Skkn giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN’’ skkn PHẦN I: MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Giải tích tốn học cịn gọi đơn giản Giải tích Giải tích ngành toán học nghiên cứu khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép tốn giải tích "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố nghiên cứu giải tích thường mang tính chất "động" tính chất "tĩnh" Đại số Chính mà phần lớn học sinh THPT lúng túng gặp khó khăn học Giải tích nói chung Ngun hàm, Tích phân nói riêng Bên cạnh đó, đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm qua, tốn liên quan đến tích phân khơng thể thiếu tốn khơng thuộc loại khó Tuy nhiên học sinh coi tích phân tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp tính tích phân Trong thực tế nhiều học sinh tính tích phân cách máy móc là: Tìm ngun hàm hàm số cần tính tích phân dùng cơng thức phương pháp đổi biến số phương pháp tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay khơng? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa khơng? Phép biến đổi hàm số có tương đương khơng? Vì q trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai Qua thực tế giảng dạy ôn thi nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh Vì tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: ‘‘Giúp học sinh khắc phục số sai lầm thường gặp tính tích phân’’ Phạm vi nghiên cứu Các dạng tốn ngun hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm q trình tính tốn chương III – Giải tích 12 skkn Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 12A1 12A6 ôn thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN thi HSG tỉnh Thanh Hóa Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải tốn tích phân nói riêng đạt kết cao trình học tập kỳ thi nói chung II THỰC TRẠNG Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm tích phân ứng dụng” thường gặp phải khó khăn sau: - Khơng nắm vững định nghĩa Ngun hàm, Tích phân - Khơng nắm vững phương pháp đổi biến số - Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) phần III CÁC GIẢI PHÁP CỦA SÁNG KIẾN Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: - Đưa hệ thống lí thuyết, hệ thống phương pháp giải - Lựa chọn ví dụ, tập cụ thể Phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh thường mắc phải, vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải toán - Thực nghiệm sư phạm skkn PHẦN II: NỘI DUNG I CƠ SỞ KHOA HỌC Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Kí hiệu: Nhận xét: Khi bắt đầu học nguyên hàm em học sinh thường hay lúng túng hay bị nhầm với đạo hàm Để tránh bị nhầm em nên ý: “Để tính ta cần tìm hàm số cho đạo hàm f(x)” Tính chất: Các tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa a) b) c) Tích phân Định nghĩa: Ta có cơng thức Niu tơn – Laipnitz Tính chất Tính chất 1: Tính chất 2: với k R skkn Tính chất 3: Tính chất 4: Ngồi cịn dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ: ‘‘Cái sai đến gần đến đúng’’, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUN HÀM, TÍCH PHÂN Việc tính ngun hàm hàm trình ngược lại đạo hàm Do mà tơi đưa phương pháp có tính đường lối Nó dẫn dắt từ đạo hàm hàm hợp đạo hàm hai hàm Đó phương pháp: - Sử dụng nguyên hàm - Phương pháp đổi biến số - Phương pháp tính Tích phân phần III NỘI DUNG CỤ THỂ Một số sai lầm học sinh tính tích phân Tính tích phân việc sử dụng nguyên hàm Bằng việc sử dụng nguyên hàm hàm số sơ cấp xác định ngun hàm từ tính giá trị tích phân * Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp ( -1) ( -1) skkn * Bài tập minh họa Bài tập 1: Tính tích phân sau: I = Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm sau: I= = =- =- Nguyên nhân sai lầm: Hàm số y = suy hàm số không liên tục không xác định x = nên không sử dụng công thức Newtơn – Leibnitz cách giải skkn Lời giải đúng: Hàm số y = không liên tục không xác định x = suy hàm số tích phân không tồn Bài tập 2.