Trắc nghiệm nâng cao hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT CHUNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sin x   cos x  sin x  cos x    2 cos x   sin x 1    tan x  tan x  1 cos x cos x 1    cot x  cot x   sin x sin x  tan x.cot x   cot x  tan x 4 sin x  cos x   2sin x cos x   6 2 sin x  cos x   3sin x cos x sin x  cos3 x   sin x  cos x 1  sin x cos x    3 sin x  cos x   sin x  cos x 1  sin x cos x  II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Góc I Góc II Góc III + + sin x  cos x +   tan x + +  cot x + +  III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT  Hai cung đối cos   x   cos x sin   x    sin x tan   x    tan x  Hai cung bù sin   x   sin x cot   x    cot x tan    x    tan x  Hai cung phụ   sin   x   cos x 2    tan   x   cot x 2   Hai cung  sin    x    sin x cot   x    cot x   sin   x   cos x 2   +   cos   x    cos x tan   x   tan x  Hai cung Góc IV   cos   x   sin x 2    cot   x   tan x 2  cos   x    cos x cot    x   cot x    cos   x    sin x 2  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   tan   x    cot x 2   Với k số nguyên ta có: sin  x  k 2   sin x Lượng giác Nâng Cao   cot   x    cot x 2  cos  x  k 2   cos x tan  x  k   tan x cot  x  k   cot x IV CÔNG THỨC CỘNG sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y tan  x  y   tan x  tan y  tan x tan y tan  x  y   tan x  tan y  tan x tan y Đặc biệt:  sin x  2sin x cos x  TH1: Cơng thức góc nhân đơi: cos x  cos x  sin x  cos x    2sin x  tan x tan x   tan x   cos x  cos x Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: sin x  ;cos2 x  2 sin 3x  3sin x  4sin x TH2: Cơng thức góc nhân ba:  cos 3x  cos x  3cos x V CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG x y x y cos x  cos y  cos cos cos x cos y  cos  x  y   cos  x  y   2 x y x y cos x  cos y  2 sin cos sin x sin y    cos  x  y   cos  x  y   2 x y x y sin x cos y  sin  x  y   sin  x  y   sin x  sin y  sin cos 2 x y x y cos x sin y  sin  x  y   sin  x  y   sin x  sin y  cos sin 2 Chú ý:      sin x  cos x  sin  x    cos  x   4 4        sin x  cos x  sin  x     cos  x   4 4   u  v  2k u  v  k 2  sin u  sin v    cos u  cos v   u    v  k 2 u  v  k 2  u  v  k   tan u  tan v    u   k Đặc biệt: u  v  k  cot u  cot v   u  k File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A sin x   x  k cos x   x  Lượng giác Nâng Cao   k   k 2 cos x   x  k 2  sin x  1  x    k 2 cos x  1  x    k 2 Chú ý:  Điều kiện có nghiệm phương trình sin x  m cos x  m là: 1  m   Sử dụng thành thạo câu thần “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa phương trình dạng sau phương trình bản:     sin u  cos v  sin u  sin   v  cos u  sin v  cos u  cos   v  2  2  sin x   x  sin u   sin v  sin u  sin  v  cos u   cos v  cos u  cos   v   cos x  cos x  1  Đối với phương trình   khơng nên giải trực tiếp phải giải sin x  1 sin x  phương trình thành phần, việc kết hợp nghiệm khó khăn Ta nên dựa vào công  cos x  sin x  thức sin x  cos2 x  để biến đổi sau:    sin x   cos x  sin x  1   cos x   cos x    Tương tự phương trình    cos x    x 2sin sin x    HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số sin Hàm số y  sin x xác định  nhận giá trị  1;1 và:  Là hàm số lẻ sin   x    sin x , x   Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 Hàm số y  sin x nhận giá trị đặc biệt  sin x  x  k , k    sin x  x   k 2 , k    sin x  1 x    k 2 , k  Đồ thị hàm số y  sin