Skkn cải tiến phương pháp giải các bài toán dãy số bằng công cụ lượng giác trong chương trình toán thpt

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN DÃY SỐ BẰNG CƠNG CỤ LƯỢNG GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT" skkn Khi đề cập cách giải toán dãy số thường sử dụng phương pháp quy nạp đại số, nên chưa làm sáng tỏ chất, cách xác lập dãy số , gây khó khăn cho học sinh gặp tốn nâng cao dãy số có cơng thức truy hồi phi tuyến tính Đa số tốn thường phải sử dụng cơng cụ lượng giác I Mục đích đề tài: -Cải tiến phương pháp phát tính chất nêu giải pháp cho tốn dãy số cơng cụ lượng giác mà tài liệu chưa đề cập cách trực tiếp,toàn diện -Với cách tiếp cận giải vấn đề dãy số nhờ lượng giác ,với toán minh họa ,người đọc có hứng thú say mê nghiên cứu khoa học, sử dụng linh hoạt kiến thức giải tích như: hàm số ,đa thức,cấp số,dãy số,giới hạn,đạo hàm ,tích phân,phương trình hàm đại số,lượng giác -Từ giải pháp , giáo viên học sinh vận dụng để rèn luyện kỹ xử lý tình huống,tư sáng tạo, giải tốn nâng cao ,phức hóa sáng tác tập hay nhằm ôn luyện phục vụ vào kỳ thi học sinh giỏi cấp II/ Mô tả giải pháp: Thực trạng: 1.1 Những hạn chế: -Sách giáo khoa, sách tham khảo có, đề cập cách giải toán dãy số thường sử dụng phương pháp quy nạp đại số, nên chưa làm sáng tỏ chất, cách xác lập dãy số , gây khó khăn cho học sinh gặp tốn nâng cao dãy số có cơng thức truy hồi phi tuyến tính Đa số tốn thường phải sử dụng cơng cụ lượng giác -Theo quy định Bộ Giáo dục Đào tạo, cấu trúc đề thi học sinh giỏi phải có tốn kiểm tra giải tích mà thường xét tính chất hàm số, dãy số 1.2 Ưu điểm giải pháp mới: -Học sinh trang bị phương pháp tiếp cận cách giải tốn dãy số phi tuyến nhờ cơng cụ lượng giác -Tập cho học sinh bước đầu có hứng thú say mê nghiên cứu khoa học, sử dụng linh hoạt kiến thức học giải tích như: hàm số, đa thức, cấp số, dãy số, giới hạn, đạo hàm , tích phân, phương trình hàm đại số, lượng giác -Giáo viên nắm bắt phương pháp từ sáng tác tập phù hợp với đối tượng học sinh trực tiếp bồi dưỡng skkn 2.Nội dung giải pháp 2.1 Tiếp cận giải toán tính chất dãy số nhờ định dạng lượng giác số hạng, hệ số công thức truy hồi dãy số xét tính chất có cung lượng giác dãy lượng giác Ta minh họa ví dụ sau: Ví dụ 1:Cho dãy (un) có u1=cosa;u2=cos2a, un+1=2cosa.un -un-1khi n>1 Tìm Sn =u1 +u2 +…+un Giải: Bằng qui nạp ta có số hạng tổng quát có dạng đa thức lượng giác un=kcosna+lsinna Theo giả thiết có Suy :k=1;l=0 Vậy : un=cosna Sn =u1 +u2 +…+un =cosa+cos2a+…+cosna= Ví dụ 2: Cho dãy số (un) , (vn) có u0=0;v0=cosa, un=un-1 +2vn-1sin2a ;vn= vn-1 +2un-1cos2a n>0 Tìm số hạng tổng quát un ;vn Giải: Xét un +kvn=(1+2kcos2a )un-1 +(k+2sin2a)vn-1 Cho tỉ lệ 1:k=(1+2kcos2a ):(k+2sin2a) ta có k=tana k=-tana suy :un +tana.vn=(1+2sina.cosa )un-1 +(tana+2sin2a)vn-1 un –tana.vn=(1-2sina.cosa )un-1 +(-tana +2sin2a)vn-1 Vậy : un +tana.vn=(1+sin2a)(un-1 +tana.vn-1 ) un –tana.vn=(1-sin2a)(un-1 –tana.vn-1 ) Khi : un +tana.vn=(1+sin2a)n(u0 +tana.v0 )=(1+sin2a)n sina un –tana.vn=(1-sin2a)n(u0 –tana.v0 ) =-(1-sin2a)n sina skkn Ta coi un ;vn nghiệm hệ bậc Vậy giải hệ ta có : un = vn= Ví dụ 3:(đề tác giả sáng tác gửi cho hội đồng đề thi quốc gia năm 2008) Cho dãy số (Vn) nguyên ,n>1 =sin có u1= ; un=un-1+2un-2+…+(n-1) u1;với n Tìm giới hạn dãy (Vn) n Giải: Ta xét cung lượng giác có : un=un-1+2un-2+…(n-1) u1 Suy un-un-1=2un-2+…(n-1) u1 = [un-2+…(n-2) u1]+[un-2+…+ u1] Vậy : un-2un-1= un-2+…+ u1(*) Thay n b ởi n-1 có : un-1-2un-2= un-3+…+ u1(**) T (*) v (**) ta có : un-2un-1= un-2 + un-1-2un-2 Suy un-3un-1+ un-2 =0 Phương trình đặc trưng :t2-3t+1=0 có nghiệm Vậy : un =A.( )n+B.( Do u1=1; u2=1 suy A=1Thử lại un =(1Suy : 3-nun =(1- )n ;B=1+ )n+(1+ ).( ).( ; )n+(1+ )n thoả toán ).( ).( skkn )n Do 0< nên 0, u2 > Giả sử un > 0với n k Ta có Vậy, un > với n thuộc Z+ Ta lại có Giả sử skkn Ta có: Vậy Ta lại có hàm y = ex hàm đồng biến R b) Ta có : Mặt khác, ta có Mà Vậy Ví dụ 2: Cho dãy (un) (vn) : skkn Tìm số hạng tổng quát un Giải: U0 =2 = U1 = ; V1 = U2 = ; V2 = U3 = ; V3 = Chứng minh qui nạp có : Un = Vn = 2.3.Giải toán thi học sinh giỏi liên quan phương pháp ví dụ như: Bài 1: (đề thi chọn HSG quốc gia năm 2001) Cho số thực a dãy số (xn) có x0=a ;xn+1=xn+sinxn Chứng minh dãy số có giới hạn n Bài (đề thi chọn HSG quốc gia năm 1990) Cho dãy (xn) có ;xn= n>1 skkn tìm giới hạn a/Cần thêm điều kiện để dãy cho tồn số dương b/Dãy số có tuần hồn khơng ?tại sao? Bài (đề thi chọn HSG quốc gia năm 1994) Cho số thực a dãy số (xn) có x0=a ;xn= Chứng minh dãy số có giới hạn n tìm giới hạn Phạm vi áp dụng : Giải pháp dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi cấp học trung học phổ thông ,Giáo viên nghiên cứu sáng tác tập để bồi dưỡng tùy theo đối tượng học sinh 4.Hiệu ứng dụng giải pháp : Đề tài có ý nghĩa cải tiến phương pháp giải tốn dãy số nhờ cơng cụ lượng giác.Đây tài liệu tác giả dùng để bồi dưỡng cho học sinh lớp chuyên toán đội tuyển tỉnh Kết quả:Lớp chuyên thân phụ trách đạt 10 giải /14 họcsinh, HCV,1HCB toàn miền Nam skkn ... tốn kiểm tra giải tích mà thường xét tính chất hàm số, dãy số 1.2 Ưu điểm giải pháp mới: -Học sinh trang bị phương pháp tiếp cận cách giải toán dãy số phi tuyến nhờ công cụ lượng giác -Tập cho... bồi dưỡng skkn 2.Nội dung giải pháp 2.1 Tiếp cận giải tốn tính chất dãy số nhờ định dạng lượng giác số hạng, hệ số cơng thức truy hồi dãy số xét tính chất có cung lượng giác dãy lượng giác Ta minh... tính Đa số tốn thường phải sử dụng cơng cụ lượng giác I Mục đích đề tài: -Cải tiến phương pháp phát tính chất nêu giải pháp cho tốn dãy số cơng cụ lượng giác mà tài liệu chưa đề cập cách trực