SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HOÁ SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HOẰNG HOÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM HƯỚNG GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện Ng[.]
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HOẰNG HOÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM HƯỚNG GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: Nguyễn Thị Hương Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS Hoằng Thắng SKKN MƠN: TỐN THANH HĨA NĂM 2017 skkn Mục lục Nội dung Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vần đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Kết luận, đề xuất Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá xếp loại Trang 1 1 1 1, 2 2-9 10 11 skkn Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong dạy học toán, việc hướng dẫn học sinh tìm hướng giải tốn việc làm quan trọng mà giáo viên cần phải có ý thức thực “Hướng dẫn học sinh tìm hướng giải tốn bất đẳng thức” khơng phải cơng việc dễ Nó địi hỏi người giáo viên phải có hiểu biết, có lịng nhiệt huyết có nguyên tắc đắn Đứng trước toán giáo viên biết cách khéo léo hướng dẫn người học có cảm giác tự làm tập đó, gây hứng thú cho người học Được hướng dẫn tìm tịi lời giải giáo viên, học sinh có cách hiểu biết khơng tốn làm mà tốn có dạng tương tự Mỗi tốn có nội dung tốn học địi hỏi trình độ tư khác học sinh Do địi hỏi người giáo viên hướng dẫn tìm tịi lời giải theo hướng khác Để giải toán bất đẳng thức, học sinh phải thực tư duy, đào sâu suy nghĩ để tìm hướng Sau tìm hướng học sinh cảm thấy u thích mơn tốn Đây lý tơi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh tìm hướng giải tốn bất đẳng thức” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Để giúp học sinh có nhìn tổng qt giải toán bất đẳng thức Rèn cho học sinh khả phân tích xem xét tốn Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải, để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén giải bất đẳng thức, tạo lòng say mê sáng tạo, ngày tự tin, khơng cịn tâm lý ngại ngùng việc giải toán bất đẳng thức Giúp giáo viên tìm phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh, làm cho học sinh có thêm hứng thú học mơn tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp – Trường THCS Hoằng Thắng 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu qua tài liệu, SGK, SGV, SBT Toán 8, - Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến bất đẳng thức - Nghiên cứu qua thực hành lớp qua giải học sinh Bằng phương pháp thực nghiệm sở học sinh giỏi lớp 9A phương pháp khác: Phương pháp quan sát, phương pháp điều tra giáo dục, phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động, phương pháp nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm gíáo dục, phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm skkn Xuất phát từ tầm quan trọng tập dạy học toán giúp học sinh hứng thú học tốn, tìm điều thú vị tốn học, từ nắm vững kiến thức để vận dụng vào sống cách thiết thực có hiệu Thơng qua việc “Hướng dẫn học sinh tìm hướng giải toán bất đẳng thức” giúp em củng cố, đào sâu, mở rộng kiến thức Đây việc làm cần thiết giáo viên dạy mơn tốn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp, thấy nguyên nhân dẫn đến việc học sinh ngại giải tập bất đẳng thức do: - Lúng túng việc xác định hướng giải - Khả liên hệ mạch kiến thức yếu - Chưa biết phân tích đề để tìm phương pháp giải khác - Chưa nắm vững kiến thức cần thiết hỗ trợ giải tập 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Trước hết giúp học sinh biết hệ thống hoá kiến thức học, tìm mối liên hệ kiến thức với kiến thức khác thông qua sơ đồ tư - Giúp học sinh nắm vững trình tự để giải tập toán + Bước 1: Đọc kĩ đề , nắm vững liệu, điều biết, điều phải tìm + Bước 2: Vạch kế hoạch giải: Tìm liên hệ chưa biết biết tìm phương pháp giải khác + Bước 3: Thực kế hoạch giải + Bước 4: Kiểm tra lại lời giải Bài tập Cho x, y, z ba số thực tùy ý Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 –yz - 4x – 3y -7 * Hướng giải quyết: Vì đa thức có chứa đơn thức x2; y2; z2; yz; 4x; 3y nên nghĩ đến vận dụng đẳng thức (A B)2, thêm chút khéo léo giúp đến: x2 + y2 + z2 –yz -4x – 3y = (x – 2)2 + ( y - z)2 + (y - )2 – * Bài giải cụ thể: x + y2 + z2 –yz - 4x – 3y = (x2 – 4x + 4) + ( y2 – yz + z2) + ( y2 – 3y + 3) -7 skkn = (x – 2)2 + ( y - z)2 + (y - )2 – -7 với x, y, z R (đpcm) * Nhận xét: Với định hướng cách giải đa số học sinh giỏi giải tập Các em bớt lo lắng, suy nghĩ tốn bất đẳng thức khó nên khơng thể giải Bài tập Cho số a, b, c lớn Q= + Tìm giá trị nhỏ biểu thức: + * Hướng giải quyết: Từ biểu thức Q điều kiện a, b, c - > 0; - > 0; -5>0 Giúp nghĩ đến vận dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương * Bài giải cụ thể: Vì b > 2 Áp dụng BĐT Cơsi cho số dương, ta có +2 –5≥2 +2 –5≥2 ≥2 -2 +5 (1) Chứng minh tương tự ta có: ≥2 -2 +5 (2) skkn ≥2 -2 +5 (3) Từ (1), (2) (3) ta có Q ≥ 15 Dấu “=” xảy a = b = c = 25 (thích hợp) Vậy giá trị nhỏ Q 15 *Nhận xét: Đây tốn khó cấu trúc đề thi vào lớp 10, đề thi HSG lớp 9, đề thi học kỳ toán Tuy nhiên với định hướng giải góp phần tháo gỡ khó khăn cho em Bài tập 3: Cho số dương x,y,z Chứng minh bất đẳng thức: + + >2 *Hướng giải quyết: Các biểu thức dấu bất đẳng thức cần chứng minh giúp ta nghĩ đến: x+(y+z) y+(x+z) z+(x+z) Khéo léo giúp đến + + >2 Tiếp tục tìm cách để xem dấu đẳng thức xảy nào? * Bài giải cụ thể Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương ta có: x + (y + z) ≥ Do đó: skkn ≥ (1) Chứng minh tương tự ta có: (2) (3) Từ (1), (2) (3) ta có + + Dấu “=” xảy x+y+z=0 Điều vơ lý x; y; z > Dấu “=” không xảy Vậy có + + >0 * Nhận xét: Với tốn khơng có định hướng giải giáo viên số học sinh làm Nhưng với định hướng số lượng em giải tăng lên rõ rệt Bài tập Cho ba số x, y, z thỏa mãn Chứng minh x2 + y2 + z2 11 *Hướng dẫn giải quyết: skkn Bí để giải dạng tốn khai thác điều kiện để từ ta có (x + 1)(y + 1)(z + 1) + (3 – x)(3 – y)(3 – z) giúp ta lời giải tốn * Bài giải cụ thể Ta có Do -1 x xyz + xy + yz + zx + x + y + z + -1 y -1 z Suy (x + 1)(y + 1)(z + 1) Và (3 – x)(3 – y)(3 – z) 0 Và 27 + 3xy + 3yz + 3zx – 9x – 9y – 9z –xyz 2xy + 2yz + 2zx -2 (vì x + y + z = 3) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx (x + y + z)2 32 x2 + y2 +z2 – x2 + y2 +z2 – x2 + y2 +z2 – x2 + y2 + z2 11 (đpcm) Ghi chú: Bài toán tổng quát: Cho x, y, z thỏa mãn (Với m, n, p thỏa mãn 2m + n p 2n + m Chứng minh x2 + y2 + z2 (m + n + p)2 + m2 + n2 Bài tập Cho a, b số dương thỏa mãn: a2 + 2b2 3c2 skkn Chứng minh: * Hướng giải Ta có tốn quen thuộc: Cho x, y, z > Chứng minh giúp nghĩ đến cịn tìm cách chứng minh xong *Bài giải cụ thể Ta có (a – b)2 a2 -2ab + b2 2a2 – 4ab + 2b2 2a2 – 5ab + 2b2 9ab (a + 2ab)(b + 2a) 9ab (1) Mặt khác ta có = Mà a2 + 2b2 3c2 nên ta có Vì ta có Từ (1) (2) ta có = = (2) (đpcm) skkn * Nhận xét: Bài toán giáo viên định hướng cho học sinh tháo gỡ nút thông qua bất đẳng thức quen thuộc Dẫn đến việc giải toán nhẹ nhàng nhiều Bài tập 6: Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy a) Chứng minh dấu “=” xảy b) Chứng minh dấu “=” xảy * Hướng giải a) Phương pháp biến đổi tương đương giúp có lời giải tốn b) Vì có ( = Do áp dụng bất dẳng thức Côsi cho hai số dương vận dụng câu a) cho ta lời giải toán * Bài giải cụ thể: a) + (x – y)(x + xy2 – y – x2y) skkn (x – y) (x – y)2(1 – xy) (Bất đẳng thức (x – y)2 xy 1 – xy Dấu “=” xảy x = y xy = b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương vận dụng a), ta có ( = Dấu “=” xảy x=y * Nhận xét: GV hướng dẫn học sinh vận dụng kết câu a) vào giải câu b) hay dễ hiểu Bài tập Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh: *Hướng giải quyết: Dễ dàng nhận từ ab + bc + ca = giúp có P = 2(a + b + c) Từ a, b, c dương ab + bc + ca = 1; khơng khó khăn để có P *Bài giải cụ thể: Vì ab + bc + ca = Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c) Tương tự ta có: b2 +1 = (a + b)(b + c); c2 + = (a + c)(b + c) Do đó: P = 10 skkn = + + =a+b+b+c+c+a = 2(a + b + c) = =2 Dấu “=” xảy a=b=c= Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = * Nhận xét: Với định hướng giải mà giáo viên gợi ý cho học sinh giúp em tìm cách giải ngắn gọn, đơn giản Đó thành cơng giáo viên việc dạy học giải toán trường THCS Bài tập Chứng minh bất đẳng thức: +….