x : File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao Hàm số côsin Hàm số y  cos x xác định  , nhận giá trị  1;1 và:  Là hàm số chẵn cos   x   cos x , x   Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 Hàm số y  cos x nhận giá trị đặc biệt:   cos x  x   k  , k   cos x  x  k 2 , k   cos x  1 x    k 2 , k  Đồ thị hàm số y  cos x : Hàm số tang sin x   Hàm số y  tan x  xác định  /   k , k    , nhận giá trị  và: cos x 2     Là hàm số lẻ tan   x    tan x , x   /   k , k    2   Là hàm số tuần hoàn với chu kì  Hàm số y  tan x nhận giá trị đặc biệt  tan x  x  k , k    tan x  x   k  , k    tan x  1 x    k  , k  Đồ thị hàm số y  tan x : Hàm số cô tang cos x Hàm số y  cot x  xác định  \ k , k   , nhận giá trị  và: sin x  Là hàm số lẻ vì: cot   x    cot x , x   \ k , k   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao  Là hàm số tuần hồn với chu kì  Hàm số y  cot x nhận giá trị đặc biệt   cot x  x   k  , k     cot x  x   k  , k     cot x  1 x    k  , k   Đồ thị hàm số y  cot x : MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX Phương trình sin x  a 1  a  : Phương trình vơ nghiệm  a  : Gọi  cung cho sin   a Khi 1  sin x  sin  1 có nghiệm x    k 2 , k  x      k 2 , k  Chú ý:      sin   a ta viết   arcsin a 2  Phương trình sin x  sin   có nghiệm:  Khi  x     k 360 , k  x  180     360 , k   Trong cơng thức nghiệm phương trình lượng giác, hơng dùng đồng thời hai đơn vị độ radian Phương trình cos x  a 1  a  : Phương trình  2 vơ nghiệm  a  : Gọi  cung cho cos   a Khi  2  cos x  cos   2 có nghiệm : x    k 2 , k  Chú ý:  Khi     cos   a ta viết   arccos a  Phương trình cos x  cos   có nghiệm x      k 360 , k  Phương trình tan x  a       k  , k  a  , tồn cung  cho tan   a Khi  3  tan x  tan   3 có nghiệm Phương trình   xác định x  x    k , k  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao Chú ý:   tan   a ta viết   arctan a   2  Phương trình tan x  tan   có nghiệm x     k180 , k   Khi  Phương trình cot x    4  Phương trình  4 xác định x  k , k   a  , tồn cung  cho cot   a Khi    cot x  cot   4 có nghiệm x    k k  Chú ý:  Khi     cot   a ta viết   arc cot a  Phương trình cot x  cot   có nghiệm x     k180 , k  DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: a sin x  b cos x  c  Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a  b a b c  sin x  cos x  2 2 a b a b a  b2 a b c C1: Đặt  cos  ,  sin  Khi PT  sin  x     x? 2 2 a b a b a  b2 a b c C2: Đặt  sin  ,  cos  Khi PT  cos  x      x? a  b2 a  b2 a2  b2  Điều kiện có nghiệm phương trình: a  b  c  Chú ý: Khi phương trình có a  c b  c dùng cơng thức góc nhân đơi sử dụng phép nhóm nhân tử chung DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: a sin x  b sin x cos x  c.cos x  d   Cách giải: Cách 1: + Xét cos x  có nghiệm phương trình khơng? + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x ta được: a tan x  b tan x  c  d 1  tan x    tan x  x Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc đưa phương trình bậc với sin 2x cos 2x (dạng 1) DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: a sin x  b cos3 x  c sin x cos x  d cos x sin x  e sin x  f cos x   Cách giải: + Xét cos x  có nghiệm phương trình không? + Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos3 x với ý:   tan x cos2 x DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: f  sin x  cos x, sin x cos x    Cách giải: + Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x  