1 ỨNG DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG BÀI TOÁN ĐƯỜNG PHÂN GIÁC VÀ BÀI TOÁN ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG Tác giả Nguyễn Bá Hoàng Trường THPT Chuyên Lào Cai A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý do chọn đề tài Các bài toán về Hình[.]
ỨNG DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HỊA TRONG BÀI TỐN ĐƯỜNG PHÂN GIÁC VÀ BÀI TOÁN ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG Tác giả: Nguyễn Bá Hoàng Trường THPT Chuyên Lào Cai A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Các tốn Hình học phẳng thường xun xuất kì thi HSG mơn tốn ln đánh giá nội dung khó đề thi Có nhiều dạng tập hình học phẳng với tương ứng công cụ cùng, hàng điểm điều hịa cơng cụ mạnh để giải nhiều lớp tốn hình học Mặc dù vấn đề quen thuộc hình học phẳng, kiến thức đơn giản dễ hiểu, nhiên có ứng dụng nhiều tốn chứng minh vng góc, đồng quy, thẳng hàng, điểm cố đinh, đường cố định hay tốn tập hợp điểm… Chính kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế khu vực, tốn có liên quan đến hàng điểm điều hịa thường xuyên đề cập thường xem dạng tốn hay kì thi Chính tác giả lựa chọn chuyên đề: "Ứng dụng hàng điểm điều hịa tốn phân giác đồng quy, thẳng hàng" để thấy ứng dụng quan trọng hàng điểm điều hòa nhiều dạng tập hình học phẳng Trong chuyên đề tác giả cố gắng tập hợp toán đặc trưng cho việc sử dụng cơng cụ hàng điểm điều hịa II Mục đích chun đề Thơng qua chun đề "Ứng dụng hàng điểm điều hịa tốn phân giác đồng quy, thẳng hàng" tác giả mong muốn nhận góp ý trao đổi bạn đồng nghiệp em học sinh Chúng mong muốn chuyên đề góp phần nhỏ để việc ứng dụng hàng điểm điều hịa tốn hình học phẳng đạt hiệu cao Từ giúp em học sinh hiểu rõ việc sử dụng hàng điểm điều hòa tăng khả vận dụng vào giải tốn hình học cách tốt skkn B PHẦN NỘI DUNG I Hệ thống lý thuyết hàng điểm điều hòa Tỉ số kép hàng điểm a) Định nghĩa + Bộ bốn điểm đơi khác có kể đến thứ tự thuộc đường thẳng gọi hàng điểm + Tỉ số kép hàng điểm A, B, C , D số, kí hiệu (ABCD) xác định bởi: ABCD CA DA : CB DB b) Tính chất tỉ số kép: +) ABCD CDAB BADC DCBA +) ABCD 1 BACD ABDC +) Nếu ABCD ABCD ' D D ' +) ABCD ACBD DBCA Hàng điểm điều hòa a) Định nghĩa 2: A C B D Nếu ABCD 1 hàng điểm A, B, C, D gọi hàng điểm điều hịa Nói cách khác CA DA hàng điểm A, B, C, D gọi hàng điểm điều hòa CB DB b) Một số định định lí quan trọng (được suy trực tiếp từ định nghĩa): Định lí 1: (Hệ thức Newton) Cho ( ABCD ) 1 Gọi N trung điểm AB Khi NA2 NB NC.ND Định lí 2: (Hệ thức Descartes) Cho ( ABCD ) 1 Khi 1 AB AC AD Định lí 3: (Hệ thức Maclaurin) Cho ( ABCD ) 1 Gọi I trung điểm CD Khi AC AD AB AI AOB OD phân Định lí 4: Cho ( A, B, C , D ) 1 Lấy O cho OC phân giác giác AOB skkn 900 định lí có ý nghĩa thực quan trọng Nhận xét: Từ suy COD 900 OC chứng minh vng góc Mặt khác có điều ngược lại tức COD phân giác OD phân giác AOB điều có ý nghĩa quan trọng cho chứng minh yếu tố phân giác Định lí 5: Cho ( A, B, C , D ) 1 