DarkTurquoiseBài gi�ng Hình h�c Vi phân c�a Đư�ng và M�t Bài giảng Hình học vi phân của Đường và Mặt Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 14 tháng 10 năm 2022 Bài giảng Hình học Vi phân của Đường và Mặt Huỳnh Quan[.]
Bài giảng Hình học vi phân Đường Mặt Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 14 tháng 10 năm 2022 Bài giảng Hình học Vi phân Đường Mặt Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 14 tháng 10 năm 2022 Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Email: hqvu@hcmus.edu.vn Web: https://sites.google.com/view/hqvu/ Tóm tắt nội dung Đây giảng mơn MTH10480 Hình học Vi phân, môn học tự chọn chương trình đào tạo trình độ đại học ngành Tốn học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQG-HCM, gồm 15 buổi học 15 tuần từ tháng tới tháng năm 2022 Vì phải học trực tuyến dịch COVID-19 nên lớp học dùng bảng điện tử, nhờ phần viết vẽ lưu lại được, sau phần lớn Hồ Nguyễn Huyền Thư (sinh viên khóa 2017) đánh máy dạng LATEX chèn hình vào tháng năm 2022 Mỗi mục ghi chép buổi học Mục lục Độ cong đường Tính tốn độ cong 2.1 Cơng thức tính độ cong 2.2 Dấu độ cong đường cong phẳng Đường cong với độ cong cho trước 3.1 Dấu độ cong đường cong phẳng: công thức tính 3.2 Hệ phương trình Frénet 10 Mặt quy 13 Ví dụ mặt quy 15 MỤC LỤC Mặt phẳng tiếp xúc, ánh xạ đạo hàm 20 6.1 Mặt phẳng tiếp xúc 20 6.2 Ánh xạ đạo hàm 21 Độ cong mặt 22 7.1 Mặt tròn xoay 23 7.2 Ánh xạ Gauss 24 Độ cong pháp tuyến, độ cong chính, tính tốn 27 8.1 Độ cong pháp tuyến 27 8.2 Độ cong 28 8.3 Tính tốn 29 Ví dụ độ cong 30 10 Đường trắc địa 31 11 Phương trình đường trắc địa 33 11.1 Tính hệ số Christoffel 35 11.2 Sự tồn nghiệm hệ phương trình đường trắc địa 36 12 Tính nội độ cong Gauss, đẳng cấu hình học 40 12.1 Độ cong Gauss tính theo mêtríc Riemann 40 12.2 Đẳng cấu hình học 41 13 Định lý Gauss–Bonnet 46 13.1 Độ cong trắc địa 48 13.2 Dạng địa phương 49 13.3 Dạng toàn cục 50 14 Sơ lược số phát triển 14.1 Tính chất tồn cục đường trắc địa 52 14.2 Mở rộng lên mặt 𝑛-chiều không gian (𝑛 + 1)-chiều 52 53 14.4 Mặt phẳng hyperbolic 54 14.3 Mở