Chuyen de hinh non

HÌNH NĨN - KHỐI NĨN A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT 1) Mặt nón trịn xoay + Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d, Δ cắt O chúng tạo thành góc β với < β < 900 Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β khơng thay đổi gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O (hình 1) + Người ta thường gọi tắt mặt nón trịn xoay mặt nón Đường thẳng Δ gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc 2β gọi góc đỉnh 2) Hình nón trịn xoay + Cho ΔOIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) (hình 2) + Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón + Hình trịn tâm I, bán kính r = IM đáy hình nón 3) Cơng thức diện tích thể tích hình nón Cho hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r đường sinh ℓ có: + Diện tích xung quanh: Sxq=π.r.l + Diện tích đáy (hình trịn): Str=π.r2 + Diện tích tồn phần hình trịn: S = Str + Sxq 1 + Thể tích khối nón: Vnón = Str.h = π.r2.h 3 4) Tính chất: Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinh→Thiết diện tam giác cân + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi mặt phẳng tiếp diện mặt nón Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng khơng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vng góc với trục hình nón→giao tuyến đường tròn + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón→giao tuyến nhánh hypebol + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón→giao tuyến đường parabol B – BÀI TẬP Câu 1: Hình ABCD quay quanh BC tạo ra: A Một hình trụ B Một hình nón C Một hình nón cụt D Hai hình nón Hướng dẫn giải: Gọi O giao điểm BC AD Khi quay hình ABCD quanh BC tức tam giác vuông OBA quanh OB tam giác vng OCD quanh OC Mỗi hình quay tạo hình nón nên hình tạo tạo hình nón Chọn đáp án D Câu 2: Cho tam giác ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên hình nón Diện tích xung quanh hình nón : A a2 B 2a C a D a 2 Hướng dẫn giải: a a r  ; l  a; S xq  rl  nên 2 Chọn đáp án C Câu 3: Một hình nón có đường cao h  20cm , bán kính đáy r  25cm Tính diện tích xung quanh hình nón đó: A 5 41 B 25 41 C 75 41 D 125 41 Hướng dẫn giải: Đường sinh hình nón  h  r  41 cm Diện tích xung quanh: S xq  r  125 41 cm Chọn đáp án D Câu 4: Cắt khối nón mặt phẳng qua trục tạo thành tam giác ABC có cạnh a, biết B, C thuộc đường trịn đáy Thể tích khối nón là: 3a 3 3a a 3 A a 3 B C D 24 Hướng dẫn giải: a a , chiều cao khối nón , suy 2  a  a a 3 , V     2 24 Chọn đáp án C Bán kính đáy khối nón Câu 5: Gọi S diện tích xung quanh hình nón trịn xoay sinh đoạn thẳng AC’ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b quay xung quang trục AA’ Diện tích S là: A b2 B b2 C b2 D b2 Hướng dẫn giải: S =  rl với r = b ; l = b S =  b2 nên Chọn đáp án D Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SC  a Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành hình nón trịn xoay Thể tích khối nón trịn xoay là: 4a a 3 a 3 a 3 A B C D 6 Hướng dẫn giải: Ta có AC  a  SA  SC  AC  6a  2a  2a Hình nón trịn xoay tạo thành hình nón tích là: 1 4 a V   R h   AC SA   2a 2a  3 3 Chọn đáp án A Câu 7: Một hình nón có đường sinh a góc đỉnh 900 Cắt hình nón mặt phẳng (P) qua đỉnh cho góc (P) mặt đáy hình nón 600 Khi diện tích thiết diện : 2 3  2a  A B C D a a a 3 Hướng dẫn giải: Gọi S đỉnh hình nón,O tâm đường trịn đáy; I trung điểm AB , Góc tạo mp thiết diện đáy góc SIO Suy luận OA=OS= a a a 2a a ; SI= ; OI= ; AI= ; AB= ; 3 2a Chọn đáp án A Câu 8: Cho tứ diện ABCD Khi quay tứ diện quanh trục AB có hình nón khác tạo thành ? Std   A Một B Hai C Ba D Khơng có hình nón Hướng dẫn giải: Khi quay ta bên cạnh, hình tạo thành từ hai hình nón Chọn đáp án B Câu 9: Cho hình nón có chiều cao h góc đỉnh 900 Thể tích khối nón xác định hình nón trên: 2h h 6h A B C D 2h3 3 Hướng dẫn giải: Do góc đỉnh hình nón 900 nên thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân Suy bán kính đáy hình nón R  h h3 Thể tích khối nón : V  R h  3 Chọn đáp án A Câu 10: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB SAO  300 ; SAB  600 Tính diện tích xung quanh hình nón ? 3 A 4 B C 2 D 3 Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm AB OI  AB; SI  AB; OI    AO  SA.cos SAO  SA Lại có   AI  SA.cos SAI  SA  AI  Từ ta có Mặt khác AO AI  cos IAO  sin IAO    OA  AO OA OA  2 Mà SA  cos30 Diện tích xung quanh cần tính là: S xq  .OA.SA  4 Chọn đáp án A Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAB  600 Thể tích hình nón đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp ABCD là: a 3 a a a 3 A B C D 12 12 6 Hướng dẫn giải: Tam giác SAB  SA  a; 2a a SO  SA  AO  a   ; 2 2 a 2 a 2 a a3  V  ( )  2 12 Chọn đáp án B R  AO  Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.A’ B’C’ D’ có cạnh a Một hình nón có đỉnh tâm hình vng ABCD có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng A’B’C’D’ Diện tích xung quanh hình nón là: a a 2 a a A B C D Hướng dẫn giải: a Hướng dẫn: Độ dài đường sinh bằng: a  ( a)  2 a a a Diện tích xung quanh hình nón bằng: rl    2 Chọn đáp án C Câu 13: Trong không gian, cho tam giác ABC cân A, AB = a 10 , BC = 2a Gọi H trung điểm BC Tính thể tích V hình nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AH A V  2a3 B V  3a3 C V  9a3 D V  a3 Hướng dẫn giải: + Đường sinh l  AB  a 10 BC + Bán kính đáy r   a  đường cao h  l  r  3a + Thể tích hình nón tạo thành V  hr  a 3 Chọn đáp án D Câu 14: Cho hình trịn có bán kính Cắt bỏ hình trịn bán kính OA, OB, ghép bán kính lại cho thành hình nón (như hình vẽ) Thể tích khối nón tương ứng : 81 9 81 B C 8 Hướng dẫn giải: 12 81 nên r  ;h  l2  r2  ;V  r h  2 2 Chọn đáp án A A D 9 Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a, hình nón có đỉnh tâm hình vng ABCD có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng A’B’C’D’ Diện tích xung quanh hình nón là: a a 2 a a A B C D 2 Hướng dẫn giải: a S =  rl với r = a ;l= a S = nên 2 Chọn đáp án C Câu 16: Một hình nón cắt mặt phẳng (P) song song với đáy Mặt phẳng chia với mặt xung quanh hình nón thành hai phần có diện tích Tỉ số thể tích hình nón phía mặt phẳng (P) hình nón cho trước số nào? 1 2 A B C D 8 Hướng dẫn giải: Gọi O tâm đáy, mặt phẳng (P) cắt SO O’ S' S'  SO '  Theo đề     S S ' S '  SO  SO ' V '  SO '         SO V  SO  2 Chọn đáp án C a OC   OAB  Xét hình nón trịn xoay đỉnh C, đáy đường trịn tâm O, bán kính a Hãy chọn câu sai A Đường sinh hình nón B Khoảng cách từ O đến thiết diện (ABC) Câu 17: Cho tứ diện OABC có OAB tam giác vng cân OA  OB  a, OC  C Thiết diện (ABC) tam giác D Thiết diện (ABC) hợp với đáy góc 450 Hướng dẫn giải: Tam giác OAB vuông cân O nên AB  a a 3a a OAC : AC  OA2  OC  a   , AC  Vì AB  AC : 2 Chọn đáp án C Câu 18: Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a, có diện tích xung quanh là: a  a a a 2 A S xq  B S xq  C S xq  D S xq  3 Hướng dẫn giải: Kẻ SO   ABC  ; SH  BC  OH  BC 2 a a AH   3 3 a S xq  .OA.SA   .a a B Sxq  Chọn đáp án C Ta có: OA  Câu 19: Một khối nón trịn xoay có độ dài đường sinh l = 13 cm bán kính đáy r  5cm Khi thể tích khối nón là: 325 A V  100 cm3 B V  300 cm3 C V   cm3 Hướng dẫn giải: Chiều cao h khối nón h  132  52  12cm Thể tích khối nón: V  .52.12  100 cm3 Chọn đáp án A D V  20 cm3 Câu 20: Một phễu rỗng phần có kích thước hình vẽ Diện tích xung quanh phễu là: A S xq  360 cm B S xq  424 cm C S xq  296 cm D S xq  960 cm Hướng dẫn giải: S xq  2..8.10  .8.17  296 cm Chọn đáp án C 4R Khi đó, góc đỉnh hình nón 2 Khi khẳng định sau khẳng định ? 3 3 A tan   B cot   C cos   D sin   5 5 Hướng dẫn giải: Gọi điểm hình vẽ bên 4R 5R Khi HC  R, SH   SC  3 HC Ta có sin    SC Chọn đáp án A Câu 21: Một hình nón có bán kính đáy R, đường cao Câu 22: Cho S.ABCD hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 450 Hình trịn xoay đỉnh S, đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD, có diện tích xung quanh là: a a A S xq  2a B S xq  a C S xq  D S xq  Hướng dẫn giải: Hình trịn xoay hình nón Kẻ SO   ABCD  O tâm hình vng ABCD Do SOA vng cân O nên AB a a a SA   .a  SA  OA   a , S xq   2 2 Chọn đáp án C Câu 23: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vuông cân có cạnh góc vng a Diện tích xung quanh hình nón a 3a a 2 A B C D a2 2 Hướng dẫn giải: Giả sử SAB thiết diện qua trục hình nón (như hình vẽ) Tam giác SAB cân S tam giác cân nên SA  SB  a a Do đó, AB  SA2  SB  a SO  OA  AB  2 Vậy, diện tích xung quanh hình nón : a a 2 S xq  rl   .a  2 Chọn đáp án B Câu 24: Cho hình nón S, đường cao SO Gọi A, B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO  300 , SAB  600 Tính diện tích xung quanh hình nón 3a a a A S xq  B S xq  C S xq  D S xq  a 2 Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm AB SA SA , AI  OI  AB,SI  AB,OI  a Ta có OA  2 AI AI Từ  , mà  cos IAO OA OA a a , SA  a  sin IAO    OA  OA Vậy S xq  .OA.SA   a Chọn đáp án D Câu 25: Cho hình cầu bán kính 5cm, cắt hình cầu mặt phẳng cho thiết diện tạo thành đường kính 4cm Tính thể tích khối nón có đáy thiết diện vừa tạo đỉnh tâm hình cầu cho (lấy   3,14 , kết làm tròn tới hàng phần trăm) A 50,24ml B 19,19ml C 12,56ml D 76,74ml Hướng dẫn giải: Ta có: MN  4cm  MA  2cm  OA  MO  MA2  21cm Sd  R  3,14.4  cm  21.3,14.4  19,185  ml   19,19 ml Chọn đáp án B V Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón có đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD Khi diện tích xung quanh thể tích hình nón a a 3 B S xq  a ;V  12 12 a a3 C S xq  2a ;V  D S xq  2a ;V  12 Hướng dẫn giải: Gọi O tâm hình vng ABCD Do S.ABCD hình chóp nên SO   ACBD  A S xq  a ;V  Suy ra, OB hình chiếu vng góc SB lên mp(ABCD) a Do đó, SBO  600 Kết hợp r  OB  ta suy : a a h  SO  OB.tan 600  3 2 OB