Ứng dụng tích phân trong các bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THCS-THPT HOA SEN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ NĂM HỌC 2020-2021 MỤC LỤC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG B BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ DIỆN TÍCH 23 C BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ THỂ TÍCH 51 BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG Câu Cho hai bóng A, B di chuyển ngược chiều va chạm với Sau va chạm bóng nảy ngược lại đoạn dừng hẳn Biết sau va chạm, bóng A nảy ngược lại với vận tốc vA (t) = − 2t (m/s) bóng B nảy ngược lại với vận tốc vB (t) = 12 − 4t (m/s) Tính khoảng cách hai bóng sau dừng hẳn (Giả sử hai bóng chuyển động thẳng) A 36 mét B 32 mét C 34 mét D 30 mét Lời giải Thời gian bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến dừng hẳn vA (t) = ⇔ − 2t = ⇒ t = 4s Z Quãng đường bóng A di chuyển SA = (8 − 2t) dx = 16m Thời gian bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến dừng hẳn vB (t) = ⇔ 12 − 4t = ⇒ t = 3s Z Quãng đường bóng B chuyển SB = (12 − 4t) dx = 18m Vậy: Khoảng cách hai bóng sau dừng S = SA + SB = 34m Chọn phương án C Câu Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(1; 1) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển kẻ từ lúc xuất phát A s = km B s = km 46 40 km km C s= D s= 3 v 10 O t Lời giải Hàm số biểu diễn vận tốc vậtZlà v(t) = t2 − 2t + Do đó, hàm số biểu diễn quãng đường di chuyển vật s(t) = v(t) dx = t3 − t2 + 2t + C Do bắt đầu chuyển động quãng đường nên C = Vậy quãng đường vật di chuyển 40 kể từ lúc xuất phát s(4) = km Chọn phương án D Câu Một máy bay chuyển động đường băng với vận tốc v(t) = t2 + 10t(m/s) với t thời gian tính theo đơn vị giây kể từ máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc 200(m/s) rời đường băng Qng đường máy bay di chuyển đường băng 2500 4000 A B 2000 (m) C 500 (m) D (m) (m) 3 Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 A Lời giải Xét v(t) = 200 ⇔ t + 10t − 200 = ⇔ ñ t = 10 t = −20 Vậy thời gian máy bay đạt vận tộc 200 m/s thời điểm t = 10 s sau bắt đầu chuyển động Quãng đường máy bay di chuyển đường băng S= Z10 Z10 2500 v(t)dt = (t2 + 2t)dt = BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn phương án A Câu Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần sau giây tơ bắt đầu dừng hẳn Hỏi từ lúc đạp phanh đến ô tô dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 20 B 50 C 40 D 30 Lời giải Từ người lái đạp phanh ô tô chuyển động chậm dần ta có v = 20 + at với a gia tốc ô tô Sau giây tơ dừng hẳn nên 20 + a · = ⇔ a = −5 Z4 ã Å Quảng đường xe S = (20 − 5t) dt = 20t − t = 40 0 Chọn phương án C Câu Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v(t) = 7t(m/s) Đi 5(s) người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −35(m/s2 ) Tính quãng đường ô tô tính từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A 87.5 mét B 96.5 mét C 102.5 mét D 105 mét Lời giải Quãng đường ô tô 5(s) đầu s1 = Z5 v(t)dt = Z5 175 (m) 7tdt = t2 Ta có v(t) = 200 ⇔ t + 10t = 200 ⇔ ® t = 10 (thoả mãn) t = −10 (loại) Như máy bay chuyển động 10 giây cất cánh Quãng đường máy bay di chuyển tính theo công thức S(t) = Quãng đường máy bay di chuyển đường băng S = Z (t2 + 10t) dt = t3 + 5t2 2500 103 + × 102 = (m) 3 BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn phương án D Câu 19 Một người lái xe ô tô chạy với vận tốc 20 m/s người lái xe phát có hàng rào ngăn đường phía trước cách 45 m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vậy, người lái xe đạp phanh Từ thời điểm xe chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = −5t + 20 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, xe tơ cịn cách hàng rào ngăn cách mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)? A m B m C m D m Lời giải Khi xe dừng hẳn v(t) = ⇔ −5t + 20 = ⇔ t = Quãng đường xe kể từ đạp phanh đến lúc dùng lại S= Z4 Å ã (−5t + 20) dt = − t + 20t = 40 Vậy từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, xe tơ cịn cách hàng rào ngăn 45 − 40 = m Chọn phương án A Câu 20 Một ô tô chạy với vận tốc 10 (m/s) người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = −2t + 10 (m/s), t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? 44 25 45 m m m A 25 m B C D Lời giải Khi v = t = 5, qng đường tô đến dừng S= Z5 (10 − 2t) dt = 25 (m) Chọn phương án A Câu 21 Một xe buýt bắt đầu từ nhà chờ xe buýt A với vận tốc v(t) = 10 + 3t2 (m/s) (khi bắt đầu chuyển động từ A t = 0) đến nhà chờ xe buýt B cách 175 m Hỏi thời gian xe từ A đến B giây? A B C D Lời giải Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 10 Ta có Zb v(t) dt = 175 Zb (10 + 3t2 ) dt = 175 ⇔ b ⇔ (10t + t3 ) = 175 ⇔ 10b + b3 = 175 ⇔ b = Câu 22 Tại thời điểm t trước lúc đỗ xe điểm dừng xe, xe chuyển động với vận tốc 60 km/h Chiếc xe di chuyển trạng thái phút bắt đầu đạp phanh chuyển động chậm dần thêm phút dừng hẳn điểm đỗ xe Tính quãng đường mà xe từ thời điểm t nói đến dừng hẳn A km B km C km D km Lời giải Vận tốc xe bắt đầu phanh v = 60 + at (km/h), mà xe dừng chạy phút 2a = dừng hẳn nên = 60 + ⇔ a = −450 (m/h2 ) Khi quãng đường xe 15 15 kể từ lúc đạp phanh Z15 (60 − 450t) dt = Vậy tổng quãng đường cần tính 60 · + = km 60 Chọn phương án C Câu 23 Một vật chuyển động thẳng có vận tốc gia tốc thời điểm t v(t) m/s a(t) m/s2 Biết giây sau chuyển động, vận tốc vật m/s đồng thời a(t) + v (t) · (2t − 1) = Tính vận tốc vật sau giây 1 1 A v(3) = B v(3) = m/s C v(3) = D v(3) = m/s m/s m/s 13 12 Lời giải ã Å ′ a(t) = 2t − = − 2t ⇔ Ta có a(t) + v (t)(2t − 1) = ⇔ v (t) v(t) ⇒ = t2 − t + C v(t) 1 ⇒ v(3) = (m/s) Mà v(1) = ⇒ C = ⇒ v(t) = t −t+1 Chọn phương án B Câu 24 Một ô tô chạy với vận tốc v0 m/s gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh Từ thời điểm tơ chuyển động chậm dần với gia tốc a(t) = −8t m/s2 t thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển 12 m Tính v0 √ √ A 1269 m/s B 36 m/s C 12 m/s D 16 m/s Lời giải Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 11 HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 Vậy xe từ A đến B giây Chọn phương án D Ta có v(t) = Z a(t) dt = −4t2 + C • Tại thời điểm t = 0, ta có v0 = C • Tại thời điểm tơ dừng hẳn t = t1 ta có v(t1 ) = ⇔ −4t2 + C = ⇔ t1 = √ C Kể từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển 12 m, Å ã t1 v(t) dt = 12 ⇔ − t + Ct = 12 0 √ √ C C C C + = 12 ⇔ − t1 + Ct1 = 12 ⇔ − · 3 √ √ ⇔ C C = 36 ⇔ C = 1296 Zt1 BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN √ Vậy v0 = 1296 Chọn phương án A Câu 25 Một ô tô chuyển động thẳng với vận tốc ban đầu 10 m/s gia tốc a(t) = −2t + m/s2 , t khoảng thời gian tính giây Hỏi từ lúc chuyển động đến lúc có vận tốc lớn xe quãng đường bao nhiêu? 