rộng lên mặt trừu tượng 15 Đề tài nhóm 52 58 15.1 Yêu cầu 58 15.2 Danh sách đề tài 58 Về môn học Môn học nhằm cung cấp kiến thức hình học vi phân mặt hai chiều Đây hiểu biết chung bổ ích cho học tốn Một số vấn đề môn học tương tác với đề tài giải tích hàm nhiều biến, đại số tuyến tính, phương trình vi phân, phép tính biến phân, tôpô Môn học giúp người học dễ dàng gặp tiếp cận trừu tượng vào số lĩnh vực giải tích tồn cục, giải tích hình học, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân, tơpơ, hình học Phần cuối mơn học hướng tới cho người học tiếp xúc ban đầu với hình học vi phân nhiều chiều đa tạp Riemann Nội dung mơn học gồm Độ cong đường; Độ cong mặt; Định lý Gauss tính nội độ cong; Đường trắc địa; Định lý Gauss–Bonnet; Đa tạp Riemann; Hình học hyperbolic chiều Người học cần nắm vững phép tính vi phân hàm nhiều biến khái niệm ban đầu không gian mêtríc, sẵn sàng làm lý luận tính tốn tốn học, có hiểu biết tơpơ thuận lợi cho phần sau môn học Giáo trình mơn học sách Carmo [1] Độ cong đường Giống tích phân đường, để nói tính cong đường ta khởi đầu với đường (chuyển động) thay đường (tập điểm) Tính cong đường phản ánh thông qua thay đổi phương chuyển động đường (và tính thẳng phản ánh qua việc phương chuyển động khơng đổi) Tuy nhiên có nhiều chuyển động đường, thay đổi phương chuyển động cịn phụ thuộc vào cách chuyển động Vậy để tính cong túy phản ánh cách xét chuyển động với tốc độ thuộc tính đường ta cần cách chuẩn hóa Ta chọn chuẩn hóa Một đường (path) ánh xạ từ khoảng số thực 𝐼 vào không gian Euclid ℝ𝑛 : 𝛼 ∶ 𝐼 → ℝ𝑛 𝑡 ↦ 𝛼(𝑡) ĐỘ CONG CỦA ĐƯỜNG Vận tốc đường 𝛼 thời điểm 𝑡 𝛼′ (𝑡) = ( 𝑑 𝛼) (𝑡) 𝑑𝑡 hướng 𝛼 𝑡 Ta giả thiết ‖𝛼′ (𝑡)‖ = 1, ∀𝑡 ∈ 𝐼 để vectơ 𝛼′ (𝑡) túy hướng chuyển động Sự thay đổi hướng theo thời gian cho véctơ gia tốc 𝑑 ′ 𝛼 (𝑡) = 𝛼″ (𝑡) 𝑑𝑡 𝛼″ (𝑡0 ) = lim 𝑡→𝑡0 𝛼′ (𝑡) − 𝛼′ (𝑡0 ) 𝑡 − 𝑡0 Định nghĩa 1.1 Với giả thiết đường 𝛼 thỏa ∀𝑡, ‖𝛼′ (𝑡)‖ = độ cong vết đường 𝛼 điểm 𝛼(𝑡) số thực 𝑘(𝑡) = ‖𝛼″ (𝑡)‖ Ví dụ 1.2 Trên đường thẳng ta có chuyển động 𝛼 = 𝑎 + 𝑡𝑣, với 𝑎 𝑣 𝑣 vectơ đơn vị ℝ𝑛 Khi 𝛼′ (𝑡) = 𝑣 𝛼″ (𝑡) = 0, độ cong ln Ví dụ 1.3 