(Đề thi HSG tỉnh Thanh hóa năm 2006-2007) Cho tích phân , Tìm cho theo thứ tự lập thành cấp số cộng Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm sau: Ta có: Thoả mãn yêu cầu tốn Ngun nhân sai lầm: Vì hàm số f(x) = không liên tục a = nên tích phân khơng tồn Lời giải đúng: Điều kiện tồn : Phương trình vơ nghiệm Khi đặt Ta có , đổi cận ta skkn , Suy ra: Thoả mãn yêu cầu toán Chú ý học sinh: Khi tính cần ý xem hàm số y = f(x) có liên tục khơng? có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho cịn khơng kết luận tích phân khơng tồn * Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: 1/ I1 = 2/ I2 = 3/ I3 = 4/ I4 = Chú ý: Trong dạng tốn có tốn khó Các bạn thường phải áp dụng phương pháp hệ số bất đinh để làm Xét dạng sau Tính tích phân với P(x) Q(x) đa thức x  Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) dùng phép chia đa thức  Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) xét trường hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn đặt skkn + Khi đặt với    đặt + Khi Khi ta phải thiết lập hệ phương trình để tìm A, B, C, A 1, A2,…,An thay vào tích phân để tính cách đơn giản Tính tích phân phương pháp đổi biến số: Giả sử ta cần phải tìm Trong nhiều trường hợp cách thuận lợi ta coi u hàm liên tục có đạo hàm theo biến x Như việc tìm đưa việc tìm cách đơn giản Bài tập Tính tích phân Sai lầm thường gặp: Đặt x = sint dx = costdt Nguyên nhân sai lầm: học sinh đổi biến không đổi cận Lời giải đúng: Đặt x = sint suy dx = cost.dt Đổi cận: skkn Bài tập 2: Tính tích phân: I = Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan = I= tan = = dx = d(t+1) = = ; = +c - khơng xác định nên tích phân không tồn Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tan , với x x = tan khơng có nghĩa Lời giải đúng: I= = = tg * Chú ý học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm * Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: 10 skkn 1/ I1 = 2/ I2 = Bài tập 3: Tính tích phân: I = dx Sai lầm thường gặp: I= dx = Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi với x không tương đương Lời giải đúng: I= dx = =* Chú ý học sinh: I= ta phải xét dấu hàm số f(x) dùng tính chất tích phân tách I thành tổng phần khơng chứa dấu giá trị tuyệt đối tính Một số tập tương tự: 11 skkn 1/ I1 = 3/ I3 = dx ; dx 2/ I2 = 4/ I4 = dx dx Bài tập 4: Tính I = Sai lầm thường gặp: I= Nguyên nhân sai lầm : Đáp số tốn khơng sai Nhưng khái niệm hàm ngược khơng đưa vào chương trình THPT Lời giải đúng: Đặt x + = tant Đổi cận : với x = -2 t = 0; với x = -1 t = Khi I = * Chú ý học sinh: Các khái niệm arcsinx, arctanx khơng trình bày sách giáo khoa Học sinh đọc thấy số tập áp dụng khái niệm sách tham khảo, sách viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến khái niệm khơng có sách giáo khoa nên học sinh không áp dụng phương pháp 12 skkn Vì gặp tích phân dạng ta thường dùng phương pháp đổi biến số đặt t = atanx t = acotx đặt x = asint x = acost * Một số tập tương tự: 1/ I = 2/ I = 3/ I = Bài tập 4: Tính: I = Sai lầm thường gặp: Đặt x= sint, dx = costdt I= Đổi cận: với x = t = với x= t = arcsin ? Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = khơng tìm xác t = ? Lời giải đúng: Đặt t = dt = Đổi cận: với x = t = 1; với x = t = 13 skkn I= = * Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa thường đặt x = asint gặp tích phân hàm số có chứa a2 + x2 đặt x = atant cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp cịn khơng phải nghĩ đến phương pháp khác * Một số tập tương tự: 1/ I = 2/ J = Bài tập 5: Tính I = Sai lầm thường mắc: I = Đặt t = x+ Đổi cận với x = -1 t = -2; với x=1 t=2 I= = = (ln -ln = ) = 14 skkn Nguyên nhân sai lầm: sai chứa x = nên chia tử mẫu cho x = Nhưng từ sai lầm bạn thấy x = không thuộc tập xác định cách làm thật tuyệt vời Lời giải đúng: Viết = = = Khi I = = = * Chú ý học sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải khơng chứa điểm x = * Một số tập tương tự: 1) (Viết: ) 2) (đặt x = - t) 3) (đặt t = 4) (đặt x = acost) (a > 0) ) 15 skkn 5) (đặt x = atant) (a > 0) 6) (đặt t = 1+sin2x ) PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Từ đẳng thức: (uv)’= uv’+u’v Ta có: Để tính tích phân cơng thức tính tích phân phần ta thực bước sau: Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu dạng Bước 2: Đặt Bước 3: Khi Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân phần để tính tích phân, cần tuân thủ theo nguyên tắc sau : Lựa chọn phép đặt dv cho v xác định cách dễ dàng Tích phân xác định cách dễ dàng so với I Chúng ta cần nhớ dạng sau : Dạng 1: 16 skkn I= Khi cần đặt u = lnx Dạng 2: I với P đa thức Khi ta đặt u = p(x) Dạng 3: I (hoặc I ) Với P(x) đa thức ta