Một số đề thi chọn đội tuyển hsg quốc gia, hsg cấp trường, cấp tỉnh môn toán lớp 12 năm 2022 2023

Một số đề thi chọn đội tuyển hsg quốc gia, hsg cấp trường, cấp tỉnh môn toán lớp 12 năm 2022 2023 Một số đề thi chọn đội tuyển hsg quốc gia, hsg cấp trường, cấp tỉnh môn toán lớp 12 năm 2022 2023 Một số đề thi chọn đội tuyển hsg quốc gia, hsg cấp trường, cấp tỉnh môn toán lớp 12 năm 2022 2023 Một số đề thi chọn đội tuyển hsg quốc gia, hsg cấp trường, cấp tỉnh môn toán lớp 12 năm 2022 2023 Một số đề thi chọn đội tuyển hsg quốc gia, hsg cấp trường, cấp tỉnh môn toán lớp 12 năm 2022 2023

Trang 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

TOANMATH.com

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 12 THPT

Khóa ngày 21 tháng 09 năm 2022

MƠN THI: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

_

Câu 1 (5,0 điểm)

1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 32 ()

3 4 2022

3

y= x −mx + m+ x+ đồng biến trên

2 Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có n con cá (n < 12) thì khối lượng trung bình mỗi con cá sau một vụ thu hoạch bằng 60n−5n2 (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích mặt hồ để thu được khối lượng cá lớn nhất?

Câu 2 (4,0 điểm)

1 Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong một nhóm gồm 6 nam và 4 nữ để làm trực nhật Tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn có nhiều nhất 3 học sinh nam

2 Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên thỏa mãn f( )7=16f( )1 Chứng minh rằng phương trình

()()

4f x− −1f x+2= có nghiệm trên đoạn 0 2;5

Câu 3 (5,5 điểm)

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 3a, tam giác SAB vng tại S và nằm trong mặt

phẳng vng góc với mặt phẳng đáy a Chứng minh rằng SA⊥(SBC)

b Biết góc giữa SD và mặt phẳng (SAB bằng 60 Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng )(SBD )

2 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: 2 cos 2( A+cos 2B)+ =7 4 cos( A+ 2 cosB) Tính số đo góc C

Câu 4 (3,5 điểm) 1 Giải hệ phương trình: ()()()2222512720,.221xxyyx yyxyxx++ +−− =+ + =−+ +

2 Cho dãy số ( )un xác định bởi công thức:

()12*14149 ,2nnnuu + uun==−+ 

a Chứng minh rằng dãy số ( )un tăng và khơng bị chặn trên b Đặt 12111111nnSuuu=+++−−− Tính limS nCâu 5 (2,0 điểm)

Trang 11

1 Chứng minh rằng 123

y+  x

2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P10x6y2z432xyz

=+++ + +

- HẾT -

Trang 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

TOANMATH.com

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 12 THPT

Khóa ngày 21 tháng 09 năm 2022

MƠN THI: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

_

Câu 1 (5,0 điểm)

1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 32 ()

3 4 2022

3

y= x −mx + m+ x+ đồng biến trên

2 Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có n con cá (n < 12) thì khối lượng trung bình mỗi con cá sau một vụ thu hoạch bằng 60n−5n2 (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích mặt hồ để thu được khối lượng cá lớn nhất?

Câu 2 (4,0 điểm)

1 Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong một nhóm gồm 6 nam và 4 nữ để làm trực nhật Tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn có nhiều nhất 3 học sinh nam

2 Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên thỏa mãn f( )7=16f( )1 Chứng minh rằng phương trình

()()

4f x− −1f x+2= có nghiệm trên đoạn 0 2;5

Câu 3 (5,5 điểm)

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 3a, tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt

phẳng vng góc với mặt phẳng đáy a Chứng minh rằng SA⊥(SBC)

b Biết góc giữa SD và mặt phẳng (SAB bằng 60 Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng )(SBD )

2 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: 2 cos 2( A+cos 2B)+ =7 4 cos( A+ 2 cosB) Tính số đo góc C

Câu 4 (3,5 điểm) 1 Giải hệ phương trình: ()()()2222512720,.221xxyyx yyxyxx++ +−− =+ + =−+ +

2 Cho dãy số ( )un xác định bởi công thức:

()12*14149 ,2nnnuu + uun==−+ 

a Chứng minh rằng dãy số ( )un tăng và không bị chặn trên b Đặt 12111111nnSuuu=+++−−− Tính limS nCâu 5 (2,0 điểm)

Trang 13

1 Chứng minh rằng 123

y+  x

2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P10x6y2z432xyz

=+++ + +

- HẾT -

Trang 17

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022

MƠN THI: TỐN

Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1 a/ Cho hàm số 13xyx

 có đồ thị  C Gọi I là giao điểm của của hai đường tiệm cận của  C Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d y x m:   cắt  C tại hai điểm phân biệt

,

M N sao cho tam giác MNI có trọng tâm nằm trên  C

Lời giải Chọn C Tập xác định D\ 3 .111

lim lim lim 1 1

33 1xxxx xy yxx      

  là tiệm cận ngang của đồ thị  C

3lim 3x y x     là tiệm cận đứng của đồ thị  C 3; 1I

  là giao điểm của của hai đường tiệm cận của  C

Phương trình hồnh độ giao điểm: 1 2  

2 3 1 0 *3xx m x m x mx         

Đường thẳng d y x m:   cắt  C tại hai điểm phân biệt  * có hai nghiệm phân biệt và khác 3

 216 0; 8 0;8 0 mm m        

Đường thẳng d y x m:   cắt  C tại hai điểm phân biệt M x x 1; 1m N x x , 2; 2m với x x là 1, 2nghiệm phương trình  *

, ,

M N I tạo thành tam giác khi m  4

Tam giác MNI có trọng tâm 12 3 12 2 1 1

; ; 13 3 3x x x x m mG         m       4 2 21 8 12 068mmG C m m mmm             Vậy m2;m6

b/ Cho hàm số y f x  liên tục trên , biết   63 2 2 

2 8 3 4 ,

f x x x x  x m  m  x 

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y f x  có 5 điểm cực trị.

   22  00 28 3 4 0 *xf x xg x x x m m          

Hàm số y f x  có 5 điểm cực trị  đồ thị hàm số y f x có hai điểm cực trị nằm bên phảitrục Oy  f x  có hai nghiệm bội lẻ0

 *PT

Trang 18

PT * có hai nghiệm trái dấu và khác 2223 733 16 01; 423 4 0 1; 4m m mmm m m                PT * có một nghiệm bằng 0 2 13 4 04mm mm       Với 2 01 8 08 0xm x xx         Vậy m  1Với 2 04 8 08 0xm x xx        Vậy m 4Vậy m  1; 4.Câu 2 ( 4,0 điểm ) a) Giải bất phương trình 2.9 3.6 26 4xxxx 

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2

322 1log 3 8 127 54 9xx x mx x m      có 2

nghiệm phân biệt thuộc 1;2    Lời giải a) Điều kiện: 6x 4x  x 0.Ta có: 32 32.9 3.6 2 2 26 4 213xxxxxx              Đặt 32xt      , điều kiện t và 0 t 1Bất phương trình đã cho trở thành: 22 3 2 5 22 01 11t t ttt     323211 log0 220 log 21 2xtxt          

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 3 3

221;log 0;log 22S           b) Điều kiện: 2123 6 0xx x m    23222332 1log 3 8 127 54 9log (2 1) log (3 6 ) 3 8 1 (*)x x x mx x mx x x m x x m             Đặt u3x26x m v , 2x1u0,v0.

Trang 19

33

log u u log v v   u v

Suy ra3x26x m 2x 1 3x28x m  1 0

Yêu cầu bài tốn trở thành tìm m để phương trình : 3x28x m  1 0 có hai nghiệm phân biệt

thuộc khoảng 1;2    Ta có 3x28x m     1 0 m 3x28x1 Xét hàm số g x( ) 3x28x có bảng biến 1thiên sau

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc 1;2    khi 9 134 m 3

Câu 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a, đường chéo AC a Tam giác SAD là tam giác cân tại S và SAD  ABCD Biết SA tạo với đáy một góc bằng 45.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC

b) Gọi M là trung điểm SD , lấy điểm N thuộc cạnh SC sao cho SN2NC, gọi Plà giao điểm của

AMN với BC Tính thể tích khối đa diện AMNPCD

Trang 20

a) Gọi H là trung điểm AD.

