Skkn sử dụng công cụ đạo hàm trong khảo sát hàm số

LỜI NÓI ĐẦU B ất đẳng thức chuyên đề hay đặc sắc toán học sơ cấp đựoc đưa vào dạy học rộng rãi trường phổ thông trung học.Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp ,kỳ thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng không vắng mặt toán bất đẳng thức Tuy nhiên phải nhận thấy toán chứng minh bất đẳng thức tốn khó lẽ khơng có phương pháp thống để giải đựợc tất tốn bất đẳng thức địi hỏi người học phải có kiến thức vững số kỹ giải toán định Hiện tài liệu viết bất đẳng thức đa dạng theo nhiều hướng giải sử dụng công cụ khác Với ý tưởng sử dụng công cụ đạo hàm khảo sát hàm số, mạnh dạn lựa chọn thực đề tài với mục đích đóng góp phần cơng sức nho nhỏ việc tuyển chọn chứng minh số bất đẳng thức phương pháp hàm số Hi vọng tiểu luận tài liệu bổ ích cho bạn đọc Cuốn tiểu luận chia làm chương: Chương I: ĐẠO HÀM VÀ ÁP DỤNG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chương II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC Chương III: TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC Chương IV: ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Mỗi chương trình bày theo phần: lý thuyết hệ thống tập Cuối chương có phần tập tương tự nâng cao nhằm mở rộng đào sâu kiến thức Cuốn tiểu luận hoàn thành hướng dẫn đầy nhiệt tình thầy giáo Dương Thanh Vỹ với nỗ lực lớn tất thành viên nhóm.Nhân chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Quy Nhơn,ngày 03 tháng 12 năm 2009 Nhóm thực skkn MỤC LỤC Nội dung ……………………………………………………………………………….Trang LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC Chương I: ĐẠO HÀM VÀ ÁP DỤNG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ………………………3 Chương II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC ….………………15 Chương III: TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC… 32 Chương IV: ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG ……………………………………………… …38 KẾT LUẬN CHUNG……………………………………………………………………… 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………………… 43 skkn CHƯƠNG I ĐẠO HÀM VÀ ÁP DỤNG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I.Lý thuyết: 1.Đạo hàm: a.Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng Ký hiệu : :số gia đối số x0 :số gia hàm số Nếu tồn (hữu hạn) giới hạn: đạo hàm Ký hiệu: ta nói hàm số f(x) có giới hạn đạo hàm f(x) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm điểm khoảng (a,b) ta nói hàm số f(x) có đạo hàm khoảng (a,b) b.Định lý:( điều kiện cần đạo hàm) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm f(x) liên tục Và hàm số f(x) có đạo hàm khoảng (a,b) liên tục khoảng (a,b) Chứng minh: Thật : Vì f(x) có đạo hàm nên tồn Tức f(x) liên tục = Từ suy ra: Lưu ý:Điều ngược lại định lý nói chung không ,chẳng hạn hàm nhiên khơng có đạo hàm c.Các cơng thức quy tắc tính đạo hàm: skkn liên tục 2.Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu hàm số: a.Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a,b)  Hàm số f(x) gọi đồng biến(tăng) khoảng (a,b)  Hàm số f(x) gọi nghịch biến(giảm) khoảng (a,b) Ví dụ: hàm đồng biến miền xác định hàm nghịch biến miền xác định b.Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm khoảng (a,b).Khi đó:  Nếu f(x) đồng biến khoảng(a,b)  Nếu f(x) nghịch biến khoảng(a,b) II.Hệ thống tập minh họa: Như sử dụng đạo hàm ta xét tính đơn điệu hàm số từ áp dụng vào giải số toán chứng minh bất đẳng thức.Sau số ví dụ minh họa Bài 1[3] Chứng minh rằng: Ta có: Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : skkn Xét hàm số:f(x)=xsinx+2cosx ,x Suy : f’(x) nghịch biến Do f(x) nghịch biến (0, Theo giả thiết ) nên (đpcm) Bài2:[9] Chứng minh rằng: sinx > Giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : Xét hàm số Ta có: (với g(x)=xcosx-sinx ) Ta có : g’(x)=-xsinx0,ta có: Giải: Xét hàm f(x)= -x+sinx khoảng  f’(x)=   f’’(x)=x-sinx f’’’(x)=1-cosx>0, , ta có: skkn hay (*) Mặt khác xét hàm g(x)= ,x>0 Tương tự ta có: Theo chứng minh ta có :g”(x)=f(x)>0, g’(x)>g’(0)=0 , Suy :g(x)>g(0), x>0.Do g’(x) đồng biến x>0.Do g(x) lại đồng biến x>0 Hay sinx < (**) Kết hợp (*) (**) ta có đpcm Bài 6:[5] Chứng minh rằng: Áp dụng: a, Cho 0x>0 f(y)>f(x) tức (1)  Nếu 1>x>y>0 f(x)>f(y) tức (2) skkn Tóm lại (*) với x,y (đpcm) Bài :[0]Chứng minh với x>0,ta có: Giải: Xét hàm số :f(x)= Ta có: Do f(x) hàm đồng biến Hay (đpcm) Bài 10[9]:Chứng minh : (*) Giải: Vì lnx hàm đồng biến nên từ gt suy ra: lnx>lny hay lnx-lny>0 Do : (*) x>y>0 x>y>0.(**) Đặt t= >1, ta có:(**) Xét hàm f(t)= Ta có: Suy f(t) hàm đồng biến Do đó:f(t)>f(1)=0, Từ suy đpcm Bài 11[5]: Chứng minh ABC tam giác nhọn sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC > skkn Giải: Vì tam giác ABC nhọn : Xét hàm số f(x)=sinx+tanx-2x Ta có : f(x) đồng biến khoảng Do f(x)>f(0), Lần lượt xét x=A,B,C sau cộng vế theo vế ta có: sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2(A+B+C)=2 (đpcm) Bài 12[5]:Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng: (*) Giải: Trước hết ta có nhận xét bất đẳng thức bất đẳng thức đẹp giải theo nhiều cách Ở theo phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số ta làm sau: Lấy logarit Nepe hai vế (*) ta có: (**) bất đẳng thức (**) đúng.Từ Vì hàm f(x)=lnx đồng biến khoảng suy (*) đúng.(đpcm) Bài 13[5]: Chứng minh : Giải: Ta có Mà Suy ra: (đpcm) Bài 14: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2007) 10 skkn .Tức sinx+cosx+2>0, Đặt t=tan Khi : Xét hàm f(t)= , Ta có: Bảng biến thiên: t f’(t) 0 + f(t) Như : Từ suy ra: Bài 17 [5]: Cho , (đpcm) Chứng minh với x ta có: Giải: với x 1.Ta có: Xét hàm số: f(x)= Vì Hay f’’(x) 0, tăng Lại : Vậy f’(x) 0, Suy f(x) tăng [1,+ Mà Do đó: , (đpcm) Bài 18[5]: Chứng minh n số tự nhiên chẵn a số lớn với x ta có: 29 skkn Giải: , Xét hàm số: f(x)= Ta có : ,n chẵn, a>3 Để ý n chẵn nên f’(x) không đổi dấu qua x=0, ta có bảng biến thiên sau: x f’(x) 0 + f(x) Như , (vì a>3).Từ suy ra: (đpcm) III.Bài tập đề nghị: Bài 1[8]:Cho ABC ,chứng minh rằng: Bài 2[8]: Cho ABC nhọn ,chứng minh rằng: Bài 3[7]: Chứng minh : Bài 4[11]: Cho a,b,c số thỏa =1.Chứng minh rằng: Bài 5[11]:Chứng minh với tam giác ABC ta có: Hướng dẫn: Bài 1,bài 2:Xét hàm số: Bài 3: Viết , Đặt t= ,sau xét hàm Bài 4: Phân tích: Để ý =1(gt) 30 skkn Đặt x=a+b+c ,( ) xét hàm f(x)= Bài 5: Bài toán đưa chứng minh bất đẳng thức : Xét , , Từ suy đpcm 31 skkn CHƯƠNG III TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC I,Lý thuyết: 1.Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định D có đồ thị (C).Ta nói: a.Đồ thị (C) hàm số f lồi (a,b) D tiếp tuyến (C) điểm nằm phía đồ thị b Đồ thị (C) hàm số f lõm (a,b) D tiếp tuyến (C) điểm nằm phía đồ thị c.Nếu đồ thị hàm số lồi lõm khoảng xác định điểm phân cách phần lồi phần lõm gọi điểm uốn đồ thị 2.Định lý: a.Định lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai khoảng (a,b) Khi đó: i.Nếu f’’(x)0, (a,b) đồ thị hàm số f lõm khoảng (a,b) b.Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai khoảng (a,b) Khi f’’(x) đổi dấu qua điểm điểm uốn đồ thị hàm số f 3.Tính chất hàm lồi ,lõm, bất đẳng thức Jensen: a.Tính chất hàm lồi: Hàm số f gọi lồi khoảng (a,b) có đồ thị lõm khoảng Như vậy: Hàm số f lồi khoảng (a,b) Bất đẳng thức Jensen: Nếu hàm số f lồi khoảng (a,b) f(b) với , ta có: (f(a)+f(b))/2 Dấu xảy Tổng quát : f(a) Dấu xảy a b x 32 skkn =…= b.Tính chất hàm lõm: Hàm số f gọi lõm khoảng (a,b) có đồ thị lồi khoảng Như vậy: Hàm số f lõm khoảng (a,b) y Tính chất: hàm số f lõm khoảng (a,b) f(b) với , ta có: (f(a)+f(b))/2 Dấu xảy Tổng quát : f(a) Dấu xảy =…= a b x Như sử dụng bất đẳng thức Jensen ta giải lớp toán bất đẳng thức có dạng đưa dạng ngược lại cần chọn hàm thích hợp ta tạo hàng loạt bất đẳng thức thuộc dạng này.Sau số ví dụ minh họa II.Hệ thống b tập minh họa: Bài 1[2]: Chứng minh với x,y Xét hàm số f(x)= ta có: Giải: , ta có: f’(x)=2x ; f’’(x)=2>0 Suy f hàm lồi R ,do đó: hay Tổng quát : Xét hàm f(x)= Ta có: Từ suy đpcm Bài [2]: Chứng minh với x,y>0 ta có: Giải: Xét hàm f(x)=lnx , x>0.Ta có: Suy f(x) hàm lõm (0, ),do đó: hay Dấu đẳng thức xảy x=y 33 skkn Bài 3[2]:Chứng minh : Giải: Ta xét hàm f(x)=sinx đoạn ta có: f’(x)=cosx ; f’’(x)=-sinx Suy f hàm lõm đoạn hay đó: Dấu đẳng thức xảy x=y Bài 4[5]: Cho f hàm lõm (đồ thị lồi) khoảng (a,b) Giả sử p,q hai số dương Giả sử M Chứng minh rằng: N thức vectơ : Giải:( phưong pháp vectơ ) thuộc đồ thị hàm số f Gọi I điểm thỏa mãn hệ Khi ta có hệ: Vì f hàm lõm nên Dấu đẳng thức xảy Tưong tự f hàm lồi (a,b) Bài [5]: Cho số dương a,b,c.Chứng minh rằng: Giải: Lấy logarit tự nhiên hai vế ta có: Xét hàm số f(x)=xlnx , x>0 Ta có: f’(x)=lnx+1 ; f’’(x)= Suy f(x) hàm lồi (*) Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 34 skkn đó: Do lnx hàm đồng biến nên suy ra: (**) Kết hợp (*)&(**) suy ra: (đpcm) Nhận xét :Đây bất đẳng thức hay giải nhiều cách khác,chẳng hạn dùng bất đẳng thức Chebyshev.Bạn đọc làm thử tìm thêm cách giải khác hay hơn,… Bài 6[5]: Cho bốn số dương a,b,x,y.Chứng minh rằng: Giải: Tương tự ta xét hàm f(x)=xlnx có f(x) hàm lồi với x>0.Áp dụng kết ta có: , Chọn ta có: (đpcm) Bài [5]: Chứng minh với tam giác ABC ta có: sinA+sinB+sinC Giải: Xét hàm f(x)=sinx khoảng (0, ) ta có: f’(x)=cosx ; f’’(x)=-sinx0, cosx>0 >0, Do đó: hay Tại x=0 :f(0)=g(0)=0 ; f’(0)=g’(0)=2 Áp dụng định lý ta suy :f(x)>g(x), tanx+sinx>2x, (đpcm) Bài 3[0]: Chứng minh : Đặt f(x)=2x.arctanx g(x)= ln(1+ Giải: ) khoảng Ta có: Với x >0 0g’(x), 39 skkn x>0 Tại x=0 :f(0)=g(0)=0 Áp dụng định lý suy : f(x)>g(x), (đpcm) x>0 Bài 4[0]: Chứng minh : Giải: Đặt f(x)=ln(1+x) ; g(x)=x ; h(x)= Ta có: ; g’(x)=1 Rõ ràng : 0 ; ; ; Với x>0 rõ ràng Tại x=0 f(0)=h(0)=0 ; f’(0)=h’(0)=1 ; f’’(0)=h’’(0)= Từ ta suy : f(x)>h(x) , x>0 Hay (**) Kết hợp (*)&(**) suy : (đpcm) Bài 5[0]: Chứng minh với x>0 , ta có: (*) Giải: (*) (**) Xét hàm f(x)= g(x)= ; ; Với Với thì Ta có: và nên suy 40 skkn Tóm lại : , với x>0 Tại x=0, ta có :f(0)=g(0)=1 ; f’(0)=g’(0)=0 Áp dụng định lý ta suy f(x)>g(x), x>0 Tức (**) đó(*) Bài 6[1]: Chứng minh rằng: Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Xét hàm g(x)=2 khoảng (-1,1), ta có: Với x Mà nên suy Tại x=0 ta có f(0)=g(0)=2.Áp dụng định lý ta suy : Hiển nhiên hay III.Bài tập đề nghị: Bài 1[0]: Chứng minh Bài 2[0]: Chứng minh Bài 3[0]: Chứng minh tgx