t 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao 1 t + Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x  Đưa phương trình ẩn t   Chú ý: Nếu t  sin x  cos x  sin  x     t  4  DẠNG PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THUẬN NGHỊCH  Dạng phương trình:   k2  k   B  f  x  A f  x     C  , với f  x   sin x, cos x (1)   f  x   f  x     A  a tan x  b cot x   B  a tan x  b cot x   C  (2)  Cách giải:  Đối với phương trình (1): Đặt t  f  x   k f  x  Đối với phương trình (2): Đặt t  a tan x  b cot x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao B – BÀI TẬP HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1: A m  1; M  Câu 2: Câu 4: Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: B m  1; M  Hàm số y  tan x  cot x  sau đây?    A  k 2 ;  k 2       C   k 2 ;   k 2  2  Câu 3: sin x  cos x là: 2sin x  cos x  C m   ; M  D m  1; M  2 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y  1  không xác định khoảng khoảng sin x cos x 3   B    k 2 ;  k 2    D    k 2 ;2  k 2    Tìm tập xác định D hàm số y   cot x  sin x  cot   x  2   k   k  A D   \  , k    B D   \   , k       C D   D D   \ k , k   Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua trục tung?     A y  B y  sin  x   C y  cos  x   D y  sin x sin x 4 4   Số có ánh sáng thành phố A ngày thứ t năm 2017 cho  hàm số y  sin  t  60   10 , với t  Z  t  365 Vào ngày năm 178 thành phố A có nhiều ánh sáng mặt trời nhất? A 28 tháng B 29 tháng C 30 tháng D 31 tháng Hằng ngày mực nước kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h (mét) mực nước kênh tính thời điểm t (giờ) ngày công thức   t    12 Mực nước kênh cao khi: h  3cos  78  A t  13 (giờ) B t  14 (giờ) C t  15 (giờ) D t  16 (giờ) 1  tan x  Hàm số y  cot 2 x  đạt giá trị nhỏ tan x A B  C  2 D 1   Hàm số y  cos x  sin  x   đạt giá trị lớn 4  A  2 B  2 C  2 4 Câu 9: Giá trị nhỏ hàm số y  sin x  cos x  sin x cos x A B C Câu 10: Giá trị nhỏ hàm số y  sin x cos x  cos x sin x A B C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D D D 5 2 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 11: Hàm số y  A Lượng giác Nâng Cao 2sin x  cos x có tất giá trị nguyên? sin x  cos x  B C D Câu 12: Cho hàm số h  x   sin x  cos x  2m sin x.cos x Tất giá trị tham số m để hàm số xác định với số thực x (trên toàn trục số) 1 1 A   m  B  m  C   m  D m  2 2 3x Câu 13: Tìm m để hàm số y  xác định  2 sin x  m sin x  A m  [  2; 2 ] B m  2 2; 2     C m  ; 2  2;   D m  2  2 2; 1  2sin x Câu 14: Tìm giá trị lớn hàm số y   cos x  2 22 11 A  B C D  2 1   Câu 15: Cho hàm số y   với x   0;  Kết luận sau đúng?  cos x  cos x  2   A y  x   k , k   T B y  x  3 3      0;   0;   2 C y     0;   2   x   k 2 , k   3 2 D y     0;   2  x  3  Tìm giá trị lớn y   tan x tan y   tan y.tan z   tan z.tan x Câu 16: Cho x, y , z  x  y  z  A ymax   2 B ymax  3 C ymax  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  D ymax   Câu 17: Hỏi đoạn  2017; 2017 , phương trình  sin x  1 sin x   có tất nghiệm? A 4034 B 4035 C 641 D 642   Câu 18: Tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình sin  x    4  bằng:     A B  C D  6 Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ phương trình sin x  cos x  là: 16 5  7  A , B C D 6 2 Câu 20: Tính tổng T nghiệm phương trình cos x  sin x   sin x khoảng  0; 2  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao   k ; k   Phương trình  sin