Skkn môn toán thpt giải phương trình bằng phương pháp lập hệ phương trình đối xứng loại ii

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II" skkn PHẦN A: MỞ ĐẦU I.Lý chọn đề tài Trong trường THPT mơn Tốn mơn quan trọng Nó tiền đề việc giảng dạy học tập mơn khác như: Hóa học, Vật lý, Sinh học giúp phát triển tư cho học sinh, giúp em có khả phân tích, tổng hợp, so sánh, tưởng tượng, sáng tạo Như biết phương trình, hệ phương trình chương trình tốn phổ thơng có nhiều dạng phương pháp giải khác Người giáo viên việc nắm dạng phương trình cách giải chúng để hướng dẫn học sinh cần phải xây dựng lên đề toán để làm tài liệu cho việc giảng dạy rèn luyện tư toán học cho học sinh khá, giỏi Bài viết đưa số quy trình xây dựng lên phương trình, hệ phương trình Qua quy trình tơi rút phương pháp giải cho dạng phương trình, hệ phương trình tương ứng Các quy trình xây dựng đề tốn trình bày thơng qua ví dụ, tốn đặt sau ví dụ Đa số tốn xây dựng có lời giải hướng dẫn Quan trọng số lưu ý sau lời giải giúp ta giải thích “Vì lại nghĩ lời giải này” Qua q trình cơng tác giảng dạy trường THPT tơi nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải tốn thân thầy, cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách hướng dẫn cho học sinh tiếp thu tiếp cận giải Song địi hỏi người thầy cần phải tìm tịi nghiên cứu tìm nhiều phương pháp cách giải qua tốn để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động, tư sáng tạo, phát triển tốn đề xuất tự làm toán tương tự nghiên cứu, bồi dưỡng skkn II.Phạm vi đối tượng đề tài Việc đào tạo chất lượng học sinh ôn thi đại học cho khối 10, 11, 12 cần thiết Vì vậy, tơi mạnh dạn xây dựng SKKN “Giải phương trình phương pháp lập hệ phương trình đối xứng loại II” với mong muốn thầy, cơ, đồng nghiệp tham khảo Những tốn có tác dụng khơng nhỏ việc rèn luyện tư toán học thường thử thách học sinh kỳ thi học sinh giỏi cấp, kỳ thi Olympic kỳ thi Đại học III Mục đích nghiên cứu Góp phần vào phương pháp giải phương trình bậc cao, phương trình vơ tỷ phương pháp lập hệ phương trình để giải chúng Phát triển tư lơgíc học sinh gặp phương trình với cách liên hệ giải hệ phương trình Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ cơng tác thân q trình tự nghiên cứu để áp dụng vào giảng dạy IV Nhiệm vụ nghiên cứu Xét số tập phương trình bậc cao, phương trình vơ tỉ giải cách đưa hệ phương trình đối xứng loại II gần đối xứng V Phương pháp nghiên cứu Phân tích, giải cụ thể đưa đến xây dựng tổng quát Từ đối chiếu rút kết luận VI.Điểm nghiên cứu Xây dựng số phương trình bậc cao, phương trình vơ tỉ sở hệ đối xứng loại II skkn PHẦN B : NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Định nghĩa hệ đối xứng loại II Hệ đối xứng loại II hệ phương trình gồm ẩn x, y cho đổi chỗ vai trị x y phương trình trở thành phương trình hệ Xét hệ phương trình đối xứng loại II Phương pháp giải hệ đối xứng loại II  Trừ vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích có dạng : (x-y).f(x,y)=0  Kết hợp phương trình tích với phương trình hệ để suy nghiệm hệ phương trình Như từ hệ đối xứng loại II có cách giải truyền thống ta xuất phát theo hướng sau để khai thác phương trình lập ngược lại có ln cách giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II gần đối xứng Từ (2) suy skkn Thay vào (1) ta c Đến cách chọn , , a, b ta xây dựng đợc phơng trình vô tỉ Cách giải phơng trình dạng đặt (hoặc - để đa hệ đối xứng loại II đà biết cách giải Ta xây dựng số phơng trình gii cú th dựng phng pháp đưa hệ phương trình đối xứng loại II gần đối xứng II.Xây dựng phương trình giải cách lập hệ đối xứng loại II Ví dụ Xét hệ đối xứng loại hai Ta có tốn sau Bài toán (THTT, số 250, tháng 04/1998) Giải phương trình x + (2-3x2)2 = Giải Đặt y = - 3x2 Ta có hệ Lấy (1) trừ (2) ta x - y = (x2 - y2) skkn Với y = x, thay vào (1) ta Với , thay vào (2) ta Phương trình cho có bốn nghiệm Lưu ý: Từ lời giải ta thấy phương trình bậc cao : x + (2-3x2)2 = Nếu khai triển (2 - 3x2)2 đưa phương trình cho phương trình bậc bốn, sau biến đổi thành phương trình tích (x + 1) (3x - 2) (9x2 - 3x - 5) = Vậy xây dựng tốn, ta cố ý làm cho phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ phương pháp khai triển đưa phương trình bậc cao, sau phân tích đưa phương trình tích gặp nhiều khó khăn Ví dụ Xét phương trình bậc hai có hai nghiệm số vơ tỉ Do ta xét Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình 8x – 5(5x2 – 1)2 = – Giải Đặt 2y = 5x2 – Khi Lấy (1) trừ (2) theo vế ta skkn 2(y – x) = (x2 – y2) Với y = x, thay vào (1) ta Với y = – , thay vào (1) ta Phương trình cho có bốn nghiệm Ví dụ Xét phương trình bậc ba Do ta xét Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình Giải Đặt Ta có hệ Lấy (1) trừ (2) theo vế ta skkn 6(y – x) = 8(x3 – y3)  (x – y) [8(x2 + xy + y2) + 6] = (3) Vì x2 + xy + y2 ≥ nên (x2 + xy + y2) + > Do từ (3) ta x = y Thay vào (1) ta (4) Sử dụng công thức cos  = cos3 – 3cos ta có cos = 4cos3 – cos cos = 4cos3 – cos cos = 4cos3 – cos Vậy x = cos , x = cos , x = cos tất nghiệm phương trình (4) tất nghiệm phương trình cho Lưu ý Phép đặt 6y = 8x3 + tìm sau: Ta đặt ay + b = 8x + tìm sau) Khi từ PT cho có hệ Cần chọn a b cho Vậy ta có phép đặt 6y = 8x3 + VÝ dô Cho  = 3,  = 2, a = 3, b = thay vào (*) ta đợc Ta có toán sau skkn (vi a, b s Bài toán (HSG Hồ Chí Minh năm học 2004-2005) Giải phơng trình Giải: Điều kiện x Phơng trình viết lại (3x + 2)2 = (1) , suy (3y + 2)2 = 3x + KÕt hỵp víi (1) ta cã hƯ §Ỉt 3y + = §Ĩ x, y tháa m·n (1) (2) x v y Lấy (2) trừ (3) ta đợc 3(x y) (3x + 3y + 4) = 3(y – x)  (x – y)(3x + 3y + 5) =  Với y = x, thay vào (2) ta đợc (tha mãn) (3x + 2)2 = 3x +  9x2 + 9x – =  (loại) Với y = – (3x + 5), thay vào (2) ta (3x + 2)2 = –3x +  9x2 + 15x + = (thỏa mãn)  (loại) skkn Các nghiệm phương trình cho x = Lưu ý Có phương pháp để tìm cách đặt 3y + = n= sau: Ta đặt my + , với m, n chọn sau cho hệ hai ẩn x, y thu hệ đối xứng loại hai Từ my + n = từ phương trình cho ta có hệ Để hệ đối xứng lại hai  Ví dụ Cho  = 1,  = 1, a = , b = thay vào (*) ta Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình 2x2 + 4x = Ví dụ Cho  = 2,  = –1, a = 8000, b = thay vào (*) ta (2x – 1)2 = 4000 Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình Nếu xét hệ 10 skkn Từ phương trình ta Thay vào phương trình hệ Ví dụ Chọn  = 1,  = 1, a = 3, b = 5, ta (x +1)3 = Ta có tốn sau Bài tốn (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2009) Giải phương trình x3 + 3x2 Giải Tập xác định R Phương trình cho tương đương (x +1)3 = Đặt y + = (1) Ta có hệ Lấy (1) trừ (2) theo vế ta (x + 1)3 – (y + 1)3 = - 3(x – y)  (x – y) [(x + 1)2 + (x + 1) (y + 1) + (y + 1)2 +3] =  x =y (do (x + 1)2 + (x + 1) (y + 1) + (y + 1)2  0) 11 skkn Thay vào (1) ta (x + 1)3 = 3x +  x3 + 3x2 – =  Phương trình cho có hai nghiệm x = x = –2 Ví dụ Cho  = 2,  = 0, a = 4004, b = – 2001 ta Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình III Xây dựng phương trình giải cách lập hệ “gần” đối xứng Ví dụ Ta xây dựng phương trình vơ tỉ có nghiệm theo ý muốn Xét x = Khi Ta mong muốn có phương trình chứa (ax + b) chứa , phương trình giải cách đưa hệ “gần” đối xứng (nghĩa trừ theo vế hai phương trình hệ ta có thừa số (x – y)) Vậy ta xét hệ Không hệ đối xứng loại II giải hệ Nếu có phép đặt sau thay vào phương trình (2x – 5)3 = – x + 2y – ta 8x3 – 60x2 + 150x – 125 = – x + 12 skkn Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình Giải Cách Tập xác định R Phương trình viết lại Đặt 2y – = Kết hợp với (1) ta có hệ Lấy (3) trừ (2) theo vế ta (x – y) [(2x–5)2 + (2x –5) (2y– 5) + (2y– 5)2] = 2(y–x)  Ta có (4)  y = x Thay vào (2) ta (2x – 5)3 = x –  8x3 – 60x2 + 149x – 123 =  (x – 3) (8x2 – 36x + 41) =  x = Do A2 + AB + B2 = nên (5) xảy Phương trình có nghiệm x =3 Do phương trình có nghiệm x = nên ta nghĩ đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số sau: Cách Tập xác định R Đặt y = Ta có hệ 13 skkn Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta 8x3 – 60x2 + 152x – 128 = y3 + y + 8x3 – 60x2 + 150x – 125 + 2x – = y3 + y  (2x – 5)3 + (2x – 5) = y3 + y (*) Xét hàm số f(t) = t3 + t Vì f’(t) = 3t2 + > 0, tR nên hàm f đồng biến R Do (*) viết lại f(2x – 5) = f(y)  2x – = y Bởi (2x – 5) =  (2x – 5)3 = x – 8x3 - 60x2 + 149x – 123 =  (x – 3) (8x2 – 36x + 41) =  x = Phương trình có nghiệm x = Ví dụ 10 Xét phương trình bậc ba đó, chẳng hạn xét 4x + 3x = Phương trình tương đương 8x3 +6x =  8x3 = – 6x  2x = Ta “lồng ghép” phương trình cuối vào hàm đơn điệu sau: (2x)3 + 2x = +4– 6x  8x3+8x – = Ta toán sau 14 skkn Bài toán 10 Giải phương trình 8x3 + 8x – = Giải Tập xác định phương trình R Cách Phương trình cho tương đương (2x)3 + 2x = + – 6x Xét hàm số f(t) = t3 + t, t R Vì f’(t) = 3t2 + > 0, t  R nên hàm số f (t) đồng biến R Mà PT (1) viết lại f ( ) = f(2x) nên tương đương = 2x  8x3 + 6x =  4x3 + 3x = (2) Vì hàm số g(x) = 4x3 + 3x có g’(x) = 12x2 + > 0, x  R nên PT (2) có khơng q nghiệm Xét 2= Do đó, đặt = Vậy Ta có nghiệm PT (2) nghiệm phương trình cho Cách 2: Phương trình viết lại Đặt 2y = Ta có hệ 15 skkn Lấy PT (b) trừ PT (a) theo vế ta 8(x3 – y3) = 2(y – x)  (x – y) [4(x2 + xy + y2) + 1] =  y = x Thay y = x vào (a) ta 8x3 = -6x +  4x3 + 3x = Đến làm giống cách Bài toán 11 (Chọn đội tuyển TP Hồ Chí Minh dự thi quốc gia năm học 2002-2003) Giải phương trình Giải Tập xác định R Phương trình viết lại (1) Đặt Kết hợp với (1) ta có hệ Lấy (3) trừ (2) theo vế ta 2(x – y) [(2x – 3)2 + (2x – 3) (2y – 3) + (2y – 3)2] = 2(y – x) Ta có (4)  y = x Thay vào (2) ta 16 skkn (2x – 3)3 = 3x –  8x3 – 36x2 + 54x – 27 = 3x – Do A2 + AB + B2 = nên (5) xảy Phương trình có ba nghiệm x = 2, x = Bài tốn 12 (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2006) Giải phương trình Giải Tập xác định phương trình R Đặt Ta có hệ Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 8(x3 – y3) = 2(y-x)  (x – y) [4(x2 + xy+ y2) + 1] =  y = x Thay y = x vào (2) ta 8x3 – 6x =  4x3 – 3x = cos (3) Sử dụng công thức cos  = cos3 - cos ta có cos = cos3 - cos cos = cos3 - cos , cos = cos3 - cos 17 skkn Vậy x = cos , x = cos , x = cos tất nghiệm phương trình (3) tất nghiệm phương trình cho Lưu ý Ta cịn giải cách khác sau: Phương trình viết lại (3) Xét hàm số f(t) = t3 + t,tR Vì f’(t) = 3t2 + > 0, tR nên hàm số f(t) đồng biến R Mà PT (2) viết lại nên tương đương Đến ta làm cách Bài tốn 13: Giải phương trình Ta thực nhóm sau Đặt , chọn cho hệ thu giải (hệ gần đối xứng) Ta có Để giải hệ ta lấy (1) nhân với k cộng với 2 : mong muốn có nghiệm x=y , nên ta phải có Ta chọn Ta có lời giải sau: 18 skkn Với điều kiện Đặt Ta có hệ phương trình sau : Với x=y Với Tập nghiệm phương trình IV.Bài tập tham khảo Giải phương trình sau: x2 -2x =2 2x2 -6x-1= 8x3-4x-1 = 7x2 -13x +8= 2x2 8x2- 13x +7= x3 19 skkn V Kết sáng kiến kinh nghiệm Với phương pháp tổ chức cho học sinh tiếp nhận học cách chủ động, tích cực, tất em hứng thú học tập thực hăng hái làm tập giao nhà tương tự Phương pháp dạy học dựa vào nguyên tắc:  Đảm bảo tính khoa học xác  Đảm bảo tính lơgic  Đảm bảo tính sư phạm  Đảm bảo tính hiệu Khi trình bày tơi ý đến phương diện sau:  Phù hợp với trình độ nhận thức học sinh  Phát huy lực tư toán học học sinh Qua thực tế giảng dạy lớp chuyên đề 10A4, 10A5, 10A6 Các em hào hứng sơi giải phương trình với cách đưa hệ Cụ thể kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh năm học 2011-2012 2012-2013 trước sau áp dụng sáng kiến sau: 20 skkn Tổng số học sinh Trước áp dụng Sau SKKN Yếu áp dụng TB Khá Giỏi 35 60 4,2 29,2 49,8 16,4 SKKN TB Khá Giỏi Yêú 120 Kém Số lượng 10 50 50 10 % 8,4 41,6 41,6 8,4 20 PHẦN C: KẾT LUẬN I.Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm Việc rèn luyện cho em lực tư độc lập sáng tạo, đặc biệt phương trình hệ phương trình áp dụng cho kỳ thi đại học thúc nghiên cứu để viết lên tài liệu, khiến tơi tâm huyết tìm hiểu nghiên cứu SKKN Qua năm giảng dạy trực tiếp, ôn luyện cho học sinh THPT để em áp dụng làm tốn liên quan đến phương trình, hệ phương trình đề thi đại học tơi thấy em thực có hứng thú Đây sáng kiến nhỏ nhằm góp phần vào chuyên đề bồi dưỡng học sinh phần phương trình hệ phương trình, từ xây dựng thêm tốn phương trình,hệ phương trình Đối với học sinh mong em quan tâm tìm đọc tài liệu nói phương trình hệ phương trình coi tư liệu để em gặp tốn khơng cịn bỡ ngỡ khó khăn q trình suy luận giải tốn Tơi viết lên SKKN với mong muốn làm hành trang cho 21 skkn trình giảng dạy trao đổi, giao lưu với q thầy, nhà trường II.Những học kinh nghiệm Nếu học sinh biết phương pháp có hiệu em tự tin giải toán dạng dạng tương tự Tuy nhiên tốn có nhiều cách giải , phương pháp giải dài phương pháp khác lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận phương pháp khác III.Khả ứng dụng triển khai sáng kiến Có thể áp dụng cho học sinh giỏi khối 10, 11, 12 luyện thi đại học lớp học chuyên đề khối A, A1 IV.Những kiến nghị đề xuất Nên giới thiệu cho học sinh phương pháp giải phương trình với cách giải đưa hệ đối xứng loại II, gần đối xứng loại II Trên phần tóm tắt báo cáo sáng kiến kinh nghiệm Rất mong thầy,cơ đồng nghiệp đóng góp ý kiến để SKKN tơi hồn thiện thực tài liệu tham khảo Cuối xin cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu nhà trường, đồng nghiệp giúp đỡ tơi hồn thành SKKN 22 skkn ... nghĩa hệ đối xứng loại II Hệ đối xứng loại II hệ phương trình gồm ẩn x, y cho đổi chỗ vai trị x y phương trình trở thành phương trình hệ Xét hệ phương trình đối xứng loại II Phương pháp giải hệ đối. .. vào phương pháp giải phương trình bậc cao, phương trình vơ tỷ phương pháp lập hệ phương trình để giải chúng Phát triển tư lơgíc học sinh gặp phương trình với cách liên hệ giải hệ phương trình. .. đối xứng loại II  Trừ vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích có dạng : (x-y).f(x,y)=0  Kết hợp phương trình tích với phương trình hệ để suy nghiệm hệ phương trình Như từ hệ đối xứng