xt + tc xt (a t −b t +c t ) b t −a t
Kết hợp với (2.3) ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.10 Cho n ≥ 1, b > 0, và x ∈ R, ta có
Chú ý: a) Trong Hệ quả 2.2.10, cho b = c, ta được kết quả sau
Bn(x+ 1) = Bn(x) +nx n−1 , n ≥ 1. b) Tương tự, từ đạo hàm của đa thức Bernoulli tổng quát, ta được
Do đó đa thức Bernoulli xác định duy nhất bởi hai công thức trên đây. Định lý 2.2.11 Cho a, b, c > 0, a 6= b, n ≥ 0 và x ∈ R, thì
Tương tự, ta có tc (x+y)t b t −a t ∞
Bn(x+y;a, b, c) n! t n ; tc (x+y)t b t −a t = tc xt b t −a t c yt
C n k y n−k (lnc) n−k B k (x;a, b, c))t n n!; tc (x+y)t b t −a t = tc yt b t −a t c xt
C n k y n−k (lnc) n−k Bk(x;a, b, c). Định lý được chứng minh. Định lý 2.2.12 Cho m, n là hai số tự nhiên, với mọi số dương b, ta có đẳng thức sau: m
(n+ 1)(lnb) n [B n+1 (m+ 1; 1, b, b)−B n+1 (1; 1, b, b)]. Chứng minh: Từ (2.23) ta có
Bn(x+ 1; 1, b, b) =Bn(x; 1, b, b) +n(lnb) n−1 x n−1 ta suy ra n−1 1
Do đó ta có điều cần chứng minh.
Chú ý: a) Việc tính giá trị của tổngPm j=1j n là vấn đề thú vị mà được nghiên cứu trong nhiều bài báo. b) Ta có
Số Bernoulli và số Euler, cùng với đa thức Bernoulli và đa thức Euler, có thể được khái quát hóa hơn nữa Đây là một vấn đề quan trọng sẽ được nghiên cứu trong tương lai.
Một số bài toán sơ cấp ứng dụng dãy số Bernoulli và đa thức
Ứng dụng trong tính tổng các phần tử của dãy số
Tổng các lũy thừa bậc k các số tự nhiên
Tổng của n số tự nhiên 1,2,3, , n là
Công thức này có thể được xây dựng bằng cách viết
Sau đó, tổng các số hạng tương ứng ta được
Một cách khác để đạt được tổng trên là việc sử dụng hai biểu diễn dưới đây:
Tổng quát hơn, tổng lũy thừa bậc k của n số tự nhiên đầu tiên được ký hiệu:
Từ a 0 = 1 với mọi a, chúng ta có S 0 (n) = n Cho k ∈ N, ta có thể tính tổng Sk(n) bằng việc sử dụng:
Ta thấy S k (n) là đa thức bậc (k+ 1) của n Sử dụng công thức này ta được:
Bernoulli quan sát thấy rằng tổng lũy thừa bậc k của n số tự nhiên đầu tiên có thể trùng khớp với cách viết
Chú ý rằng hằng số 1, 1 2 , 12 1 ,0, là độc lập vớik Bernoulli viết lại biểu thức (3.5) dưới dạng
Công thức Bernoulli được biểu diễn dưới dạng C k+1 i B i n k+1−i, trong đó Bi là số Bernoulli thứ i Để dễ hiểu hơn, ta có thể viết lại công thức này.
S k (n) = (n+B) k+1 −Bk+1 k + 1 trong đó B là ký hiệu được sử dụng để nhận định lũy thừa bậc i của
B cùng với số Bernoulli thứ i là B i và
Ký hiệu này thúc đẩy định nghĩa đa thức Bernoulli bậc k
Dãy số Bernoulli, ký hiệu là B_i, cho phép chúng ta tính toán trực tiếp để từ đó áp dụng vào việc tính Sk(n) Đây là một ứng dụng quan trọng của số Bernoulli trong các bài toán toán học.
Tổng đan dấu lũy thừa các số tự nhiên
Chứng minh: a) Khi n là số chẵn, ta có tổng sau:
X r=1 r m b) Khi n là số lẻ, tương tự ta cũng có kết quả giống như trên Vì vậy, với mọi n ta có kết quả sau: n
Sử dụng công thức (3.6) về tổng lũy thừa các số tự nhiên ta có: n−1
Từ đó ta suy ra: n−1
(−1) k−1 k 3 Áp dụng công thức trên với n = 101, m = 3, ta được:
Ứng dụng trong tính tổng Euler-Maclaurin
Định lý 3.2.1 khẳng định rằng, với f(x) là hàm số khả vi đến cấp m trên đoạn [a, b], bxc là hàm phần nguyên, Br là số Bernoulli và Bn(x) là đa thức Bernoulli, ta có thể áp dụng công thức liên quan đến các yếu tố này.
Thay vào biểu thức trên ta được:
Lần lượt thay k = a đến k = b−1, sau đó cộng tất cả lại ta được:
Rút gọn f(b) ở hai vế ta được b−1
Mà B1 = − 1 2 nên − 1 2 (f(b)−f(a)) tương ứng với số hạng của tổng phía sau với r = 1 Do đó, ta đi đến điều phải chứng minh b−1
Bm(x− bxc)f m (x)dx. Định lý 3.2.2 Cho f(x) là hàm số khả vi đến cấp 2m trên [a, b] Khi đó ta có công thức sau: b−1
Chứng minh: Áp dụng Định lý 3.2.1 với m chẵn và chú ý rằng:
Ta có điều phải chứng minh.
Ứng dụng trong tổng của chuỗi điều hòa và hằng số Euler-Mascheroni
Tổng của chuỗi điều hòa
Định nghĩa 3.3.1 Hằng số Euler-Mascheroni (hay còn gọi là hằng số
Euler) ký hiệu là γ và được định nghĩa bởi γ = lim n−→∞
(3.10) Định lý 3.3.2 Với γ là hằng số Euler-Mascheroni, ta có n−1
Z h n f(x)dx = h lnxih n =ln(h)−ln(n), trong đó 1 < n < h, n, h∈ N Ta có f (2r−1) (x) = (−1) 2r−1 (2r −1)! x 2r f (2m) (x) = (2m)! x 2m+1 Áp dụng Định lý 3.2.2 ta có: h−1
Mặt khác, từ đẳng thức n−1
1 k. Cho m = 2 và bỏ qua phần dư R2m ta có
Lưu ý rằng, ta có thể áp dụng Định lý 3.2.2 một cách trực tiếp: n−1
Tuy nhiên, nếu bỏ qua R2m thì ta thu được kết quả có độ chính xác khá thấp.
Tính hằng số Euler-Mascheroni
Từ công thức tính tổng chuỗi điều hòa ta có thể tính hằng số Euler- Mascheroni γ bằng công thức dưới đây: γ n−1
B 2m (x− bxc) 2m+ 1 dx trong đó 2 ≤ m 0, Re(y)>0. Định nghĩa 3.4.3 Hàm Gamma là hàm được định nghĩa bởi Γ(z) Z ∞
0 x z−1 e −x dx (3.15) với Re(z)>0 Định lý 3.4.4 Với ζ(p) là hàm Riemann Zeta và B(p, q) là hàm Beta, p 6= 1 ta có đẳng thức sau: n−1
B m (x− bxc) x p+m dx. Ở đây, m là số chẵn và bpc ≤ m