x.cos x  sin x  sin x.cos x.cos x  sin x   4sin x.cos x.cos x  sin x  Điều kiện: cos x   x    cos x.cos x  1 sin x   sin x   sin x  1     cos x  2  2cos x  cos x     cos x  1  VN     x  k  k    x   arccos 1   k   2 1  3  mn    2 Câu 89: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình cos x   2m  1 cos x  m     3  có nghiệm khoảng  ;  2  A 1  m  B 1  m  C 1  m  D 1  m  Hướng dẫn giải  cos x  Phương trình  cos x   2m  1 cos x  m      cos x  m O   3  khơng có nghiệm khoảng  ;  (Hình vẽ) Do 2    3  u cầu tốn  cos x  m có nghiệm thuộc khoảng  ;   1  m  2  Chọn B Câu 90: Biết m  m0 phương trình 2sin x   5m  1 sin x  2m2  2m  có Nhận thấy phương trình cos x     nghiệm phân biệt thuộc khoảng   ;3  Mệnh đề sau đúng?   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 62 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B m  A m  3 Đặt t  sin x  1  t  1 Lượng giác Nâng Cao 3  C m0   ;   10  Hướng dẫn giải  2 D m0    ;    5 Phương trình trở thành 2t   5m  1  2m2  2m  * O O H ình H ình Yêu cầu tốn tương đương với:  TH1: Phương trình * có nghiệm t1  1 (có nghiệm x ) nghiệm  t2  (có bốn nghiệm x ) (Hình 1) c  Do t1  1   t    m  m a  m  3   t2  6   0;1 loaïi    Thay t1  1 vào phương trình * , ta  m     t2    0;1 thoûa    TH2: Phương trình * có nghiệm t1  (có hai nghiệm x ) nghiệm 1  t2  (có ba nghiệm x ) (Hình 2) c  Do t1    t2   m  m a  m    t2    1; 0  loaïi   Thay t1  vào phương trình * , ta   m    t2    1; 0  loaïi   1  2 Vậy m   thỏa mãn yêu cầu toán Do m      ;   2  5 Chọn D Chú ý: Ta sử dụng cách tìm nghiệm t theo m cho t thỏa mãn ycbt Câu 91: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình   2cos 3x    2m  cos 3x  m   có nghiệm thuộc khoảng   ;   3 A 1  m  B  m  C  m  D  m  Hướng dẫn giải Đặt t  cos x  1  t  1 Phương trình trở thành 2t    2m  t  m    t1   Ta có    2m   Suy phương trình có hai nghiệm  t2  m  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 63 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao O    cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng   ;  Do  3 yêu cầu toán 1  t2   1  m     m  Chọn B Cách Yêu cầu toán tương đươn với phương trình 2t    2m  t  m   có hai Ta thấy ứng với nghiệm t1  P   nghiệm t1, t2 thỏa mãn 1  t2   t1   a f 1   a f  1  Chú ý: Ta sử dụng cách tìm nghiệm t theo m cho t thỏa mãn ycbt Câu 92: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x cos x  sin x  cos x  m  có nghiệm? A B C D Hướng dẫn giải t 1  sin x cos x  Đặt t  sin x  cos x   t   t2 1  t  m   2m  t  2t    t  1  2m  Phương trình trở thành 2 Do   t       t        t  1   2   Vậy để phương trình có nghiệm   2m    2   m   m  1;0;1 Chọn C 1 2  m 1   Câu 93: Có giá trị nguyên m để phương trình: sin x  sin  x    m  có 4  nghiệm A B C D Hướng dẫn giải Chọn B   sin x  sin  x    m   sin x  sin x  cosx  m  4    Đặt t  sin x  cosx  sin  x    t    2;  , x   4  t   2sin xcosx  sin x   t File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 64 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao Ta tìm m để phương trình  t  t  m  có nghiệm t    2;    t  t  m có nghiệm t    2;    Xét f  t    t  t   2;  Suy 1   f  t   , t    2;  Vậy phương trình cho có nghiệm  m  f  t  có nghiệm   2;  5   m   1  2;  mà m    m  2; 1;0;1 4  Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 94: Phương trình cos3 x  sin x  cos x có tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ là:  5 7  A B C D  4 Hướng dẫn giải Chọn A cos3 x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos2 x  cos x sin x  sin x  cos x  sin x     cos x  sin x 1  cos x sin x    cos x  sin x  cos x  sin x  (1)  cos x  sin x   1  cos x sin x  cos x  sin x      Giải 1  sin  x     x    k  k    4  Giải   :1  cos x sin x  sin x  cos x    Đặt t  sin x  cosx  sin  x    t    2;  , x   4  t   2sin xcosx  sin x   t 1 t2  t   t  2t    t  1  2    x  k 2    sin  x    1   k    x  3  k 2 4   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 65 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao    x    k 2  Vậy nghiệm phương trình  x  k 2 k    3  k 2 x   Biểu diễn nghiệm vòng tròn lượng giác ta suy nghiệm lớn x1    3 nghiệm bé x2  4  Câu 95: Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình Vậy x1  x2  11sin x   m  2 sin x  3cos2 x  có nghiệm? A 16 B 21 C 15 Hướng dẫn giải Phương trình  9sin x   m   sin x  cos x  D  cos x  cos x   m   sin x     m   sin x  cos x  5 2 m  2 Phương trình có nghiệm   m    16  25   m       m  1 m   m  10; 9; ; 1;5; 6; ;10   có 16 giá trị nguyên m 10;10  Chọn A Câu 96: Có giá trị nguyên tham số m thuộc để phương trình sin x   m  1 sin x cos x   m  1 cos2 x  m có nghiệm? A B C D Vơ số Hướng dẫn giải Phương trình  1  m  sin x   m  1 sin x cos x   2m  1 cos x   cos x  cos x   m  1 sin x   2m  1 0 2   m  1 sin x  m cos x   3m  1  m  Phương trình có nghiệm  m  1  m    3m   4m  4m    m  2 m   m  0;1   có giá trị nguyên Chọn A 2 Câu 97: Tìm điều kiện để phương trình a sin x  a sin x cos x  b cos x  với a  có nghiệm 4b 4b  A a  4b B a  4b C D  a a Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 66 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao Phương trình a tan x  a tan x  b  Phương trình có nghiệm    a  4ab   a  a  4b    a  4b  a    4b  a 4b 0  a a Chọn C Câu 98: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2sin x  m sin x  2m vô nghiệm 4 4 A  m  B m  , m  C  m  D m   , m  3 3 Hướng dẫn giải  cos x Phương trình   m sin x  2m  m sin x  cos x  2m  m  2 Phương trình vơ nghiệm  m    2m  1  3m  4m    m   Chọn B Câu 99: Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  3;3 để phương trình m   cos x  m sin x   có nghiệm A B C Hướng dẫn giải D  cos x  2m sin x    4m sin x   m   cos x  m  Phương trình   m   Phương trình có nghiệm  16m   m     m    12m  12  m   m  2 m   m  3; 2; 1;1; 2;3   có giá trị nguyên m 3;3 Chọn C Câu 100: Để phương trình sin x  cos6 x  a | sin x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 1 A  a  B  a  C a  D a  8 4 Hướng dẫn giải Chọn D sin x  cos x  a | sin x |  sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x   a | sin x | 3   sin 2 x  a | sin x |  3sin 2 x  4a | sin x | 4  Đặt sin x  t  t   0;1 Khi ta có phương trình 3t  4t   1 Phương trình cho có nghiệm phương trình 1 có nghiệm   4a  12   t   0;1   f    1   a    f 1  4a   Câu 101: Cho phương trình: sin x cos x  sin x  cos x  m  , m tham số thực Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m là: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 67 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 2  m    B    m  C  m  Lượng giác Nâng Cao  2 D    m  Hướng dẫn giải Chọn D t 1 Đặt sin x  cos x  t t   sin x cos x  Khi ta có phương trình t2 1  t  m   t  2t  2m   * Phương trình cho có nghiệm phương trình * có nghiệm       m     s   m  1          m  t    2;     f    2  2m  m      f   2  2m   Câu 102: Cho