điểm O nằm ngồi hàng điểm điều hịa Một đường thẳng d cắt ba tia OC, OB, OD E, I F Khi I trung điểm EF d song song với OA Nhận xét: Định lí có ý nghĩa toán chứng minh trung điểm song song c) Một số hàng điểm điều hòa bản: Hàng điểm 1: Cho tam giác ABC Gọi AD, AE tương ứng đường phân giác trong, đường phân giác ngồi tam giác ABC Khi (BCDE) = -1 Chứng minh Sử dụng tính chất đường phân giác định nghĩa Hàng điểm 2: Cho tam giác ABC điểm O không thuộc đường thẳng BC, CA, AB Các đường thẳng AO, BO, CO theo thứ tự cắt đường BC, CA, AB E, F, K Hai đường thẳng BC, FK cắt T Khi (TEBC) = -1 Chứng minh A F K T B E C Trong tam giác ABC: +Áp dụng định lí Cêva với ba đường đồng quy AE, BF, CK ta có: EB FC KA 1 (1) EC FA KB +Mặt khác áp định lí Menelaus với ba điểm thẳng hàng T, K, F lại cho ta: Nhân (1) (2) vế theo vế suy ra: TB EB TC EC Theo định nghĩa (T , E , B, C ) 1 ,đây đpcm skkn TC KB FA (2) TB KA FC Hàng điểm 3: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O), kẻ tới (O) tiếp tuyến AB, AC B, C O Một đường thẳng qua A, cắt đường tròn (O) M, N cắt AB D Khi ADMN 1 Chứng minh Sử dụng hệ thức Marlaurin Tỉ số kép chùm đường thẳng - Chùm điều hòa 3.1 Chùm đường thẳng tỉ số kép nó: a) Định nghĩa - Tập hợp đường thẳng mặt phẳng qua điểm S gọi chùm đầy đủ đường thẳng tâm S - Bộ đường thẳng đơi khác nhau, có kể đến thứ tự, thuộc chùm đầy đủ đường thẳng gọi chùm đường thẳng b) Tỉ số kép chùm đường thẳng: Định lí 6: Cho a,b, c, d chùm đường thẳng tâm O Đường thẳng không qua O theo thứ tự cắt a, b, c, d A, B, C, D Đường thẳng ' không qua O theo thứ tự cắt a, b, c A', B', C' Khi '/ / d ABCD C ' A' C 'B' Định lí 7: Cho a, b, c, d chùm đường thẳng tâm O Đường thẳng không qua O theo thứ tự cắt a, b, c, d A, B, C, D Đường thẳng ' không qua O theo thứ tự cắt a, b, c, d A ', B ', C ', D ' Khi ABCD A ' B ' C ' D ' skkn Từ định lí 7, ta nhận thấy, tỉ số kép (ABCD) khơng phụ thuộc vào vị trí đường thẳng Khi giá trị khơng đổi tỉ số kép (ABCD) gọi tỉ số kép chùm đường thẳng a, b, c, d kí hiệu abcd O abcd với O tâm chùm sin OA, OC sin OB, OC Từ ta suy abcd ABCD : sin OA, OD sin OB, OD 3.2 Phép chiếu xuyên tâm a) Định nghĩa 4: Cho đường thẳng (d) Điểm S ngồi (d) Với điểm M (M khơng thuộc đường thẳng qua S song song (d)), SM cắt (d) M’ Khi ánh xạ f: M → M’ phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu S lên (d) b) Định lí 8: Phép chiếu xuyên tâm bảo tồn tỉ số kép Để chứng minh định lí trước hết ta cần phát biểu bổ đề Bổ đề 1.1 Cho S A, B, C, D thuộc (d) Từ C kẻ đường thẳng song song SD cắt SA, SB A’, B’ Khi (ABCD) CA ' CB' Thật theo định lí Talet ta có: (ABCD) CA DA AC DB CA ' DS CA ' : : : CB DB AD CB DS CB ' CB ' Trở lại định lí ta có (ABCD) CA ' C1A '' (A1B1C1D1) CB' C1B'' (d.p.c.m) Nhận xét: A, B, C, D hàng điểm điều hòa C trung điểm A’B’ skkn Từ định lí 1.3 ta có hệ quả: Hệ 1.2 Cho đường thẳng đồng quy đường thẳng cắt đường thẳng A, B, C, D (ABCD) khơng phụ thuộc vào Hệ 1.3 Cho hai đường thẳng 1 , cắt O A, B, C 1 , A ', B ', C ' Khi đó: (OABC) (OA ' B 'C ') AA ', BB ', CC ' đồng quy đôi song song Chứng minh TH1 AA’, BB’, CC’ song song BO CO B 'O C 'O : : BA CA B' A C ' A (OABC) (OA ' B'C ') TH2 AA’, BB’,CC’ không đôi song đặt AA ' BB ' S,SC C" Ta có: (OA 'B'C ') (OABC) (OA 'B'C") (OA 'B'C ') (OA 'B'C") C ' C '' Vậy AA’, BB’, CC’đồng quy Phép chiếu xuyên tâm có nhiều ứng dụng xuất hầu hết tốn có diện hàng điểm điều hịa, lí tránh trùng lặp với phần khác, ta nghiên cứu ứng dụng phép chiếu xuyên tâm việc chứng minh đồng quy thẳng hàng phần 3.3 Chùm điều hòa: a) Định nghĩa 5: Chùm a, b, c, d gọi chùm điều hòa abcd 1 b) Tính chất: Với chùm a, b, c, d , điều kiện sau tương đương: (i) (abcd) = -1 (ii) Tồn đường thẳng song song với đường chùm định ba đường lại hai đoạn thẳng (iii) Mọi đường thẳng song song với đường chùm định ba đường lại hai đoạn thẳng c) Tính chất: Với chùm điều hịa a, b, c, d, điều kiện sau tương đương: (i) c d skkn (ii) c phân giác góc tạo a, b (iii) d phân giác góc tạo a, b Tứ giác điều hòa 4.1 Định nghĩa Tứ giác nội tiếp ABCD gọi điều hòa tồn điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác cho M(ACBD)=-1 Nhận xét: Tứ giác ABCD điều hịa với điểm M thuộc (O) ta có M(ACBD)=-1 Chú ý: sin( MB, MA) sin( MD, MA) : 1) M(ACBD) định nghĩa sau: M( ACBD) sin( MB, MC) sin( MD, MC) 2) Trong phần ta quy ước (O) đường tròn ngoại tiếp tứ giác điều hịa ABCD 4.2 Tính chất a) Tứ giác ABCD điều hòa AB.CD AD.CB Nhận xét: 1) Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác điều hịa ABCD ta có: AC BD AB.CD AD.CB 2) Vì tính chất tương đương với AB CB nên ta sử dụng thuật ngữ “Tứ giác điều hòa” AD CD b) Tứ giác ABCD điều hòa A , C , BD đồng quy đơi song song Trong A , C tiếp tuyến A C (O) c) Tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O) Chứng minh (O) trực giao với đường tròn Apollonius tỉ số k dựng đoạn AC d) Cho tứ giác điều hòa ABCD Gọi N giao điểm AC BD Chứng minh rằng: NA BA DA NC BC DC e) Cho tứ giác điều hòa ABCD Gọi M trung điểm AC Chứng minh rằng: ADB MDC Chú ý: Đường thẳng DB toán đường đối trung tam giác ADC Đây tính chất quan trọng hay dùng Tứ giác điều hòa skkn II Bài tập áp dụng Dạng 1: Khai thác toán liên quan đến đường phân giác Chúng ta bắt đầu lớp toán liên quan đến đường phân giác Ta xét toán sau: Bài Cho A nằm ngồi đường trịn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC B, C hai tiếp điểm Kẻ cát tuyến AMN N nằm A M AO cắt đoạn BC cung K E Chứng minh ME phân giác KMA nhỏ BC Lời giải: B M N F O K E A C Gọi F giao điểm thứ hai AE với (O) Khi ta có ( A, K , E , F ) 1 Vì FME 900 nên ME phân giác KMA Nhận xét: Bài toán khai thác ứng dụng quan trọng liên quan đến đường phân giác hàng điểm điều hịa Đây tính chất đẹp hữu ích lớp tốn phân giác Tiếp theo toán phức tạp dạng toán Bài (JMO Finals 2013) Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Đường tròn đường kính AH đường trịn qua B, C cắt hai điểm X, Y Gọi D chân vng góc từ A xuống CKD BC Gọi K hình chiếu D xuống XY Chứng minh BKD Lời giải : skkn Gọi E, F theo thứ tự chân vng góc hạ từ B, C xuống CA AB Dễ dàng thấy E, F thuộc đường trịn đường kính AH, giả sử đường trịn đường kính AH (O) Gọi I giao XY BC Ta có: PI / O IX.IY IE.IF Hơn tứ giác XYCB nội tiếp nên PI / XYCB IB.IC IX IY Như ta có PI / O PI / XYCB Suy I thuộc trục đẳng phương hai đường tròn, tức I thuộc XY Dễ thấy (IDBC) = -1 (hàng điều hịa tứ giác tồn phần) Do theo tính chất hàng điểm Vậy BKD CKD điều hịa ta có KD phân giác góc BKC CKD tương đương với KD phân giác Nhận xét: Yêu cầu chứng minh tốn BKD từ dẫn đến việc tạo hàng điểm (IDBC) = -1 hết sực tự nhiên góc BKC Tiếp theo tốn có u cầu tương tự kín Bài (China TST 2002) Cho tứ giác lồi ABCD Gọi E, F, P giao điểm AD BC, AB CD, AC BD Gọi O chân đường vng góc hạ từ P xuống EF Chứng minh AOD BOC Lời giải skkn I E B O P A C J D F Gọi I giao điểm BD EF J giao điểm EP với CD Ta có (DCJF) = - (hàng điểm tam giác ECD) nên E DCJF 1 E DBPI 1 O DBPI 1 DOP BOP Mà OP OI nên theo định lí chùm điều hịa, ta có OP phân giác DOB Hồn tồn tương tự ta có AOP COP COP BOP BOC Từ AOD AOP DOP Đây điều phải chứng minh Một tốn có ý tưởng tương tự Bài (Iran TST 2012) Cho () đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi D trung điểm () Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC DI cắt BC E () cung BAC F P thuộc AF cho PE // AI Chứng minh PE phân giác BPC Giải: 10 skkn A E L K X Y I D Z N B W M C Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADC Gọi N CD, Z MX ,W MY , E MD XY 2MIC 2( IAC ICA ) DAC DCA BDC Ta có BIC Suy BDIC tứ giác nội tiếp Theo định lí Sim Son K, M, N thẳng hàng Vì D nằm đường đối cực M đường tròn , theo định lý Lahire ta có: W, Z , D thẳng hàng đó: M ( DNZW) 1 M ( EKXY ) 1 D( EKXY ) 1 Kết hợp với EDK 90 ta có DE đường phân giác ngồi tam giác XDY Lại có MX MY Kết hợp hai kết ta điểm X , D, M ,Y đồng viên Bài Cho đường tròn (O), day cung BC khác đường kính Điểm A thuộc cung lớn BC Lấy S đối xứng O qua BC Lấy T OS cho AT, AS đối xứng qua phân giác góc BAC Chứng minh T tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC Lời giải 15 skkn Q A O M N j C I T B F P S E Y K X Gọi I trung điểm BC, K = BB CC OK cắt (O) P Q, Q thuộc cung lớn BC Ta có (KIPQ) = - nên theo hệ thức Newton ta có OI.OK = OP2 Mặt khác AP AQ, AP phân giác SAT nên (STPQ) = - Theo hệ thức Newton ta có OP2 = OT.OS Từ suy OI.OK = OT.OS, mà OS = 2OI nên OK = 2OT Suy T tâm (OBK) hay T tâm (OBC) 16 skkn Dạng 2: Chứng minh đồng quy, thẳng hàng Bài (Hải Phòng 2017) Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn nội tiếp I tiếp xúc BC , CA, AB D, E , F ; AD cắt EF I M , N N D ; BN cắt I P P N ; CP cắt AD Q Tương tự, đường tròn bàng tiếp đỉnh A I ' tiếp xúc BC , CA, AB D ', E ', F ' ; AD ' cắt E ' F ' I ' M ', N ' N ' D ' ; BN ' cắt I ' P ' P ' N ' ; CP ' cắt AD ' Q ' Chứng minh BC , MM ', NN ', QQ ' đồng quy Giải: A A N E F M I PQ B D P' N D' C Q' E' M' E F M I P F' Q I' N' B D