Trên đường trịn tâm bán kính 𝑅 ℝ2 xét chuyển động 𝛼(𝑡) = (𝑅 cos , 𝑅 sin ) Ta có 𝛼′ (𝑡) = (− sin , cos ), ‖𝛼′ (𝑡)‖ = 1, 𝛼″ (𝑡) = (− cos , − sin ), 𝑡 𝑅 ‖𝛼″ (𝑡)‖ = 𝑅 𝑡 𝑅 𝑡 𝑅 𝑡 𝑅 𝑅 Vậy độ cong điểm 𝑅 𝑡 𝑅 𝑅 Nhắc lại [mơn Giải tích 3], chiều dài đường cho tích phân theo thời gian tốc độ: 𝑡 𝑠(𝑡) = ∫ ‖𝛼′ (𝑢)‖ 𝑑𝑢 𝑎 Khi tốc độ ln chiều dài quãng đường 𝑠 thời gian 𝑡 Đường gọi quy (regular) vận tốc khác không [1, tr 17] độ Mệnh đề 1.4 Với đường quy tồn đường có vết mà có tốc 𝑡 𝑅 Chứng minh Cho 𝛼 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 khả vi liên tục 𝛼′ (𝑡) ≠ 0, ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] Ta có 𝑑𝑠 𝑑 ∫ ‖𝛼′ (𝑢)‖ 𝑑𝑢 = ‖𝛼′ (𝑡)‖ > (𝑡) = 𝑠′ (𝑡) = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑎 𝑡 Suy 𝑠 hàm tăng ngặt liên tục theo 𝑡, song ánh từ [𝑎, 𝑏] lên [0, 𝑙] với 𝑏 𝑙 = ∫𝑎 ‖𝛼′ (𝑢)‖ 𝑑𝑢 chiều dài đường 𝛼, có hàm ngược, khả vi theo Định lý hàm ngược: [0, 𝑙] → [𝑎, 𝑏] 𝑠 ↦ 𝑡 = 𝑡(𝑠) Xét đường 𝛽(𝑠) = 𝛼(𝑡(𝑠)) Ta tính vận tốc 𝛽: 𝑑 𝑑𝛼 𝑑 𝑑𝑡 𝛽) (𝑠) = (𝑡(𝑠)) ⋅ (𝑠) [𝛼(𝑡(𝑠))] = 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 1 = 𝛼′ (𝑡(𝑠)) ⋅ ′ = 𝛼′ (𝑡(𝑠)) ⋅ 𝑑𝑠 ‖𝛼 (𝑡(𝑠))‖ (𝑡(𝑠)) 𝛽′ (𝑠) = ( 𝑑𝑡 Trong tính toán trên, nhớ lại Định lý hàm ngược nói 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 , 𝑑𝑦 qua giới hạn từ đẳng thức Rõ ràng ‖𝛽 ′ (𝑠)‖ = 𝑑𝑥 𝛥𝑦 𝛥𝑥 = 𝛥𝑦 𝛥𝑥 Đường có tốc độ gọi đường tham số hóa theo thời gian 𝑡 biến chiều dài quảng đường 𝑠 Đường 𝛽 có chiều dài (parametrized by arc-length) Với tham số hóa theo chiều dài biến tốc độ mà có vết với đường 𝛼 gọi đường tham số hóa lại theo chiều dài (reparametrized by arc-length) đường 𝛼 Vậy đường TÍNH TỐN ĐỘ CONG quy tham số hóa lại theo chiều dài Bài toán 1.5 [1] 1.3: 2, , 4, 5, 6, 10 Tính tốn độ cong 2.1 Cơng thức tính độ cong Vấn đề đặt tính độ cong theo tham số hóa cho trước khơng thiết tham số hóa theo chiều dài Cho 𝛼 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 đường qui với tham số hóa Ta tham số hóa lại 𝛼 theo chiều dài Đặt 𝑡 𝑠(𝑡) = ∫ 𝑎 ‖𝛼′ (𝑢)‖ 𝑑𝑢, 𝑏 ≤ 𝑠 ≤ 𝑙 = ∫ ‖𝛼′ (𝑢)‖ 𝑑𝑢 𝑎 Lấy hàm ngược 𝑡 = 𝑡(𝑠), đặt 𝛽(𝑠) = 𝛼(𝑡(𝑠)), ≤ 𝑠 ≤ 𝑙, 𝛽 tham số hóa lại