đặt u=P(x) Dạng 4: I (hoặc I ) Khi đặt u = cosax (hoặc u= sinax) Bài tập 1: Tính I = Sai lầm thường mắc: I Đặt Phân tích sai lầm: Học sinh viết chung số c cho phép tính nguyên hàm Lời giải đúng: I Bài tập 2: Tính tích phân Sai lầm thường mắc: Đặt 17 skkn Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh hiểu sai chất cơng thức lấy tích phân phần Lời giải đúng: Đặt Bài tập 3: Tính tích phân * Sai lầm thường mắc: * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” quy tắc nguyên hàm tích thay sử dụng cơng thức tích phân phần * Lời giải đúng: * Cách khắc phục: Yêu cầu em học thuộc tính chất nguyên hàm tích phân Giúp em tổng quát hoá dạng toán sử dụng phương pháp tích phân phần Chú ý: Thực tế cho thấy tốn tích phân mà chứa hàm ln, sin, cos, hàm mũ Thì cần nên nghĩ đến phương pháp tích phân phần gặp khó khăn Có tốn mà cần phải sử dụng tích phân phần nhiều lần Chú ý toán sau 18 skkn Bài tập 4: Tính I = Đặt I Tính: I1 I1 Đặt I1 I Do đó: Như vậy: Tích phân bạn khơng biến đổi theo hướng gặp nhiều khó khăn Cách làm áp dụng tích phân mà gồm hai hàm đạo hàm có tính chất lặp lặp lại * Một số tập tương tự: a) I1 = c) I3 = 19 skkn 20 skkn PHẦN III: KẾT QUẢ Kết nghiên cứu Tích phân loại tốn đa phần có phương pháp tính cụ thể nên dễ hiểu, đơn giản, dễ trình bày, dễ dàng tính tốn, thực phép tốn đơn giản Giúp học sinh cảm thấy hứng thú giải tốn tích phân Vì vậy, nghiên cứu, phân tích số sai lầm học sinh tính tích phân có ý nghĩa lớn q trình dạy áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy nhhững điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề, từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực, chủ động, củng cố trau thêm kiến thức tính tích phân Từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập thi tuyển vào trường Đại học, cao đẳng, THCN thi HSG cấp tỉnh Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy kết đạt khả quan nhiều Cụ thể thực nghiệm sư phạm tiến hành hai lớp có trình độ tương đương Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra sau: Bài tập: Tính tích phân sau 1) I1 = (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009) 2) I2 = (Đề thi ĐH khối B năm 2004) 3) I3 = (Đề thi HSG Thanh Hóa 2010-2011) Số liệu thống kê kết thể qua bảng sau đây: 21 skkn Bảng: Kết kiểm tra cụ thể sau: Điểm Số Lớp 10 lượng TN (12A6) 0 10 13 ĐC (12A1) 0 15 10 45 48 Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, có 68,9% giỏi Có em đạt điểm tuyệt đối Lớp ĐC có 81,3% điểm trung bình trở lên, có 33,3% điểm giỏi, khơng có HS đạt điểm tuyệt đối Kết kiểm tra cho thấy kết lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng đạt giỏi Một nguyên nhân phủ định lớp thực nghiệm HS thường xuyên thực phương pháp (như sử dụng trên) cách thức tìm tịi lời giải toán… Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục khó khăn sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập tích phân qua đề thi tốt nghiệp đề thi đại học, cao đẳng năm trước toán liên quan; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm 22 skkn Kiến nghị, đề xuất: Vì tốn có nhiều cách giải, nên q trình học tập giải tốn ta cố gắng suy nghĩ tìm tịi nhiều cách giải cho tốn, lựa chọn phương pháp mà tâm đắc cho tốn Từ tiết kiệm thời gian làm đặc biệt tránh sai sót đáng tiếc Vì vậy, học giáo viên dạy nên cố gắng vận dụng linh hoạt phương pháp giải để học sinh học tập giải tập cách tốt nhằm nâng cao chất lượng dạy học Trên quan điểm cá nhân tơi việc giảng dạy phần tích phân để chuẩn bị cho kì thi tới Trong trình biên soạn chắn cịn nhiều thiếu sót, mong Thầy em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài tơi hồn thiện áp dụng rộng rãi 23 skkn ... từ tính giá trị tích phân * Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp ( -1) ( -1) skkn * Bài tập minh họa Bài tập 1: Tính tích phân sau: I = Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm. .. học sinh khắc phục số sai lầm thường gặp tính tích phân? ??’ Phạm vi nghiên cứu Các dạng tốn nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm q trình tính tốn chương III – Giải tích 12 skkn Đối tượng... 1: Tính I = Sai lầm thường mắc: I Đặt Phân tích sai lầm: Học sinh viết chung số c cho phép tính nguyên hàm Lời giải đúng: I Bài tập 2: Tính tích phân Sai lầm thường mắc: Đặt 17 skkn Nguyên nhân