Do DENF tứ giác điều hòa nên D, N , A, M 1 Tương tự D ' E ' N ' F ' tứ giác điều hòa nên D ', N ', A, M ' 1 Do D, N , A, M D ', N ', A, M ' nên BC , NN ', MM ' đồng quy AD QN DF CB PN AN QD NF CD PB Ta có PF ND NF ND DF CB DF CB CB.DF ND CB.DF ND DF DF 2 NF CD PB NF CD BF CD.NF BF CD.NF BD 17 skkn C NF DE CB DF DE EF 4 CD.NF BD EF BD CD CB.DF 4 R sin A B C 2sin 2sin A 2 2r cos 32 R sin A B C sin sin 2 8 r Tương tự D, N , A, Q 8 D ', N ', A, Q ' , BC , MM ', NN ', QQ ' đồng quy Bài 10 Cho tam giác ABC điểm M Các đường thẳng AM, BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA, AB D, E F Lấy X thuộc BC cho AMX 900 Gọi Y, Z theo thứ tự điểm đối xứng M qua DE, DF Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng Giải A F E M Z B Y D C X T Gọi T điểm đối xứng M qua BC Ta có DY DZ DT (cùng DM) Do Y, Z, T, M nằm đường tròn tâm D, ký hiệu (D) Mặc khác, AMX 900 nên MX tiếp tuyến (D) M Từ đó, ý T M đối xứng qua XD, ta có XT tiếp tuyến (D) T Theo giả thiết theo cách dựng điểm T, MX, MT, MY, MZ theo thứ tự vng góc với DM, DX, DE, DF.Từ đó, với ý D( MXEF ) 1 M ( XTYZ ) 1 (MTYZ ) 1 Điều có nghĩa tứ giác MYTZ tứ giác điều hòa Vậy X, Y Z thẳng hàng Bài 11 Cho tam giác không cân ABC Đường tròn (I) tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F tương ứng AD cắt (I) điểm thứ hai G, M giao điểm AI 18 skkn EF Giả sử DM GM cắt (I) điểm thứ hai P, Q tương ứng Chứng minh A, P, Q thẳng hàng Lời giải A P G F E M I Q B C D Ta có tứ giác GEDF điều hoà nên M(EFGD)= -1 M (FEQP)=-1 Suy tứ giác PEQF tứ giác điều hoà Suy QP, tiếp tuyến E, tiếp tuyến F đồng quy (tại A) suy A, P, Q thẳng hàng (đpcm) Bài 12 (Romania TST 2014) Cho tam giác ABC nhọn có đường trịn ngoại tiếp (O) Các tiếp tuyến với đường tròn tam giác ABC điểm B C gặp điểm P Đường tròn tâm P tam giác ABC điểm S, OS bán kính PB = PC cắt phân giác BAC BC = D Chân đường vng góc S AC AB E F Chứng minh AD, BE CF đồng qui Lời giải 19 skkn EF BC = G Ta chứng minh (GDBC) = -1 180 BAC BSC 90 BAC ; FSE 1800 BAC nên BSF CSF 90 Ta có BPC Suy SBF ~ CSE ( g g ) SB FB SF SC SE CE Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến GFE ta có GB EC FA GC EA FB GB FB FB SF SB dễ thấy FA = EA nên GC CE SE CE SC BD SB Dễ thấy OB, OC tiếp tuyến tam giác SBC nên SD đường đối trung nên DC SC Do (GDBC) = -1 Gọi T giao điểm BE CF; D’ giao điểm BC AT (GD’BC) = -1 D ' D 20 skkn ... trong, đường phân giác tam giác ABC Khi (BCDE) = -1 Chứng minh Sử dụng tính chất đường phân giác định nghĩa Hàng điểm 2: Cho tam giác ABC điểm O không thuộc đường thẳng BC, CA, AB Các đường thẳng. .. lại tức COD phân giác OD phân giác ngồi AOB điều có ý nghĩa quan trọng cho chứng minh yếu tố phân giác Định lí 5: Cho ( A, B, C , D ) 1 điểm O nằm hàng điểm điều hòa Một đường thẳng d cắt... trung điểm EF d song song với OA Nhận xét: Định lí có ý nghĩa toán chứng minh trung điểm song song c) Một số hàng điểm điều hòa bản: Hàng điểm 1: Cho tam giác ABC Gọi AD, AE tương ứng đường phân giác