+ * Hướng giải Việc phát > ; > …… > Rồi “lồng ghép” vào tổng + +…+ = + thật đặc sắc *Bài giải cụ thể: Ta có > ; > ; …; > Do +….+ 11 skkn = ( > ( = ( + + + + + +…+ + + ) + …+ ) + = (- ) ) = (-1 + 9) = Bài tập Cho a, b, c số dương a + b + c Chứng minh * Bài giải cụ thể Ta có a, b, c > a + b + c 1 (a + b + c)2 9(a2 + 2bc) + 9(b2 + 2ca) + 9(c2 + 2ab) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có 9(a2 + 2bc) + 9(a2 + 2bc) + (2) Tương tự có 9(b2 + 2ca) + (3) 9(c2 + 2ab) + (4) Từ (1), (2), (3) (4) ta có 12 skkn Dấu “=” xảy a=b=c= Nhận xét: Dễ nhận phải giải tốn cách vận dụng bất đẳng thức Cơsi Việc dự đoán dấu “=” xảy a = b = c = gúp điều chỉnh hệ số thích hợp để có (2), (3) (4) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Số liệu điều tra trước sau thực đề tài Thông qua khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp năm học liên tiếp 2015-2016; 2016-2017 (số lượng: 10 em) dạng tập chứng minh bất đẳng thức Tôi thu kết sau: Năm học 2015-2016 Năm học 2016-2017 Số học sinh tham gia Số HS giải Số HS (10 em) Tỉ lệ Tỉ lệ giải Khi chưa có định 30% 30% hướng giải GV Khi có định 50% 70% hướng giải GV Qua thực tế giảng dạy năm học 2015-2016; 2016 – 2017 Tôi áp dụng phương pháp này, kết học sinh khá, giỏi lớp 9A hứng thú giải toán BĐT hơn, chất lượng học mơn tốn có chuyển biến tích cực Các học sinh khác dù chưa giải tốn BĐT cách hồn chỉnh em khơng cịn ngại tiếp xúc với tốn dạng BĐT Thơng qua lời giải giáo bạn, kết em nâng lên rõ rệt KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trên kinh nghiệm cá nhân mà q trình giảng dạy mơn tốn bậc THCS đúc kết Tôi mong kinh nghiệm đồng nghiệp bổ sung, hồn thiện áp dụng q trình dạy học khơng mơn tốn mà cịn môn học khác Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2017 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung 13 skkn người khác Người viết Nguyễn Thị Hương DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Hương Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Hoằng Thắng TT Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Tên đề tài SKKN Xây dựng cách tìm lời giải các bài Toán chương ôn tập và bổ túc số tự nhiên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) C Năm học đánh giá xếp loại 2004-2005 14 skkn Giải bằng nhiều cách các bài Toán Khơi dậy hứng thú học môn Hình học của HS THCS Giải bằng nhiều cách một số Bất Đẳng thức Ứng dụng định lý Ta lét vào chứng minh bài Toán Hình học Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên cho HS THCS Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa B 2009-2010 C 2010-2011 C 2011-2012 C 2012-2013 C 2014-2015 15 skkn ... skkn Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong dạy học toán, việc hướng dẫn học sinh tìm hướng giải tốn việc làm quan trọng mà giáo viên cần phải có ý thức thực ? ?Hướng dẫn học sinh tìm hướng giải tốn bất. .. Đây lý tơi chọn đề tài: ? ?Hướng dẫn học sinh tìm hướng giải tốn bất đẳng thức? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu: Để giúp học sinh có nhìn tổng qt giải toán bất đẳng thức Rèn cho học sinh khả phân tích xem... địi hỏi người giáo viên hướng dẫn tìm tịi lời giải theo hướng khác Để giải toán bất đẳng thức, học sinh phải thực tư duy, đào sâu suy nghĩ để tìm hướng Sau tìm hướng học sinh cảm thấy u thích mơn