phương trình:  sin x  cos x    sin x  cos x   sin x  m m tham     số Để phương trình vơ nghiệm, giá trị thích hợp m là: 3 A m  4 hay m  B   m  1 C 2  m   2 m  2 hay m  Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: sin x  cos x   sin x  cos x   2sin x cos x   sin 2 x D 3 sin x  cos x   sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x    sin 2 x Phương trình cho trở thành       sin 2 x     sin 2 x   16sin 2 x cos 2 x  m     2  sin x  16sin x 1  sin x    m  16sin x  12sin 2 x   m  Đặt sin 2 x  t  t   0;1  Khi phương trình trở thành 16t  12t  m   * * vô nghiệm khi: 25  25   100  16m    m  4 TH2:     f   f 1  m  m    m  Vậy giá trị cần tìm m  4 hay m  Khơng có đáp án TH1:   100  16m   m   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 68 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao sin x  cos x  2m.tan x , m tham số Để phương trình có Câu 103: Cho phương trình: cos2 x  sin x nghiệm, giá trị thích hợp m là: 1 1 1 A m   hay m  B m   hay m  C m   hay m  D m  1 hay m  8 8 2 Hướng dẫn giải Chọn B ĐK: cos x   sin x  cos x   3sin x cos2 x sin x  cos x   2m tan x sin x  cos x   m tan x cos x  sin x cos x  sin x   2m tan x   sin 2 x  2m sin x  3sin 2 x  8m sin x   cos x Đặt sin x  t  t   1;1  Khi phương trình trở thành: 3t  8mt    * Phương trình cho có nghiệm phương trình * có nghiệm t   1;1  m  t   1;1  f 1 f  1    8m  1 8m  1    TH1: * có nghiệm m       16m  12  m     f 1  8m     TH2: * có nghiệm t   1;1   f  1  8m    m   VN     1  s   m    m    4 tan x Câu 104: Cho phương trình cos x   m Để phương trình vơ nghiệm, giá trị tham số m  tan x phải thỏa mãn điều kiện: A   m  B  m  C  m  D 2 m   hay m  2 Hướng dẫn giải Chọn D ĐK: cos x  tan x tan x  m  cos x   m  cos x  4sin x cos x  m cos x  2  tan x 2 cos x 1  1  2sin 2 x   2sin x  m  sin 2 x  2sin x  m   2 Đặt sin x  t  t   1;1  Khi phương trình trở thành: t  2t  m   (*) Phương trình (*) vơ nghiệm: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 69 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A TH1:   Lượng giác Nâng Cao 3 m   m  2  m      5   TH2:    m    m    3  m  0 2  f  1 f 1   m    2      m       Câu 105: Để phương trình: 4sin  x   cos  x    a  sin x  cos x có nghiệm, tham số a 3 6   phải thỏa điều kiện: 1 A 1  a  B 2  a  C   a  D 3  a  2 Hướng dẫn giải Chọn B       Phương trình tương đương sin  x    sin   a  2sin  x   6 2 6           sin  x    1  a  2sin  x   6  6           sin  x    sin  x     a  6       4.cos x.sin  a  a 2  cos x  a2    2  a  Để phương trìnhcó nghiệm 1  a2 sin x  a   Câu 106: Để phương trình có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:  tan x cos x A | a | B | a | C | a | D a  1, a   Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện phương trình cos x  0, cos x  0, tan x  sin x a  sin x a    a2 a2 cos2 x cos x  cos2 x cos2 x   Phương trình tương đương sin x sin x  tan x  tan x  1 cos2 x cos2 x  a  tan x  (a  2)(1  tan x)  (a  1) tan x   Nếu a   | a |  (1) vô nghiệm 2  Nếu a  1: (1)  tan x  Phương trình có nghiệm 1 a  a 1 a 1 Vậy phương trình cho có nghiệm a  1, a   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 70 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao Câu 107: Tìm m để phương trình  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x có nghiệm x   0;  2   A 1  m  B  m  1 C 1  m  ฀ 2 Hướng dẫn giải D   m  Chọn C Ta có  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x   cos x  1 cos x  m cos x   m 1  cos x 1  cos x   cos x  1  cos x  1    cos x  m cos x  m  m cos x  cos x  m 2 Với cos x  1  x    k 2 : khơng có nghiệm x   0;    m 1 Với cos x  m  cos x   2    Trên  0;  , phương trình cos x  a có nghiệm với a    ;1      m  1  m  1  m  1 m 1  1   Do đó, YCBT       m 1    1  m   2  2   m   2   1 m 1 1   2   Câu 108: Tìm m để phương trình cos2 x   2m  1 cosx  m   có nghiệm x    ;   2  A 1  m  B  m  C  m  D 1  m  Hướng dẫn giải Chọn B    cosx cos2 x   2m  1 cosx  m   1  2cos x   2m  1 cosx  m     cos x  m   Vì x    ;  nên  cosx  Do cosx   (loại)  2    Vậy để phương trình (1) có nghiệm x    ;   2   cosx    m     Câu 109: Tìm m để phương trình 2sin x  m cos x   m có nghiệm x    ;   2 A 3  m  B 2  m  C  m  D 1  m  Hướng dẫn giải Chọn D x    Đặt t  tan , để x    ;  t   1;1  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 71 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao 2t 1 t pt  m   m  4t  m  mt   m  1  m  t  t  4t   2m 2 1 t 1 t Vậy để yêu cầu toán xảy f  t   t  4t   1;1 Ta có f '  t   2t  4; f '  t    t  Vậy để u cầu tốn xảy 2  2m   1  m  Câu 110: Có số ngun m để phương trình m  sin  m  sin 3x   sin  3sin x   4sin x có nghiệm thực? A B C D Hướng dẫn giải Ta có m  sin 3x  sin  m  sin 3x   sin  3sin x   4sin x  sin 3x   m  sin 3x   sin  m  sin 3x    3sin x   sin  3sin x   m  sin 3x  3sin x  m  4sin x Chọn A Câu 111: Cho phương trình:  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x Phương trình có hai nghiệm  2  thuộc đoạn  0;  khi:   A m  1 B m  1 C 1  m  Hướng dẫn giải Ta có  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x D 1  m    cos x  1 1   cos x  1 cos x  m cos x   m  cos x  1 cos x  1    cos x  m    2   2  Vì x  0;     cos x  nên 1 khơng có nghiệm  0;  Xét      2  f  x   cos x, x  0;    x0 Ta có f   x   2sin x, f   x    sin x    Bảng biến thiên: x     2 x f  x   f  x 1  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 72 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao u cầu tốn trở thành tìm giá trị thực tham số m để  2 có hai nghiệm  2  thực phân biệt  0;  Từ bảng biến thiên ta thấy  2 có hai nghiệm thực phân biệt    2   0;  1  m   Từ ta chọn đáp án D   3sin x  cos x  m  với Câu 112: Tìm tất giá trị m để bất phương trình sin x  cos2 x  x 5 9 65  65  A m  B m  C m  D m  4 Hướng dẫn giải 3sin x  cos x 3sin x  cos x Ta có: y   sin x  cos x  sin x  2cos x  3sin x  cos x Và sin x  2cos x   0; x   xét phương trình y   sin x  2cos x   sin x  cos x  3 y  3sin x  cos x   y  3 sin x   y 1 cos x  3 y Phương trình có nghiệm nên  y  3   y  1   3 y   y  10 y  10  y 2  4 y  10 y  10   2 5  65 5  65 Suy giá trị lớn y  y 4 5  65 Chọn D Câu 113: Số giá trị nguyên m để phương trình  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x có  2  nghiệm x   0;  là:   A B C Hướng dẫn giải Ta có:  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x D   cos x  1 4.cos x  m cos x   m 1  cos x    cos x  1 4.cos x  m cos x   m 1  cos x 1  cos x    cos x  1  4.cos x  m cos x  m 1  cos x     x    k 2  cos x     cos x  1 4.cos x  m      cos x  m cos   x m   Chọn C Câu 114: Gọi a, b số nguyên thỏa mãn 1  tan10 1  tan  1  tan 430   a 1  tan b0  đồng thời a, b   0;90 Tính P  a  b ? A 22 B 46 C 27 Hướng dẫn giải  sin  x  450   sin x   2 Vì  tan x     cos x cos x   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 44 Trang 73 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Do P   2 43 sin 460 sin 47 sin 880  cos10 cos 20 cos 430  2 43 Lượng giác Nâng Cao sin 460  221 1  tan10  cos1 Chọn A Câu 115: Tìm m để phương trình  m  1 cos x   m  1 sin x  2m  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn  A m   x1  x2  B m   C m   D Không tồn m Hướng dẫn giải 6  22 6  22 2 Phương trình có nghiệm  m  1   m  1   m    m  * 2 m 1 m 1 2m  PT  cos x  sin x  2m  2m  2m   x      k1 2 m 1 2m   cos  x     cos    với cos   ;cos   2m  2m   x      k2 2 ฀ Nếu x1 ; x2 thuộc họ nghiệm  x1  x2  k 2 (loại) ฀ Nếu x1 ; x2 thuộc hai họ nghiệm  x1      k1 2 ; x2      k2 2   Do x1  x2   2   k1  k2  2  3   cos 2   k1  k2  2  cos  cos 2   m 1  1  m  1  cos       1    2 2m   2m    m2  4m    m   (không thỏa mãn * ) 2 Vậy không tồn m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D Câu 116: Các giá trị m   a; b  để phương trình cos x  sin x  3cos x  m  có nghiệm thì: A a  b  B a  b  12 C a.b  8 D a.b  Hướng dẫn giải Chọn C cos x  sin x  3cos x  m  5(*)  cos x    cos x  3cos x  m    cos x  3cos x  m  Đặt cos x  t   1;1 , phương trình  t  3t  m  Bảng biến thiên: => Phương trình (*) có nghiệm  2  m    7  m  1 Vậy a + b = -8 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 74 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 117: Cho phương trình m sin x   m  1 cos x  Lượng giác Nâng Cao m Số giá trị nguyên dương m nhỏ cos x 10 để phương trình có nghiệm là: A B C 10 Hướng dẫn giải Chọn B m m sin x   m  1 cos x  (*) cos x Điều kiện: cos x  *  m sin x cos x   m  1 cos x  m D m m 1 sin x  1  cos x   m 2  m sin x   m  1 cos x  m  1(1)  + Từ m =  *  cos x  loại điều kiện  m  phương trình (*) vơ nghiệm + Với m  => (*) có nghiệm (1)  m   m  1   m  1  m  4  m  4m    m  Vậy có giá trị m thỏa mãn    Câu 118: Phương trình cos x   2m  1 sin x  m   có nghiệm   ;   tất giá   trị thỏa mãn: B m   C m   1;1 D m   1;1 A m  Hướng dẫn giải Chọn B cos x   2m  1 s in  m     2sin x  2m sin x  sin x  m    2sin x  m  s inx    m  s inx    s inx  (1)    s inx-m  2sin x  1    m  s inx (2)     Giải (1): s inx  ln có nghiệm    ;      m phương trình có nghiệm Câu 119: Có giá trị nguyên m nhỏ 2018 để phương trình  3tan x  tan x  cot x  m có nghiệm? sin x A 2000 B 2001 C 2010 Hướng dẫn giải Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 2011 Trang 75 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao  3tan x  tanx  cot x  m sin x  1  cot x   3tan x  tan x  cot x   m  Đặt   tan x  cot x   tan x  cot x   m  t  tan x  cot x  t   tan x  cot x t   => u cầu tốn trở thành tìm m để phương trình  t    t   m  có   t  nghiệm t   ; 2   2;    m  3t  t  có nghiệm t   ; 2   2;   Bảng biến thiên: => Phương trình có nghiệm  m  Vậy có 2011 giá trị m nhỏ 2018 sin x  2sin x cos x  + Với cos x    1  m   m   m  cos x  cos x   1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 76 ... Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT CHUNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sin x   cos x ... tự phương trình    cos x    x 2sin sin x    HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số sin Hàm số y  sin x xác định  nhận giá trị  1;1 và:  Là hàm số lẻ sin   x    sin x , x   Là hàm số. .. Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao Hàm số côsin Hàm số y  cos x xác định  , nhận giá trị  1;1 và:  Là hàm số chẵn cos   x   cos x , x   Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 Hàm số y  cos