Bản in hsg toán 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018 Môn thi TOÁN Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 17/4/ 2018 Câu 1 ([.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 17/4/ 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) a) Cho biểu thức với Rút gọn biểu thức A Tìm số nguyên b) Cho ba số thực cho Chứng minh số nguyên Câu (4,0 điểm) a) Cho phương trình phân biệt để Tìm để phương trình có hai nghiệm có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại b) Giải phương trình Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh với số tự nhiên lập phương số tự nhiên b) Cho số nguyên tố hai số nguyên dương Chứng minh chia hết cho 12 khơng thể , cho số phương Câu (3,5 điểm) Cho hình vng có cạnh cm là điểm nằm cạnh ( khác ) Đường thẳng qua , vuông góc với đường thẳng tại cắt đường thẳng tại Gọi là giao điểm của và a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn ba điểm thẳng hàng b) Khi trung điểm cạnh , tính diện tích tứ giác Câu (3,5 điểm) Cho hai đường tròn cắt khác cắt hai điểm khác ) Tiếp tuyến Tiếp tuyến cắt điểm ) Đường thẳng cắt khác ) Đường thẳng cắt khác ) a) Chứng minh tam giác đồng dạng b) Chứng minh Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: … ………………………………………… Số báo danh: …………… ( Thí sinh phép sử dụng máy tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm thi này có 06 trang) Câu Câu (5,0 đ) Cho biểu thức Đáp án Điểm với Rút gọn biểu thức A; tìm số nguyên để 3,0 số nguyên 0,5 0,5 0,5 (vì nên ) 0,5 0,5 Ta có :  0  m>1  Ta có : 0,25 2,0 0,25 0,25   0,5  0,5   0,25  - chọn Cách 2: Điều kiện : ’ >0  2m2 >0  m >1  Ta có : Để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 + + ( thỏa mãn ) Cách :  Điều kiện : ’ >0  2m2 >0  m>1 Phương trình có nghiệm 0, 0,25 0,25 Để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại 0,25 ( khơng xảy trường hợp ngược lại 0,25 (!) )  0,5   - Chọn 0, b) Giải phương trình (1) Cách 1: Điều kiện : (1)  Đặt 0,25 = 3x (2) ( a,b  0) 0,25 (2) viết lại:  2,0 0,5  ( 2+b>0 )   x = ( Cơ si – bình phương ) x = thỏa điều kiện  x = nghiệm phương trình cho Cách 2: Điều kiện : 0,25 0, 25 0, 25 0,25 0,5 0,5 0,25 (*)   Kết luận: x=0 nghiệm 0, Câu a) Chứng minh với số tự nhiên n  (n+2)(n+1)(n+8) khơng thể 2,0 (4,0 đ) lập phương số tự nhiên Ta có: (n+2)3< (n+2)(n+1)(n+8) < (n+4)3 (*)  n3+ 6n2+12n+8 < (n2+3n+2) (n+8) = n3+ 11n2 + 26n +16 < n3+ 12n2+48n+64 0,5 ( với n  1) Giả sử có nN, n  cho (n+2)(n+1)(n+8) lập phương số tự 0,25 nhiên Từ (*) suy ra: (n+2)(n+1)(n+8) =( n+3)3 0,5  n3+ 11n2+26n+16 = n3+ 9n2+27n+27  2n2  n 11 =0  0,5 (!) Vậy n  1, n  N (n+2)(n+1)(n+8) khơng lập phương số tự 0,25 nhiên b) Cho số nguyên tố hai số nguyên dương a, b thỏa mãn phương trình Chứng minh a chia hết cho 12 phương Ta có: 2 Các ước p 1, p p Không xảy trường hợp b + a = b ‒ a = p Do xảy trường hợp b + a = p2 b ‒ a = Khi số 2,0 0,25 0,5 suy 2a = (p ‒1)(p + 1) Từ p lẻ suy p + 1, p ‒1 hai số chẵn liên tiếp  (p ‒1)(p + 1) chia hết cho Suy 2a chia hết cho (1) 0,5 Vì p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Do p có dạng 3k+1 3k+2 Suy hai số p + 1; p ‒1 chia hết cho Suy 2a chia hết cho (2) Từ (1) (2) suy 2a chia hết cho 24 hay a chia hết cho 12 (đpcm) 0,5 Xét 0,25 số phương Câu Cho hình vuông cạnh cm là điểm nằm cạnh ( (3,5 đ) khác ) Một đường thẳng qua , vuông góc với đường thẳng tại cắt đường thẳng tại Gọi là giao điểm của và a)Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn ba điểm thẳng hàng A 2,5 B K H E D C (Không có hình vẽ không chấm bài) + Hai tam giác BKA BKC  F 0,5 + Lại có A, B, H, D nằm đường tròn nên Suy Do tứ giác KDCE nội tiếp đường trịn + Trong tam giác BDF có BC DH hai đường cao Suy Tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn nên (2) Từ (1) (2) suy K, E, F thẳng hàng b) Khi trung điểm cạnh , tính diện tích tứ giác Ta có  BKE vng cân, BK= KE = 0, 0,5 (1) hay 0,2 0,25 0,25 1,0 SBKE = 0,25 Xét BHE ta có BH = BE sinE = sinE = 0.25 HE2 =BE2 BH2 =  HE = 0.25 SBHE = SBKEH = SBKE +SBHE = (cm2) 0.25 Câu Cho hai đường tròn (C1 ),(C2 ) cắt hai điểm A,B Tiếp tuyến A (C ) (3,5 đ) cắt (C1 ) M (M  A) Tiếp tuyến A (C ) cắt (C2 ) điểm N (N  A) Tia MB cắt (C2 ) P ( P  B) Tia NB cắt (C1 ) Q ( Q  B) a/ Chứng minh tam giác AMP ANQ đồng dạng 0,75 (Không có hình vẽ không chấm bài) Tứ giác ABNP nội tiếp  0,25 Tứ giác ABMQ nội tiếp  0,25 Suy ra:  ANQ đồng dạng  APM 0,25 b/ Chứng minh: (1) AM tiếp tuyến , MBP cát tuyến (C2) –chứng minh MA2 = MB.MP 2,75 0,5 Tương tự AN tiếp tuyến , NBQ cát tuyến (C1), ta có: NA2 = NB.NQ 0,25  (2) 0,25 Từ (2), để có (1), ta chứng minh MP =NQ Để chứng minh MP =NQ ta chứng minh  AMP =  AQN ( AMP AQN đồng dạng , cần chứng minh A N = AP hay + Ta có + Ta có ( chắn cung AB (C2)) ) 0,25 ( chắn cung NB (C2) ) 0,25 ( chắn cung AB (C1)) + Suy  ( Góc ngồi tổng góc khơng kề nó) + Mặt khác Suy ra: ( chắn cung AP (C2)) 0,25 0,25 Ta có:   ANP cân N  AN= AP Tam giác AMP AQN đồng dạng kết hợp AN= AP   AMP =  AQN  MP=NQ (2) 0,25 Từ (1) (2)  0,25 hay 0,25 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác thầy giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm ... 0,25 0,25 0,25 0,25 Để chứng minh (1) ta tiếp tục chứng minh 7 (2) Ta có: ≥ a ≥ c ≥  (2)  x+  0,25  2x25x+2   (x2)(2x1)  ( (2) chứng minh  (1) chứng minh Dấu “=”xảy a=2, b=c=1 a=b=2,... –chứng minh MA2 = MB.MP 2,75 0,5 Tương tự AN tiếp tuyến , NBQ cát tuyến (C1), ta có: NA2 = NB.NQ 0,25  (2) 0,25 Từ (2), để có (1), ta chứng minh MP =NQ Để chứng minh MP =NQ ta chứng minh  AMP...Thí sinh phép sử dụng máy tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM