Câu 1 Cho hình chóp tam giác S ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a Diện tích tam giác ABC bằng 2a2; BC = a Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu? A 2a B 4a C 3a D 5a Lời giải + Kẻ AH vuông góc[.]
Câu 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vng góc với (ABC) SA = 3a Diện tích tam giác ABC 2a2; BC = a Khoảng cách từ S đến BC bao nhiêu? A 2a B 4a C.3a D 5a Lời giải: + Kẻ AH vuông góc với BC Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH) ⇒ SH ⊥ BC khoảng cách từ S đến BC SH + Ta có tam giác vng SAH vng A nên ta có Chọn D Câu 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a√2 M trung điểm BD Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM Lời giải: + Do tam giác BCD cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời đường cao MC = a√3/2 + Ta có: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM Ta có: Chọn đáp án C Câu 3: Cho tứ diện SABC SA; SB; SC vng góc với đơi SA = 3a; SB = a; SC = 2a Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng: Lời giải: Chọn đáp án B Xét tam giác SBC vng S có SH đường cao ta có: + Ta dễ chứng minh AB ⊥ (SBC) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH ⇒ tam giác SAH vuông S Áp dụng định lsi Pytago tam giác ASH vng S ta có: Chọn B Câu 4: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh a Trên tia Ax vng góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S cho SA = a Khoảng cách từ A đến (SBC) Lời giải: - Gọi M trung điểm BC , H hình chiếu vng góc A SM - Ta có BC ⊥ AM ( tam giác đường trung tuyến đồng thời đường cao) Và BC ⊥ SA ( SA vng góc với (ABC)) Nên BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ AH Mà AH ⊥ SM, AH ⊥ (SBC) Chọn đáp án C Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD = 2a; SA = a Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng: Lời giải: SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD, AD ⊥ CD Suy (SAD) ⊥ CD Trong ( SAD) kẻ AH vng góc SD H Khi AH ⊥ (SCD) Chọn đáp án C Câu 6: Hình chóp S.ABC có cạnh đáy 3a cạnh bên 2a Khoảng cách từ S đến (ABC) : A 2a B a√3 C a D a√5 Lời giải: + Gọi O trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC nên O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC + Ta có: SA = SB = SC OA = OB = OC nên SO trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Do SO ⊥ (ABC) Chọn đáp án C Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD hình thang vuông A B; AB = a Gọi I J trung điểm AB CD Tính khoảng cách đường thẳng IJ (SAD) Lời giải: Chọn C Ta có: I J trung điểm AB CD nên IJ đường trung bình hình thang ABCD Câu 8: Cho hình thang vng ABCD vng A D; AD = 2a Trên đường thẳng vng góc D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a√2 Tính khỏang cách đường thẳng CD (SAB) Lời giải: Chọn A Vì DC // AB nên DC // (SAB) ⇒ d(DC; (SAB)) = d(D; (SAB)) Kẻ DH ⊥ SA Do AB ⊥ AD AB ⊥ SA nên AB ⊥ (SAD) ⇒ DH ⊥ AB lại có DH ⊥ SA ⇒ DH ⊥ (SAB) Nên d(CD; (SAB)) = DH Trong tam giác vng SAD ta có: Câu 9: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a/√3 Gọi M N trung điểm OA OB Khoảng cách đường thẳng MN (ABC) bằng: Lời giải: Chọn D Vì M N trung điểm OA OB nên MN // AB ⇒ MN // (ABC) Khi đó, ta có: (vì M trung điểm OA) Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ (ABCD) ; SA = 2a, ABCD hình vng cạnh a Gọi O tâm ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC Lời giải: Đáp án: A Giải thích: Chọn A + Kẻ OH ⊥ SC , d(O; SC) = OH + Ta có: ΔSAC ∼ ΔOHC (g.g) (g-g) nên Câu 11: Hình chóp S.ABC có cạnh đáy 3a cạnh bên 2a Khoảng cách từ S đến (ABC) : A 2a B a√3 C a D a√5 Lời giải: Đáp án: C Giải thích: + Gọi O trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC nên O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC + Ta có: SA = SB = SC OA = OB = OC nên SO trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do SO ⊥ (ABC) Chọn đáp án C Câu 12: Cho hình chóp S.ABC SA; AB; BC vng góc với đơi Biết SA = a√3, AB = a√3 Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng: Lời giải: Đáp án: A Giải thích: Chọn D Kẻ AH ⊥ SB Ta có: Lại có: AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A; (SBC)) = AH Trong tam giác vng SAB ta có: Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD = 2a; SA = a Khoảng cách từ B đến (SCD) bằng: Lời giải: Đáp án: C Giải thích: Ta có; AB // CD nên d(B, (SCD))= d(A; (SCD)) Ta tính khoảng cách từ A đến (SCD) : SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD; AD ⊥ CD Suy (SAD) ⊥ CD Trong (SAD) kẻ AH vng góc SD H Khi AH ⊥ (SCD) Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Khoảng cách từ đỉnh A hình lập phương đến đường thẳng CD’ Lời giải: Đáp án: B Giải thích: Gọi M trung điểm CD’ Do ABCD.A’B’C’D’ hình lập phương nên tam giác ACD’ tam giác cạnh a√2 + Tam giác ACD’ có AM đường trung tuyến nên đồng thời đường cao AM ⊥ CD' d(A; CD’) = AM = AC.sin(ACM) = a√2.sin60°= (a√6)/2 Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a Biết hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy SA = a√2 Gọi E trung điểm AD Khoảng cách AB (SOE) Lời giải: Đáp án: B Giải thích: + Vì hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy mà (SAB) ∩ (SAD) = SA ⇒ SA ⊥ (ABCD) + Do E trung điểm AD Tam giác ABD có EO đường trung bình ⇒ EO // AB ⇒ AB // (SOE) ⇒ d(AB, (SOE)) = d(A; (SOE)) = AH với H hình chiếu A lên SE Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD hình chữ nhật với AC = a√5 BC = a√2 Tính khoảng cách (SDA) BC? Lời giải: Đáp án: D Giải thích: + Ta có: BC // AD nên BC // (SAD) ⇒ d(BC; (SAD)) = d(B; SAD)) + Ta chứng minh BA ⊥ (SAD) : Do BA ⊥ AD (vì ABCD hình chữ nhật) Và BA ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BA ⊥ (SAD) ⇒ d(B; (SAD)) = BA Áp dụng định lí Pytago tam giác vng ABC có: AB2 = AC2 - BC2 = 5a2 - 2a2 = 3a2 ⇒ AB = √3 a ⇒ d(CB; (SAD)) = AB = √3 a Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B; AB= a cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a√2 Gọi M N trung điểm AB; AC Khoảng cách BC (SMN) bao nhiêu? Lời giải: Đáp án: A Giải thích: + Tam giác ABC có MN đường trung bình nên MN // BC ⇒ BC // (SMN) nên : d(BC; (SMN)) = d(B; (SMN)) = d(A; (SMN)) Gọi H hình chiếu vng góc A đoạn SM + Ta chứng minh: MN ⊥ (SAM): Câu 18: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên hợp với đáy góc 60°, đáy ABC tam giác A’ cách A, B; C Tính khoảng cách hai đáy hình lăng trụ Lời giải: Đáp án: A Giải thích: + Vì tam giác ABC AA’ = BA’ = CA’ (giả thiết) nên A’.ABC hình chóp Gọi A’H chiều cao lăng trụ, suy H trọng tâm tam giác ABC Lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên hợp với đáy góc 60° nên ∠A'AH = 60° + Xét tam giác AHA’ có: A'H = AH.tan60° = ((a√3)/3).√3 = a + lại có; (ABC) // (A’B’C’) ( định nghĩa hình lăng trụ) nên d((ABC), (A’B’C’)) = d( A’, (ABC)) = A’H = a Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O; SA vng góc với đáy (ABCD) Gọi K; H theo thứ tự hình chiếu vng góc A O lên SD Chọn khẳng định khẳng định sau? A Đoạn vng góc chung AC SD AK B Đoạn vng góc chung AC SD CD C Đoạn vng góc chung AC SD OH D Các khẳng định sai Lời giải: Đáp án: D Giải thích: + Ta xét phương án: - Phương án A: Giả sử AK ⊥ AC, AK ⊥ AB ⇒ AK ⊥ (ABC) ⇒ AK ≡ SA ( SA ⊥ (ABC)) ⇒ SA ⊥ SD ⇒ ΔSAD có góc vng (vơ lý) - Phương án B: Theo tính chất hình vng AC CD khơng vng góc với nên đoạn vng góc chung AC SD khơng phải CD - Phương án C: Giả sử AC ⊥ OH, AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ (SBD) ⇒ AC ⊥ SO Lại có: SA ⊥ AC ⇒ vơ lý ⇒ Đoạn vng góc chung AC SD khơng phải OH Câu 20: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng B Một đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với hai đường thẳng C Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nằm mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng D Một đường thẳng đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo cắt hai đường thẳng Lời giải: Đáp án: D Giải thích: Đáp án A: Đúng Đáp án B: Sai, phát biểu thiếu yếu tố cắt Đáp án C: Sai, mặt phẳng chưa tồn Đáp án D: Sai, phát biểu thiếu yếu tố vng góc Câu 21: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu hai đường thẳng a b chéo vng góc với đường thẳng vng góc chung chúng nằm mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng B Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc a tới mp(P) C Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khoảng cách từ điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a song song với b đến điểm N b D Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm M mặt phẳng đến mặt phẳng Lời giải: Đáp án: C