(Luận Văn Thạc Sĩ) Sự Tồn Tại Và Duy Nhất Nghiệm Cho Phương Trình Maxwell Trong Lý Thuyết Tán Xạ.pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Tú SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL TRONG LÝ THUYẾT TÁN XẠ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 Luan van Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Nhân Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Tú Luan van Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS Nguyễn Thành Nhân, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp cho luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn q thầy Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua, tạo cho tảng vững để thực luận văn Cuối cùng, tơi gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Tốn giải tích K28 hết lòng ủng hộ động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập q trình thực luận văn Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Tú Luan van Một số kí hiệu R Tập số thực C Tập số phức Re a Phần thực a Im a Phần ảo a Ω Miền bị chặn Γ, ∂Ω Biên miền Ω E Cường độ điện trường Ei Sóng tới trường điện Es Sóng tán xạ trường điện H Cường độ từ trường Hi Sóng tới trường từ Hs Sóng tán xạ trường từ F+ Giới hạn từ bên cho trường vectơ hàm F F− Giới hạn từ bên cho trườngvectơ hàm F ε Hằng số điện mơi mơi trường µ Hằng số từ mơi mơi trường β Tính chiral mơi trường ∇·, div Tốn tử divergence Trong tọa độ Descartes,   ∂ax ∂ay ∂az + + ∇·a= ∂x ∂y ∂z ∇×, curl, rot Tốn tử vectơ mơ tả độ xốy trường vectơ Trong tọa độ Descartes, với i, j , k vectơ đơn vị trục x, y, z,       ∂ay ∂ax b ∂az ∂ay b ∂ax ∂az b curl a = − i+ − j+ − k ∂y ∂z Luan van ∂z ∂x ∂x ∂y ν (= ν(x)) Vectơ pháp tuyến đơn vị x ∈ Γ hướng ngồi miền Ω k Số sóng (mang giá trị thực) κ Số sóng (mang giá trị phức) κ có giá trị k ik Π Tập hợp số sóng phức Π := {κ ∈ C : κ 6= 0, Re κ ≥ 0, Im κ ≥ 0} Φκ Nghiệm u Trường sóng tán xạ ∆u Toán tử Laplace u ∇ Toán tử Gradient L2 (D) Các hàm có giá trị vơ hướng theo cách thông thường, trang
1 RR dx , bị chuẩn kukL2 (D) := |u(x)| D với D ⊂ R3 tập đo có độ đo dương C0∞ Khơng gian hàm trơn có giá compact ε0 Độ điện thẩm chân khơng µ0 Độ từ thẩm chân khơng ρ Mật độ điện tích J Mật độ dòng điện c Vận tốc ánh sáng ω Tần số góc F Tốn tử trường sóng xa QL , QR Các trường Beltrami QL := E + iH QR := E − iH E∞ Phổ điện trường trường sóng xa H∞ Phổ từ trường trường sóng xa S2 Hình cầu đơn vị m pm n , qn Các hệ số Fourier Luan van Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số kí hiệu MỞ ĐẦU 1 Phương trình tích phân Lippmann-Schwinger 1.1 1.2 1.3 Bài toán từ trường 1.1.1 Giới thiệu toán từ trường 1.1.2 Công thức biến phân Bài toán điện trường 1.2.1 Giới thiệu toán điện trường 1.2.2 Công thức biến phân Phương trình vi tích phân 14 Sự tồn nghiệm 19 2.1 Chứng minh tồn nghiệm 19 2.2 Chứng minh tính nghiệm 27 Biểu diễn nghiệm qua chuỗi hàm cầu điều hịa 3.1 32 Phương trình Maxwell hệ vectơ cầu điều hòa 33 3.1.1 Phổ trường sóng xa tốn tử trường sóng xa 33 3.1.2 Vectơ hàm cầu điều hòa 38 Luan van 3.2 3.1.3 Phương trình Maxwell miền achiral 41 3.1.4 Bài tốn truyền sóng cầu chiral 44 Tốn tử trường sóng xa 47 3.2.1 Chuỗi khai triển sóng phẳng 47 3.2.2 Trường hợp achiral 51 3.2.3 Trường hợp chiral 54 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 Luan van MỞ ĐẦU Phương trình Maxwell phương trình có nhiều ứng dụng Vật lý, đặc biệt lý thuyết tán xạ điện từ Phương trình nhận nhiều quan tâm nhà Toán học Cho đến nay, nhiều tốn xung quanh phương trình vấn đề mở Các nghiên cứu phương trình liên quan đến tồn nghiệm, tính chất nghiệm, phương pháp giải tích phương pháp số để giải phương trình Một kết hữu ích gần chứng minh tồn nghiệm phương trình Maxwell cách đưa phương trình tích phân Lippmann-Schwinger Từ đó, thay cho việc nghiên cứu phương trình Maxwell, nhà tốn học tập trung vào phương trình tích phân Lippmann-Schwinger Nghiên cứu phương trình tích phân có số thuận lợi định Luận văn tập trung tìm hiểu việc chứng minh tồn nghiệm phương trình Maxwell tổng qt cách khảo sát phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, dựa tài liệu tham khảo [6], [8], [10], [11], [15], [16] Bên cạnh đó, tác giả trình bày lại biểu diễn nghiệm phương trình Maxwell thơng qua chuỗi hàm cầu điều hòa trường hợp achiral chiral Các biểu diễn mang lại giá trị cho người nghiên cứu phương pháp số giải phương trình Maxwell Nội dung luận văn trình bày thành chương: • Trong Chương 1, tác giả giới thiệu số ký hiệu kiến thức phương trình Maxwell lý thuyết tán xạ điện từ, đồng thời mô tả hai tốn tương ứng với q trình truyền sóng điện trường sóng từ trường Các lớp cơng thức biến phân tương ứng với hai toán Luan van đưa sau Tiếp theo, tác giả trình bày kết tương đương dạng biến phân với phương trình tích phân Lippmann-Schwinger • Ở Chương 2, tác giả trình bày kết tồn nghiệm phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, từ thu tồn nghiệm tốn ban đầu • Chương luận văn tập trung xây dựng công thức biểu diễn đại lượng sóng tới, sóng tán xạ thơng qua chuỗi hàm vectơ cầu điều hịa Cơng thức khai triển cụ thể trường hợp sóng tới sóng phẳng trường hợp achiral chiral đưa phần cuối luận văn Luan van Chương Phương trình tích phân Lippmann-Schwinger 1.1 Bài tốn từ trường 1.1.1 Giới thiệu toán từ trường Trong luận văn này, chúng tơi khảo sát hệ phương trình Maxwell có dạng sau: curl H = −ikε(E + βcurl E), (1.1) curl E = ikµ(H + βcurl H), (1.2) E s, H s ε = µ = 1, β = E i, H i Ω ε(x), µ(x), β(x) Xây dựng toán thuận miền Rn \ Γ, Γ ∈ C biên miền bị chặn Ω ⊂ R3 , k > số sóng, hàm ε, µ, β ∈ C (R3 \ Γ) đặc trưng cho số điện mơi, số từ mơi tính chiral môi trường Lưu ý đại lượng hàm phức không phụ thuộc thời gian có giá trị số vật liệu đồng Môi trường gọi achiral trường hợp β = 0, Luan van ... cứu phương trình liên quan đến tồn nghiệm, tính chất nghiệm, phương pháp giải tích phương pháp số để giải phương trình Một kết hữu ích gần chứng minh tồn nghiệm phương trình Maxwell cách đưa phương. .. MỞ ĐẦU Phương trình Maxwell phương trình có nhiều ứng dụng Vật lý, đặc biệt lý thuyết tán xạ điện từ Phương trình nhận nhiều quan tâm nhà Toán học Cho đến nay, nhiều tốn xung quanh phương trình. .. đưa phương trình tích phân Lippmann-Schwinger Từ đó, thay cho việc nghiên cứu phương trình Maxwell, nhà tốn học tập trung vào phương trình tích phân Lippmann-Schwinger Nghiên cứu phương trình tích