a l  SB   a cos 60 2.cos 600 Diện tích xung quanh mặt nón: a S xq  .r.l   .a  a 2 1 a a a Thể tích hình nón: V  .r h    3 2 12 Chọn đáp án B Câu 27: Một hình trụ trịn xoay, bán kính đáy R, trục OO '  R Một đoạn thẳng AB  R đầu A   O  , B   O ' Góc AB trục hình trụ gần giá trị sau A 550 B 450 C 600 D 750 Hướng dẫn giải: Kẻ đường sinh B’B B ' B  O ' O  R BB ' R ABB ' : cos   cos AB ' B       54,7 AB R Chọn đáp án A Câu 28: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SO = h = góc SAB    600 Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S A  B  C  Hướng dẫn giải: D  Đặt r  OA, SO  h, SA  SB  SC  l đường sinh hình nón Gọi I trung điểm đoạn AB Ta có SOA vng O: SA2  SO2  OA2  l  r  h2 (1) SIA : AI  SA.cos r  l cos   r  l cos  2 (1)  l  h  2l 2cos 2  h  l (1  2cos a )  l  Do r  l cos a  h  2cos a h cos a  cos a h cos a h h 2cos. S xq  rl    3 2  2cos a  2cos a  2cos a Chọn đáp án A Câu 29: Hình chữ nhật ABCD có AB  6, AD  Gọi M, N, P, Q trung điểm bốn cạnh AB, BC, CD, DA Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật trịn xoay tích bằng: A V  8 B V  6 C V  4 D V  2 Hướng dẫn giải: Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD, suy MNPQ hình thoi tâm O 1 Ta có QO  ON  AB  OM  OP  AD  2 Vật tròn xoay hai hình nón có: đỉnh Q, N chung đáy * Bán kính đáy OM  * Chiều cao hình nón OQ  ON  1  Vậy thể tích khối trịn xoay V   OM ON   8 (đvtt) 3  Chọn đáp án A Câu 30: Cho hình nón trịn xoay đỉnh S, đáy hình trịn tâm O bán kính R, chiều cao hình nón 2R Gọi I điểm nằm mặt phẳng đáy cho IO=2R Gỉa sử A điểm đường tròn (O) cho OA  OI Diện tích xung quanh hình nón bằng: A R2 B R2 C R 2 D R2 Hướng dẫn giải: 1 2R3 V  R h  .R 2 R  , S xq  Rl 3 Trong đó: l  SA  OA2  SO  R  R  R  S xq  .R Chọn đáp án D Câu 31: Hình bên cho ta hình ảnh đồng hồ cát với kích thước kèm theo OA=OB Khi tỉ số tổng thể tích hai hình nón (Vn ) thể tích hình trụ (Vt ) bằng: Hướng dẫn giải: B Chiều cao hình nón h A C D h R h Tổng thể tích hình nón Vn  R  3 V Thể tích hình trụ Vt  R h  n  Vt Chọn đáp án D Câu 32: Cho tam giác ABC vuông A, AB  c, AC  b Gọi V1 ,V2 ,V3 thể tích khối trịn xoay sinh tam giác quay quanh AB, CA, BC So sánh V3 1  ta được: V1 V2 1 1 1 1 A   B   C   D Cả A, B C V3 V1 V2 V3 V1 V2 V3 V1 V2 sai Hướng dẫn giải: 1 Ta có V1  b 2c,V2  c 2b 3 1 b 2c b 2c 1 V3    AH  BH    AH  CH    AH  BC     a   3 a a 3 1  1  1 a   Do  4    b c bc V1 V2 bc  V3   3 Vì tam giác ABC vuông A nên a  b2  c2 1 1 1 b2  c2 a2 1 Mặt khác   2     2 2  4 Vậy   bc bc b c b c  b c b c bc V3 V1 V2 Chọn đáp án B Câu 33: Cho hình thang cân ABCD có cạnh đánh AB  2a , CD  4a, cạnh bên AD  BC  3a Hãy tính thể tích khối nón xoay sinh hình thang quay quanh trục đối xứng 14a 56a A B 3 14a 28a C D 3 Hướng dẫn giải:   Gọi AD BC cắt E AB = DC nên AB đường trung bình  EDC  ED  AD  6a Gọi H K trung điểm AB CD ta có EK vng góc với CD HK trục đối xứng ABCD EK EK  ED  DK  4a ; EH   2a 2 Khối nón xoay sinh hình thang ABCD quay quanh trục phần thể tích nằm khối nón: +Khối nón 1: Có đáy hình trịn tâm K, bán kính KD=2a, đường cao EK= 4a +Khối nón 2: Có đáy hình trịn tâm H, bán kính HA=a, đường cao EH  2a Do thể tích cần tìm 1 14a V  V1  V2  (2a) .4a  a .2a  3 Chọn đáp án A Câu 34: Cho hình vẽ: Tam giác SOA vng O có MN || SO với M, N nằm cạnh SA, OA Đặt SO = h khơng đổi Khi quay hình vẽ quanh SO tạo thành hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O bán kính R  OA Tìm độ dài MN để thể tích khối trụ lớn h h B MN  h h C MN  D MN  Hướng dẫn giải: Phân tích: Ta thấy quay quanh trục SO tạo nên khối trụ nằm khối chóp Khi thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật MNPQ Ta có hình sau: Ta có SO=h; OA=R Khi đặt OI=MN=x Theo định lí Thales ta có IM SI OA.SI R.(h  x)   IM   OA SO SO h R 2 Thể tích khối trụ V  IM IH  x(h  x)2 h  x  2(h  x)  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x(h  x)      S A MN  4R h h h Dấu “=” xảy x  hay MN  3 27 Chọn đáp án B Câu 35: Cho hình nón trịn xoay  N  có đỉnh S đáy hình trịn tâm Vậy V  x O O bán kính r nằm mặt phẳng  P  , đường cao SO  h Điểm O ' thay đổi đoạn SO cho SO '  x   x  h  Hình trụ trịn xoay O T  có đáy thứ hình trịn tâm O bán kính r '   r '  r  nằm mặt phẳng  P  , đáy thứ hai hình trịn tâm O ' bán kính r ' nằm mặt phẳng  Q  ,  Q  A vng góc với SO O ' (đường tròn đáy thứ hai T  giao tuyến  Q  với mặt xung quanh  N  ) Hãy xác định giá trị x để thể tích phần khơng gian nằm phía  N  phía ngồi T  đạt giá trị nhỏ A x  h Hướng dẫn giải: B x  h D x  h C x  h x r' xr   r'  h r h Khi ta có cơng thức tính thể tích khối trụ V  f  x     r '  h  x  Áp dụng định lí Thales ta có: r2 x  h  x  h2 r 2h Khi f '  x    2hx  3x    x  x  h Chọn đáp án C  a Mặt phẳng (P) thay đổi ln qua O cắt hình nón theo thiết diện tam giác AOB Diện tích lớn tam giác AOB là: 5a 3a 3a a3 A B C D 8 Hướng dẫn giải: Phân tích: Thiết diện mặt phẳng qua đỉnh nón với nón hình tam giác có đỉnh đỉnh nón Gọi H trung điểm AB, ta có IH  AB Đặt IH  x Ta tính Câu 36: Cho khối nón đỉnh O trục OI, bán kính đáy a chiều cao a độ dài đoạn sau theo x a OH  OI  IH     x 2 2 AB  AH  a  x diện tích tam giác OAB tính là: a S  OH AB     x a  x 2 2 a2  x2  a2  x2 2 a x   a2 a Áp dụng bất đẳng thức AM  GM ta có S     x 2 Chọn đáp án D Câu 37: Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S đáy đường tròn C (O; R) với R  a (a  0), SO  2a, O '  SO thỏa mãn OO  x (0  x  2a), mặt phẳng    vuông góc với SO O cắt hình nón trịn xoay theo giao tuyến đường tròn  C   Thể tích khối nón đỉnh O đáy đường tròn  C   đạt giá trị lớn a Hướng dẫn giải: A x  B x  a C x  a D x  2a R a  x R  Suy R  (2a  x) R 2a 2a Khi thể tích khối nón đỉnh O đáy đường tròn C   là: Theo Định lý Ta-lét R  R2  V   x  (2a  x)   x(2a  x)  2a  12a Xét f ( x)  x(2a  x)2 (0;2a) ta có f ( x) đạt giá trị lớn x  2a Chọn đáp án D Câu 38: Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R là: 32 A R B R C D R R 3 81 Hướng dẫn giải: Gọi bán kính đáy khối nón a  a  R Ta có R3 a V  a R  R  a  t   t với t   (0;1] 3 R 32 Xét hàm số f (t )  t   t (0;1] thu kết R 81 Chọn đáp án D Câu 39: Hồn có bìa hình trịn hình vẽ, Hồn muốn biến hình trịn thành hình phễu hình nón Khi Hồn phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với (diện tích chỗ dán nhỏ khơng đáng kể) Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?       r xO A, B h R R B A O  Hướng dẫn giải: A B  C  D Rx 2 1 V  R 2h  R3 x (42  x )  R3 x x (82  x ) 2 24 24 2 6 Để V lớn x  82  x  x  Chọn đáp án A l AB  Rx ; r =  Câu 40: Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40cm Người ta cắt vật N1 mặt cắt song song với mặt đáy để hình nón nhỏ N2 tích thể tích N1.Tính chiều cao h hình nón N2? A cm 40 cm B 10 cm C 20 cm D Hướng dẫn giải: Gọi V1, V2 thể tích N1và N2 r1, r2 bán kính đáy N1, N2 ta có: r2 h V2 r 2h    22 V1 r 40 r1 40 h h r h Mặt khác ta có:  Do ta có:  ( )3    h  20 40 40 r1 40 cm Chọn đáp án C Câu 41: Một bình đựng nước có dạng hình nón (khơng có đáy), đựng đầy nước Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích nước tràn 18 (dm3) Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nửa khối cầu chìm nước (hình dưới) Tính thể tích nước cịn lại bình A 24 (dm3) B 54 (dm3) C 6 (dm3) D 12 (dm3) Hướng dẫn giải: Gọi R bán kính khối cầu thể tích nước tràn R  18  R  dm Suy chiều cao nón h  2R  dm 1 Gọi r bán kính đáy nón    r  r h R dm, suy VN  r h  24 dm3 Vậy thể tích nước cịn lại 24  18  6 dm3 Chọn đáp án C Câu 42: Một công ty sản xuất loại ly giấy hình nón tích 27cm3 Với chiều cao h bán kính đáy r Tìm r để lượng giấy tiêu thụ 36 2 Hướng dẫn giải: A r  B r  38 2 C r  38 2 D r  36 2 Cái ly hình nón có V  27cm3 , đường sinh l , đường cao h bán kính r 3V 34 V  .r h  h   .r .r S = p r + p r l = p r + p r h + r 2 ỉ 34 ÷ = p r + p r ỗỗỗ ữ + r = pr + ữ ữ ốỗp r ứ 38 r + p r 38 Xét hàm số f (r )  r   2 r (0; + ¥ ) có r 38.2 - + 4p 2r r , f '(r ) = Þ r = f '(r ) = 2p r + 38 2 + p r r Bảng biến thiên: r 38 2 f '(r ) f (r ) 36 2p  + 38 f (r ) hay Stp đạt cực tiểu 2 Chọn đáp án A r Câu 43: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R  chu vi hình quạt P  8  10 , người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách: Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính V1 ? V2 V 21 V V1 21 V B  C  D   V2 V2 V2 V2 Hướng dẫn giải: Phân tích: Do chu vi hình quạt tròn P = độ dài cung + 2R Do độ dài cung trịn l  8 Theo cách thứ nhất: 8 chu vi đường tròn đáy phễu Tức 2r  8  r  Khi h  R  r  52  42   V1  3.42 Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi hai đường tròn đáy hai phễu 8  chu vi đường tròn đáy 4  4  2r  r  A Khi h  R  r  52  22  21 V 42 21 21.22. Khi   V2 21 Chọn đáp án B  V2  Câu 44: Cắt mặt xung quanh hình nón theo đường sinh trải phẳng thành hình quạt Biết bán kính quạt độ dài đường sinh độ dài cung chu vi đáy Quan sát hình tính số đo cung hình quạt A 125 B 110 C 130 D 120 Hướng dẫn giải: Độ dài l cung hình quạt trịn bán kính cm chu vi đáy hình nón: l  4 Áp dụng cơng thức tính độ dài cung x ta có:  Rx I  4  x  1200 180 Chọn đáp án D Câu 45: Người ta đặt vào hình nón hai khối cầu có bán kính a 2a cho khối cầu tiếp xúc với mặt xung quanh hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với khối cầu lớn tiếp xúc với đáy hình nón Bán kính đáy hình nón cho là: 8a 4a A B 2a C 2a D 3 Hướng dẫn giải: Giả sử thiết diện qua trục hình nón ABC với A đỉnh nón, BC đường kính đáy nón H tâm đáy O1 , O2 tâm mặt cầu lớn nhỏ, D1 , D2 tiếp điểm AC với  O1   O2  Cần tính r = HC Vì O1D1 // O2 D2 O1D1  2O2 D2 nên O2 trung điểm AO1  AO1  2O1O2  2.3a  6a O1D1  2a, AH  AO1  O1H  8a , AD1  AO12  O1D12  4a O1D1 ACH  Chọn đáp án C O1D1 AD1   CH  2a CH AH