SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn thi TOÁN (Dành cho mọi thí sinh dự thi) Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian gi[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn thi: TỐN (Dành cho thí sinh dự thi) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) 2 2) Cho hai đường thẳng (d): y (m 2) x m () : y 4 x a) Tìm m để (d) song song với () b) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm A(1;2) với m c) Tìm tọa độ điểm B thuộc () cho AB vng góc với () 1) Rút gọn biểu thức A 2 20 20 Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x x x x x y 2 xy y 2) Giải hệ phương trình x2 y x y x2 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 2(m 1) x m2 (1) (m tham số) 1) Giải phương trình m 2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x12 2(m 1) x2 3m2 16 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Vẽ nửa đường trịn đường kính AB AC cho nửa đường trịn khơng có điểm nằm tam giác ABC Đường thẳng d qua A cắt nửa đường trịn đường kính AB AC theo thứ tự M N (khác điểm A) Gọi I trung điểm đoạn thẳng BC 1) Chứng minh tứ giác BMNC hình thang vuông 2) Chứng minh IM = IN 3) Giả sử đường thẳng d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề Hãy xác định vị trí đường thẳng d để chu vi tứ giác BMNC lớn Câu (1,0 điểm) Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 y z y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 ( x 1) ( y 2) ( z 3) - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN: Câu Phần 2 2 A2 1) 2a) 2b) Câu (1,0đ) 2c) Nội dung 20 20 2 20 5 Điểm 0.5 4 (d) song song với () m 4 m 2 m 2 m m Vậy m 2 giá trị cần tìm Thay x 1; y vào phương trình y (m 2) x m được: (m 2).(1) m m m (đúng với m ) Vậy đường thẳng (d) qua điểm A(1;2) với m Cách 1: Vì điểm B thuộc () nên tọa độ điểm B có dạng x0 ;1 x0 ĐK: B khác A hay x0 1 Giả sử phương trình đường thẳng AB y ax b Vì A(1;2) B x0 ;1 x0 nên ta có hệ phương trình: a b 4 x0 a( x0 1) 4 x0 a x0 ax0 b x0 AB vng góc với () 4 x0 (4) 1 aa ' 1 hay x0 5 16 x0 x0 x0 17 5 37 y0 17 17 5 37 Vậy tọa độ điểm B ; 17 17 Cách 2: Giả sử phương trình đường thẳng AB y ax b AB vng góc với () aa ' 1 hay a (4) 1 a phương trình đường thẳng AB có dạng y x b Vì đường thẳng y x b qua A(1;2) nên: (1) b b 4 phương trình đường thẳng AB y x 4 0.5 Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: 5 x y x 5 37 17 B ; 4 17 17 y 4 x y 37 17 x4 2x2 x 2x2 x ( x 2) 2.x x (1) Đặt x x y Phương trình (1) trở thành: y y y y (2) Giải phương trình (2) y1 ; y2 2 Với y 1) x x x x2 2 2 x ( x 2) ( x 1) x x x 1 x x 1.0 Với y 2 x x x x 2 2 2 x ( x 2) ( x 1) x x x x 1 x Câu (2,0đ) Vậy tập nghiệm phương trình (1) S 2) 1; Lời giải thầy Vũ Văn Luyện – Cẩm Giàng – Hải Dương x y 2 xy y (1) x2 y (2) x y x2 Dễ thấy y không nghiệm (1) Với y , ta có: x y y xy y 2 (1) x xy y y 2 x y xy y x y y (4 x y ) x y (3) x2 y (3 x y ) x y x y4 Từ (2) (3) x y (4) x y 3 Đặt x y a Phương trình (4) trở thành: a4 a a 3a a a 4a a 3 (a 2) a x y y 2 x Thay y x vào (2) được: 1.0 x2 x 2 2x2 x2 x x2 x 1 x 1 5 y 2 1 5 1 5 Thử lại ta thấy ; ; 2 2 nghiệm hệ cho Vậy … Khi m phương trình (1) trở thành: (2) x2 x Giải phương trình (2) x1 4; x2 Vậy m phương trình (1) có hai nghiệm: x1 4; x2 x 1) 0.5 Xét ' (m 1)2 m2 2m Phương trình (1) có nghiệm ' m 1,5 Vì x1 nghiệm phương trình (1) nên: x12 2(m 1) x1 m2 x12 2(m 1) x1 m2 Theo đề bài: x12 2(m 1) x2 3m 16 Câu (2,0đ) 2) 2(m 1) x1 m 2(m 1) x2 3m 16 1.5 2(m 1)( x1 x2 ) 4m 20 Mà x1 x2 2(m 1) (theo hệ thức Vi-ét) nên: 4(m 1) 4m2 20 4m2 8m 4m2 20 m (TMĐK) Vậy m = giá trị cần tìm B I d 0.25 M C A Câu (3,0đ) H N Vì AMB, ANC góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên: AMB 90o MA MB 1) ANC 90o NA NC MB // NC BMNC hình thang Lại có AMB 90o nên BMNC hình thang vng 0.75 2) Gọi H trung điểm MN IH đường trung bình hình thang BMNC IH // BM IH MN IMN có HM = HN IH MN IMN cân I Gọi P chu vi tứ giác BMNC Ta có: P = BC + BM + MN + CN = BC + (MA + MB) + (NA + NC) 1.0 Dễ chứng minh bất đẳng thức a b 2(a b2 ) Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: MA MB 2(MA MB2 ) Mà MA2 MB2 AB2 (theo định lí Py-ta-go) 3) MA MB 2AB2 AB Tương tự: NA NC 2AC2 AC P BC 2(AB AC) Dấu “=” xảy MA MB MAB NAC 45o NA NC Vậy d tạo với tia AB tia AC góc 45o chu vi tứ giác BMNC đạt giá trị lớn BC 2(AB AC) Lời giải thầy Vũ Văn Luyện – Cẩm Giàng – Hải Dương Chọn điểm rơi x z 1; y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có: ( x 1) 2( x 1) 1.0 ( y 2)2 2( y 4) ( z 3) ( z 1) 4( z 3) 1 P 2 2( x 1) 0,5( y 4) 2( z 3) Câu (1,0đ) a b c (a b c ) Dễ chứng minh với x, y, z x y z x yz Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: (1 2)2 16 P 2( x 1) 0,5( y 4) 2( z 3) 2( x z ) 0,5 y 10 Từ GT: x2 y z y x z y y 2( x z ) 0,5 y 10 2(3 y y ) 0,5 y 10 1,5 y y 10 16 1,5( y 2) 16 16 P 1 16 x z x z Dấu “=” xảy Vậy P y y Thầy Nguyễn Mạnh Tuấn Trường THCS Cẩm Hoàng – Cẩm Giàng – Hải Dương 1.0