Luận văn thống kê bose einstein biến dạng q tổng quát

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1 Lí do chọn đề tài 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2 4 Đối tƣợng nghiên cứu 2 5 Phƣơng pháp nghiên cứu 2 6 Giả thuyết khoa học 2 CHƢƠNG 1 THỐNG KÊ BOSE EINSTEIN 3 1 1[.]

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học CHƢƠNG THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN 1.1 Dao động tử điều hòa 1.2 Hệ nhiều hạt đồng 1.2.1 Nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng 1.2.2 Các trạng thái đối xứng hóa phản đối xứng 1.2.3 Dao động tử Boson 12 1.2.3.1 Ngƣng tụ Bose - Einstein 12 1.2.3.2 Các hệ thức giao hoán toán tử sinh, hủy hạt Boson 12 1.3 Thống kê Bose-Einstein 14 CHƢƠNG THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q 19 2.1 Lý thuyết q -số 19 2.2 Dao động tử biến dạng q 20 2.3 Phổ lƣợng dao động tử biến dạng q 24 2.4 Tính phi tuyến dao động tử biến dạng q 25 2.5 Thống kê Bose - Einstein biến dạng q 26 CHƢƠNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT 32 3.1 Dao động tử có thống kê vô hạn 32 3.2 Dao động tử biến dạng q tổng quát 33 3.3 Phổ lƣợng dao động tử biến dạng q tổng quát 34 3.4 Thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát 35 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bƣớc sang kỉ 20, khoa học phát triển vật lí Newton khơng thể giải thích đƣợc nhiều tƣợng tự nhiên từ cấp độ vi mô đến vĩ mô, vật lí đại đời để giải thích nhiều tƣợng vật lí mới, từ mang lại góc nhìn sâu sắc cho ngƣời tự nhiên nhƣ đồng thời thúc đẩy tiến khoa học kĩ thuật nói chung khoa học vật lí nói riêng Planck, Einstein, Bohr xây dựng thuyết lƣợng tử để giải thích cho kết thí nghiệm bất thƣờng Heisenberg, Schrodinger , Dirac công thức hóa học lƣợng tử để giải thích lí thuyết lƣợng tử tƣờng minh cơng thức tốn học Từ tạo bƣớc đột phá miêu tả đặc điểm tính chất giới vi mô, giới hạt Trong vài thập kỉ gần đây, xuất phát từ tốn áp dụng vật lí lƣợng tử, khái niệm toánitửisinh, hủy hạt hay cácchệ thức giaoohoán phản giao hoán đƣợc xây dựng, vấn đề trọng tâm xây dựng hàm sóng hay hàm phân bố thống kê Một dạng đại số liên quan đến đại số lƣợng tử hay đƣợc đề cập vật lí lƣợng tử vật lí hạt đại số biến dạng, từ mở hƣớng quan tâm ngƣời u mơn khoa học vật lí Vật lý thống kê có nhiệm vụ khảo sát tính chất vật lý hệ vĩ mô, hệ đƣợc cấu thành từ số lớn hạt vi mô Thông qua tính chất để tìm quy luật phân bố chúng Từ giải thích tƣợng, quy luật, tính chất hệ , đồng thời cho phép dự đoán chất đƣợc tạo thành thay đổi tính chất, cấu trúc hệ hạt vi mơ Nghiên cứu thống kê biến dạng nội dung đƣợc nhiều nhà khoa học vật lí tìm hiểu , tơi lựa chọn đề tài “Thống kê Bose Einstein biến dạng q tổng quát ” làm đề tài nghiên cứu luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát , bao gồm thống kê biến dạng q thống kê Bose - Einsteinnlà trƣờng hợp riêng nhận giá trị đặc biệt Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu biểu thức thống kê Bose - Einsteinnbiếnndạng q tổng quát sở nghiên cứu dao động tử biếnndạng q tổng quát lí thuyết biến dạng Đối tƣợng nghiên cứu Dao động tử điều hòa biến dạng Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp vật líilí thuyết Giả thuyết khoa học - Sử dụng phƣơng pháp lí thuyết biến dạng để tìm biểu thức thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng qt Từ tìm trở lại hàm phân bố thông thƣờng với tham số đặc biệt CHƢƠNG THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN 1.1 Dao động tử điều hòa "Trong học lƣợng tử, dao động tử điều hòa hạt có khối lƣợng m, chuyển động chiều theo trục ox dƣới tác dụng lực đàn hồi F=kx"[2] Hàm Hamiltonian có dạng: kxˆ Pˆx ˆ ˆ ˆ H U T   2m m. 2 ˆ ˆ H xˆ  Px 2m 2 d2 ˆ m. H xˆ  (1.1) 2m dx Với kí hiệu: xˆ  qˆ ; pˆ x  pˆ  i d ( toánttử tọa độ xungllƣợng) dx Hàm Hamiltonian lúc m. 2 d m. qˆ pˆ ˆ H  xˆ    2m dx 2 2m (1.2 ) Phƣơng trình Schrodinger dao động tử trạng thái dừng: Hˆ n ( x)  En n ( x) (1.3) Ta tìm lƣợng hàm sóng dao động tử điều hòa Gọi ˆ  ,ˆ toán tử sinh, hủy dao động tử, lúc pˆ qˆ đƣợc đƣa vào nhƣ sau: pˆ  i 21.m (ˆ   ˆ ) qˆ  21 m  (ˆ   ˆ )  (ˆ   ˆ ) pˆ i 21 m.  i pˆ m. 1  ˆ   ˆ  qˆ 21 m  qˆ m 21 lúc : pˆ  21 m  ˆ     qˆ  i  m   (1.4) 21 m  pˆ   ˆ     qˆ  i    m (1.5) Lúc toán tử ˆ  ,ˆ thỏa mãn ˆ  ,ˆ    ˆ ,ˆ       ˆ ,ˆ       pˆ , qˆ .  i Vì: (1.6)  Ta chứng minh ˆ ,ˆ    ˆ ˆ   ˆ ˆ    21 m  ipˆ  21 m  ipˆ  21 m  ipˆ  21 m  ipˆ   ˆ ˆ   qˆ    qˆ     qˆ    qˆ     m   m   m   m i i ˆ ˆ  qp ˆˆ   (i )    pq Hamiltonian đƣợc viết theo ˆ  ,ˆ : 1 m qˆ pˆ 1 21 1 2  ˆ ˆ ˆ H   m (   )  i m (ˆ  ˆ  )2 2m m m    ˆ ˆ ˆ  ˆ  )    (    )  (    ˆˆ 2  4 1  Hˆ    ˆ ˆ   2     ˆ ˆ   ˆ ˆ  2ˆ ˆ     (1.7) Để tìm phổ lƣợng dao động tử điều hịa , lúc ta phải xác định trị riêng Hamiltonian vectơ giá trị riêng Lúc ta đƣa vào toán tử số hạt Nˆ , (1.7) đƣợc viết lại : 1  Hˆ    Nˆ   2  Với ˆ ˆ  Nˆ   ˆ ˆ  ˆ ˆ    ˆ ˆ   Nˆ   (1.8) Phƣơng trình (1.3) lúc : 1  Hˆ n  E n  n    Nˆ   n 2  (1.9) 1  En    n   2  (1.10) Trong n trị riêng tốn tử số hạt, tƣơng ứng với hàm riêng n Ta có Nˆ n  n n Ta nghiên cứu tính chất trị riêng n tốn tử Nˆ Chú ý  Nˆ ,ˆ    ˆ    (1.11)  Nˆ ,ˆ   ˆ   (1.12) Vận dụng (1.11); (1.12) ˆ  ( Nˆ ˆ ) n  (ˆ Nˆ  ˆ ) n  (n  1). n  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ( N ) n  ( N   ) n  (n  1).  n (1.13) Từ hệ thức ta thấy  n hàm riêng Nˆ tƣơng ứng ˆ ; ˆ  lần lƣợt hàm riêng Nˆ tƣơng ứng lần lƣợt với trị riêng n,  n n với trị riêng (n-1) ; (n+1) Gọi n0 giá trị riêng bé Nˆ tƣơng ứng với ˆ ứng với (n0-1)  n khơng tồn trạng thái  n0 Điều có nghĩa : ˆ =0  n0 Để tìm giá trị riêng bé n0 toán tử Nˆ Ta biết : ˆ Nˆ n  ˆ   n0 n n0 Do hàm  n khác khơng, nên ta có n0=0 Các trị riêng toán tử liên tiếp khác đơn vị (n-1); n ; (n+1) nmin =0 Chứng minh tƣơng tự , ta thấy (ˆ )2 n ; (ˆ  )2 n hàm riêng toán tử Nˆ tƣơng ứng với trị riêng (n-2); (n+2) Mở rộng cho tất : (ˆ)3 n ,(ˆ)4 n .(ˆ) p n toán tử Nˆ lần lƣợt tƣơng ứng có trị riêng (n-3), (n-4), ,(n-p) Và (ˆ  )3 n ,(ˆ  )4 n .(ˆ  ) p n lần lƣợt tƣơng ứng có trị riêng ( n+3), (n+4), , (n+p), với p =1,2,3 với p khác q Như giá trị riêng có Nˆ số ngun, khơng âm (n=0,1,2,3 ) Kí hiệu vecto trạng thái riêng chứa n lƣợng tử toán tử Nˆ n , hệ thức (1.13) đƣợc viết lại nhƣ sau : Nˆ n  n n Nˆ ˆ  n  (n  1)ˆ  n (1.14) Nˆ ˆ n  (n  1)ˆ n (1.15) Phổ lƣợng dao động tử xác định phƣơng trình hàm riêng, trị riêng Hˆ Hˆ n  En n 1     Nˆ   n  En n 2  1     n   n  En n 2  Ta suy 1  n        E0  E0   2   1 n    1    E1  E1      E0    2 1  n        E2  E2    2.  E1   2  1  n        E3  E3    3.  E2   2  Các trạng thái dừng dao động tử điều hịa có lượng gián đoạn, hai trạng thái tiên tiếp hiệu số lượng ln    Hạt có lượng  gọi phonon Phonon hạt thực , mà chuẩn hạt có spin khơng thuộc loại boson Chúng ta thấy tác dụng toán tử ˆ  ˆ lên trạng thái n lúc thu đƣợc công thức ˆ n  n n  ;(n  0)   ˆ  n  n  n  ;(n  0)  ˆ    (1.16) Nhƣ , việc nêu lên số lƣợng tử n hồn tồn tìm đƣợc trạng thái dao động tử Số lƣợng tử tăng lên ( giảm đi) tƣơng ứng lƣợng tăng lên ( giảm đi) lƣợng  Ngƣời ta gọi n trạng thái n phonon Các phonon kích thích nguyên tố dao động tử đƣợc biểu diễn nhƣ hệ có n phonon ( n ) Dao động tử trạng thái n Lúc ˆ (hoặc ˆ  ) tác dụng lên n làm giảm số phonon đơn vị (hoặc làm tăng số phonon lên đơn vị ) gọi toán tử hủy phonon ( toán tử sinh phonon).Tác dụng Nˆ lên n cho giá trị riêng số phonon n Nhƣ toán tử Nˆ mang ý nghĩa toán tử sốphonon Tác dụng n lần liên tiếp toán tử sinh ˆ  lên trạng thái ta có hàm sóng trạng thái : n  ˆn  n! (1.17) Ta chứng minh (1.17) cách sử dụng ˆ  n  n  n  ˆ  n   thay n giá trị (n-1) ˆ n   n n suy n  n Hoàn toàn tƣơng tự thay lần lƣợt n giá trị (n-2), (n-3), , (n-n) ta tìm đƣợc trạng thái n   Thay vào n  n  ˆ  n  n ˆ  n  n  ˆ  n  n 1 , n2  ˆ  n  n2 , ta đƣợc:   ˆ  n n n  n  n  3    ˆ  n n! ., ... cứu thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát , bao gồm thống kê biến dạng q thống kê Bose - Einsteinnlà trƣờng hợp riêng nhận giá trị đặc biệt Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu biểu thức thống. .. cứu biểu thức thống kê Bose - Einsteinnbiếnndạng q tổng quát sở nghiên cứu dao động tử biếnndạng q tổng quát lí thuyết biến dạng Đối tƣợng nghiên cứu Dao động tử điều hòa biến dạng Phƣơng pháp...3.3 Phổ lƣợng dao động tử biến dạng q tổng quát 34 3.4 Thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát 35 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO