Microsoft Word PTNK2018 LoigiaivaBinhluan (1) docx Bài 1 (1 5 điểm) Cho các phương trình 2 0 (1)x x m− + = và 2 1 0 (2)mx x− + = với m là tham số a) Tìm m để các phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệ[.]
Bài (1.5 điểm) Cho phương trình x − x + m = (1) mx − x + = (2) với m tham số a) Tìm m để phương trình (1) (2) có nghiệm dương phân biệt b) Giả sử điều kiện câu a) thỏa mãn, gọi x1, x2 nghiệm (1), x3, x4 nghiệm (2) Chứng minh x1 x2 x3 + x2 x3 x4 + x3 x4 x1 + x4 x1 x2 > Lời giải tóm tắt a) Ta có điều kiện cần đủ để hai phương trình có nghiệm dương phân biệt Δ1 = − 4m > 0, Δ = − 4m > S1 = > 0, P1 = m > 0, S2 = 1/ m > 0, P2 = 1/ m > Giải ta < m < 1/4 b) Sử dụng định lý Viét ta có x1 x2 x3 + x2 x3 x4 + x3 x4 x1 + x4 x1 x2 = x1 x2 ( x3 + x4 ) + x3 x4 ( x1 + x2 ) = m 1 + = + > m m m (Do < m < 1/4) Bình luận: Bài rõ ràng cho điểm Thí sinh qn điều kiện nghiệm dương, m < 1/4 Lúc phạm thêm sai sót giải câu b) Bài (2 điểm) Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn a3 + b3 > a) Chứng minh a3 + b3 ≥ a + b > b) Chứng minh a3 + b3 ≥ a + b2 c) Tìm tất số x, y, z, t nguyên cho x3 + y3 = z + t z + t = x + y Lời giải tóm tắt a) Ta có a3 + b3 = (a + b)(a − ab + b2 ) Vì a2 – ab + b2 = (a-b/2)2 + 3b2/4 ≥ nên từ suy a+b > Không tính tổng qt, giả sử a ≥ b Khi a + b > nên ta phải có a > Vậy a2 – ab + b2 = a(a-b) + b2 ≥ Dấu xảy a = 1, b = a = b = Vậy ta có a3 + b3 ≥ a + b Dấu xảy a = 1, b = 0; a = 0, b = a = b = b) Cũng giả sử a ≥ b a > Nếu b ≥ bất đẳng thức hiển nhiên với số ngun khơng âm x ta có x3 ≥ x2, dấu xảy x = x = Nếu b < ta có a − ab + b2 > a + b2 a + b ≥ từ a3 + b3 = (a + b)(a − ab + b2 ) > a + b2 Dấu không xảy Vậy bất đẳng thức a3 + b3 ≥ a + b2 , điều kiện a + b > 0, Dấu xảy a = 1, b = 0; a = 0, b = a = b = c) Giả sử x, y, z, t số nguyên thỏa mãn hệ phương trình đề Rõ ràng (x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0) nghiệm tốn Nếu có số, chẳng hạn x ≠ 0, ta có x2 + y2 > 0, suy z3 + t3 > 0, suy z + t > 0, suy z2 + t2 > tiếp tục x3 + y3 > Vậy có số x, y, z, t ta có điều kiện x3 + y3 > z3 + t3 > Áp dụng câu b), ta có x3 + y3 ≥ x2 + y2 = z3 + t3 ≥ z2 + t2 = x3 + y3 Từ suy dấu phải xảy tất bất đẳng thức trung gian, từ ta dễ dàng tìm nghiệm toán (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 0) ban đầu Bình luận: Một bất đẳng thức số học nhẹ nhàng, khơng dùng đao to búa lớn, cần cẩn thận xét trường hợp ý đến tính chất số nguyên (ví dụ x3 ≥ x2 với x nguyên không âm) Tuy nhiên bạn đào sâu bất đẳng thức đại số lại gặp khó khăn Bài (2 điểm) Cho An = 2018n + 2032n − 1964n − 1984n với n số tự nhiên a) Chứng minh với số tự nhiên n An chia hết cho 51 b) Tìm tất số tự nhiên n cho An chia hết cho 45 Lời giải tóm tắt a) Ta dùng tính chất an – bn chia hết cho a – b với a, b nguyên n tự nhiên Chú ý 51 = 3.17 Ta có 2018 – 1964 = 54 chia hết cho 3, 2032 – 1984 = 48 chia hết cho Do An = (2018n − 1964n ) + (2032n − 1984n ) chia hết cho Lại có 2018 – 1984 = 34 chia hết cho 17, 2032 – 1964 = 68 chia hết cho 17 nên An = (2018n − 1984n ) + (2032n − 1964n ) chia hết cho 17 Vì 17 nguyên tố nên từ ta suy An chia hết cho 51 b) Muốn An chia hết cho 45 An phải đồng thời chia hết cho chia hết cho Ta có An ≡ 3n + 2n − 2.4n (mod 5) Cho n = 0, 1, 2, số dư tương ứng 0, 2, 1, Vì 34 ≡ 24 ≡ 44 ≡ (mod 5) nên số dư lặp lại Suy An chia hết cho n chia hết cho Tương tự, An ≡ 2n + n − 2n − 4n ≡ n − 4n (mod 9) Cho n = 0, 1, số dư tương ứng 0, 3, Vì 73 ≡ 43 ≡ (mod 9) nên số dư theo mod An lặp lại Suy An chia hết cho n chia hết cho Kết hợp lại, ta thấy An chia hết cho 45 n chia hết cho 12 Nhận xét Ý a) ý b) khó hơn, địi hỏi học sinh phải nắm tính tuần hồn số dư số dạng lũy thừa Sử dụng đồng dư ta trình bày gọn hơn, khơng phải cách Nói chung, mấu chốt phải khai thác tính tuần hồn số dư Bài (1.5 điểm) Đội văn nghệ trường THCS có học sinh Nhà trường muốn thành lập nhóm tốp ca, nhóm gồm học sinh (mỗi học sinh tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau) Biết hai nhóm tốp ca có chung nhiều học sinh a) Chứng minh khơng có học sinh tham gia từ nhóm tốp ca trở lên b) Có thể thành lập nhiều nhóm tốp ca vậy? Lời giải tóm tắt a) Giả sử ngược lại, có bạn A tham gia nhóm tốp ca Xét nhóm tốp ca mà bạn tham gia, nhóm, ngồi A chung cịn có bạn khác, giả sử B1, B2; B3, B4; B5, B6; B7, B8 Theo giả thiết tất bạn đơi khác nhau, mâu thuẫn ta có bạn b) Vì bạn tham gia khơng q nhóm tốp ca nên số lượt tham gia nhóm khơng q × = 24 Suy số nhóm khơng vượt 24 = Ta cách xếp để có nhóm bảng sau N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 HS1 X x x HS2 X X X HS3 x HS4 x HS5 HS6 x x x x HS7 HS8 X X x x x x x x Vậy thành lập nhiều nhóm x x x X Bình luận Đây coi khó kỳ thi Có điểm mấu chốt, ý phản chứng câu a) hai xây dựng ví dụ câu b) Chú ý không xây dựng ví dụ lời giải chưa hồn chỉnh, chí chưa nửa ý, ý ≤ hiển nhiên Dạng (liên quan đến tập hợp tập với điều kiện phần giao) xuất đề thi vào PTNK trước đây, đề thi năm 2015 (tất nhiên hai đề khác nhau)