128 248 m m A B C 70 m D 80 m 3 Lời giải Z Z Ta có vận tốc tô v(t) = a(t)dt = (−2t + 8)dt = −t2 + 8t + C Vì vận tốc ban đầu 10 m/s nên ta có v(t) = −t2 + 8t + 10 = −(t − 4)2 + 26 ≥ 26 Vậy vận tốc lớn ô tô 26 m/s, đạt t = Do quãng đường xe kể từ lúc chuyển động đến lúc có vận tốc lớn là: S= Z4 v(t)dt = Z4 (−t2 + 8t + 10)dt = 248 Chọn phương án B Câu 26 Một xe ô tô sau chờ hết đèn đỏ bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục biểu thị đồ thị đường cong parabol có hình bên v(m) 50 O Tốn thực tế tích phân 10 Những nẻo đường phù sa t(s) Trang 12 Biết sau 10 s xe đạt đến vận tốc cao 50 m/s bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường mét? 1000 1100 1400 A B C D 300 m m m m 3 Lời giải Vậy quãng đường xe 1000 m Chọn phương án A Câu 27 Một ô tô chạy với vận tốc 200 m/s người lái xe đạp phanh Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần với vận tốc v (t) = 200 +Ä at (m/s), t khoảng ä thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh a m/s gia tốc Biết 1500 m xe dừng hẳn, hỏi gia tốc xe bao nhiêu? 200 100 40 40 m/s2 B a = − m/s2 C a = m/s2 m/s2 A a=− D a=− 13 13 3 Lời giải 200 Thời điểm xe dừng 200 + at = ⇒ t = − a Khi ta có − 200 a Z (200 + at) dt = 1500 ⇔ − 2002 40 = 1500 ⇔ a = − 2a Chọn phương án D (m/s2 ) t+1 Vận tốc ban đầu vật m/s Tính vận tốc vật sau 10 giây (làm tròn kết đến hàng đơn vị) Câu 28 Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc v ′ (t) = A 11 m/s B 12 m/s C 13 m/s D 14 m/s Lời giải dt = ln |t + 1| + C t+1 Vì v(0) = ⇒ C = ⇒ v(t) = ln |t + 1| + ⇒ v(10) = ln 11 + = 13 m/s Vận tốc v = Z ′ v (t) dt = Z Chọn phương án C Câu 29 Toán thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 13 HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 Qng đường xe diện tích hình phẳng giới hạn Parabol trục Ox Gọi (P ) : y = ax2 + bx + c.Do (P ) qua gốc tọa độ nên c =  b ®  b = 10 − = 10 b = −20a 2a ⇔ ⇔ Đỉnh (P ) I(10; 50) nên a = −  b = −200a  − ∆ = 50 4a Z10 Å ã 1000 − x2 + 10x dx = Ta có Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình vẽ bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2; 9) trục đối xứng song song với trục tung Khoảng thời gian cịn lại vật chuyển động chậm dần Tính quãng đường S mà vật (kết làm trịn đến hàng phần trăm) A S = 23, 71 km B S = 23, 58 km C S = 23, 56 km D S = 23, 72 km v t BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN O Lời giải Trong đầu, ta gọi phương trình vận tốc vật v = at2 + bt + c, suy v ′ = 2at + b Theo giả thiết ta có         a = − c = v(0) = v(2) = ⇔ 4a + 2b + = ⇔ b =       ′  c = 4a + b = v (2) = 31 Suy v(t) = − t2 + 5t + 4, từ ta có v(1) = 4 Trong sau, gọi phương trình vận tốc v(t) = at + b Theo giả thiết ta có   v(1) = a + b = 31 a = − ⇔   v(4) = 4a + b = b=9 Suy v(t) = − t + Quãng đường vật Z4 Å Z1 Å ã ã 5 − t + dt = 23, 7083 − t + 5t + dt + S= 4 Chọn phương án A Câu 30 Gọi F (t) số lượng vi khuẩn phát triển sau t Biết F (t) thỏa mãn F ′ (t) = 10000 với t ≥ ban đầu có 1000 vi khuẩn Hỏi sau số lượng vi khuẩn bao + 2t nhiêu? A 17094 B 9047 C 32118 D 8047 Lời giải Z 10000 F (t) = dt = 5000 ln |1 + 2t| + C + 2t F (0) = 1000 ⇔ 5000 ln |1 + · 0| + C = 1000 ⇔ C = 1000 Số lượng vi khuẩn sau giờ: F (2) = 5000 ln |1 + · 2| + 1000 = 5000 ln (5) + 1000 ≈ 9047 Chọn phương án B Toán thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 14 ...MỤC LỤC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG B BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ DIỆN TÍCH 23 C BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ THỂ TÍCH 51 BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC QUÃNG... (m) D S = 96,25 (m) Lời giải Z5 Trong giây xe quãng đường S2 = 7t dt = t = 87,5 m 0 Z Kể từ phanh v2 = (−70) dt = −70t + C BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 14 Một ô tô chạy với vận... Quãng đường máy bay di chuyển đường băng S= Z10 Z10 2500 v(t)dt = (t2 + 2t)dt = BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn phương án A Câu Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s người lái đạp phanh;