Suy ra   ; 45 .

2a

SH ADSH ABCD  SA ABCD SAH SAH  SH AH

Ta có AB CD//  AB//SCDd AB SC ; d AB SCD ;d A SCD ;2d H SCD ;.Đáy là hình thoi cạnh bằng a, đường chéo AC a nên tam giác ACD đều

Gọi I J, lần lượt là trung điểm CD ID, Khi đó HJ CD

Gọi Llà hình chiếu của H lên cạnh SJ Khi đó ta chứng minh được HLSCD.

Do đó 222222221 2; ; 212HS AIHS HJd H SCD HL d AB SC HLHS HJHS AI           

Ta có tam giác ACD đều cạnh bằng a nên 32aAI  Vậy 22221 3 .2 2 2 3; 271 3.2 2 2a ad AB SCa a                 b) Gọi Q MN CD P BCAQ.

Trang 21

Ta có 1 5 6 6QPNCAMNPDCQAMDQAMDV QP QN QCV VV  QA QM QD  Lại có 231 1 1 1 1 3 3 .2 2 3 6 6 2 2 24

MADQSADQAQDABCD

a a aV  V  SH S  SH S  Vậy 5 5 3 36 144AMNPDCQAMDaV  V 

Câu 4 a)Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển 20023

2 5

b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập A0;1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9 Lấyngẫu nhiên 1 số từ tập S Tính xác suất để lấy được số có dạng abcdef sao cho a b c d e f 1400.

Lời giải

a) Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển 20023

2 5

Số hạng tổng quát của khai triển 200232 5 là: 200232120022 5kkkkT C  Để 200232120022 5kkkkT C  là số ngun thì ta có: 3 3 2022 ( , )2 202220022kk nm nk mk            Từ đó ta suy ra 2 ,0 2 674n ppp     Vậy có 674 1 338

2   số p thoả mãn tức là có 338 số hạng là số nguyên trong khai triển

2002

3

2 5

b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập A0;1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9 Lấyngẫu nhiên 1 số từ tập S Tính xác suất để lấy được số có dạng abcdef sao cho a b c d e f 1400.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: n  9.105.

Gọi X là biến cố lấy được số có dạng abcdef sao cho a b c d e f 1400 Ta có 1400 2 5 7 2.4.5 7.1 8.5 7.1.1 32  2  2 Trường hợp 1: a b c d e f, , , , , là 1 trong 6 số: 2, 2,2,5,5,7 có 6! 1203!.2!.1! số abcdef Trường hợp 2: a b c d e f, , , , , là 1 trong 6 số: 2, 4,5,5,7,1 có 6! 3601!.1!.1!2!.1! số abcdef Trường hợp 3: a b c d e f, , , , , là 1 trong 6 số: 8,5,5,7,1,1 có 6! 1802!2!.1!.1! số abcdef Vậy số phần tử của tập X là n X 120 360 180 660  

Xác suất của biến cố X là   6605 224

9.10 3.10

P X  

Trang 22

Lời giải:

Theo giả thiết: 2 2 2

1 3 1a ab b   a b  ab (1).Đặt s a bp ab   Điều kiện: 2 4s  p Khi đó ( 1) trở thành: 2 3 1 2 3 1 0 13s  p s  p     pMà s24p nên 3p 1 4p p 1 Ta có: a2ab b 2 1 a2b2 1 ab 2 2  244 2 22 2 2 2 2 1 2 2a b   a b  a b   ab  ab  Suy ra 2  2 2 2 2 21 2 2 1 2 2 2 1 11 1 2 2 2ab ab p p p p pPab p p p                  Xét hàm số   122pf pp  với 113 p     222 2'2222 2 2 12 1 2 1 4 52 2 2p p p pp p p p pf pp p p                  '210 4 5 0 15 ;13pf p p pp             Ta có: 1 163 15f     và f  1  0

Suy ra: Giá trị lớn nhất của P là 0 khi 1 1