Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word dinh li viet doc Cap2sondong @gmail com Sưu tầm và giới thiệu ĐỊNH LÝ VIET ý t−ëng khai th¸c HÖ thøc ViÐt(sgk) ®L ViÐt §¶o ThuËn øng dông Pt bËc 2; 3 vµ c¸c lo¹i to¸n ®¹i sè MÆt ph¼ng t[.]
Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu ĐỊNH LÝ VIET ý tởng khai thác Hệ thức Viét(sgk) đL Viét Thuận Đảo ứng dụng Pt bậc 2; loại toán đại số Mặt phẳng toạ độ hình học skkn Sè häc Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu Các ứng dụng định lý viét Phần I: sở xuất phát Phần II: nội dung - phơng pháp A lý thuyết (Kiến thức mở rộng) B Các ứng dụng định lý viét * ứng dụng * ứng dụng khác Phần III: biện pháp thực Phần IV: kết - học kinh nghiệm PhầnV: kết luận skkn Cap2sondong @gmail.com Su tm v gii thiu Phần i: sở xuất phát Định lý toán học mệnh đề Vì kiến thức có giá trị phơng diện suy luận ứng dụng chơng trình toán nói chung nh chơng trình toán THCS nói riêng Trong môn Đại số lớp THCS có định lý đà nói rõ mối quan hệ nghiệm số phơng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = (a 0) với hệ số Đó định lý nhà toán học tiếng ngời Pháp Prăng xoa Vi-ét (F Viete) (1540- 1603) tìm đợc mang tên ông: Định lý Vi-vét Do đặc thù đặc biệt định lý (gồm định lý thuận đảo) nên có giá trị đặc biệt nêu lên đợc nhiều ứng dụng quan trọng toán liên quan đến phơng trình bậc hai nh: - Tìm tổng tích nghiệm phơng trình bËc hai cã nghiƯm - BiÕt mét nghiƯm cđa phơng trình bậc hai suy nghiệm - Nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai (khi có nghiệm) trờng hợp - Tìm hai số biết tổng tích chúng - Lập phơng trình bËc hai mét Èn biÕt hai nghiƯm cho tr−íc… V× định lý Vi-ét ứng dụng có vai trò chìa khoá quan trọng mở hớng giải cho nhiều toán có liên quan đến nghiệm phơng trình bậc hai, ba cách phong phú, đa dạng nh: Chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị; quan hệ đờng thẳng parabol mặt phẳng Đề các; tính giá trị biểu thức bậc cao nghiệm số Việc dạy định lý Vi-ét nêu ứng dụng chơng trình đại có ý nghĩa đặc biệt chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc nghiệm số phơng trình bậc 2; nêu đợc quan hệ định tính, định lợng nghiệm số với hệ số phơng trình bậc Có thể nói: Các nghiệm số phơng trình bậc dới lăng kính địmh lý Vi-ét đà ánh lên sắc màu rực rỡ Những ứng dụng phong phú định lý Vi-ét đà góp phần làm giàu,(đa dạng, phong phú) dạng tập phơng trình bậc (phơng trình qui bậc hai); toán có liên quan đến nghiệm số phơng trình bậc 2; kỹ thuật giải phơng trình; hệ phơng trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đà gây đợc hứng thú giải tập cho HS, hình thành cho HS ý tởng phong phú, trau dồi t óc sáng tạo cho em giải toán có liên quanđến phơng trình bậc hai