Microsoft Word CHUYÊN �À �¯ÜNG �ÐI TRUNG 2020 2021 doc GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai 1 ĐƯỜNG ĐẲNG GIÁC – ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG I Đường đối trung trong tam giác 1 Đường đẳng giác 1 1 Định nghĩa Ch[.]
GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai ĐƯỜNG ĐẲNG GIÁC – ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG I Đường đối trung tam giác Đường đẳng giác , hai tia Az At gọi đẳng giác chúng đối xứng qua 1.1 Định nghĩa: Cho góc xAy tia phân giác góc xAy x z t A y 1.2 Định lý 1: Cho tam giác ABC với hai đường đẳng giác AA1 AA2 Chứng minh AB BA1.BA2 AC CA1.CA2 A B A1 A2 Chứng minh: S ABA1 AB AA1 sin BAA1 BA1 AB BA1 AA2 S ACA2 AC AA2 sin CAA2 CA2 AC CA2 AA1 S ABA2 S ACA1 AB AA2 sin BAA2 BA2 AB BA2 AA1 AC AA1 sin CAA1 CA1 AC CA1 AA2 C (1) (2) Nhân vế (1) (2) ta điều phải chứng minh 1.3 Định nghĩa: Cho tam giác ABC điểm M Ta nói điểm M’ gọi điểm đẳng giác (hay điểm liên hợp đẳng giác) điểm M đường thẳng AM’, BM’, CM’ đối xứng với đường thẳng AM, BM, CM qua đường thẳng phân giác góc A, B, C 1.4 Một số kết đường đẳng giác Khi Tính chất 1: Cho tam giác ABC hai đường thẳng Ax, Ay đẳng giác góc BAC xAB yAC hai đường thẳng OA, OB đẳng giác góc xOy Kẻ Tính chất 2: Cho góc xOy BH Ox H Ox , BK Oy K Oy Khi HK OA skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai hai đường thẳng OA, OB đẳng giác góc xOy Kẻ Tính chất 3: Cho góc xOy BH Ox H Ox , BK Oy K Oy Qua A kẻ AE , AF vng góc với Ox, Oy điểm E , F Khi E , H , F , K đồng viên (ngược lại đúng) hai điểm A, B nằm miền góc xOy Qua A kẻ Tính chất 4: Cho góc xOy AX Oy X Ox , AY Oy Y Oy , BZ Oy Z Ox , BT Ox T Oy Khi X , Y , Z , T đồng viên OA, OB đẳng giác góc xOy Chứng minh: Gọi ZB AY K Khi ta có ZKAX , OZKY , YTBK ZBT XAY KYT OZB , nên OAX OBT Mặt khác xOB yOA OAY OX AX Do OAX OBT OZ OX OY OT OT BT hình bình hành nên Điều ngược lại hiển nhiên Tính chất 5: Cho tam giác ABC có hai đường đẳng giác AE , AF E , F BC Khi AEF tiếp xúc với ABC Chứng minh: Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với (ABC) BAE C FAC Ta có xAB AFE Do Ax tiếp xúc với (AEF) Do AEF tiếp xúc với ABC Tính chất 6: Cho P, Q liên hợp đẳng giác tam giác ABC Khi chân đường vng góc hạ từ P, Q nằm đường tròn (đường trịn Pedal) Chứng minh: Áp dụng tính chất ba lần Tính chất 7: Cho tam giác ABC có hai điểm P, Q liên hợp đẳng giác tam giác ABC Gọi M giao điểm khác A AP với đường tròn ABC E giao điểm MQ BC Khi PE AQ Chứng minh: skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai Gọi AQ cắt đường tròn ABC điểm N cắt BC điểm F PCB BCM QCA QAC CQN Vì P, Q liên hợp đẳng giác tam giác ABC nên PCM QNC nên PMC CNQ PM CM Mà PMC CN Tương tự NQ MA CM CN NF Kết hợp với MN // EF ta có: PM CM MC NF ME : MA NQ NF NQ MQ Do PE AQ Đường đối trung 2.1 Định nghĩa: Trong tam giác ABC, đường thẳng AX đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác AD gọi đường đối trung tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A A B C X D M 2.3 Định lí Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) X điểm thuộc cạnh BC Khi AX XB AB đường đối trung kẻ từ đỉnh A tam giác ABC XC AC Chứng minh skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai A B C X D M Gọi AD , AM phân giác trong, trung tuyến kẻ từ đỉnh A Giả sử AX đường đối trung tam giác ABC CAM , MAX Sử dụng định lí Sin tam giác ta có: Đặt BAX XB sin XC sin XB sin C sin , AX sin B AX sin C XC sin B sin MB sin MC sin sin sin C , AM sin B AM sin C sin sin B Từ hai đẳng thức ta được: XB sin C AB XC sin B AC XB AB Gọi X ' cạnh BC cho AX ' đường đối trung tam giác XC AC X ' B AB X ' B XB ABC Khi theo chứng minh ta X X ' hay AX đường X ' C AC X ' C XC đối trung tam giác ABC Ngược lại Cách 2: AB BX BM Gọi AM đường đẳng giác với AX Khi theo định lý ta có AC CX CM BX AB Do AX đường đối trung AM trung tuyến BM = CM CX AC Nhận xét: Đường đối trung chia cạnh đối diện tam giác theo tỉ lệ bình phương tỉ lệ hai cạnh bên 2.3 Định lí Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) X điểm thuộc cạnh BC Khi AX đường đối trung kẻ từ đỉnh A tam giác ABC BCMX 1 , M giao điểm tiếp tuyến A với đường thẳng BC Chứng minh skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai A M B Theo kết định lí ta X C D XB AB XC AC Do để chứng minh BCMX 1 ta chứng minh MB AB MC AC Ta có tam giác MAB đồng dạng tam giác MCA (g.g) nên MB MA AB MB MB MA AB Từ suy điều phải chứng minh MA MC AC MC MA MC AC Đường AM gọi đường đối trung tam giác ABC 2.4 Định lý 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) X điểm thuộc cạnh BC Khi AX đường đối trung kẻ từ đỉnh A tam giác ABC d X ; AB AB d X ; AC AC Chứng minh A B C X D M Nếu AX đường đối trung tam giác ABC Khi theo kết định lí ta có XB AB , kết XC AC hợp với d X , AB XB.sin B, d X , AC XC.sin C định lí sin tam giác ABC ta được: d X ; AB XB.sin B AB AC AB d X ; AC XC.sin C AC AB AC Ngược lại d X , AB AB XB.sin B AB XB AB.sin C AB d X , AC AC XC.sin C AC XC AC.sin B AC skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai A X B E C Từ theo định lí ta AX đường đối trung tam giác ABC Cách 2: S AEB d ( X ; AB ) d ( E ; AB ) EB AC AB AC AB AB d ( X ; AC ) d ( E ; AC ) S AEC EC AB AC AB AC AC Từ định lý suy tính chất sau: 2.5 Định lý 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến B C đường tròn (O) cắt S Khi AS đường đối trung tam giác ABC Chứng minh Cách A O Q P B C X N M S Sử dụng định lí Ta Let ta sin C AB XP AX XQ XP SM SB.sin SBM sin B AC SM AS SN XQ SN SC.sin SCN Từ theo kết định lí ta định lí Nhận xét Gọi K giao điểm khác A đường đối trung AX với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi theo định lí tứ giác ABKC điều hồ Cách Xét tam giác ABC hình vẽ Ta có B IB S ABI S MBI S MAB AB MB sin MBA IC S ACI S MCI S MAC AC MC sin MCA M D I A skkn C GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai AB sin BCA AB AC sin CBA AC Do I chân đường đối trung kẻ từ A tam giác ABC Cách 3: A B C M D Xét tam giác ABC với (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác Giả sử tiếp tuyến B C cắt D Ta cần chứng minh AD đường đối trung tam giác ABC Thật vậy: Gọi AM đường thẳng đối xứng với AD qua đường phân giác góc A, M thuộc BC Khi Suy M trung điểm BC, AM đường trung tuyến tam giác ABC Vậy AD đường đối trung tam giác ABC 2.6 Định lý 6: Các đường đối trung tam giác đồng quy điểm, điểm gọi điểm Lemoine Chứng minh skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai N A P Y Z B O C X M Cách Theo kết định lí ta có AM, BN, CP đường đối trung tam giác ABC Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MB MC , NC NA, PA PB Từ ta được: AN BP CM AN BP CM AP BM CN AP BM CN CN AP BM 1 AP BM CN Sử dụng định lí Ceva cho tam giác MNP suy AM , BN , CP đồng quy điểm Cách XB AB YC BC ZA CA2 XB YC ZA AB BC CA , , 1 XC AC YA BA2 ZB CB XC YA ZB AC BA2 CB XB YC ZA AB BC CA2 . 1 XC YA ZB AC BA2 CB Theo định lí ta được: Từ áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC ta AX , BY , CZ đồng quy điểm Chú ý Điểm đồng quy ba đường đối trung gọi điểm Lemoine Sau ta nghiên cứu số tính chất quan trọng điểm Lemoine, tính chất sử dụng nhiều toán thi Olimpiad số nước khu vực Một số tính chất điểm Lemoine d ( L; BC ) d ( L; CA) d ( L; AB ) BC CA AB 3.2 Tính chất 2: Cho điểm X nằm tam giác ABC Khi d ( X ; BC ) d ( X ; CA) d ( X ; AB) 3.1 Tính chất 1: Cho L điểm Lemoine tam giác ABC, đó: nhỏ X điểm Lemoine tam giác ABC Chứng minh: Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ X xuống BC, CA, AB Ta có a XD b XE c XF 2S ABC const nên S ( XD XE XF )(a b c ) XD XE XF 4S a b2 c2 skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai XD XE XF hay X điểm Lemoine tam giác ABC a b c 3.3 Tính chất 3: Cho tam giác ABC và điểm L điểm Lemoine tam giác Khi ta có 2 đẳng thức xác định điểm L sau: BC LA CA LB AB LC Dấu “=” xảy Chứng minh A Y Z O L B C X Giả sử ba đường đối trung AX , BY , CZ cắt điểm L Khi theo định lí ta có: XB AB YC BC , AC XB AB XC 0, AB YC BC YA 2 XC AC YA BA2 Đặt u BC LA CA LB AB LC Khi chiếu u lên đường thẳng BC theo phương AX ta ChAX u AC XB AB XC chiếu u lên đường thẳng CA theo phương BY ta ChAX u AB YC BC YA Do hai đường thẳng AX BY cắt nên u Do BC LA CA2 LB AB LC 3.4 Tính chất 4: Cho tam giác ABC điểm L điểm Lemoine tam giác này.Gọi D , E , F lần lượt hình chiếu L lên đường thẳng BC, CA, AB Khi L trọng tâm tam giác DEF Chứng minh A E Z F B Y L O C D X skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai Giả sử ba đường đối trung AX , BY , CZ cắt điểm L Khi theo tính chất ta có BC LA CA2 LB AB LC (1) Mặt khác L điểm nằm tam giác ABC nên theo kết quen thuộc ta có: S LBC LA S LCA LB S LAB LC (2) So sánh (1) (2) ta có: 1 LD.BC LE AC LF AB LD LE LF S LBC S LCA S LAB 2 k 2 2 2 BC CA AB BC CA AB BC CA AB LD LE LF LD LE LF Từ ta có: LD LE LF LD LE LF k BC k CA k AB LD LE LF LD LE LF LD LE LF k BC CA AB k (định lí Con Nhím) LD LE LF Từ suy LD LE LF hay L trọng tâm tam giác DEF Cách khác: Gọi L giao điểm ba đường đối trung tam giác ABC Từ L hạ ba đường vng góc LP, LQ, LR xuống ba cạnh tam giác ABC Chứng minh L trọng tâm tam giác PQR A Q R L Q" B C P Kéo dài RL đoạn cho LQ’’ = RL Theo tính chất 2.4 LR/AB = LQ/AC hay LQ’’/AB = LQ/AC ’’ (góc có cạnh tương ứng vng góc) Suy LQ Q ABC Khi LP // QQ’’, LP trung điểm RQ nên LP trung tuyến xuất phát từ đỉnh P tam giác PQR.Tương tự LQ trung tuyến tam giác PQR Vậy L trọng tâm tam giác PQR Đường đối song kết liên quan 4.1 Khái niệm đường đối song: Đường đối trung kẻ từ đỉnh A tam giác ABC qua trung điểm đoạn thẳng DE (trong D thuộc cạnh AB E thuộc cạnh AC) DE đường đối song tương ứng với cạnh BC Chú ý: Đoạn thẳng DE (trong D thuộc cạnh AB E thuộc cạnh AC ) gọi đường đối song tương ứng với cạnh BC ADE ACB Chứng minh 10 skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai A E N D B X C M Gọi M trung điểm đoạn BC N giao điểm AX DE MAC , kết hợp với Nếu AX đường đối trung tam giác ABC suy DAN ADE ACB suy tam giác ADN đồng dạng ACM Cùng với tam giác ADE đồng dạng tam giác ACB ta được: ND AD DE ND DE hay N trung điểm đoạn thẳng DE MC AC BC Ngược lại trung điểm đoạn thẳng AX qua trung điểm N đoạn DE Qua N vẽ đường đối song D ' E ' tương ứng với cạnh BC Theo kết chứng minh AX qua trung điểm đoạn D ' E ' Nếu hai đoạn DE , D ' E ' khơng trùng điểm D , D ', E , E ' tạo thành bốn đỉnh hình bình hành hay DD ' || EE ' điều vô lý hay DE , D ' E ' trùng Từ suy DE đường đối song tam giác ABC Nhận xét: điểm B, C, E, D nằm đường tròn 4.2 Tính chất (đường trịn Lemoine) Cho tam giác ABC , L giao điểm đường đối trung, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Các đường thẳng qua L song song với cạnh tam giác cắt cạnh tạo thành sáu điểm Khi sáu điểm nằm đường trịn có tâm trung điểm đoạn thẳng OL Chứng minh A R S B Q T P L K M O X N C Giả sử đường thẳng qua điểm L song song với cạnh tam giác ABC cắt cạnh điểm M , N , P , Q , R , S (như hình vẽ) Gọi T trung điểm RQ K trung điểm OL 11 skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai Ta có AL đường đối trung tam giác ABC qua trung điểm đoạn RQ nên RQ đường đối song tam giác ABC , kết hợp với SP || BC nên RQ đường đối song tam giác ASP Do tứ giác SRQP nội tiếp Lập luận tương tự ta RSMN , MNPQ nội tiếp Mặt khác tứ giác PQRN , QRSM , MNPS hình thang cân nên chúng nội tiếp Từ sáu điểm M , N , P , Q , R,S nằm đường trịn Theo tính chất đường đối song ta có RS OA , kết hợp KT đường trung bình tam giác KLO nên KT || OA KT RS KS KR Tương tự ta KS KM , KN KP Do K cách sáu điểm M , N , P , Q , R,S hay đường tròn qua sáu điểm M , N , P , Q , R,S trung điểm OL 4.3 Tính chất Đường đối song qua điểm Lemoine tam giác cắt cạnh bên tam giác tạo thành sáu điểm thuộc đường tròn Chứng minh A R Q P L O S B X M N C Do SP đường đối song tương ứng với cạnh BC tam giác ABC nên theo định lí 2.8 ta đường đối trung kẻ từ đỉnh A phải qua trung điểm SP hay L trung điểm SP Tương tự L trung điểm NR , MQ Mặt khác ta có NR , MQ , SP đường đối song tam giác ABC nên RSL LR LS (1) LRS ACB, RSL ACB LRS BAC , LNM BAC LMN LNM LM LN (2) LMN Từ (1), (2) kết hợp với L trung điểm SP , NR , MQ suy L cách sáu điểm M , N , P , Q , R , S hay sáu điểm nằm đường tròn 4.4 Tính chất Cho tam giác ABC Đường trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Khi điểm Gergonne điểm Lemoine tam giác DEF Chú ý: Điểm Gergonne điểm đồng quy đường thẳng AD, BE, CF Chứng minh 12 skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai A E F I G B C D Gọi G điểm đồng quy đường thẳng AD , BE , CF Ta có tiếp tuyến E , F đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt điểm A Khi theo định lí ta DA đường đối trung tam giác DEF Tương tự EB , FC đường đối trung tam giác DEF Mặt khác ba đường thẳng AD , BE , CF đồng quy G nên G điểm Lemoine tam giác DEF 4.5 Tính chất Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm nằm cung BC khơng chứa điểm A đường trịn (O) D, E, F hình chiếu vng góc M lên đường thẳng BC, CA, AB Khi điêm M thuộc đường đối trung kẻ từ đỉnh A tam giác ABC D trung điểm EF Chứng minh A O B X D E C F M Theo định lí ta tứ giác ABMC tứ giác điều hoà suy đường đối trung tam giác ABC nên AB MB , kết hợp với AX AC MC XB AB XB MB suy MX đường đối trung XC AC XC MC tam giác MBC , kết hợp với MX đường đối Do tứ giác ABMC , DMCE nội tiếp nên BMX ACB DME trung tam giác MBC suy MD trung tuyến tam giác MBC hay D trung điểm EF 13 skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai Một số bổ đề Bổ đề Cho tam giác ABC Một đường tròn qua B, C, cắt cạnh AB, AC E, F Gọi AH, AI theo thứ tự đường cao tam giác ABC AEF kẻ từ A Khi AH, AI hai đường đẳng giác góc A tam giác ABC Chứng minh Ta có ABC AFE EAI CAH Suy AH AI hai đường đẳng giác góc A A F I E B C H Bổ đề (Hệ bổ đề 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC Khi AO, AH hai đường đẳng giác góc BAC Chứng minh Hiển nhiên theo bổ đề 1, với ý AO EF A E F O H B C D Một đường trịn khơng qua O, cắt tia Ox A, C, cắt tia Oy B, D Bổ đề Cho góc xOy Gọi M, N theo thứ tự trung điểm tam giác AB CD Khi OM, ON đẳng giác góc xOy Chứng minh: O D A M N B I C y x 14 skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai Ta có OAB ODC MOB NOC Suy OM ON hai đường đẳng giác góc xOy Bổ đề (Hệ bổ đề 3) Cho tam giác ABC Một đường tròn qua B, C, cắt cạnh AB, AC E, F Gọi AM, AN theo thứ tự trung tuyến tam giác ABC AEF Khi AN đường đối trung tam giác ABC Chứng minh: Hiển nhiên A F E B N C M Bổ đề Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến A (O) cắt BC E Đường tròn (AOE) cắt (O) điểm thứ hai F Khi AF đường đối trung tam giác ABC Chứng minh A O E B C F S Ta có CB đường đối trung tam giác CAF nên tứ giác CABF điều hòa Suy AF đường đối trung tam giác ABC Bổ đề Cho tam giác ABC ( AB AC ) nội tiếp đường tròn tâm O ngoại tiếp đường tròn tâm I Đường tròn (I) tiếp xúc với BC D Khi OI vng góc với AD AD đường đối trung tam giác ABC Chứng minh 15 skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai A D' F' P B E' I O D C A' Thật vậy, đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E', F' Gọi P giao điểm đường thẳng EF đường thẳng BC Dễ thấy IP vng góc với AD, mặt khác theo giả thiết ta có OI vng góc với AD nên ba điểm O, I, P thẳng hàng hay OP vng góc với AD Gọi D' giao điểm thứ hai AD với (I) A' giao điểm thứ AD (O) Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến EFP ta được: PB E ' C F ' A PB F ' B DB DB 1 BCPD 1 PC E ' A F ' B PC E ' C DC DC Do OP vng góc với AD nên AD đường thẳng đối cực điểm P đường trịn (O) Do đó, PA, PA' tiếp tuyến đường tròn (O) Mặt khác theo chứng minh ta có BCPD 1 , kết hợp với định lí suy AD đường đối trung tam giác ABC Bổ đề Cho tam giác ABC Đường tròn (I) qua A, B tiếp xúc với đường thẳng AB A, đường tròn (J) qua A, C tiếp xúc với đường thẳng AC A Đường tròn (I) cắt lại đường trịn (J) điểm D Khi AD đường đối trung tam giác ABC Chứng minh A K H D B C Thật vậy, gọi H, K hình chiếu vng góc điểm D lên đường thẳng AB, AC Dễ thấy tam giác DAB đồng dạng với tam giác DCA suy DH AB , kết hợp với định lí ta DK AC AD đường đối trung tam giác ABC Bổ đề Cho tam giác ABC, đường cao AD, CE Gọi M, N trung điểm BC, CA DE giao MN T Khi AT đường đối trung tam giác ABC Chứng minh 16 skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai Ta thấy tứ giác AEDC nội tiếp AB // TN nên NTD BED NCD suy TDNC nội tiếp Mà NA = ND = NC nên NA2 = ND2 = NM.NT suy hai tam giác ANM TNA đồng dạng Từ MAN NTA BAT Suy AT đường đối trung tam giác ABC Bổ đề Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác ngồi góc A cắt đường thẳng BC D, E Đường trịn đường kính DE cắt lại đường tròn (O) F Chứng minh AF đường đối trung tam giác ABC Chứng minh Thật vậy, Thật vậy, gọi M trung điểm DE , N giao điểm AF BC Dễ thấy MA, MF tiếp tuyến đường tròn (O) nên theo kết quen thuộc ta BCMN 1 , kết hợp với định lí ta AN đường đối trung tam giác ABC hay AF đường đối trung tam giác ABC A O E M B N D C F Bài tập áp dụng Bài (HSG Chuyên Bến Tre 2021): Cho hai đường tròn O1 ,O2 cắt A B Các tiếp tuyến (O1 ) A, B cắt O Gọi I điểm đường tròn (O1 ) đường 17 skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai tròn (O2 ) Các đường thẳng IA, IB cắt đường tròn (O2 ) tại C , D Gọi M trung điểm đoạn thẳng CD Chứng minh I , M , O thẳng hàng Giải: Gọi N trung điểm đoạn thẳng AB Vì A, B , C , D thuộc đường trịn nên ta có IAB IDC Vì M trung điểm đoạn thẳng CD N trung điểm đoạn thẳng AB nên theo bổ đề IM , IN liên hợp đẳng giác với CID Mặt khác, O giao điểm tiếp tuyến A, B (O1 ) nên NO đường trung trực tam giác IAB Điều có nghĩa IO, IN liên hợp đẳng giác AIB Do I , M , O thẳng hàng Bài (VMO 2015) Cho đường tròn (O) hai điểm B, C cố định (O), BC không đường kính Điểm A thay đổi (O) cho tam giác ABC nhọn Gọi E, F chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Cho (I) đường tròn thay đổi qua E, F có tâm I Giả sử (I) tiếp xúc với BC điểm D Chứng minh DB cot B DC cot C Lời giải A P K E L N F B I D O M C Gọi K, L theo thứ tự giao điểm thứ hai (I) với AB, AC + Nếu tam giác ABC cân A tốn hiển nhiên + Giả sử AB AC Gọi M, N, P trung điểm BC, EF, KL Theo bổ đề 3, AP AN đẳng giác góc A, AM AN đẳng giác góc A nên A, P, M thẳng hàng Do KL // BC 18 skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai Suy DB BF BK BF AB BF BE cot B DB cot B DC CE.CL CE AC CE CF cot C DC cot C Bài (Russian 2010) Đường tròn nội tiếp (I) tam giác nhọn ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB A1, B1, C1 Các điểm A2, B2 trung điểm đoạn thẳng B1C1, C1A1 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC P giao điểm CO đường tròn (I) N, M theo thứ tự giao điểm thứ hai PA2, PB2 với đường tròn (I) Chứng minh giao điểm AN BM thuộc đường cao hạ từ C tam giác ABC Lời giải A N H C1 M B B1 A2 K B2 I O P C A1 Gọi H hình chiếu C AB Ta có CO, CH hai đường đẳng giác góc ACB (1) A2C1 A2 B1 A2 A A2 I A2 A A2 I A2 N A2 P A2C1 A2 B1 A2 N A2 P Suy tứ giác ANIP nội tiếp Mặt khác IP = IN nên NAI PAI Suy AN, AP hai đường đẳng giác góc BAC (2) Tương tự, BM, BP hai đường đẳng giác góc ABC (3) Vì tứ giác AC1IB1 NC1PB1 nội tiếp, ta có : Do AP, BP, CP đồng qui nên từ (1), (2), (3) suy AN, BM, CH đồng qui Bài Cho tam giác ABC ( AB AC ) nội tiếp đường tròn tâm O ngoại tiếp đường tròn tâm I Đường tròn (I) tiếp xúc với BC D Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại đường thẳng AC E đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt lại đường thẳng AB F Gọi M, N trung điểm DE, DF Chứng minh OI AD AD, BN, CM đồng quy điểm Lời giải 19 skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai A D' F I F' M N P B D E' E K O C A' Trước hết ta chứng minh BN, CM đường đối trung tam giác ABC Thật vậy, gọi K trung điểm AC suy BK đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B tam giác ABC Do tứ giác AFDC nội tiếp nên tam giác BDF đồng dạng tam giác BAC suy DB CB DB CB DB CB BCK ta tam giác DBN đồng dạng , kết hợp với BDN DM CA 2DN 2CK DN CK với tam giác CBK suy BDN CBK Do theo định nghĩa đường đối trung ta BN đường đối trung tam giác ABC Tương tự ta CM đường đối trung kẻ từ đỉnh C tam giác ABC Ta có BN, CM đường đối trung tam giác ABC nên AD, BN, CM đồng quy AD đường đối trung tam giác ABC hay OI vng góc với AD (theo bổ đề 6) Từ suy đpcm Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Phân giác ngồi góc A cắt đường thẳng BC D, E Đường trịn đường kính DE cắt lại đường trịn (O) F Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC điểm M Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt lại đường thẳng AC điểm N đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt lại đường thẳng AB điểm P Gọi I, J trung điểm đoạn thẳng MN, MP Chứng minh đường thẳng AM, BJ, CI đồng quy điểm Lời giải Theo bổ đề AM đường đối trung tam giác ABC Ta chứng minh BJ, CI đường đối trung tam giác ABC Thật vậy, gọi K trung điểm AC suy BK đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B tam giác ABC Do tứ giác APMC nội tiếp nên tam giác BMP đồng dạng tam giác BAC suy PB CB PB CB PB CB BCK ta tam giác PBJ đồng dạng với , kết hợp với BPJ PM CA PJ 2CK PJ CK CBK Do theo định nghĩa đường đối trung ta BJ đường đối tam giác CBK suy BPJ trung tam giác ABC Do AM, BJ, CI đường đối trung tam giác ABC nên theo định lí ta AM, BJ, CI đồng quy điểm 20 skkn ... đường trung tuyến tam giác ABC Vậy AD đường đối trung tam giác ABC 2.6 Định lý 6: Các đường đối trung tam giác đồng quy điểm, điểm gọi điểm Lemoine Chứng minh skkn GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên. .. giải Theo bổ đề AM đường đối trung tam giác ABC Ta chứng minh BJ, CI đường đối trung tam giác ABC Thật vậy, gọi K trung điểm AC suy BK đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B tam giác ABC Do tứ giác APMC... tam giác ABC, đường thẳng AX đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác AD gọi đường đối trung tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A A B C X D M 2.3 Định lí Cho tam giác ABC nội tiếp đường