Skkn chuyên đề một số phương pháp xây dùng phương trình vô tỉ

Sở giáo dục & đào tạo vĩnh phúc Phòng gd & đt vĩnh yên Trờng THCS Vĩnh yên =======o0o======= Chuyên đề môn Toán: Một số phơng pháp Xây dựng Phơng trình vô tỷ Tác giả chuyên đề: Nguyễn Thị Hồng Phơng Nguyễn Công Cao Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác : Tổ Khoa học -Tự nhiên Trờng THCS Vĩnh Yên Phòng giáo dục & đào tạo thành phố Vĩnh Yên Vĩnh Yên, tháng 12 năm 2011 skkn MễT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** PhÇn PhÇn thø nhÊt I II III IV V PhÇn thø hai A I II 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 B I Môc lục Nội dung Trang Mở đầu Lý chọn chuyên ®Ị Lý kh¸ch quan Lý chđ quan Mơc đích chuyên đề Đối tợng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Các phơng pháp nghiên cứu Nội dung chuyên đề 3 4 4 Nội dung Cơ sở khoa học chuyên đề C¬ së lÝ ln C¬ së thùc tiƠn Néi dung chuyên đề Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ Một số phơng pháp xây dựng phơng trình vô tỷ Xây dựng phơng trình vô tỷ từ phơng trình bậc Xây dựng phơng trình vô tỷ từ phơng trình đa dạng tích Xây dựng phơng trình vô tỷ đợc giải theo phơng pháp biến đổi tơng đơng Xây dựng phơng trình vô tỷ từ số đẳng thức Xây dựng phơng trình vô tỷ dựa vào bất đẳng thức Xây dựng phơng trình vô tỷ từ hệ phơng trình ứng dụng vào thực tiễn Kết thùc hiÖn 5 5 6 skkn 7 10 12 14 17 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** II Phần thứ ba Những học kinh nghiệm đợc rút KÕt luËn skkn 17 19 MỘT SỐ PHƯƠNG PHAP Xây dựng PHNG TRINH Vễ TI ****************************** Phần thứ nhất: mở đầu I lý chọn chuyên đề 1.Lý khách quan: Toán học môn khoa học, tảng cho môn khoa học khác, có ứng dụng hầu hết lĩnh vực sống Toán học giữ vai trò quan trọng bậc học Làm để học đợc toán, học giỏi toán vấn đề đặt mà lúc giải đợc cách dễ dàng Với cơng vị giáo viên toán, nhận thấy cần phải đầu t suy nghĩ để tìm phơng pháp tốt phù hợp với đơn vị kiến thức, giúp em tiếp thu kiến thức cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu 2.Lý chủ quan: Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán bậc trung học sở nhận thấy mảng phơng trình vô tỷ đợc đa sách giáo khoa lớp khiêm tốn, nội dung sơ lợc, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho ỏi Bên cạnh nội dung tập ứng dụng phong phú, đa dạng phức tạp Các phơng trình vô tỷ nội dung thờng gặp kỳ thi Bậc THCS, THPT đặc biệt kỳ thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung, tính phức tạp hóa gây nên trở ngại cho học sinh trình tiếp cận với phơng trình vô tỷ Cùng với tích luỹ kinh nghiệm có đợc thân qua nhiều năm giảng dạy Kết hợp với kiến thức mà đà lĩnh hội đợc chơng trình bồi dỡng giáo viên ,chúng skkn MễT Sễ PHNG PHAP Xây dựng PHNG TRINH Vễ TI ****************************** định chọn chuyên đề Một số phng pháp xây dựng phng trinh vô tỷ Qua chuyên đề ,chúng mong thân tìm hiểu sâu vấn đề này, tự xây dựng đợc số toán phơng trình vô tỷ,làm tài liệu cho giảng dạy häc tËp Tõ ®ã gióp häc sinh cã thĨ dƠ dàng việc giải phơng trình vô tỷ Qua nội dung hy vọng học sinh phát huy đợc khả phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua tập nhỏ Từ hình thành cho học sinh khả t sáng tạo häc tËp II Mục đích chuyªn đề Trªn sở kinh nghiệm giảng dạy thực tiÔn häc tập học sinh, tìm nhng phng phap xây dựng phng trình vô tỷ cách hiệu qủa III.Đối tợng & Phm vi nghiờn cu: Chuyên đề áp dụng cho giáo viên Toán học sinh yêu thích môn toán tham khảo Tuy nhiên nội dung chuyên đề hạn chế lực thân Vì mong nhận đợc ý kiến đóng góp thầy cô giáo để chuyên đề đợc hoàn thiện IV Cơ sở nghiªn cứu Để thực chuyªn đề này,chóng da c s kin thc à hc,các tài liệu phương ph¸p giảng dạy, c¸c tài liệu bi dng thng xuyên, sách giáo khoa, sách bi tp, sách tham kho ca b môn Toán bc trung hc c s V Phng pháp nghiên cu skkn MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** Thực đề tài này, chóng t«i sử dụng phng pháp sau ây: Phng pháp nghiên cu lý luận – Phương ph¸p khảo s¸t thực tiƠn – Phng pháp phân tích Phng pháp tng hp Phương ph¸p kh¸i qu¸t hãa – Phương ph¸p quan s¸t – Phương ph¸p kiểm tra – Phương ph¸p tổng kết kinh nghim Phần thứ hai: nội dung chuyên đề A Nội dung I sở khoa học chuyên đề 1.Cơ sở lí luận: Phơng trình vô tỷ lớp toán có vị trí đặc biệt quan trọng chơng trình bậc toán học phổ thông.Việc tìm phơng pháp giải phơng trình vô tỷ nh việc xây dựng phơng trình vô tỷ niềm say mê không ngời đặc biệt ngời dạy toán Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập Vì mạnh dạn xây dựng chuyên đề với mong muốn trao đổi với đồng chí số phơng pháp xây dựng phơng trình vô tỷ nhằm nâng cao chất lợng bồi dỡng cho học sinh Đặc biệt bồi dỡng học sinh giái 2.C¬ së thùc tiƠn skkn MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** Trêng THCS Vĩnh Yên việc đào tạo học sinh phát triển toàn diện theo mục tiêu đào tạo chung công tác bồi dỡng học sinh giỏi nhiệm vụ hàng đầu nhà trờng Bởi nhà trờng đà đợc UBND Thành phố, Phòng GD - ĐT Thành phố cho tuyển chọn em học sinh giỏi toàn Thành phố Tuy nhiên thực tiễn qua trình dạy học nhận thấy phơng trình vô tỷ có nhiều dạng nhiều cách giải khác nhau.Ngời giáo viên việc nắm đợc dạng phơng trình phơng pháp giải chúng cần phải biết xây dựng lên đề toán khác làm tài liệu giảng dạy tránh chép,cóp nhặt trùng lặp với sách Vì vậy,chúng viết chuyên đề để tham khảo, góp ý kiến để đóng góp vào việc nâng cao chất lợng dạy học môn hoàn thành nhiệm vụ giáo dục II Nội dung chuyên đề 1.Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ: +Phơng pháp biến đổi tơng đơng +Phơng pháp đặt ẩn phụ +Phng phap a vờ phương trình tích +Phương pháp sử dụng bất đẳng thức +Phơng pháp đa hệ phơng trình Trong chuyên đề xin trình bày số cách xây dựng lên phơng trình vô tỷ, hy vọng ®em l¹i nhiỊu ®iỊu bỉ Ých skkn MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** Một số phơng pháp xây dựng phơng trình vô tỷ 2.1 Xây dựng phơng trình vô tỷ từ phơng trình bậc a) Phng phỏp : Từ phơng trình dạng at2+bt+c=0 ta thay t= ta nhận đợc phơng trình vô tỷ đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc để giải b)Xây dựng phơng trình vô tỷ: Từ phơng trình 2t2-5t+3=0 ta chọn t = ta đợc phơng trình vô tỷ sau: Hoặc biến đổi để toán trở lên khó cách nhân vế phơng trình với x-1 ta đợc phơng trình sau: 3(x-1)+2(x2+x+1)=5 Từ phơng trình ta xây dựng lên toán phơng trình vô tỷ c) Bài toán 1:Giải phơng trình: 2x2+5x-1=5 Hớng dẫn: Biến đổi đặt ẩn phụ ta đa phơng trình bậc đà biết giải ĐK: x Từ (1) ta có 3(x-1)+2(x2+x+1)=5 Vì x=1 không nghiệm nên ta chia vế cho x-1>0 Ta đợc skkn MễT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** Đặt t = (đk:t ) 2t2-5t+3=0 t=1 t=1,5 (loại phạm vào Đk =>phơng trình vô nghiệm d)Bi áp dụng Gii phng trình sau a) 3(x2+2x+2)-8(x+1) = b)x2-3x+1= c) d) e) * Tổng qu¸t hướng dn sáng to Mt s dng phng trình sau c gii bng cách t n ph a v phng trình bậc 2: - Dạng 1: Chỉ dẫn: Đặt - Dạng 2: Chỉ dẫn: Đặt - Dạng 3: Chỉ dẫn: Đặt - Dạng 4: Chỉ dẫn: Đối với dạng tổng qu¸t ta chọn c¸c hệ số a, b, c, d, A, B c¸ch thÝch hợp ta c mt phng trình vô t mi, bit i phng trình dng tng quát mt chút c phng trình khó hn 2.2 Xây dựng phơng trình vô tỷ từ ph ơng trình đa dạng tích: a) Phng pháp skkn MễT Sễ PHNG PHAP Xây dựng PHNG TRINH Vễ TI ****************************** Chọn u,v biểu thức chứa Chọn a,b số thực cho trớc ta xây dựng đợc phơng trình vô tỷ b)Xây dựng phơng trình vô tỷ: Gán a=1,b=2x,u= ,v= ta thu đợc phơng trình ta có toán sau: c)Bi toán Gii phng trỡnh: Hớng dẫn: đk:x -1 pt d)Bi áp dụng Gii phng trình sau a) b) c) d) e) *) Tổng quát hướng dẫn sáng tạo Để cã thể s¸ng tạo c¸c phng trình vô tỷ có th gii c bng phng pháp t n ph a v phng trình tích lm nh sau xut phát từ mt phng trình tÝch chóng ta chọn biến biĨu thức chứa cn ri bin i c phng trình vô tỷ c phng trình vô tỷ hn ta xut phát t phng trình tích có nhiu tích 2.3 Xây dựng phơng trình vô tỷ đợc giải theo phơng pháp biến đổi tơng đơng 10 skkn MễT Sễ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** a) Phng pháp : Ta xây dựng phơng trình vô tỷ từ phơng trình dạng: Gán biểu thức chứa x cho A,B,C,D ta đợc phơng trình vô tỷ giải cách bình phơng vế Điu ó ôi lại gặp khã khăn ta sử dụng ph¸p th : ta c phng trình : b)Xây dựng phơng trình vô tỷ: Gán A=x+3.B=3x+1,C=4x ,D=2x+2 ta đợc phơng trình vô tỷ sau: c) Bài toán 3.Gii phng trình sau : Hớng dẫn: k Đ gii phng trình ny d nhiên l không khó nhng hi phc mt chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : B×nh phương hai vế ta cã: Thử lại x=1 thỏa m·n Nhận xÐt : Nếu phương tr×nh : Mà cã : , th× ta biến đổi phương tr×nh dạng : sau b×nh phương gii phng trình d)Bi áp dụng Gii phng trình sau 11 skkn MễT Sễ PHNG PHAP Xây dựng PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** a) (2) b) c) d) e) 2.4.Xây dựng phơng trình vô tỷ từ số đẳng thức: 2.4.1 Xây dựng phơng trình vô tỷ từ: a) Phương pháp từ: ,ta xây dựng phương trình dng b)Xây dựng phơng trình vô tỷ ta khai trin cú toán c)Bài toán 4: Giải phng trỡnh : Hớng dẫn: Biến đổi phơng trình trớc khai triển giải 2.4.2 Xây dựng phơng trình vô tỷ từ đẳng thức (AB)2=0 a) Phng phỏp: Từ đẳng thức (A-B)2=0A=B b)Xây dựng phơng trình vô tỷ Chọn A=1;B= )2=0 ta đợc phơng trình (1- khai triển ta đợc phơng trình :1+ Nhân vế phơng trình với ta có toán 12 skkn ta đợc phơng trình MễT Sễ PHNG PHAP Xây dựng PHNG TRINH Vễ TI ****************************** Bài toán 5: Giải phng trỡnh : Hớng dẫn: Để giải đợc toán học sinh phải biết biến đổi phơng trình trớc khai triển để giải cách tốt 2.4.3 Xây dựng phơng trình vô tỷ từ đẳng thức A2- B2=0 a) Phng phỏp: Từ đẳng thức A2-B2=0(A-B) (A+B)=0 b)Xây dựng phơng trình vô tỷ Gán A= ; B=2 trình: ta xây dựng phơng Khai triển thu gọn lại ta đợc ph- ơng trình Bài toán 6: Giải phơng trình 12 Hớng dẫn: Để giải đợc toán học sinh phải biết biến đổi phơng trình trớc khai triển để giải cách tốt 2.4.4 Xây dựng phơng trình vô tỷ đẳng thức: A3 = B3 a) Phng phỏp: Từ đẳng thức A3 = B3(A-B) (A2+B2+AB)=0 b)Xây dựng phơng trình vô tỷ Gán A,B biểu thức chứa ví dụ gán A=1+ ,B=x Từ phơng trình (1+ thu gọn đợc toán c)Bài toán 7:Giải phơng trình 13 skkn )3=x3 ta khai triển MễT Sễ PHNG PHAP Xây dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** 3( =x3-x + Híng dẫn: Để giải đợc toán học sinh phải biết biến đổi phơng trình ban đầu xây dựng Phơng trình có nghiệm x=0;x=1;x=2 2.4.5 Xây dựng phơng trình vô tỷ t ng thc a) Phng phỏp: Từ đẳng thức Ta cú T nhn xột ny ta tạo phương trình vơ tỉ có cha cn bc ba b)Xây dựng phơng trình vô tỷ Gán A = ,B = ,C = A3+B3+C3=8 ta đợc toán c)Bài toán Giải phơng trình: Hớng dẫn: Đặt A = ,B = ,C= A3+B3+C3=8 A+B+C=2 14 skkn MễT Sễ PHNG PHAP Xây dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** d)Bài tập ¸p dơng Gii phng trình sau a) b) c) d)12 2.5.Xây dựng phơng trình vô tỷ dựạ vào bất đẳng thức a)phơng pháp : Mt s phng trỡnh c to từ dấu bất đẳng thức: dấu ë(1) (2) ®ạt nghiệm phương trình Tõ : Dấu và , dấu x=0 Vậy ta có phương trình: Đơi số phương trình tạo từ ý tưởng : Nếu ta đốn trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vơ tû việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá Một số phương trình tạo từ bất đẳng thức Bunhiacèpki: 15 skkn MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** (AB+CD)2 (A2+C2)(B2+D2) DÊu b»ng x¶y b)Xây dựng phơng trình vô tỷ : Gán A = ;B= ;C= ;D= Ta xây dựng ph- ơng trình => ta xây dựng phơng trình vô tỷ c)Bi toán Gii phng trỡnh Gii: đk Ta cú : Du bng Bài toán 10 Gii phng trỡnh : Gii: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu 16 skkn MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** d)Bài tập ¸p dơng Giải c¸c phng trình sau a) b) c) d) e) 2.6.Xây dựng phơng trình vô tỷ từ hệ phơng trình 2.6.1 Xây dựng phơng trình vô tỷ đa hệ thông thờng: a)phơng pháp: b)Xây dựng phơng trình vô tỷ : Gán a= ,b= ta có toán c)Bài toán 11:Gii phng trỡnh: Hớng dẫn: đk:x -4 Đặt a= ,b= , a 0,b Ta có hệ phơng trình Rút a từ (1) vào (2) ta đợc x=4,x= 2.6.2 Xây dựng phơng trình vô tỷ đa hệ đối xứng loại I : 17 skkn MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRINH Vễ TI ****************************** Bài toán 12:Giải hệ phơng trình: Gán a= ,b= ta có hệ phơng trình Giải hệ ta có x=-1,x=2 2.6.3 Xây dựng phơng trình vô tỷ a v h i xng loi II a)phơng pháp: Ta xÐt hệ phương tr×nh đối xứng loại II sau : vic gii h ny n gin b)Xây dựng phơng trình vô tỷ : Bây gi ta s bin h thnh phng trình bng cách t cho (2) , , ó ta có phng tr×nh : Vậy để giải phương tr×nh : ta đặt li nh v a v h Bng cách tng tự xÐt hệ tổng qu¸t dạng bậc : , ta s xây dng c phng trình dng sau : đặt , ta cã phương tr×nh : Tương tự cho bậc cao : 18 skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** Tãm lại phương tr×nh thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng : v đặt để đưa hệ , chó ý dấu Việc chọn th«ng thường chóng ta cần viết dạng chọn c b)Xây dựng toán nh sau: Chọn Ta có phơng trình (2x-3)2=2 ,a=4, b=5 +11 4x2-12x-2=2 2x2-6x-1= Khi ta có toán c)Bi toán 13 Gii phng trỡnh: Hớng dẫn:đk Ta bin i phng trình nh sau: Đặt ta hệ phương tr×nh sau: Với Với Kt lun: Nghim ca phng trình l d)Bi áp dụng Gii phng trình sau a) b) c) 19 skkn MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** d) e) *) Tổng qu¸t hướng dẫn sáng to T mi h phng trình lp c qua bi hoc qua h phng trình sẵn cã c¸ch thay c¸c Èn hệ biu thc chứa thích hp, bin i ta c phng trình vô tỷ tng ng B.ứng dụng vào thùc tiƠn I KÕt qđa thực hiƯn Qua viƯc båi dng hoc sinh giỏi môn Toán Chúng à áp dung cac nội dung cua chuyên đề vào việc bồi dưỡng cho c¸c em KÕt qđa đạt được sau: 1.Kết trớc áp dụng chuyên đề: Sĩ số 15 Giỏi Trung Khá Yếu bình SL % SL % SL % SL % 26,6 11 73,3 0 0 2.Kết sau áp dụng chuyên đề: Sĩ số Giỏi SL Trung Khá % Yếu b×nh SL % 20 skkn SL % SL % MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** 15 53,3 46,6 0 0 - Nhìn vào số liệu đội tuyển qua lần khảo sát cha áp dụng sau áp dụng phơng pháp phát triển t duy, sáng tạo cho học sinh thông qua rèn luyện tập thấy: Số học sinh giỏi tăng, số học sinh đà vơn lên giỏi, chứng tỏ đà có hiƯu qu¶ râ rƯt II Bài học kinh nghiƯm Qua việc thc chuyền ề phng trình vô tỷ chng trình cấp THCS việc bồi dỡng hoc sinh giỏi môn Toán Bản thân à rút được mét sè bµi học kinh nghiƯm sau: Về công tác đạo Trong nm hoc va qua, nhận c s ạo sát sao, s quan tâm thờng xuyên t phía Ban giám hiệu Nhà trng Phòng giáo dục ao tao Cụng tác bồi dng hoc sinh giỏi à ang gt hái c nhng thành cơng lớn VỊ phÝa học sinh Đ· gặt hái c nhng thành tích cao công tác mũi nhọn.Học sinh nhân vật trung tâm việc bồi dỡng tạo, ây nhân tố gi vai trò định s thành công hay thất bại giáo viên làm công tác giảng dạy, bồi dng Vì em ngời học, ngời thi vaµ lµ người đem lại những thµnh tÝch vinh quang cho trờng,cho thành phố Tuy nhiên, ể gióp cho học sinh cã thĨ gặt h¸i được những thành công, òi hỏi em phải có s nỗ lc 21 skkn MễT Sễ PHNG PHAP Xây dựng PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** rÊt lớn Mét sự quyÕt tâm học tập 100% khả nng thân Chính vậy, s ộng viên, quan tâm, giúp lÃnh ạo ngành, gia ình em nhng giáo viên tham gia làm công tác bồi dng rÊt lớn NhÊt lµ đèi với lứa ti häc sinh lp 9, c iểm tâm lí la tuổi có tác dụng không nhỏ ến việc học tập em Nhận thc rõ iều ó, giáo viên làm công tác bồi dng cần phải dành s quan tâm ln ến em, thng xuyên ộng viên, uôn nắn kịp thời đĨ gióp cho c¸c em cã thĨ có tâm ln công việc học tập cđa mình Đặc biƯt lµ với những học sinh tham gia thi học sinh giỏi môn Toán, ây m«n häc khã, có rÊt ít học sinh lựa chọn tham gia thi Cũng lí này, công tác bồi dng học sinh giỏi môn Toán trở nªn khã khăn rÊt nhiỊu VỊ phÝa giáo viên tham gia trc tiếp công tác bồi dng học sinh giỏi Nêu hoc sinh gi vai trò trung tâm công tác bồi dng hoc sinh giỏi vị trí ngi thầy lai gi vai trò chủ ạo ể thc thành công việc tạo bồi dng học sinh giỏi, c biệt vi môn Toán khó khn hn nhiều so vi môn học khác, ngời thầy cần phải co thi gian bồi dng nhiều hn, phải ầu t thi gian, công sc, tiền bac nhiều hn so vi nhng giáo viên tham gia bồi dng nhng môn học khác PHN III KấT LUN 22 skkn MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH Vễ TI ****************************** Trên ây số phng pháp xây dựng phng trình vô tỷ khuân khổ chng trình cấp THCS, mà cụ thể phng trinh vô tỷ lp Ngoài nhng phng pháp mà chắt lọc nêu trên, chắn nhiều phng pháp khác mà thân chúng tôi, nng lc hạn chế va thi gian nghiên cu cha nhiều nên chuyên đề cua không nhng s suất Chính vậy, mong có s đóng góp, bổ xung ồng nghiệp ể chuyên đề hoàn thiện hn Chúng xin trân trọng cảm ơn! Vĩnh yên, ngày 16 tháng 12 năm 2011 Ngi thc hiờn Nguyễn Thị Hồng Phơng Nguyễn Công Cao NHậN XéT, ANH GIá CủA Tổ CHUYêN MôN Và BGH NHà TRNG Tổ trởng chuyên môn Ban giám hiệu 23 skkn MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH Vễ TI ****************************** Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa Toán Sách giáo viên Toán Đổi Phơng pháp dạy học môn Toán học trờng THCS Đề thi tuyển sinh vào trờng Đại học Cao đẳng Các dạng tập nâng cao Toán lớp 9,10,11,12 Các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi cấp Các đề thi häc sinh giái c¸c cÊp 24 skkn ... Néi dung chuyên đề Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ Một số phơng pháp xây dựng phơng trình vô tỷ Xây dựng phơng trình vô tỷ từ phơng trình bậc Xây dựng phơng trình vô tỷ từ phơng trình đa... tích Xây dựng phơng trình vô tỷ đợc giải theo phơng pháp biến đổi tơng đơng Xây dựng phơng trình vô tỷ từ số đẳng thức Xây dựng phơng trình vô tỷ dựa vào bất đẳng thức Xây dựng phơng trình vô tỷ... điều bổ ích skkn MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP X©y dùng PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ****************************** Một số phơng pháp xây dựng phơng trình vô tỷ 2.1 Xây dựng phơng trình vô tỷ từ phơng trình bậc