Phơng trình bậc hai định lý Vi-ét thông qua hệ thức nghiệm số đợc gắn kết với nh hình với bóng để tạo toán, ứng dụng phong phú đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ Những ứng dụng phong phú định lý Vi-ét thuận, đảo đà làm giàu t duy, kĩ giải toán cho HS cuối cấp Giúp em nhìn nhận toán mối liên hệ sinh động dới mắt động ràng buộc biến số tham số; biến, phần giúp HS nâng cao chất lợng học tập môn toán Việc khai thác định lý Vi-ét thuận, đảo ứng dụng phong phú Đại số, Hình học, Số học có tÝnh tÊt u tu©n theo quy lt biƯn chøng cđa môn khoa học nào, đồng thời hình thành cho ngời dạy, ngời học phong cách nghiên cứu toán học phạm vi định tạo điều kiện đổi phơng pháp dạy học cách hiệu Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét ứng dụng nó, ngời dạy ngời học phần nhiều sơ sài nh cha khai thác triệt để định lý đảo; skkn Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu kÕt qu¶ tõ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác ứng dụng phong phú vào thể loại tập hạn chế Với lý nên đề xuất vấn đề: Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét ứng dụng phong phú nhiều phơng tiện Đại số, Hình học, Số học Phần ii: Nội dung phơng pháp a lý thuyết: Định lý Viet thuận: Nếu phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã nghiƯm x1, x2 th× S = x1 + x = −b a P = x1 x2 = c a (a ≠ vµ ∆ ≥ ) ⇒ * HƯ qu¶: −b x + x = a x x = c a PT bËc 2: ax2 + bx + c = (*) - NÕu a + b + c = th× (*) cã nghiƯm lµ x1 = 1, nghiƯm lµ x2 = - NÕu a - b + c = (*) có nghiệm x1 = - 1; nghiƯm lµ x2 = c a −c a Định lý đảo: x + x = S NÕu cã sè x1, x2 tho¶ m·n chúng nghiệm số phơng x x = P tr×nh: t2 - st + p = (Điều kiện số x1, x2 s2 - 4p ≥ 0) Chó ý: * Tr−íc ¸p dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phơng tr×nh cã nghiƯm a ≠ ⇔ ∆ ≥ ( ∆' ≥ ) *a+b+c=0⇔x=1;a-b+c=0⇔x=-1 skkn Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu x + y = S * NÕu cã: x = α ; y = nghiệm hệ phơng trình , xy = P nghiệm phơng trình: t2 - st + p = Các ứng dụng (thờng dùng): a Kiểm tra nghiệm phơng trình bậc b Tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc c BiÕn nghiƯm suy nghiƯm d T×m số biết tổng tích e Lập phơng tr×nh bËc biÕt nghiƯm Mét sè kÕt thu đợc từ định lý Viet: a Phân tích ax2 + bx + c = (*) (a ≠ 0) thành nhân tử: Khi (*) có ⇔ ∃ x1, x2 / x1 + x2 = c −b ; x1 x2 = th× a a c b ax2 + bx + c = a x + x + = a x − ( x + x )x + x x a a [ ] = a(x2 - x1x - x2x + x1x2) = a(x - x1) (x - x2) b Giá trị nhỏ nhất, giá trị lín nhÊt: * Tõ: S = x1 + x2 ; P = x1 x2 - NÕu S = x1 + x2 (không đổi) P = x1 x2 thay ®ỉi S2 Do S - 4P ≥ ⇔ P ≤ S2 −b S = P= ⇔ x1 = x = 2a S2 S ⇒ maxP = ⇔ x1 = x2 = (V× x2 - Sx + P = cã nghiÖm kÐp) KL: Hai số có tổng không đổi tích lín nhÊt ⇔ sè b»ng - NÕu x1 > 0; x2 > vµ x1 x2 = P (Không đổi) Còn S = x1 + x2 (thay đổi) ( )( ) Do: S2 - 4P ≥ ⇔ S − P S + P ≥ ⇔ S - P ≥ ; S = P ⇔ x1 = x2 = P ⇒ KL: số dơng có tính không đổi tổng nhỏ chóng b»ng skkn Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm gii thiu c Xét dấu nghiệm phơng tr×nh ax + bx + c = (*) (a ≠ 0) −b c ;P = S = a a - §iỊu kiƯn cho (*) cã nghiệm trái dấu P < - §iỊu kiƯn cho (*) cã nghiƯm cïng dÊu lµ P > ∆ ≥ - Điều kiện để (*) có nghiệm dơng là: P > S > ∆ ≥ - Điều kiện để (*) có nghiệm âm là: P > S < = - Điều kiện để (*) có nghiệm kép dơng là: S > = - Điều kiện để (*) có nghiệm kép âm là: S < x + y = f( m ) d §iỊu kiƯn cđa tham sè để hệ phơng trình: có nghiệm x.y = g ( m ) nhÊt lµ: f2(m) - 4g(m) = (Chính điều kiện để phơng trình bậc t2 - f(m)t + g(m)) = cã nghiÖm kép) b ứng dụng định lý viet: i tìm số biết tổng tích chúng: Phơng pháp: Dựa vào định lý đảo định lý Viet: u + v = S NÕu sè u v có u v nghiệm phơng trình: u.v = P t2 - St + P = (1) Nh− vËy viƯc t×m sè quy việc giải phơng trình (Tìm nghiệm phơng trình số cần tìm) Chú ý: Nếu S2 - 4P tồn số Nếu S - 4P < không tồn sè skkn Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu Ví dụ: a Tìm cạnh hình chữ nhËt cã chu vi lµ 6a; DiƯn tÝch lµ 2a2 * Gọi cạnh hình chữ nhật u v (u > 0; v > 0) 2 u + v = a uv = a Ta cã: u + v = 3a vu = 2a ⇔ Do (3a)2 - 2a2 = a2 > nên u, v nghiệm phơng trình bậc t2 - 3at + 2a2 = giải đợc t1 = a ; t2 = 2a Vậy độ dài cạnh hình chữ nhật a vµ 2a x 12 + x 22 = 13 b Tìm phơng trình bậc nhận x1; x=2 nghiƯm vµ (*) x x = x + x = (x + x ) − x x = 13 BiÕn ®ỉi hƯ (*) ta cã: ⇔ x + x = −5 x x = x x = x + x x x = ⇔ x +x x x = = ⇒ x1 , x2 lµ nghiệm phơng trình: x2 - 5x + = = x1 , x2 nghiệm phơng tr×nh: x2 + 5x + = 3 x + y = c Giải hệ phơng tr×nh: xy = 27 (1) (2 ) x + y = (Ta quy vỊ t×m x, y / ) xy = P Tõ (1) cã x + y = ⇔ x + y + 33 xy ( ) x + y = 64 ⇔ x + y = 28 x + y = 28 VËy hƯ (1) (2) cã d¹ng 282 - 27 > nªn x, y nghiệm xy = 27 phơng trình: t2 - 28t + 27 = Giải đợc t1 = ; t2 = 27 HÖ cã nghiÖm: x = x = 27 ; y = 27 y = 5−x 5−x . x + = (Đ/K: x -1) d Giải phơng trình: x x +1 x +1 skkn Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu 5−x 5−x ; v = x + =6 x +1 x +1 Đặt: u = x u+v=5 (Đ/K: x -1) u + v = (2) Tõ (1) vµ (2) ta quy vỊ t×m u, v cho: u.v = Do 25 - 24 > Nªn u, v nghiệm phơng trình t2 - 5t + = t1 = 3; t2 = u = u = Tõ ®ã cã: hc v = v = x − x + = Phơng trình đà cho x − x + = gi¶i ®−ỵc x1 = 1; x2 = (TM) x e Cho phơng trình: x2 +ax + b = có nghiệm x d; phơng tr×nh x + cx + d = cã nghiƯm lµ a vµ b TÝnh a, b, c, d biết chúng Giải: áp dụng định lý Viet vào phơng trình đà cho có: Tõ c+d=-a (1) c.d=b (2) a+b=-c (3) a.b=d (4) (1) ⇒ a + c = - d ⇒b =d (3) ⇒ a + c = - b Tõ (2) ⇒ c =1 (V× b = d ≠ 0) Tõ (4) ⇒ a = (Chia vÕ cho b = d ≠ 0) Thay a = c = vµo (1) ⇒ d = - ⇒ b = - VËy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2) ii tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm: Biểu thức ®èi xøng cđa nghiƯm: BiĨu thøc f(x1, x2) gäi đối xứng với x1, x2 nếu: f(x1 , x2) = f(x2, x1) (Nếu đổi chỗ (vị trí) x1 x2 biểu thức không thay đổi) - Nếu f(x1, x2) đối xứng f(x1, x2) biểu diễn qua biểu thức đối xứng S = x1 + x2; P = x1 x2 - BiÓu thức đối xứng nghiệm x1, x2 phơng tr×nh bËc ax2 + bx + c = biểu thức có giá trị không thay đổi hán vị x1 x2 skkn Cap2sondong @gmail.com Su tm v gii thiu Ta biểu thị đợc biểu thức đối xứng nghiệm x1, x2 theo S vµ P VÝ dơ: x 12 + x 22 = (x + x ) − x x = S − P x 13 + x 32 = (x + x ) − x x (x + x ) = S − 3SP ( x 14 + x 24 = x 12 + x 22 ) − x 12 x 22 = ( S − P ) − P x + x2 1 S + = = x1 x2 P x 1x 1 x 12 + x 22 S2 − 2P + = = x 12 x2 x 12 x 22 P2 Các ví dụ: a Bài toán 1: Cho phơng trình bậc 2: ax2 + bx + c = (*) (a ≠ 0) n n Cã nghiƯm lµ x1, x2 Chøng minh r»ng: Víi S n = x + x Th× a Sn + + b Sn + + c Sn = Gi¶i: ax 12 + bx + c = Do x1, x2 lµ nghiƯm (*) ⇒ ax + bx + c = ax 1n x 12 + bx 1n x + cx 1n = ax 1n + + bx 1n +1 + cx 1n = ⇒ n ⇒ n+2 ax x + bx 2n x + cx 2n = ax + bx 2n +1 + cx 2n = ( n +2 ⇒ a x ) ( ) ( ) + x 2n + + b x 1n +1 + x 2n +1 + c x 1n + x 2n = hay: a Sn + + b Sn + + c Sn = b Bài toán 2: Cho phơng trình x2 + 5x + = Gọi x1, x2 nghiệm HÃy tính giá trị c¸c biĨu thøc: x 12 + x 22 ; x 13 + x 32 ; x 14 + x 24 ; ; x 17 + x 72 ; x12 x 32 + x13 x 22 ; x x Giải: Trớc hết kiểm tra phơng trình đà cho nghiệm hay không = 25 - = 17 > Phơng trình có nghiƯm x1 ≠ x2 Suy ra: 2 • x + x = S − P = 21 3 • x1 + x = S(S − 3P ) = −95 skkn Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu 4 2 2 • x + x = (S − P ) − P = 441 − = 433 ( )( ) 7 3 4 3 • x + x = x + x x + x − x x (x + x ) = - 95 433 - (- 5) = 3 2 2 • x x + x x = x x (x + x ) = P S = − 20 (x − x )2 • x1 − x = = (x + x )2 − 4x x = S − P = 17 * Chó ý: Ta mở rộng cho toán yêu cầu tính giá trị x 1n + + x 2n + = S n + ; Sn + ; Sn b»ng c¸ch ¸p dơng kÕt Bài toán Sn +2 = - b Sn + - cSn 7 VÝ dô: Cho x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 - 2x - = TÝnh x + x Ta có: = > nên phơng trình có nghiÖm x1, x2 2 S1 = ⇒ S = x + x = ( x + x ) − x x = S3 = - bS2 - cS1 = 16 + = 20 S4 = - bS3 - cS2 = = 56 S5 = - bS4 - cS3 = 152 = S6 = - bS5 - cS4 = 416 S7 = - bS6 - cS5 =1136 c Bài toán 3: (Học sinh giỏi Quảng Ninh năm 2002) Gọi a, b nghiệm phơng trình: 30x2 - 3x = 2002 ( ) ( 30 a 2002 + b 2002 − a 2001 + b 2001 Rót gän (TÝnh) M = a 2000 + b 2000 ) * Nhận thấy phơng trình đà cho: 30x2 - 3x - 2002 = cã ∆ > ⇒ x1 = a ; x2 = b ⇒ Sn = an + bn áp dụng công thức thuộc Bài toán 1: A Sn + + B Sn + + C Sn = Theo đầu ta cã: Sn = a2000 + b2000 Sn + = a2001 + b2001 Sn +2 = a2002 + b2002 ⇒ 30 Sn + - 3Sn + - 2002Sn = ⇒ 30 Sn +2 - 3Sn + = 2002Sn skkn Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu Dùng định lý Viet ta xét dấu nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) dựa kết quả: * Nếu p = c < phơng trình có nghiệm tr¸i dÊu x1 < < x2 a ∆ ≥ * Nếu phơng trình có nghiệm cïng dÊu p > ∆ ≥ * Nếu p > phơng trình có nghiệm d−¬ng < x1 ≤ x2 s > ∆ ≥ * NÕu p > ⇔ phơng trình có nghiệm âm: x1 x2 < s < C¸c vÝ dơ: a Cho phơng trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - = (1) Xác định m để phơng trình: - Có nghiệm âm - Có nghiệm đối Giải: Xét trờng hợp: * TH1: Víi m =0 ta cã: (1) ⇔ - 6x - = x = nghiệm âm phơng trình * TH2: Với m ≠ ®ã ®Ĩ (1) cã ®óng nghiƯm âm cần điều kiện là: f ( ) = vµS < x < = x x < ≤ x ⇔ x < < x ⇔ p < ⇔ x = x < x = x < −b < ∆ = vµ 2a VËy m ∈ (0; 4] hc m = m = 0 < m < m = phơng trình có nghiệm âm b Cho phơng trình: 2x2 - (m - 1)x + m2 - 4m + = (1) * Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm * Xác định dấu nghiệm x1, x2 (x1 x2) với giá trị tìm ®−ỵc cđa m skkn Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiu Giải: * Vì (1) phơng trình bậc Èn x tham sè m cã nghiÖm sè ⇔ ∆’ ≥ ⇔ (m - 1)2 - (m2 - 4m + 3) ≥ ⇔ - m2 + 6m - ≥ ⇔ m2 - 6m + ≤ ⇔ (m - 1) (m - 5) ≤ ⇔ ≤ m ≤ m − 4m + * Theo hÖ thøc Viet cã: P = x1x2 = S = x1 + x = m - - XÐt dÊu cña P = x1.x2 Ta cã: m2 - 4m + = ⇔ m = hc m = m x1x2 + - + NÕu m = p = s = x1 = x2 = NÕu m = th× p = ; s > ⇒ = x1 < x2 NÕu < m ≤ th× p > ; s > ⇒ < x1 < x2 NÕu < m < th× p < ⇒ x1 < < x2 c Tìm giá trị m để phơng trình: (m - 1)x2 + 2x + m = (1) cã Ýt nghiệm không âm * Giải: * Nếu m = ⇒ x = −1 < vËy m = (loại) * Nếu m (1) phơng trình bậc = - m2 + m + ⇒ cã nghiÖm ⇔ ∆’ ≥ ⇔ m2 - m - ≤ ⇔ * XÐt S = 1− 1+ ≤m≤ 2 cã tr−êng hỵp: 1− m - NÕu m < ⇒ S > ⇒ (1) cã Ýt nhÊt nghiƯm d−¬ng - NÕu m > ⇒ S < ta ch−a kÕt luËn mµ phải xét: P = m m > m −1 ⇒ P > kÕt hỵp víi S < (1) có nghiệm âm nên loại m > * Kết luận: Giá trị m cần tìm là: skkn m < ... giới thiệu C¸c øng dơng định lý viét Phần I: sở xuất phát Phần II: nội dung - phơng pháp A lý thuyết (Kiến thức mở rộng) B Các ứng dụng định lý viét * ứng dụng * ứng dụng khác Phần III: biện... Su tm v gii thiu kết từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác ứng dụng phong phú vào thể loại tập hạn chế Với lý nên đề xuất vấn đề: Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét ứng dụng phong phú nhiều phơng... phạm vi định tạo điều kiện đổi phơng pháp dạy học cách hiệu Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét ứng dụng nó, ngời dạy ngời học phần nhiều sơ sài nh cha khai thác triệt để định lý đảo; skkn Cap2sondong