BÀI TẬP VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN (TIẾP THEO) I Phương pháp giải 1 Các hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính a) Hai đường tròn cắt nhau Nếu hai đường tròn ( )O và ( '''')O cắt nhau thì OO''''R[.]
Trang 1BÀI TẬP VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN (TIẾP THEO)
I Phương pháp giải
1 Các hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính
a) Hai đường trịn cắt nhau
Nếu hai đường tròn ( )O và ( ')O cắt nhau thì OO'
R r R r
b) Hai đường trịn tiếp xúc nhau
* Nếu hai đường trịn tiếp xúc ngồi với nhau thì: OO' R r
* Nếu hai đường trịn ( )O và ( ')O tiếp xúc trong với nhau thì: OO' R r
c) Hai đường trịn khơng giao nhau * Hai đường trịn ở ngồi nhau OO' R r
Hai đường tròn đựng nhau Hai đư ờng tròn đồng tâm
Trang 22 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường trịn Có hai loại tiếp tuyến chung là:
* Tiếp tuyến chung trong * Ti ếp tuyến chung ngoài
II Bài tập
Bài 1: (35/122/SGK T1)
Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn ( ; )O R và ( '; )O r có OO'd; Rr
Vị trí tương đối của hai đường tròn
Số điểm chung Hệ thức giữa d R r, ,
( , )O R đựng ( ', )O rd R rTiếp xúc ngoài d R r2 Giải
Vị trí tương đối của hai đường tròn
Trang 3( , )O R đựng ( ', )O r 0 d R rỞ ngoài nhau 0 d R rTiếp xúc ngoài 1 d R rTiếp xúc trong 1 d R rCắt nhau 2 R r dR rBài 2: (36/123/SGK T1)
Cho đường trịn tâm O bán kính OAvà đường trịn đường kính OA a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C Chứng minh ACCD
Giải
GT ( ;O OA); (O'đường kính OA)Dây ADcủa ( )O cắt ( ')O tại C
KL * Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
* ACCD
Chứng minh
a) Dùng kiến thức cơ bản nào để xét vị trí tương đối của hai đường tròn ( )O và đường tròn ( ')O ?
Muốn biết vị trí tương đối của đường tròn ( )O và ( ')O ta sử dụng hệ thức: Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau thì: OO' R r
OO' OA O A'( )O
và ( ')O tiếp xúc trong với nhau b) Chứng minh ACCD
Trang 4Từ tư duy đó cho thấy muốn có CA CD phải chứng minh AOC vng tại C
AOCcó O A O O''O C' (cùng là bán kính của ( ')O ) nên '
2
AB
O C AOCvng tại C(Theo định lí: Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc cạnh nào bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vng)
OCAD
AODcó OA OD nên là tam giác cân tại OOC vừa là đường cao thuộc đáy AD vừa trung tuyến ứng với cạnh này CACD
Bài 3: (37/123/SGK T1)
Cho hai đường tròn đồng tâm O Dây ABcủa đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở Cvà D Chứng minh ACBD
Giải
GT
Hai đường tròn đồng tâm O
Dây ABcủa đường tròn lớn cắt đường tròn tại Cvà D
KL ACBD
Chứng minh
Từ Okẻ OHAB H(AB)
Trong ( ;O OA)có OH ABHAHB(Theo định lí: Trong một đường trịn, đường kính vng góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy) với đường trịn (O OC;)có
OHCDHCHD(Định lí…) HA HCHB HDACBD.
Bài 4: (38/123/SGK T1)
Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (…):
a) Tâm của các đường trịn có bán kính 1cm, tiếp xúc ngồi với đường tròn (0;3cm) nằm trên… b) Tâm của các đường trịn bán kính 1cmtiếp xúc trong với đường trịn (0;3cm)nằm trên…
Giải
Trang 5b) Tâm của các đường trịn có bán kính 1cm, tiếp xúc trong với đường tròn (0;3cm)nằm trên đường tròn ( ; 2O cm)
Bài 5: (39/123/SGK T1)
Cho hai đường tròn ( )O và ( ')O tiếp xúc ngoài tại A, kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B( )O , ( ')
C O Tiếp tuyến chung trong tại Acắt tiếp tuyến chung ngoài BCtại I a) Chứng minh rằng BAC 90
b) Tính số đo OIO'
c) Tính độ dài BC, biết OA9cm; O A'4cm
Giải
GT ( )O và ( ')O tiếp xúc ngoài tại ABC là tiếp tuyến chung ngoài Tiếp tuyến chung trong tại Acắt BCtại
IKL * BAC 90* Tính OIO'* Tính BCChứng minh a) Chứng minh BAC 90
Có nhiều phương pháp chứng minh một góc có số đo bằng 90
* Muốn chứng minh một góc có số đo bằng 90ta chứng minh góc đó được tạo bởi đường trung tuyến và cạnh đáy của một tam giác cân
* Muốn chứng minh một góc có số đo bằng 90ta chứng minh góc đó được tạo thành theo định lí: Nếu một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vng góc với đường thẳng kia
* Hai đường thẳng chéo của hình thoi thì vng góc với nhau * Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vng góc với nhau
* Hai đường trịn cắt nhau thì đường nối tâm vng góc và chia đơi dây cung chung
Trang 6Muốn giải được câu a) này ta phải sử dụng cách nào trong các cách chứng minh vừa điểm Muốn biết phải sử dụng cách nào ta phải dựa vào giả thiết và kết luận của bài toán với giả thiết “Tiếp tuyến chung ngồi”, tiếp tuyến chung trong ta có:
IBvà IAlà tiếp tuyến của đường tròn ( )O , còn IAvà IClà tiếp tuyến của đường tròn ( ')O Hai góc BIAvà AIClà hai góc kề bù
Theo định lí vì: Hai tiếp tuyến của một đường trịn thì IOlà đường phân giác của BIAvà IO'là phân giác của AICOI O I' (Theo định lí: Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vng góc với nhau )
Vậy OIO' 90 (1)
Từ giả thiết đường trịn ( )O ta có OAOB(R) AOBcân tại O
Theo định lí: Về hai tiếp tuyến của một đường trịn cắt nhau tại một điểm thì OIlà phân giác của góc tạo bởi hai bán kính OAvà OBnên OI AB(tính chất của tam giác cân) AKI 90(2)
Tương tự cũng có AQI 90 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có AKIQlà hình chữ nhật (Dấu hiệu 1: Tứ giác có ba góc vng là hình chữ nhật) BAC 90 (góc của hình chữ nhật)
Cách khác:
Theo giả thiết IBvà IAlà hai tiếp tuyến của đường tròn ( )O nên IAIB(4) (Theo định lí: Hai tiếp tuyến của một đường trịn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm) Tương tự cũng có ICIA (5)
Từ (4) và (5) ta có
2
BC
IBIAIC BAClà tam giác vng tại A(Theo định lí: Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc cạnh nào bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vng) Vậy
90
BAC
Qua hai cách chứng minh trên, ta thấy cách chứng minh thứ hai ngắn gọn hơn Trong hai cách chứng minh này, cách nào hay hơn
Một cách chứng minh được gọi là chứng minh hay khi cách chứng minh đó sử dụng được nhiều kiến thức cơ bản nhất, thể hiện được năng lực tư duy tốt nhất, yêu cầu cuối cùng là dễ hiểu nhất Với tiêu chí đó thì cách chứng minh thứ nhất tốt hơn
Trang 7b) Tính số đo của OIO'.
Do IOlà tia phân giác của AIBvà O I' là tia phân giác của AIC(Theo định lí về hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm: Nếu hai tiếp tuyến của một đường cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến) Mà AIB
và AIC là hai góc kề bù nên hai tia phân giác IO và IO' vng góc với nhau => OIO' = 90°
a) Tính độ dài đoạn BC khi biết OA = 9cm; O’A = 4cm
Có nhiều cách tính độ dài của đoạn BC Cách tốt nhất là lợi dụng các kết quả của các câu trên:
OIO' vng ở I có IA là đường cao thuộc cạnh huyền OO' nên ta có: IA2 = AO.AO' = 9.4 = 36 => IA = 36 = 6 (cm) (Theo định lí 2: Trong một tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vng trên cạnh huyền)