theo chiều dài 𝛼 Ta có 𝛽 ′ (𝑠) = Tiếp theo 𝛽 ″ (𝑠) = = = 𝑑𝛽 𝑑𝛼 𝑑𝑡 𝛼′ (𝑡(𝑠)) (𝑠) = (𝑡(𝑠)) (𝑠) = 𝛼′ (𝑡(𝑠)) 𝑑𝑠 = ′ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 (𝑡(𝑠)) ‖𝛼 (𝑡(𝑠))‖ 𝑑𝑡 𝑑𝛽 ′ 𝑑 𝛼′ (𝑡(𝑠)) (𝑠) = ) ( 𝑑𝑠 𝑑𝑠 ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ 𝑑 𝑑𝑠 𝑑 𝑑𝑡 (𝛼′ (𝑡(𝑠)) ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ − 𝛼′ (𝑡(𝑠)) ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ 𝑑 𝑑𝑠 (𝛼′ (𝑡(𝑠)) (𝑡(𝑠)) ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ − 𝛼′ (𝑡(𝑠)) 𝑑𝑡 𝑑𝑠 ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ 𝑑 𝑑𝑡 ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ Ta dùng công thức sau cho hai hàm khả vi 𝑢, 𝑣 ∶ 𝐼 → ℝ𝑛 : (𝑢 ⋅ 𝑣)′ = 𝑢′ ⋅ 𝑣 + 𝑢 ⋅ 𝑣′ , 𝑑𝑡 𝑑𝑠 (𝑡(𝑠)) 2.1 Cơng thức tính độ cong 𝑢′ ⋅ 𝑢 − ‖𝑢‖ = [(𝑢 ⋅ 𝑢) ] = (𝑢′ ⋅ 𝑢 + 𝑢 ⋅ 𝑢′ )(𝑢 ⋅ 𝑢) = ‖𝑢‖ suy ′ Tiếp tục tính: 𝛽 (𝑠) = ″ = ′ 𝛼″ (𝑡(𝑠)) ‖ ′ (𝑡(𝑠))‖ 𝛼 ‖ ‖ ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ − 𝛼′ (𝑡(𝑠)) [𝛼′ (𝑡(𝑠)) ⋅ 𝛼″ (𝑡(𝑠))] 𝛼″ (𝑡(𝑠)) − (𝛼″ (𝑡(𝑠)) ⋅ ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ 𝛼′ (𝑡(𝑠)) ∥𝛼′ (𝑡(𝑠))∥ ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ ) ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ ‖ ‖ 𝛼′ (𝑡(𝑠)) ∥𝛼′ (𝑡(𝑠))∥ Gọi 𝑝 phép chiếu vng góc vectơ lên vectơ khác ta nhận thấy: 𝛽 ″ (𝑠) = Dùng công thức Pythagore, ta có 𝛼″ − 𝑝𝛼′ (𝛼″ ) (𝑡(𝑠)) ∥ 𝛼′ ∥2 ‖𝛼″ − 𝑝𝛼′ (𝛼″ )‖ = ‖𝛼″ ‖ − ‖𝑝𝛼′ (𝛼″ )‖ Từ đó: 𝑘(𝑠) =∥ 𝛽 ′ (𝑠) ∥= = ‖𝛼′ ‖ 2 ‖𝛼′ ‖ 2 ‖𝛼″ − 𝑝𝛼′ (𝛼″ )(𝑡(𝑠))‖ [∥ 𝛼″ ∥2 − (𝛼″ ⋅ 𝛼 ) ] (𝑡(𝑠)) ∥ 𝛼′ ∥ ′ [∥ 𝛼″ ∥2 ∥ 𝛼′ ∥2 −(𝛼″ ⋅ 𝛼′ )2 ] = (𝑡(𝑠)) ∥ 𝛼 ′ ∥3 Vậy công thức độ cong ℝ𝑛 theo đường qui [∥ 𝛼″ ∥2 ∥ 𝛼′ ∥2 −(𝛼″ ⋅ 𝛼′ )2 ] 𝑘(𝑠) = (𝑡(𝑠)) ∥ 𝛼′ ∥3 Riêng 𝑛 = 3, dùng công thức cho tích có hướng TÍNH TỐN ĐỘ CONG ‖𝑢 × 𝑣‖ = ‖𝑢‖ ‖𝑣‖ − (𝑢 ⋅ 𝑣)2 = ‖𝑢‖ ‖𝑣‖ − ‖𝑢‖ ‖𝑣‖ cos2 𝜃 = ‖𝑢‖ ‖𝑣‖ sin2 𝜃 2 ta 2 𝑘(𝑠) = 2 2 ∥ 𝛼 ′ × 𝛼″ ∥ (𝑡(𝑠)) ∥ 𝛼′ ∥3 Riêng 𝑛 = 2, viết 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)), cơng thức trở thành 𝑘(𝑠) = |𝑥′ 𝑦″ − 𝑥″ 𝑦′ | (𝑡(𝑠)) (𝑥′2 + 𝑦′2 )3/2 2.2 Dấu độ cong đường cong phẳng Giả sử đường cong phẳng 𝛼 tham số hóa theo chiều dài Ta có tính chất sau: ‖𝛼′ ‖ = ⟹ 𝛼′ ⋅ 𝛼′ = ⟹ (𝛼′ ⋅ 𝛼′ )′ = ⟹ 𝛼″ ⋅ 𝛼′ = ⟹ 𝛼″ ⟂ 𝛼′ Giả sử 𝑘(𝑠) ≠ 0, tức 𝛼″ (𝑠) ≠ 0, cặp (𝛼′ , 𝛼″ )(𝑠) tạo thành sở tuyến tính ℝ2 điểm 𝛼(𝑠) Ta qui ước dấu độ cong dương sở tuyến tính có chiều dương, dấu độ cong âm sở tuyến tính có chiều âm Tức là: sign(𝑘) = sign det(𝛼′ , 𝛼″ ) Bài tốn 2.1 Nếu đổi chiều đường độ cong có dấu bị đổi dấu Bài tốn 2.2 [1] 1.5: 1, 4, 6, 8a, 11 Đường cong với độ cong cho trước 3.1 Dấu độ cong đường cong phẳng: cơng thức tính Cho 𝛼 đường qui 𝛽 tham số hóa lại theo chiều dài 𝛼 Giả sử độ cong 𝑘(𝑠) ≠ Ta chứng tỏ hai cặp (𝛼′ , 𝛼″ ) (𝛽 ′ , 𝛽 ″ ) có dấu Theo tính 𝛽′ = tốn trước ta có 𝛽″ = suy 𝛼′ , ‖𝛼′ ‖ 𝛼″ − 𝑝𝛼′ (𝛼″ ) , ∥ 𝛼′ ∥2 sign det(𝛽′ , 𝛽 ″ ) = sign det(𝛼′ , 𝛼″ − 𝑝𝛼′ (𝛼″ )) = sign [det(𝛼′ , 𝛼″ ) − det(𝛼′ , 𝑝𝛼′ (𝛼″ ))] = sign det(𝛼′ , 𝛼″ ), với det(𝛼′ , 𝑝𝛼′ (𝛼″ ) = hai vectơ phương Trên mặt phẳng, 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 ) ∈ ℝ2 𝑏 = (𝑏1 , 𝑏2 ) ∈ ℝ2 ta tính ‖𝑎‖ ‖𝑏‖ − (𝑎 ⋅ 𝑏)2 = det ( 2 𝑎⋅𝑎 𝑎⋅𝑏 𝑏⋅𝑎 𝑏⋅𝑏 ) = (𝑎21 + 𝑎22 )(𝑏21 + 𝑏22 ) − (𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 )2 = (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )2 = [det ( 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏 2 )] = [det(𝑎, 𝑏)] Từ trước, trường hợp đường cong phẳng có dấu, ta viết tiếp ( ∥ 𝛼″ ∥2 ∥ 𝛼′ ∥2 −(𝛼″ ⋅ 𝛼′ )2 ) | det(𝛼′ , 𝛼″ )| = |𝑘| = ∥ 𝛼′ ∥3 ∥ 𝛼′ ∥3 Suy công thức độ cong có dấu 𝑘 = sign det(𝛽′ , 𝛽 ″ ) ′ ″ | det(𝛼′ , 𝛼″ )| det(𝛼′ , 𝛼″ ) ′ ″ | det(𝛼 , 𝛼 )| = sign det(𝛼 , 𝛼 ) = ∥ 𝛼′ ∥3 ∥ 𝛼′ ∥3 ∥ 𝛼′ ∥3 .. .Bài giảng Hình học Vi phân Đường Mặt Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 14 tháng 10 năm 2022 Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố... https://sites.google.com/view/hqvu/ Tóm tắt nội dung Đây giảng mơn MTH10480 Hình học Vi phân, môn học tự chọn chương trình đào tạo trình độ đại học ngành Tốn học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQG-HCM,... trình vi phân, phép tính biến phân, tôpô Môn học giúp người học dễ dàng gặp tiếp cận trừu tượng vào số lĩnh vực giải tích tồn cục, giải tích hình học, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân,